Bài tập giải tích 12 tự luận trắc nghiệm trần minh quang

Trang 1

TRẤN MINH QUANG

Trang 2

TRẤN MINH QUANG BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TỰ LUAN VA TRAC NGHIEM UYỆN TẬP THỊ TỐT NGHIEP THPT «+ Treo chương trình phôn ban của bộ GD & ĐT từ năm 2008

+ Tớn tốt lí thuyết - Bởi giỏi tự luận - Câu hỏi trắc nghiệm vò kỏ lời

Trang 3

(Các bạn thân mến!

TTác giả biên soạn quyển sách này theo chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo bắt đầu giảng dạy trên cả nước từ năm học 2008 - 2009

(Giải Tích là một trong những ngành quan trọng của Toán học hiện đại, được vận dụng rất nhiều trong khoa học kỹ thuật Lý thưyết và các thủ thuật giảii toán, giải tích gần gũi, phù hợp với học sinh phổ thông

(Cấu trúc của chương trình Toán Giải tích 12 có khác với các năm trước Phéin Dai số tổ hợp đã đưa xuống lớp 11, phần Mũ và Logarit đưa lên lớp 12, bổ sung phần mới là số phức: trên tập số phức do ¡? = —1 nên mọi phương trình bậc n đều có nghiệm Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn Giải tích 12 vẫn là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và tích phân

IĐể chuẩn bị cho việc có thể thi trắc nghiệm mơn Tốn chúng tôi biên

~ soạn cả hai phần toán tự luận và câu trắc nghiệm Trong phần toán tự luận

các: bài tập được sắp từ cơ bản đến nâng cao (có đánh dấu *), có nhiều bài

được trích từ để thi tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo duc va Đào tạo từ năm

2002 đến 2007

"Tác giả xin gởi cuốn sách này như một món quà tinh thân đến các bạn đang chuẩn bị thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại Học và Cao

đẳng

"Trong quá trình biên soạn chắc chắn sẽ có những thiếu sót, mong các

bạn góp ý và lượng thứ

Trang 4

(Chương Ï UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT VA VE D6 THI HAM SO ‘§1 SU DONG BIEN VA NGHICH BIEN CUA HAM SO A/ TOM TAT LY THUYET Dinh li Lagrarge: y

Néu ham sé y = f(x), lién tuc trén [a; gy a

b] va c6 dao ham trén (a, b) thi tong] i tại ít nhất một c e (a, b) sao cho

f'(e) = f(b) - f(a) Ña)} - b-a Hệ quả: ac b

Nếu fx) = 0 với mọi x e (a, b) thi f(x) = C hang sé vx e (a, b) Dinh lý: Cho hàm số y = f(x) c6 dao ham trén (a, b)

e Nếu f'(x) > 0 Vx e (a, b) thi f(x) déng bién trên (a, b) e Néu f’(x) < 0 vx ¢ (a, b) thi f(x) nghịch biến trên (a, b)

Dấu = xảy ra tại một số hữu hạn giá trị x trên (a, b)._- Bài 1 Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số 2 alyuX X11 b/ y = (x2 - 4)w? x+x+l 1 cd y= vx? —x+1 d/y=xvl-x? J ; Gidi a/ Mién x4c dinh D=R_ do:x?+x+140VxeR 2(x? - 1)

"Ta có: y "= ——————y G ixia dD? -ý= y=0ox=tl =

Trang 6

Ta có: ý = 12x? + m Nếu m >0 thì ý >0 vx‹ ?;ý=0‹»x=0 Vậy hàm số tăng trên & Nếu m < 0 thì ý =0 >x?= -” exept J 12 2V3 Lúc đó bảng biến thiên của hàm số = _1 m A i : 2Ý3 2Ý3 + 0 - 0 y’ + y ad ïmZ= `” +œ Chú §: Bài toán tìm tham số m để y = f(x, m) tăng (hoặc giảm) trên R Nếu ý(x) = ax? + bx + c (a z0) a»>0 A=b?-4ac<0 a<0 A=b-4ac<0 f@x0vx Re | F@ <0 Vx c Re | 3 © Bài 8 Cho hàm số y = (mỶ - 1)”_ + (m + 1)x? + 3x + 5 Tìm m để hàm số đồng biến trên R Giải Ta có: ý(x) = (mÊ — 1)x + 2(m + 1)x + 3 * Néum=1 thi f(x) = 4x +3 f đồng biến © f(x) >0 ox 2 -4 (loai) Nếu m = -1 thì f(x) = 3> 0 vx e R

