CD chung minh BDT on thi vao lop 10 rat hay

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) ≥ xy Ta có ( a + b ) ≥ 4ab ; ( b + c ) ≥ 4bc ; ( c + a ) ≥ 4ac ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 64a b c = ( 8abc ) ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 2: 1 + + ≥ (403-1001) a b c 2) Cho x, y, z > x + y + z = CMR:x + 2y + z ≥ 4(1 − x)(1 − y )(1 − z ) 1) Cho a, b, c > a + b + c = CMR: 3) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 4) Cho x ≥ ,y ≥ thỏa mãn x − y = ;CMR: x+y ≥ Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 a + b + c = a3 b3 c3 + + ≥ Chứng minh b+c a+c a+b Giải:  a2 ≥ b2 ≥ c2 Do a, b, c đối xứng,giả sử a ≥ b ≥ c ⇒  a ≥ b ≥ c  b + c a + c a + b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a2 + b2 + c2  a b c  + b2 + c2 ≥  + + = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b 2 a3 b3 c3 + + ≥ Dấu xảy a=b=c= Vậy b+c a+c a+b a2 Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > abcd = 1.Chứng minh : a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10 Giải: Ta có a + b ≥ 2ab 2 c + d ≥ 2cd Do abcd =1 nên cd = 1 (dùng x + ≥ ) ab x Ta có a + b + c ≥ 2(ab + cd ) = 2(ab + Mặt khác: a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) ) ≥ (1) ab         +  ac +  +  bc +  ≥ + + ab   ac   bc  2 2 Vậy a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10 =  ab + Ví dụ 5: Cho số a, b, c, d chứng minh rằng: ( a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd ≤ a + b c + d mà ( a + c ) + ( b + d ) = a + b + 2( ac + bd ) + c + d ( ) ≤ a + b2 + a2 + b2 c2 + d + c2 + d ⇒ (a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 a+b+c a2 b2 c2 ≥ Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: + + b+c a+c b+a Bài giải: b+c a ≥ a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) + b+c a+c a+b b2 c2 ≥ b; ≥ c Tương tự ta có: + + 4 a+c b+a a+b+c a2 b2 c2 ≥ a+b+c ⇒ + + + b+c a+c b+a a+b+c a2 b2 c2 ≥ ⇒ + + (đpcm) b+c a+c b+a a+b+c a2 b2 c2 ≥ Vậy + + b+c a+c b+a 1 Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = Tìm Min A = 2 + xy Bài giải: x +y Với a, b, c > ta có: a+ b 1 ⇔ + ≥ ≥ (a, b > 0) ab a+ b a b a+ b (x + y)2 Mặt khác: x + y ≥ xy => xy ≤ = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 4 A = 2 + 2xy + 2xy ≥ x + y2 + 2xy + 2xy = (x + y)2 + 2xy ≥ + = + = x +y Vậy MinA = x = y = Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≥ 4ab => Bài Cho a, b, c > : abc = 1 1 CMR : + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Hướng dẫn 2 2 Ta có: a + b ≥ 2ab; b + ≥ 2b ⇒ a + 2b + ≥ ( ab + b + 1) 1 ≤ a + 2b + ( ab + b + 1) Tương tự 1 1 1  + + ≤  + + ÷ 2 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a +  ab + b + bc + c + ca + a +  Mặt khác: 1 1 ab b + + = + + =1 ab + b + bc + c + ca + a + ab + b + ab c + abc + ab bca + ab + b 1 1 + + ≤ ⇔ a = b = c =1 => a + 2b + b + 2c + c + 2a + Bài 4: Cho ba số x,y,z dương xyz = ⇒ => CMR : Bài giải Ta có x3 + y + ≥ 3 x3 y = 3xy z + y + ≥ 3 z y = 3zy x + z + ≥ 3 x z = xz Nên vế trái =  xy zy xz 1  + + = 3 + + ÷≥ 3  xy xy zy xz zy xz ÷   Vì xyz = Dấu “ = “ x = y = z Bài 5: Cho số dương a, b, c chứng minh rằng: a3 + b3 b3 c3 a b c + ≥ + + c3 a3 b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a3 b3 b3 c3 c3 + + a3 b3 b3 c3 c3 +1 ≥ a (1) b +1 ≥ b (2) c c (3) 3 a a a Cộng vế theo vế (1) (2) (3) ta có: a3 2( + b Vậy: + +1 ≥ b3 c3 a b c a b c + )+ + + + ) + ≥ 2( + c a b c a b c a a b c ≥ 2( + + ) + b c a a3 b3 c3 a b c + + + + ≥ b c a b c a =3 xy zy xz Bài (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13) Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + ≥3 x y HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x + y + z) Bài 7: (Hải Dương 12 – 13) Cho số dương a, b thỏa mãn Q= 1 + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b 1 + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Hướng dẫn Với a > 0; b > ta có: (a − b)2 ≥ ⇔ a − 2a 2b + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2a 2b 1 ⇔ a + b + 2ab ≥ 2a 2b + 2ab ⇔ a + b + 2ab ≤ 2ab a + b (1) ( ) 1 Tương tự có b + a + 2a 2b ≤ 2ab ( a + b ) (2) Từ (1) (2) ⇒ Q ≤ ab ( a + b ) 1 1 ≤ + = ⇔ a + b = 2ab mà a + b ≥ ab ⇔ ab ≥ ⇒ Q ≤ 2(ab) a b 1 Khi a = b = ⇒ Q = Vậy giá trị lớn biểu thức 2 Vì Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y , tìm giá trị x + y2 nhỏ biểu thức: M = xy Hướng dẫn x2 + y x2 y x y x y 3x = + = + = ( + )+ Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y x y