595 bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm có đáp án

Hàm f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm... Hoành độ giao điểm cỏa C và C2là nghiệm của fx = gx* S ố nghiệm phân biệi của * bằng số giao điểm của hai đường con

♦ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Lời nói đâu

Nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có tài liệu toán GIẢI TÍCH tham khảo để tự ôn tập, tự kiểm tra kiến thức của mình, chúng tôi biên soạn cuốn sách

595 BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 tự luận và trắc nghiệm.

Cu ôn sách được chia làm bốn chương

HÀM SỐ

P H Ạ M T R Ọ N G T H Ư

KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG SÁCH

Chương I

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM s ố

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hằm 5ốđơn điệu. Cho hàm số f xác định ưên I, với I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

+ fđồng biến trên I nếu với Vx,, x2 e l , X, < x2 => f(x ,)< f(x 2)

+ f nghịch biến trên I nếu với V x,, x2 e I, Xị < x2 => f(x, ) > f(x2 )

('Điều kiện cần đ ề hàm i đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

+ Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f'(x) > 0 , Vx € I

+ Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f'(x) < 0, Vx € I

(Diều kiện đả đ ể hàm lỏ đđu điệu

a) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu f'(x) > 0, Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I

• Nếu f'(x) < 0 , Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu*hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I

• Nếu f'(x) = 0, Vx 6 I thì hàm số f không đổi trên I.

b) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên (a; b)

• Nếu f'(x) > 0 ( hoặc f'(x) < 0 ) , Vx e (a; b) thì hàm số f đồng biến

(hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a; b).

• Nếu f'(x) = 0, Vx e (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a; b).

(Diều kiện cẩn đ ề hàm tố ¿tại eựe tri

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0và hàm số f só dạo hàm tại điểm x() thì f'(xo)= 0.

( Hàm f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm )

D iề u k iện đ ủ đ ể h à m i ấ đ ạ i eựe tr i

a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x()và có đạo hàm trên

các khoảng (a; x„) và (x0; b) Khi đó

+ Nếu f'(x) < 0, Vx e (á ; x0) và f'(x) > 0,Vx e(x „; b) thì f đạt cực tiểu tại x0 + Nếu f'(x) > 0 , Vx e (a; x0) và f'(x) <0, Vx e (x0; b) thì f đạt cực đại tại x0

b) Giả sử f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,

f'(x0) = 0 và f "(x0) * 0 Khi đó:

+ Nếu f"(Xq ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

+ Nếu f"(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

3 GIÁ TRỊ LỚN NHÂT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHAT c u a h à m s ố

Cho hàm số y = f(x) xác định trên mieff'D (D c R ) Ta n ó i:

a) Số M được gọi là GTLN của hàm sọ y = f(x) ưên D nếu hai điều sau

Kí hiệu : m = min f(x) hay m = m in y

4 ĐƯỜNG TIỆM CẠN CỦA Đ ồ THỊ HÀM s ố

Giả sử hàm sô" y = f(x) có đồ thị là (C)

.lim f(x) = —co lim f(x) = +00

y = y 0 là tiệm cận ngang của (C)

.Nếu lim [f(x )-(a x + b)] = 0 ( a ? t0 )

X - > + * >

hoặc lim [f(x) - (ax + b)] = 0 ( a ^ 0)

X - > - x

y - ax + b là tiệm cận xiên của (C)

5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

Cho hàm f có đạo hàm câp hai trên một khoảng chứa điểm x0 Nếu f"(x0) = 0

và f*(x) đổi dấu khi X qua điểm x() thì I(x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị

n phân biệt tiểu và một cực đại.

7 S ự GIAO NHAU VÀ SựTIEP x ú c c ủ a h a i đ ư ờ n g c o n g

Cho hai đường cong (C ị): y = f(x), (C2): y = g(x)

Hoành độ giao điểm cỏa (C() và (C2)là nghiệm của f(x) = g(x)(*)

S ố nghiệm phân biệi của (*) bằng số giao điểm của hai đường cong.