Vậy hàm số đồng biến trên R (nhận) (1)

Trang 7

O Bai 4 Tim a dé ham số '

= gx~ x’sin’a + (4sin’a — 3)x + 1 tang trén R

Giải - Miễn xác định: D = R

: y’ =x — 2xsina + 4sin’a — 3

Hàm s6 tang trén R <> ý = x? - 2xsin’a + 4sin’o — 3 > 0 vx ˆ s la=1>0 A’ = (-sin*a)* — (4sin?ơ - 3) < 0, © (sin?œ — 1Xsin’a — 3) < 0 © 1<sin’a <3 © sin’a = 1 > a = (2k + vs O Bài 5 Cho hàm số y = (m — 3)x — (2m + 1)cosx Tìm m để hàm số lưôn giảm Giải Miễn xác định: D = R "Ta có: ý = m - 3 + (2m + 1)sinx Cách 1: Hàm số luôn giảm c ý < 0 vx e R © (2m + 1)sinx - 3 + m < 0 Vx e R fone ⁄ VvteR Xu: *E-3ix1e 2u sâu ự(t) = (2m + 1)t - 3+ m < 0 w(1) = (2m + 1) - 3 + m < 0 _ œ-4sm < Ÿ 8m - 2 <0 3 2t Cách 2: Dit t = tg = dint =

Trang 8

Ta có: ý = 2m + 2sin2x - mcos2x - „sinx

ý = m(2 - cos2x) + sin2x(2 —cos2x) = (2 — cos2x)(m + sin2x) Do cos2x <1 >2- cos2x>0Vxc R % Vậy: Hàm số tăng trên R © ý =(2- cos2x)\(m + sin2x) > 0 ⁄x< R © sin2x + m >0 vx c R < m > 1 (do sin2x + 1>0 Vx e R) a Hài 7* Chứng minh phương trình: x” - x” - 2x — 1 = 0 (*) có đúng một nghiệm Tuyển sinh ĐH khối D năm 2005 Giải Xét flx) = xẾ — x? — 2x —1 liên tục trên R Mà (1) = -3 và 2) = 32 - 4- 4- 1= 23 Do f(1).Ñ2) < 0 nên phương trình có ít nhất nghiệm a e (1, 2) Nhận xét: (*) © xỗ = (x + 1)? Do đó: x > 0 (x = 0 không là nghiệm của (*)) 2 2 Ta 06: (2) <2 x? = (222) = HH x x 2 8 Xét y¡ = xŸ và y¿ = (a + | trén D = (0; +x) x Ta có: y=3x2>0 vậy y¡ tăng trên (0; +z) 1

y2= 2(-) (1 + 3] < 0 vậy y; giảm trên (0; +)

Trang 9

F(x) là hàm số liên tục trên [0, 2x] và có đạo hàm trong khoảng (0, 2) Ta có: F'(x) = acos3x + beos2x + ccosx + sinx

` Theo định lý Lagrange: 3 œ e (0, 2x) sao cho tên co 2rm-0 1[/1 ` 1 5 = = =asin6n + a)ein4x + csin2m — cos2r — cos0 = F(a) x [\3

