MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10
Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức E = x2 + 4x2 + 36x2 + 10x+ 3 (với
x là số tự nhiên) không là số nguyên
Giải
Do x không là số tự nhiên nên:
(4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1 < 36x2 + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + 4
⇒ 4x + 1 < 36x 2 + 10x 3 6 + < x+ 2
⇒ (2x + 1)2 < 4x2 + 36x 2 + 10x 3 + < 4x2 + 6x + 2 < (2x + 2)2
⇒2x + 1 < 4x 2 + 36x2 + 10x+ 3 < 2x + 2
⇒x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 < 4x 2 + 36x2 + 10x+ 3 < x2 + 2x + 2 < (x + 2)2
⇒ x + 1 < x2 + 4x 2 + 36x2 + 10x+ 3 < x + 2
⇒ x + 1 < E < x + 2, giá trị của E nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp.
Vậy E không phải là số nguyên
Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc ≠0 và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng: 12 12 12 1 1 1
a +b +c = + +a b c
Giải
Ta có
2
+ + = + + + + +
1 1 1
a +b +c + 2(a b c)
abc
+ +
Với abc ≠0 và a + b + c = 0, ta có 1 1 1 2 12 12 12
+ + = + +
Suy ra 12 12 12 1 1 1
a +b +c = + +a b c (đfcm)
Bài 3: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng:
(a b) + (b c) + (c a)
− − − là một số hữu tỉ.
Giải
Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 và a – b ≠0, b – c ≠0, c – a ≠0
Áp dụng kết quả bài 3, ta có 1 2 1 2 1 2
(a b) + (b c) + (c a)
a b b c c a+ +
Do các số a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, nên S là số hữu tỉ
Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau:
P = 1 12 12
2 3
+ + + 1 12 12
3 4
+ + + … + 1 1 2 1 2
2014 2014
Giải
Trang 22 2
1
(n 1) n
1 (n 1) ( n)
1 1 1
1
− (n = 3, 4 … , 2014)
Ta có P = 1 1 1
2 3
+ −
+
1 1 1
3 4
+ −
+ … +
1
2013 2014
Tổng có 2012 số hạng nên: P = 2012 1 1
2 2014
+ − = 20122012
2014
Bài 5: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x+ y− + z− = 12(x y z+ + )
Giải
Từ x+ y− + 1 z− 1 = 12(x y z+ + )
Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được:
(x - 2 x + 1) + (y - 1 - 2 y− 1 + 1) + (z - 2 - 2 z− 2 + 1) = 0
1 0
2 1
x
z
− =
− =
1 2 3
x y z
=
⇔ =
=
Vậy các số thực phải tìm là x = 1; y = 2; z = 3
Bài 6: Cho các số dương a, b, c với a ≠c, a+ b ≠ c , a + b = ( )2
a+ b− c
Chứng minh rằng: ( )
2 2
−
−
Giải
Từ a + b = ( )2
a+ b− c
a+ b− c - b = ( )2
a+ b− c - b2 (b dương) = ( a+ 2 b− c)( a− c)
a+ b− c - a = ( )2
a+ b− c - a2 (a dương) = (2 a+ b− c)( b− c)
Thay a và b vào ( )
2 2
−
Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a+ b+ c = 2
Trang 3Chứng mnh rằng:
a+ b+ c
2 (1 +a)(1 +b)(1 +c)
Giải
Đặt x = a; y = b; z = c thì x2 + y2 + z2 = x + y + z = 2
(x + y + z)2 = 22 ⇔x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22
⇔2(xy + yz + zx) = 22 – 2 = 2 ⇔xy + yz + zx = 1
1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z)
1 + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x)
1 + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y)
Do đó
a+ b+ c
+ + + = (x y x z) ( ) (y z y x) ( ) (z x z y) ( )
2 xy yz zx
x y y z x z
2 (1 +a)(1 +b)(1 +c) (đfcm)
Bài 8: Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn: a 1 −b2 +b 1 − +c2 c 1 −a2 = 3
2 Chứng minh rằng: a2 + +b2 c2 = 3
2
Giải
Vì 1 – b2 ≥ 0; 1 – c2 ≥ 0; 1 – a2 ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:
2 1
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
Mà 2 1 2
2
a + −b + 2 1 2
2
b + −c + 2 1 2
2
c + −a = 3
2 ≥ a 1 −b2 + b 1 −c2 + c 1 −a2
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
2 2 2
1 1 1
= −
= −
= −
⇔
1 1 1
= −
= −
= −
⇔a2 + b2 + c2 = 3
2
Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 9x+ −y 3x y26+
Giải
Áp dụng bđt Cosi ta có: 3 9x+ y ≥ 2 27 6
xy = (1) 3x + y ≥ 2 3xy = 6 ⇔3x y26 ≤133 ⇔ −3x y26 ≥ −133
Từ (1) và (2) suy ra: P = 3 9x+ −y 3x y26+ ≥ 6 13
3
− ⇔ P = 3 9x+ −y 3x y26+ ≥ 53 Vậy MinP = 5
3 khi 3xy x==3y⇔x y==1(3x>0)
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4 x+3 với x > 0
Trang 4Với x > 0, ta có:
2
2
2 2
1
2 (2 )
1 2
1
2 min 2014
4
2 1 0
x
x x
x x
x x
x
+
−
+
− =
1 2 + 2 3 + 3 4 + + 120 121
B = 1 1 1
Chứng minh rằng: B > A
Giải
1 2 + 2 3 + 3 4 + + 120 121
=
(1 12 1)( 2 2) ( 2 23)( 32 3) ( 120 120121)( 121120 121)
= 1 2 2 3 120 121
= 2 1 − + 3 − 2 + + 121 − 120 = - 1 + 11 = 10 (1)
k = k k > k k = + −
Do đó: B = 1 1 1
2 1 2 2 3 3 4 35 36
B
⇒ > − + − + − + − − + 2(− + 1 36) = − + = 2 1 6( ) 10
Từ (1) và (2) suy ra: B > A
Bài 12: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 4
Chứng minh rằng 1 1 1
xy+xz ≥
Giải
Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z)
Trang 5Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
+ ≥ ⇔ + ÷≥ ⇔ + ≥
Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có:
+ ≥ − + ⇔ − + + − + ≥ ⇔ − ÷ ÷ + − ÷ ≥
Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: y = z = 1, x = 2