(C ,),(C 2)gọi là tiếpxúc nhau tại điểm M (x„;y0)nếu chúng có tiếp

tuyến chung tại điểm M Khi đó, M gọi là tiếp điểm.

[fr(x) = g'(x)

»

Nghiệm của hệ phương trình trên gọi là hoành độ tiếp điểm.

• Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của (P ): y = ax 2 + bx + c (a * 0)

<=> ax2 +bx + c = px + q o axz +(b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép.

B BÀI TẬP CẢN BẢN

§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ô

Bài 1 Xét chiều biến thiên của hàm số y = X3 - 3x2 + 5x + 2008.

Giải

Tập xác định: D = R

.Đ ạo hàm: y' = 3x2- 6 x + 5

m - 3.5 = - 6 < 0 ^ 3x' - 6x - 5 > ° ' Vx

Vậy: Hàm số luôn luôn đồng biến trẽn R.

Bài 2 Xét chiều biến thiên cỏa hàm số y = X4 + X3 - 3x2 - 5x + 2008.

Giải Tập xác định: D = R

Vậy: Hàm số đồng biến trèn khoảng ; + 00 j

Hàm số nghịch biến trên khoảng Ị^-oo; — j

4-♦ Vậy: Hàm s ố đồng biến ưên khoảng (-do; - 3 ) u ( l; + oo)

b ) X ét hàm sô" g(x) = tanx - X - — trên nửa khoảng

Thây g(x) liên tục trên

1

và g (x ) = 1 - X = tan X - X > 0, Vx e

cos x( áp dụng k ết quả câu a ) )

Do đó: g(x) đồng biến trên nửa khoảng

• Vậy: yCĐ= y ( 1 - ^ 5 ) = 4 - 2 V 5 ; yCT(l + V5 ) = 4 + 2 V s .

Chú ý : Để tìm giá ưi CƯC tri ta tính - —- = *

+ V ớix, = 1 -V 5 =>f(x, ) = 2 ( 1 - 7 5 ) + 2 = 4 - 2 ^ 5

+ V ớ ix ị = l + s/fi=>f(x2) = 2(l + V 5 )+ 2 = 4 + 2>/5

Đạo hàm: f'(x) = X2 + 2mx + m2 - 4

f '( x ) = 2x + 2m Hàm số đạt cực tiểu tại X = 1 => f'( 1) = 0 o m2 + 2m - 3 0

‘ T ầ Ẻ ì â L í

Ỉ

f Y1 ) = 0 4 => hàm số đạt cực đại tại X = 1 ( loại)

Nếu X < 0 => e x < e° = 1 => y' > 0

Bài 13 Cho hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 Tim cực trị của hàm số và viết

phương ưình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

.Đ iểm cực đại M |(l; 1), điểm cực tiểu M2(2; 0)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ,, M2 là y = - X + 2.

Tìm cực trị của hàm số và viết phương trình

_I Bài 14 Cho hàm số y = - Tìm cực trị của hàm số và viết phươn

của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị.

• Điểm cực đại M |( - 1 ; 1), điểm cực tiểu M2(5; 13)

• Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:

X - X y - y Hl X + 1 y - 1 „ _

xM3- x M l y « , - y M l 5 + 1 * 3 -1

Cách 2.

GọiM ịíXị; y t), i = 1 ,2 là các điểm cực đại và cực tiểu

v '(X ị) 1 Phương ưlnh đường thẳng đi qua điểm M |, M2 là y = 2x + 3.

Bài 17 Tìm GTNN của hàm số y = —— với X > 0 ).

5

Dựa vào hảng hiến thiên thây:

maxy = 5 khi sinx = -1 <=> X = + k2rt, k e z

miny = — 11 khi sinx = 1 o X = — + k27T, k £ z

2Bài 20 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sinx + ‘xosx + 1

sinx + cosx + 3

• 2 •

Giải /

• Vậy: maxy =.ự=r, miny =

§4 TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG

Bài 24 Tìm m để đồ thị hàm số y - + x + m không có tiệm cận đứng.