= acos3a + bcos2a + ccosa + sina

< 0 = acos3a + bcos2a + ccosa + sina

Trang 10

4 2 Xét hàm số g(t) = sint - t + ‘ > g(t) = cost - 1 + 5 Ta có: g”(t) = -sint + t > 0 do (1) Vậy g(t) là hàm tăng trên R => Vt > 0 thì g(t) = cost - 1 + 5 > g0) = 0 Do đó g(t) là hàm tăng 3 = Vx: x > 0 thi g(x) = sinx—x + — > g(0) = 0 3 => sinx > x — ~ (2) 6 3 Tw (1), (2); x - - < sinx < x a B/ BÀI TẬP 1 | Xét tính tăng giảm của các hàm số sau: a/ y =—XÊ + 3x + 2 b/ y=-—x' + 9x? — 1 dys 2 d/ _x'-3x+⁄4 „x+4 x-1 ely =x‘ +x? - 2x’ - 3x41 fly = V2x-x’? g/y =x -— sinx h/ y= 2x + V-x? +4x-3 2 | Cho hàm số y = “S“X + 2m - 2Ò + 22 ~ m)x + 1 Tìm m để hàn số giảm trên R 3 | Tìm m để hàm số y = 4 | Chứng minh rằng hàm số y =x)— (m + 1)x? - (2m? - 3m + 2)x +m? + m + 1 không thể luôn tăng trên R

De để y = x + msinx giảm trên R

Trang 11

8 | Chứng minh:

al ðainx etgx > 3x Vx € (0,5) bí xŠ + (1 — X> TC VY

C/ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 5

1 | Cho hàm số y = - _x +x+2 Kết luận nào sau đây là đúng

A/ y tăng trên R _B/ y giảm trên R

C/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng tăng và 2 khoảng giảm D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng 2 2] Choy = — kết luận nào sau đây là đúng trên bảng biến thiên? A/ y tăng trên R

B/ y tăng trên từng khoảng xác định

€/ y có hai khoảng tăng và một khoảng giảm 'D/ y có một khoảng giảm và hai khoảng tăng 8] Cho y= mot Ham số tăng trên khoảng xác định khi và chỉ khi A/meR B/m eØ C/m=1 D/ m = -1

4] Cho y = PP kết luận nào gau đây là đúng:

A/ y tăng trên R B/ y giảm trên R

C/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng tăng và 2 khoảng giảm ð | Hàm số y = —— đồng biến trên (+2, +=) khi và chỉ khi `.A/m<0 B/m<0 C/ m< +2 D/ m < +2 2 - 6]Cho y= x” -(m + 1)x + 2m - 1 x-m Điều kiện cần va đủ để y tăng trên từng khoảng xác định A/m< 1 B/m<1 C/m>1 D/m >1 7 | Cho hàm số y = x + sinx Kết luận nào sau đây là đúng:

A/ y tăng trên R B/ y giảm trên R

C/ y có 1 khoảng tăng và nhiều khoảng giảm D/ y không tăng và không giảm

8] Cho hàmsố y = \2x - x? Kết luận nào sau đây là sai:

A y đồng biến trên (0; 1) B/ y nghịch biến trên (1; 2) C/ Miễn xác định là D = [0; 2] D/ y tăng trên [0; 2]

Trang 13

7| y=x+sinx >ý=l+cosx>0VxeR Vậy y tăng trên R > Chon Ạ 8] y= v2x-x? yeR©2x-x?>0 xe [0;2] - x† 1 V2x - x? Vay D sai

§2 CUC TR] CUA HAM SO

A/ TOM TAT LY THUYET

Cho ham s6 y = f(x) lién tuc trén khodng (a, b) va xp € (a, b) + Dinh li Fermat:

Nếu hàm số y = fx) có đạo hàm tại xọ và đạt cực trị tại xo thi

f(xo)=0 `

+ Điêu kiện đủ để có cục trị:

e Dấu hiệu 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lên

cận của xọ (có thể trừ tại xo)

Nếu khi x đi qua xọ mà đạo hàm đổi dấu thì xạ Ìà í điểm cực trị x |Xo-õ Xo Xe+Ơ X |Xo-Ơ Xo Xo + Ư f{x) + - f(x) em +

f(x) ae C Dai Sea f(x) ag: ‘ahd eer

e Dấu hiệu 9: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 tại

Xọ Nếu:

Trang 15

e/ y = (x2 — 4) Ÿx? Miễn xác định: D = R 2 vn, y=0©x=#l x |-o -1 l 0 * 1 +H _y = Oo -+ - 0 + y | +2 , 0 +20 ™ , -3 op A si CT CT s

Chú ý: Dù hàm số không có dao ham tai x = 0, nhung di qua x = «dao

hàm đổi dấu từ dương sang âm, hàm số vẫn đạt cực đại tại x = 0

Bài 2 Cho hàm số y = x?— 2mx? —'2 Tìm m để y đạt cực tiểu tại x = 1

Đô dự bị tuyển sinh Đại Học khối B năm 210004 Giải Ta có: ý = 3x?- 4mx y“= 6x ~ 4m y đạt cực tiểu tại x = 1 3 y()=3-4m=0 JP'*+ _ 3 Pence tnco ® m<= gums 9 i O Bài 8 Tìm cực trị của các hàm số: al y = cosx + 2 C082 b/ y = |2x? + 3x + B| Giải: a/ Miễn xác định: D = R

ý = -8inx — sin2x = -sinx(1 + 2cosx)

ý=0 > sinx = 0 v cosx’= -> exe knvxs +2 + 2m

y” = -Éosx — 2eos2x = —4cos2x — cosx + 2

Trang 16

>xX= = + 2a là các điểm cực tiểu - o2" „ 1,4m 4Í-] ver 3 °2 "4 -2x’ +3x+5 nếu -1sxs3 b) y= |-2x?+3x+51 = 2x? -3x - 5 nếu x < “le Fe -4x+3 néu -1<x<- Dc do: y’ = 2 4x-3néux< -lvx> Chú ý: y không có đạo hàm tại —1 và ; nhưng hàm số vẫn đạt cực tiểụ Bài 4

a/ Cho ham g(x) = 3x — x* Chung minh g(x) > 0 Vx e (0; 5)

Trang 18

Giải ú(x)v(x) — v'(x)u(x) Iv(x) Do hàm số đạt cực trị tại xẹ - f(x) =0 >> u{Xạ)V( X¿ ) — V'(Xx¿)u(xạ) = 0 u(x) _ uŒ¿) ú(X9) — = Ctr = v'(x,) v(x,) v'(x,) Ta có f(x) = 2 - 2 +Jn mo Ã- Tìm m để hàm số có 2 cực trị x+2 Biai 6 Cho ham y = f(x) = 'Giải Miễn xác định: D = R\I-2) 2x? + 8x+8-m Hàm số có 2 cực trị © ý 2 lần đổi dấu <> g(x) = 2x? + 8x + 8 — m có 2 nghiệm phân biệt z —2 Á=16- 28- m) >0 2m>0 >> > 8-16+8-mz0 m# cem>0 a x?+(m+1)# + m +1 x+1

Chứng minh với mọi m (Cm) luôn có điểm cực tiểu, cực đại và khoảng cách hai điểm đó bằng V20 ” Bài 7 Cho hàm số y = (Cm) Giải Miễn xác định: D = R\|—1] ?+2x Ta có: a) ee ` y (x +1)? y =Oomx=-2vx=0

Vậy hàm số có hai cực trị với vm e R

Trang 19

_ x’ -2mx+m?-1 _ gfx) có,ý = 3 Teh © (x-m) u cầu bài tốn © g(x) có hai nghiệm trái dấu và z m ts = 2 Pam! 2128 ©-l<m<l @ g(m) = m? - 2m? + m?-140 Bai 9 Cho y = x? + 2(m + x +m? + 4m (C) : x+2 - Tìm m để (C) đạt cực đại, cực tiểu tại A và B sao cho tam giác (O)AB vuông tại Ọ Giải Miễn xác định: D = R\{-2} „_ x +4xt4-m` g(x)

Tacó: ¥= Gao “vua

y có hai cực trị © g(x) có hai nghiệm phân biệt z ¬2 rece aude © ; emz0 ta g(-2) =4-8+4- m? >0 Gọi A, B là hai điểm cực trị, ta có: Ẵ2 - m, -2), B(—2 + m, 4mi+ 2) Ta có: AOAB vuông tại O OẠOB = 0 © -(2 + mXm - 2) -2(4m ~2) = 0 ©m=-~-4+2 6 (nhận do m #0) a Bài 10 Cho y = x + m + s (O : « x- 4 Tim m sao cho (C) cé cyc tri tai A va B và đường thẳng Af đii qua gốc tọa độ Ọ : ot Gidi Mién xéc dinh D=R\(2) - m_x-4xt4 m_ gíx 7

Tad yel~ Cay * aa Ga

(C) có hai điểm cuc trj < g(x) có 2 nghiệm phân biệt z 2 Á=4-(4-m)>0

° om>0

{ -8+4-mz0

Goi Xa, Xp la hai nghiệm cua g(x)

Do A, B < (C) => OA = (xa, ya) cùng phương OB = (xs, ya)

Trang 20

) = xg(x,q + m + — ) <> XĂxp + m + Xy- x, 2 > M(x, — Xp) + mA — —*"_) 20 Xụ-2 xe -2 tò Sà —Xg + TÓC” (xy - 2)(x, - 2) el “Ở” 0 đunyz0 XÃ - Xụ - 2X, - Xn) (xụ - 2)(x, - 2) Xạ + Xụ - 2 © XA —- Xp + c©1+ Sự xẹ =0 (do xq # Xp) o P-~28+4+S-2=0 oP+2=S ©4-(4-m)=2 © m = 2 (nhận do m > 0) Ghi chú: m_ x":(m-2x-m _ u(x) y=Xx+m+——.=———-—=—=— x-2 (x- 2) v(x)

Khi m > 0 thì y đạt cực trị tại A, B và đường thẳng AB có phương

trình y = 2 „ ĐC 2 ~Ê (Phải chứng minh lại bài tap 5 trang 21) Vix

AB qua Q(0, 0) > 0=0+m+2>m=2

Ta có f(x) = 3ax” + 2bx +Â

ô Nu = b? - 3ac < 0 thì hàm số đơn điệu trên R

« Nếu Á = bỂ - 3ac > 0 thì hàm số có 2 cực trị Lúc đó lấy hàm số fx)

chia cho f‘(x) ta duge f(x) = Ăx).f(x) + Bx + C

Trang 21

(*) có 3 nghiệm phân biệt © Ụ lá Ycn-Yœ <0

(*) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn œ

b có 2 nghiệm phân biệt x, > x, > œ , 2 Yoo Yor <0 af(œ) < 0 Bài 11 Cho y = xŸ — 6x”+ 9x (C)

Với giá trị nào của m thì d: y = x + mẺ — m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của (C) ' Giải ˆ Miễn xác định D = R t y = 3x’ - 12x + 9 :y=0©x=lvx=3 ` x |” LỆ vẽ 3 +00 y + ‘ = 0 + y 4 _— eet

Điểm cực đại Ă1, 4), cực tiểu B(3, 0)

Trang 22

Vậy y luôn có hai điểm cực trị

Lấy y chia cho ` ta được: y = (x - m) + 2x -m?+m Do ý(x1) = ý(xq) = O nén yep = 2x, - m2? +m Yer = 2x2 - m+m Do đó phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là: y=2x-m+m @ Bàii 18* Cho y = —x” + 3x + 3(mẺ - 1)x - 3m” - 1 (C) Tìm m để (C) có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ Ð Giải Miền xác định D = R Ta có: ý = —-3x” + 6x + 3(m” - 1) ý=0©x?-2x-— (m? - 1)=0 oex=l-mvx,=l+m y có hai cực trị ©© ý có hai nghiệm phân biệt ©1-mzl+m cemz0

Trang 23

Hàm số có 3 cực trị

Trang 24

xi z8 5 | Tìm m sao cho hàm số y = : + - + bx + 1 Có ba cực trị mà hoành độ của chúng tạo thành 1 cấp số cộng 6|y = *_*~" (G) Tìm m để (C) có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách ~x hai điểm đó bằng 10

“| Cho hàm số y = 4xŸ - mx” - 3x + m Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ cực đại và cực tiểu luôn trái dấụ 2_ _ m3 Š 8 | Cho hàm số y = fm+ Uy -2mx~M + +2 với m là tham số # -1 Tìm xem m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0, 2) 2_ _ 2 _ 9] Cho ham sé y = x” -(m + 1)x = +4m -2 yo

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

10Ì Cho hàm số y = xŸ + 2(m - 1)x?— 1 = 0 Chứng minh hàm số có nghiệm

duy nhất

11] Cho ham sé y = fix) = x* + ax + 2 (a tham số) Tìm tất cả các giá trị của

+ ` 2

tham số a dé đề thị hàm số y = fx) cắt trục hoành tại 1 và chỉ 1 điểm

12] Cho ham sé y = kx‘ + (k — 1)x? + (1 - 2k) Tìm tất cả các giá trị của

tham sé k dé dé thi hami sé chi c6é 1 diém cuc trị

-x” + mx - m” °

13} Cho ho đường cong y = a (Cm) Tim m dé (Cm) có cực đại va cực tiểụ Với m tìm được hãy viết phương trình đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của (Cm)

2 2

14] Cho hàm số y = x2 Gm oe min (Hm) Tìm tất cả các giá trị của : +

tham số m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị này trái dấụ

C/ CAU HOI TRAC NGHEM

1 | Cho hàm số y = = Kết luận nào sau đây là sai:

Trang 25

3] Cho y = x' - 9x? - 1 Kết luận nào sau dây là sai:

A/ y có ba cực trị B/ y có một cực đại và 2 cực tiểu C/ y có một cực tiểu và 2 cực đại D/ y cực đại bằng —1

4 ] Cho y = Ÿx? Kết luận nào sau đây là sai:

A/ Miễn xác định R B/ y không có cực trị

_/ y có 2 khoảng tăng giảm D/ y đạt cực tiểu tại x = 0

Š] Cho y = mx— : thì y có cực trị khi và chỉ khi: A/m>0 B/m>0 C/m<0 D/m <0 6] Ham 86 y = mx’ + 8mxẺ - (m - 1)x - 4 không có cực trị khi và chỉ khi: A/0sm<2 B/0<m <2 C0<m<2 : D/0<m< 2 2 T] Hàm số y = = *3%*™ og cực trị khi và chỉ khi: A/m>4 B/m>4 C/m<4 D/ m <4 8] Cho y = x‘ + (m? ~ 9)x? + 10 : Ham số có 3 cực trị khi và chỉ khi: A/|[m|>8 B/ lm[ >3 C/-3<m<3 D/-3<ms3 9] Cho y = -2x* + 3x” + 1 (C), phuong trinh duéng thang ndi hai diém eye trị của (C) là:, A/ysx-1 B/y=x-1 Cly=-x+1 D/y=-x- 1 MÃ fe : E 10} Cho y = „mg (C), phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị tủa (C) là: a ia

A/y=x-1 B/y=x+1 Cly=2x-2 D/y=2x+2

Trang 27

9|y =—2x + 3x? + 1 => ý = -6x” + 6x = 6x(—x + 1)

y=0ex=0vx=1

Hai điểm cực trị là: Ă0; 1), B(L; 2) Phương trình đường AB: * - yt ©y=x+l1 >Chọn B 10 | Ta tìm 2 điểm cực trị giống câu 9 hoặc sử dụng kết quả nếu: 2 y= 2X +ÐX+€ (4 2 điểm cực trị thì phương trình đường thẩng nối 2 'dx+c Aiken as tay = AE — Chọn C §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT O Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D i= Maxitx) a VxeD 3xạ eD:f(x¿)=M h f(x)2m VxeD ma Min f(x) ° bon eo-e _ O Phương pháp:

1 Nếu D = (a, b) với a có thể là —œ, b có thể là +œ-

Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a, b)

Nếu hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại (hay cực tiểu) thì giá trị

cực đại đó là giá trị lớn nhất (hay giá trị cực tiểu đó là giá trị mhỏ

nhất) của hàm số trên khoảng (a, b)

2.NếuD=[ab] - h ‘

~ Tìm các điểm tới hạn xị, xạ, xn của ftx) trên [a, b]

Trang 29

ies 7 V§) 7 (a 3) 9 Do đó: Maxy = 4khix=0 taj 4 : 2 Mi = — khix=+,/— a un 9 3

O Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Trang 30

O Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của: y = sinŸx + cosx Giải Ta có: y = sin®x + cos*x = (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) Miền xác định: D = R Đặt t = sinx + cosx = J8sin[x + H (điều kiện |t| < V3) => t? = 1 + 2sinxcosx e-2) vy a Thi: , y = t/1- vở 2 =-+84 Sten 2°32 Với miễn xác định E = [- J2; V2] 3; 3 Ta có ý =-— a y’ ạf +3 = vay: 7 ~° Š Qe pH <sSt= t=lvt=-l vt=- a t e (-J2; /2) te(-v2;v2) Do h(—1) = -1; h(1) = 1, h( V2) = 2 2) =-2 Nên Maxy = 1 và Miny = -1 * Chu ý: Giải phương trình bằng cách dùng Max, Min của hàm số Xét phương trình f{x) = g(x) với x e D s Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của ftx), g(x) Giả sử tìm được Maxf(x) =MkhixeAcD Va Ming(x) =Mkhixe BcD D ¢ Way f(x) < M < g(x) v6i Vx e D Nên fix) = glx) © oun = ANB g(x)=M “ xeB~**

Trang 31

Do đó Maxy = 2 >x=3 (1) 12:4] Mac khac ta thay g(x) = x? - 6x + 11 = (x - 3)” + 2 >2 Dấu = xảy ra © x = 3 Do đó Ming(x) = 2 © x = 3 (2) 124) Từ (1) và (2) = Vx-2 +4-x <2 <x?— 6x + 11, V x e [2; 4] Vậy Jx-2 + J4-—x =x?- 6x + 11 dx-2+4-x=2 -‹ 24, ex=d x”-6x+11=2 B/ BÀI TẬP 1] Tìm giá frị lớn nhất và nhỏ nhất của: 20x? +10x+3: x°-x+l ° or /ÿ= ——— trén [-1;2 me 3x?+2x+1 ny -x?+x4+1 Bl a

œy= |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| d) y = (x + 2)V4-x?

2] Tim a, b để y = Xˆ?3X+Ð q2: giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị mihỏ 2+1 nhất bằng —1 3 | Cho hàm số y = 4x? - 4ax + ả - 2ạ Tìm m sao cho Miny = 2 (-20] 1 1 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ——+ sinx cosx 5 ]Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: với )<x<.= 2 ay = x + cos’x trên đoạn 0 <x < 7

b/y= 2+cosx với x e [; x] :

e/y = sinx + v2 — sin? x

[8] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = 4x + bái + sinx trên khoảng 0 < x < œ

x

_ b/y = 2sin”x + 4sinxcosx + võ trên R

C/ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Trang 32

Bước 3: Miny =0 Chọn kết luận đúng: #® `

A/ Bước 1 sai B/ Bước 2 sai

€/ Bước 3 sai D/ Cả 3 bước đều đúng

2: | Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của y = x' - 2x? + 3 trên [0; 3] là: A/M=9,m= 1 B/M=8;m=2 C/M=9;m=2 D/M=15;m=2 3i | Cho y = J5-4x thì M giá trị lớn nhất và m giá trị nhỏ nhất trên H; 1] là: A/M=3;m=1 B/M=3;m=0 C/M=2;m=1 D/M=2;m=0 4.| Cho y = sin®x — 3sinx thì M giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất m A/M=2;m=0 B/M=2;m=-2 C/M =1;m=-2 DM=2;m=+l1 ð ] Giá trị nhỏ nhất của y = x? + 2x + — —_ là (x+1)

A/-1 B/1 C/2 D/ Khong tén taị

Trang 33

=x+ + 1 BðB| y=x?+2x+ (x+1 +1)? Ta có: y > 2|x + 1Í - |x+1|

§4 CUNG LOI, LOM VA DIEM UON CUA ĐỒ TH] HAM SO A/ TOM TAT LY THUYET Định lí 1: Cho hàm số y = fx) có đạo hàm đến cấp hai trêm khoảng (a; b) ‘

a/ Nếu f'{x) < 0 với vxe (a; b) thi dé thi (C) 1éi trên khoảng đó b/ nếu f“(x) > 0 với V x e (a; b) thì (C) lõm trên Khoảng đó ‘Dinh li 2: Cho ham số y = fx) liên tục trên một lân cận nào đó của xọ

Trang 35

ys Qx(x? + 1)? - (x? - 1)4x(x? +1) _ 2x(-x? +3) (x? +1) — (2+1 ý=0œ©x=0vx=+V3 x |T-= -v3 0 v3 +00 y” + 0 - 0 + 0 - MB 0 A8 (C) lõm 4 lỗi lõm 4 ii BU BU DU (3#) se (x38) (x+1)? x?-x+l Tập xác định D = R - (x + Ủ(x - 2)? (x? -x+1) e*⁄/y= >0VxeR 2 Ta có: hư vi lor on x-x+l EEmi| 26x - 8) glad x -x+1 — ws = @-x+)'_ = 6(2x - 1) y’ x'-x-2 x-x-2 9 (x? -x+1Xx?-x-2) x? -x+1 x?-x+1 Do ý >0 V.x và x—x+1>0Vx Nên dấu y“ là dấu của week , x.-x-2 x —œ =1 + 2 +o 2 y" - + 0 - + 0 2 9 c ; a li nụ DU DU

_ Chú ý: y không có đạo hàm cấp 2 tại x = -1; x = 2

Trang 38

d/ Ta có: y = x -3x:2 = Dit 2) =x-2véixel x-1 xe]

Hàm số suy biến thành đường thăng y = x - 2 loại bo diém (1; -1) Vậy không có tiệm cận x°+ðx+6 _ (x+2l(x+3) xi3 ey = => = —— = -—— VXx#-2 x +3x+2 (x + 1)(x + 2) x+l1

Tap xac dinh D = R \ [-1; -2}

Tacé: limy= lim **2 215 TCNy=1 Day = Un es

y= Tore ete TO ee |

xl x>_l x +] 2

2

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (-z; 1) và (1; +)

b/ Tìm m để đường tiệm cận xièn tạo với trục hoành, trục tung một

tam giác có diện tích bằng 8 : Giải a/ Tập xác định D = & \ [1l x°-2x-m+l (x - 1)? Hàm số đồng biến trong khoảng (—z; 1) +2 (1; z) c©Sy>0Vvx#zl ©x?-9x-m+1>0Vxzl Ũ =1>0 e om<0 Á=1-(-m+1)<0 b/ Ta có: y = x! +mx-1 =x+m+l- N x-1 x-1

Khi m = 0 thì hàm số suy biến không có tiệm cận Khi m z0 ta có lim -” =0 - xore Xx]

Nên có tiệm cận xiên y=x+m+l1

Giao điểm của TCX và trục tung là: Ă0; m + 1) Giao điểm cúa ïÏCX và trục noanh là: B(-(m + 1); 0) Do điện tích AOAB bằng 8 nên:

3 0Ạ0B mit «co Jug ff os 8

Tacé:ý=

<o(m +1)? = 16 oom+ 1 = +4

<> m = 3 vm =-—5 (nhan so dieu kién m z 0) =

Trang 39

4 -

Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) cđđếến hai đường tiệm cận là hằng sô

Giải Ta có: y = —x + 2 + hee

$ x-2

Do: lim y = to nên tiệm cận đứng x = 2

Trang 40

Vậy điểm cực tiểu là Ăz 2 ý Vm’

Ta có: lim 1 = 0 Vậy tiệm cận xiên của (Cm) là: note y d: y = mx © mx- y= 0 1 Ta có: ö(A; d) = — ⁄2 1 m| == |- 2m “ | A "| _.L bm Vm| _ Vm? +1 v2 ee +1 © 2m=m?+1 peti A a © Bai 5* Biện luận theo m số đường tiệm cận của đỏ thị hàm số sau lở mx +4 3 ~ x+m Gidi _ 2 Ta có: y = ms =m+ 2 x+m x+m | m 4 = | m -m+4 + Khi 4 - m° = 0 >m= #2

Thì hàm số suy biến thành đường thẳng y = 2 loại bỏ điểm C8; 2)

Định dạng
Số trang	214
Dung lượng	23,52 MB