x y x y + ≥2 =1, Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho số dương y ; x ta có 4y x 4y x dấu “=” xảy ⇔ x = 2y x x Vì x ≥ 2y ⇒ y ≥ ⇒ y ≥ = , dấu “=” xảy ⇔ x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy ⇔ x = 2y Vậy GTNN M Bài 9: Hướng dẫn: , đạt x = 2y Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a ≥ 1; b ≥ 4;c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = bc a − + ca b − + ab c − abc Hướng dẫn: Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh xy + xz ≥ 1 11 1 4 HD xy + xz = x  y + z ÷ ≥ x y + z = x − x ( ) ( )   Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b ≥ a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Hướng dẫn 8a + b + b2 4a a = b = 0,5 Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13) −2 xy Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + xy Hướng dẫn: Với x > 0, y > ta có x2 + y 2 ≥ xy ⇔ xy ≤ ⇔ + xy ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 2 + xy + xy −2 xy Do A = + xy = −2 + + xy ≥ −2 + = − Dấu “=” xảy x = y  x > 0, y >  ⇒x= y= Từ  x = y  2 x + y =  2 Vậy A = − x = y = Bài 14: (Quảng nam 12 – 13) Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : Hướng dẫn: + a − 2b + ≥ + a + 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: + ≥ + a + 2b 1 + ≥2 + (1) (bđt Côsi) Ta có: = a +1 b + (a + 1)(b + ) a + 2b + 2 a +1+ b + ≤ (bđt Cô si) ( a + 1)(b + ) ≤ 2 ≥ ⇒ (a + 1)(b + ) (2) 2 + ≥ Từ (1) (2) suy ra: + a + 2b Dấu “=” xảy : a + = b + a + b = ⇔ a = b = 4 Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01) Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết P = ab ab + 2c + bc bc + 2a + ca ac + 2b Hướng dẫn * Vì a + b+ c = 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) ⇒ 1 1 > > áp dụng cosi ta có + ≥ a+c b+c a+c b+c 1 ⇒ a + c = b + c ⇒a = b = dấu (=) ⇔ (a + c)(b + c) a+c b+c 1 1 hay (c + a)(c + b) ≤ ( c + a + c + b ) a ; b ; c > nên ⇒ ab = 2c + ab ab  ab ab  (1) dấu ⇔ a = b ≤  +  ( c + a ) ( c + b)  c + a c + b  bc  cb bc  ≤  +  (2) dấu ⇔ b = c bc + 2a  a + b a + c  ac  ca ca  ≤  +  (3) dấu ⇔ a = c 2b + ca  c + b b + a  Tương tự: cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca ab ab cb cb ac ac + + ≤ ( + + + + + ) ab + 2c bc + 2a ca + 2b c + a c + b b + a c + a b + a c + b cb ab ac cb ac   ab ⇒ P ≤ ( + )+( + )+( + b+c c+b a + b a + b   c+a c+a  (a + c ).b a.(b + c) c.(b + a )  1 + + = ( a + b + c ) = = =   b+c a+b  2  c+a ab bc ca + + ⇒ P= ≤ dấu ⇔ a = b = c = ab + 2c bc + 2a ca + 2b Vậy P = a = b = c = ⇒ : P= Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca + + c + ab a + bc b + ca Hướng dẫn: Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c (Do c > 0) Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) a b + ab ab Do = ≤ a + c b + c (Cô – si) c + ab (b + c)(c + a) c a b c + + ca bc Tương tự: ≤ c+a a +b ≤ b+c c+a ; b + ca a + bc a +c b+c a+b + + Vậy P ≤ a + c b + c a + b = 2 Do đó: MinP = 3/2, xảy a = b= c = 1/2 Bài 17: (Hà Nội 11 – 12) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + Hướng dẫn + 2011 4x 1 + 2011 = x − x + + x + + 2010 4x 4x = (2 x − 1) + ( x + ) + 2010 4x 1 Vì (2 x − 1) ≥ x > ⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x 4x 1 ≥ x = = 4x  M = (2 x − 1) + ( x + ) + 2010 ≥ + + 2010 = 2011 4x  x=    x =  2 x − =    1      M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy   x = x ⇔  x = ⇔   x = ⇔ x = 2     x > x >     x = −    x > Vậy Mmin = 2011 đạt x = M = x − 3x + Bài 18 (Hải Dương 11 – 12) Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + x + yz y + y + zx z + 3z + xy Hướng dẫn Từ ( x − yz ) ≥ ⇔ x + yz ≥ 2x yz (*) Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) ≥ x(y + z) + 2x yz Suy 3x + yz ≥ x(y + z) + 2x yz = x ( y + z ) (Áp dụng (*)) x + 3x + yz ≥ x ( x + y + z ) ⇒ x ≤ x + 3x + yz x (1) x+ y+ z y y z z ≤ ≤ (2), (3) y + 3y + zx x+ y+ z z + 3z + xy x+ y+ z x y z Từ (1), (2), (3) ta có x + 3x + yz + y + 3y + zx + z + 3z + xy ≤ Tương tự ta có: Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 19: Cho số a, b, c lớn 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c + + b−5 c−5 a−5 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: a − > , b − > , c − > Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: Q= a + b − ≥ a (1) b −5 b + c − ≥ b (2) c −5 c + a − ≥ c (3) a −5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q ≥ 5.3 = 15 Dấu “=” xẩy ⇔ a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 ⇔ a = b = c = 25