= 0=>y = - x + m + llà tiệm cận xiên của đồ thị

• Tiệm cận xiên đi qua A(2; 0) khi và chỉ khi 0 = -2 + m +1 <=> m = 1

§5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TỊNH TIEN

HỆ TOẠ ĐỘ

Bài 26 Cho hàm số y = X3 - 3 x 2 + 2x - 4 có đồ thị (C)

a) Tìm điểm uốn I của đồ thị (C)

b ) V iết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

và viết phương trình của (C) đôi với hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra điểm I là tâm đối xứng của (C)

Giải

a ) Tập xác định : D = R

y' = 3x2 - 6x + 2; y " = 6x - 6, y* = o o X = 1

y* đổi dâu khi X qua điểm x() = 1

.Vậy 1(1; - 4 ) là điểm uốn của đồ thị (C)

b ) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là

+ ^ ; phương trình của (C) đối với hê toa đô IX Y )à

ly = Y - 4

Y - 4 = (X + l )3-3 (X + l )2+2(X + l ) - 4

Y = (X + 1)[(X + 1)2-3 (X + 1) + 2] = (X + 1)(X2 - X ) = X 3 - X

Hàm số Y = X3 - X là hàm số lẻ Do đó đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng

Bài 27 Cho hàm số y = X -— cóđồ thi (C)

X +1

a ) Tìm tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị (C)

b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

và viết phương trình của (C)đôì với hệ trục tọa độ IX Y T ừ đósuy ra

điểm I là tâm đối xứng của (C)

Giải

a) Tiệm cận đứng X = -1, tiệm cận xiên y = X ( tương tự Bài 22)

Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là I( -1 ; -1 )

b) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là

ịx = X -1

ịy = Y - l Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là

Ta thây y" đổi dâ'u khi X qua điểm x0 = m

Suy ra: I(m; - 2m 3 + m 2 + 3m - 1 ) là điểm uốn của đồ thị (C)

1 e (P) Cí> -2 m 3 + m 2 + 3m - 1 = m2 o 2m 3 - 3m +1 = 0

<=> (m -1 )(2 m 2 + 2m - 1 ) = O o m = 1 hoăc m = —- ——

2Bài 29 Cho hàm số y = X3 + 3m x2 + (m + 2)x +1 có đồ thị (C) Tìm m để

điểm uốn của (C) nằm trên trục hoành

Giải

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y' = 3x2 + 6mx + m + 2

ý" = 6x + 6m ý’ = 0 o x = -m

Ta thây y" đổi dâu khi X qua điểm x0 = -m

Suy ra: I( - m; 2m 3 - m 2 - 2 m + 1) là điểm uốn của đồ thị (C)

Giới hạn: lim y = -oo, lim y = +co

Ta thấy y' đổi dấu khi X qua điểm ± 1 , nên l ( - l ; o) và j ( l ; 0) là điểrq uốn

§7 KHẢO SÁT MỘT s ố HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Bài 35 Khảo sát sự hiến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = X + 2

2 x - lGiải

Y = — =>y = —là tiệm cận ngang

.Điểm đặc biệt: A(0; - 2 ) , B( - 2 ; 0), C(3; 1)

§8 MỘT SÔ B À I TOÁN THƯỜNG GẶP VE Đ ồ THỊ

VẤN ĐỂ 1 TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ Đồ THỊ

Cho họ đường cong (C m): y = t'(x, m), m là tham số

• Tim điểrrcốđịnhvàmọi đ ấ h ị ((Ịrì),tều Sịa

Phương

- Biến đổi phương trình y = f(x, m) ra dạng

Am + B = 0 ( l ) hoặc Am2 +B m + c = 0 (2)

- Giải hệ Ịg Q nếu gặp dạng (1) hoặc <

- Suy r a : Điểm cô" định cần tìm

- Giải hệ j g Q nếu gặp dạng (1) hoặc

- Suy ra: Các điểm mà đồ thị không đi qua

Tọa độ điểm cố định phải thỏa

Tìm những điểm cố định trên đường thẳng A : X = 1 mà (C m)

của hàm số đã cho không bao giờ đi qua Vm * 0.

Các điểm cô định M( 1; y) e A mà đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua Vm * 0

Vậy: Vm * 0, đồ thị (Cm) của hàm số (*) không bao giờ đi qua các

điểm M( 1; y) ( với y e(2; 10)) trên đường thẳng A : X = 1.

Cho hai họ đường cong (Cm): y=f(x, m) và (Lm): y=g(x, m) Gọi M(x; ỳ)

+ M e (C m) n (L m) o tọa độ (x; y) của M là nghiệm của hệ Ịy ^ ^

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Lm) : f(x, m) = g(x, m) (*)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (Cm) và (L m)

+ (C» ) tiốí> xúc vđi (L "> > « ịn x ',1mV=% mm) có "8hiệm

X -1(d): y = -X + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(-3; 1) và có hệ sô góc k

b) Tìm k đ ể (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

Giải a) (d ): y - y A = k(x - X A) o y -1 = k(x + 3) o y = kx + 3k +1

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với (d):

Vậy: 0 < k * 9 thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 42 Cho hàm số y = - cổ đồ thị (H), đường thẳng (d): y = - X + m.

X 4* 2Tìm m đ ể (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất

Giải

2x +1Phương trinh hoành đô giao điểm của (H) với (d) là — — = - X + m

và B đổì xứng nhau qua đường phân giác A thứ I

= 1, Vm * -1( - 1 - m)

Vậy: (C m) tiếp xúc với đường thẳng y = k(x - x A) + y A = X - 1 tại A

C h ú ý : Phương pháp này áp dụng đối với bài toán " chứng minh (Cm)

luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cô định"

Cho hàm số y = f(x )có đ ồ thị (C),điểm M(x0; y 0)

D ạng 1: Phương trình tiếp tuyến vđi (C) tại M là y - y„ = f'(x0)(x - x0)

Dạng 2 : Viết phương ưình tiếp luyến của (C), biết tiếp tuyến có hộ sô

• Giải hệ => b => phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song

vổi đường thẳng y = ax + b' ( a * 0) cho trước

Phương phấp

• Phương trình tiếp tuyến có dạng (d): y = ax + b ( b * b')

Ịf(x) = ax + b f(x ) = a

• Giải hộ -> b => phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 4: Viết phương trình tiếp t^yến của (C), biết tiếp luyến vuông góc

vđi đường thẳng y = ax + b' ( a * 0) cho trước

• Giải hệ => b => phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua M

Phương pháp

« Phương trình tiếp tuyến (d) đi qua M(x0; y0) là y = k(x - x0) + y()

• (d) tiếp xúc ( C ) o f(x) = k( x- x„) + y0

Bài 46 Cho hàm s ố y = f(x) = X3 - 6x2 - 5 x + 5 có đồ thị (C) Viết phương

trình tiếp thyến cỏa (C) tại điểm uốn.

Giải (C) có điểm uốn 1(2;-21) ( Xem lại §5 ĐlỂM U ốN c ủ a Đ ồ THỊ- PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ )

Phương trình tiếp tuyến vđi (C) tại điểm I là y - ( - 21) = f'(2)(x - 2 )

o y = -1 7 x + Í3 ( vđi f'(x) = 3x2- 1 2 x - 5 )

Từ ( 2 ) « 2x2 - 4 x = 0 o x = 0 hoặc X = 2

T h ế X = 0 vào (1) ta được: b = -4, thế X = 2 vào (1) ta được: b = 4

Vậy: Có hai tiếp tuyến y = -X - 4, y = -X + 4

Bài 48 Cho hàm số y - X2 +3

X +1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ,

của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (đ): y = -3 x

Giải

(C) có tiệm cận xiên y = X ( Xem lại §4 TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG )

Phương trình tiếp tuyến có dạng (d): y = -X + b

Bèi 50 Cho hàm số y = 3x - 4 X3 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến

của ( C ) , biết tiếp tuyến này đi qua điểm M (l; 3)

2

Vậy: Có hai tiếp tuyến y = 3x, y = -2 4 x + 27

VÂN ĐỂ 4. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG Đồ THỊ

Bài toán

1) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C): y=f(x)

2) Dùng (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của g(x, m) = 0 (*)

Bài 51.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm s ố y = - X 1 + 3x + 2

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình

- X 3 + 3x + 2 - m = 0

c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số n, sô" nghiệm của phương trình

x ’ - 3 x + n = 0

—

a) Xem lại bài giải Bài 31

b) Phương trình trên viết lại: - X 3 + 3x + 2 = m (*)

(*) là phương ưình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= m cùng phương trục Ox, nên số giao điểm của (C) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình đã cho

Nhìn đồ thị

+ Nếu m > 4 hay m < 0: 1 nghiệm

+ N ếu m = 4 hay m = 0 : 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép

+ N ếu 0 < m < 4: 3 nghiệm

c) Phương trình trên viết lại: - x 3 +3x + 2 = n + 2 (**)

Phương trình (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= n+2 cùng phương trục Ox, nên số giao điểm của (C) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình đã cho

(C ): y = V4 - X 2 ,(d ): y = mx + 2 - m = m (x -1 ) + 2

I - íy >0

Thây :y = V 4 - x2

[x2 + y2 = 4(C ) có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục Ox có

R = 2 ,d m : y = m(x - 0 + 2 là đường thẳng luôn đi qua

(d) tiếp xúc nửa đường tròn trên khi hệ:

V4 - X2 = m ( x - l ) + 2 (1)

tâm 0(0; 0) bán kính là điểm cố định M( 1; 2)

4 Nếu - — < m < 0: vô nghiệm

4 Nêu m = — 1 nghiệm kép

N ế u - 2 < m < - ^ : 2 nghiệm

Nếu m < -2 : 1 nghiệm

VẤN ĐỂ 5. TẬP HỢP CỦA MỘT ĐlỂM

Muốn tìm tập hợp của điểm M di động ta thực hiện như sau:

• Ta tính toa đô của điểm M phu thuôc theo tham sốm : | x = lÌ™!

Khử m giữa ( l) và (2) được phương trình F(x, y) = 0 có đồ thị (C),

suy ra M e (C)

Giới hạii tập hợp ( nếu có) từ các điều kiện của tham số m đ ể có M

Kết luận: Tập hợp của M là tất cả hoặc một phần của (C); F(x, y) = 0

thỏa điều kiện giới hạn

Giải

1 Phương trình hoành độ giao điếm của (C) và (d) là X - 3 + — = m

Vậy: Tập hợp điểm uốn I của (Cm) là phần của đường thẳng (d): X = 2

ứng với các điểm có tung độ y < 16

Bài 57 Cho hàm y = 3x + m + -^~ có đồ thi (C m).Tìrn tâp hơp tâm đối

c CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1) Khoảng nghịch biến của hàm số y = — X3 - X2 - 3x + — là

lnx

X +17) Cho hàm số f(x) = —— Trong các mệnh đề sau, tìm mênh đề đúng

x- 2

A f(x) nghịch biến trên R

B f(x) nghịch biến trên ( -00; 2) u (2; +00)

c f(x) nghịch biến trên ( -00; 2) u (2; + 00)

D f(x) đồng biến trên (- c o ; 2) u (2; + co)

8) Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến trên (1; 3)?

x - 2

X — 1

9) Cho hàm số f(x) = X3 - 3x + 2 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

A f(x) giảm trên khoảng (-1; 1) B f(x) giảm trên khoảng

c f(x) tăng trên khoảng (1; 3) D f(x) giảm trên khoảng

- ,:2

f \ \

2 ;3

10) Hàm sô" y = xlnx luôn đồng biến trên khoảng

A (10”'; + oo) B ( e ” ' ; + G0) c ( e ; + co) D (l; + oo)

11) Giá tri nào của m thì hàm số y = —+— nghich biến trên từng khoảng xác đinh

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào?