MỘT số vấn đề cơ bản về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– PHẠM THỊ HIỀN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Hà Nội 10 - 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– PHẠM THỊ HIỀN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ Chuyên nghành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Dương Quốc Việt Hà Nội - 2003 Lời nói đầu Dãy số nội dung hay khó, nhà toán học nghiên cứu từ lâu Các vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số Nó không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, thường xuất toán dãy số Ngay chương trình sách giáo khoa phổ thông dãy số phần quan trọng đề cập nhiều Để đáp ứng cho việc giảng dạy lâu dài quan trọng toán dãy số, luận văn này, tác giả xin tập trung vào nghiên cứu số chủ đề dãy số, thể ba chương sau đây: Chương 1: Dãy số số dãy truy hồi bản, trình bày khái niệm số tính chất dãy số, số dãy truy hồi bản, hệ thống tập chương Chương 2: Phương pháp sử dụng hàm sinh, trình bày phương pháp dùng hàm sinh đa thức, dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống tập chương Chương 3: Những tổng vô hạn biểu diễn qua hàm đại số, trình bày tiêu chuẩn cho tổng biểu diễn qua biểu thức hữu tỉ, biểu thức đại số, hệ thống tập chương Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy vấn đề đề cập luận văn rộng lớn mà khuôn khổ luận văn thể phần Tuy nhiên vấn đề trình bày luận văn kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận vấn đề sau Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Dương Quốc Việt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tác giả xin cảm ơn thầy cô hội đồng phản biện có ý kiến đóng góp cho tác giả.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô khoa ToánTin trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô tổ Đại số lý thuyết số nhiệt tình dạy dỗ, truyền thụ kiến thức cho tác giả thời gian học tập trường Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2013 Học Viên Phạm Thị Hiền Mục lục Dãy số số dãy truy hồi 1.1 1.2 1.3 Định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các định lý dãy số Một số dãy truy hồi 1.2.1 Dãy afine 1.2.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số 1.2.3 Phương pháp sai phân phương trình sai phân 10 1.2.4 Dãy truy hồi dạng un+1 = f (un ) 15 Bài tập 16 Phương pháp sử dụng hàm sinh 17 2.1 Dùng hàm sinh đa thức 17 2.2 Dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa vô hạn 18 2.3 Bài tập 19 Những tổng hữu hạn biểu diễn qua hàm đại số 3.1 20 Tiêu chuẩn cho tổng không biểu diễn qua biểu thức hữu tỉ 21 3.2 Tiêu chuẩn cho tổng không biểu diễn qua biểu thức đại số 22 3.3 Bài tập 22 Tài liệu tham khảo 24 Chương Dãy số số dãy truy hồi Trong chương này, tác giả trình bày kiến thức mở đầu dãy số định nghĩa số tính chất liên quan, số dãy truy hồi dãy afine, dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng, dãy số dạng un+1 = f (un ) Cuối hệ thống tập chương 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất dãy số Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số từ N∗ (hoặc N) vào tập hợp số (N, Q, R, C) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , sn , yn thay u(n), v (n), x(n), y (n) Bản thân dãy số ký hiệu (xn ) Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.2 Dãy số (xn ) gọi dãy tăng (giảm) với n ta có xn+1 xn (xn+1 xn ) Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy số đơn điệu Dãy số (xn ) gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ∈ N ta có xn M Dãy số (xn ) gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ∈ N ta có xn ≥ m Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy số bị chặn Dãy số (xn ) gọi tuần hoàn với chu kỳ k xn+k = xn với n ∈ N Dãy số tuần hoàn với chu kỳ gọi dãy Định nghĩa 1.3 Ta nói dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với ε > 0, tồn số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số (xn ) ε) cho với n > No ta có |xn − a| < ε Ta nói dãy số (xn ) dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số xn M ) cho với n > No ta có |xn | > M Định nghĩa 1.4 Dãy (xn ) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃No ∈ N: ∀m, n > No , |xm − xn | < ε Định nghĩa 1.5 Dãy số (xn ) gọi cấp số cộng tồn d ∈ R cho: ∀n ∈ N, xn+1 = xn + d Số d gọi công sai cấp số cộng, x0 số hạng đầu, xn số hạng thứ n + Ta có công thức sau: xn = x0 + nd; Sn = x0 + x1 + + xn−1 = n(x0 + xn−1 )/2 Định nghĩa 1.6 Dãy số (xn ) gọi cấp số nhân tồn q cho: ∀n ∈ N, xn+1 = qxn Số q gọi công bội cấp số nhân, x0 số hạng đầu,xn số hạng thứ n + Ta có công thức sau: xn = q n x0 ; Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 = qn − x0 q−1 Nếu |q| < (xn ) gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn tính theo công thức : S= 1.1.2 x0 1−q Các định lý dãy số Định lí 1.7 (Tổng, hiệu, tích, thương dãy hội tụ) Nếu (xn ), (yn ) dãy hội tụ có giới hạn tương ứng a b dãy số (xn + yn ), xn a ) hội tụ có giới hạn tương ứng a + b, a−b, a.b, yn b (Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) (xn −yn ), (xn yn ) ( Định lí 1.8 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn l, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a xn b a l b Định lí 1.9 (Định lý kẹp) Cho ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) Trong xn , zn có giới hạn hữu hạn a, N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn có giới hạn a yn zn Khi yn Định lí 1.10 (Dãy đơn điệu) Một dãy tăng bị chặn hay dãy giảm bị chặn hội tụ Nói ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ Định lí 1.11 (Về dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực (an ), (bn ) cho: a) ∀n ∈ N, an bn ; b) ∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]; c)bn − an → n → ∞ Khi tồn số thực a cho ∩[an , bn ] = {a} Định lí 1.12 (Bolzano Veierstrass) Từ dãy bị chặn trích dãy hội tụ 1.2 Một số dãy truy hồi Các toán dãy số thường đa dạng phức tạp Dưới xem xét số dạng dãy số đặc biệt nghiên cứu tính chất chúng Tuy nhiên, ta sử dụng hai nguyên lý chung để giải toán dãy số là: Viết số hạng dãy số tổng quát hóa toán 1.2.1 Dãy afine Định nghĩa 1.13 Dãy afine dãy (un )n trường K xác định bởi: un+1 = aun + b với a b phần tử K Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t1 ; t = t2 dễ thấy {(tn1 ), (tn2 )} sở Da,b nên nghiệm tổng quát (1.3) un = xtn1 + ytn2 , ∀n ∈ N; x, y ∈ R Trường hợp 2: Nếu (1.2) có nghiệm kép t1 = t2 = t (1.3) có ngiệm tổng quát là: un = (x + yn)tn Trường hợp 3: Nếu (1.2) có nghiệm phức t = c + i.d, ta đặt: d −π π c2 + d2 , tan θ = , θ ∈ ( ; ) c 2 r = |λ| = Lúc t = r(cos θ + i sin θ) nghiệm tổng quát (1.3) là: un = rn (x cos nθ + y sin nθ) Chú ý: x y xác định biết u0 , u1 1.2.3 Phương pháp sai phân phương trình sai phân Định nghĩa 1.16 Sai phân cấp hàm số un (Đặt un = u(n)) đại lượng: ∆un = un+1 − un Sai phân cấp k hàm số u(n) sai phân cấp (k − 1) hàm số đó: ∆k un = ∆k−1 un+1 − ∆k−1 un Sai phân có tính chất sau: Mệnh đề 1.17 Sai phân cấp biểu thị theo giá trị hàm số Hơn nữa: k i k (−1) Cni un+k−i ∆ un = i=0 10 Mệnh đề 1.18 Sai phân cấp hàm số toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.19 Sai phân cấp số Mệnh đề 1.20 (Sai phân đa thức) Sai phân cấp k đa thức bậc m đa thức bậc (m − k ) k < m, số k = m k > m Mệnh đề 1.21 (Tổng sai phân) k ∆k un = ∆k−1 uN +1 − ∆k−1 ui n=i Nhận xét 1.22 Từ mệnh đề 1.23 ta có phép thử để nhận dãy số có số hạng tổng quát dạng đa thức tìm số hạng tổng quát dãy số Phương trình sai phân dãy truy hồi tuyến tính hệ số Định nghĩa 1.23 Phương trình sai phân tuyến tính bậc k hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp tới k : f (un , ∆un , , ∆k un ) = Ta biết rằng, sai phân cấp biểu thị theo giá trị hàm số nên ta có dạng khác phương trình sai phân tuyến tính bậc k là: a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = f (n) (1.4) a0 , , ak hệ số hằng, a0 = f (n) biểu thức biết Nếu f (n) = 0, ta có phương trình: a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = (1.5) gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k , trường hợp f (n) = ta gọi phương trình sai phân tuyến tính không Ta có khái niệm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính: 11 - Hàm số (hay dãy) un phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.4) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính không (1.4) - Hàm số u˜n phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.5) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (1.5) - Một nghiệm cụ thể uˆn thỏa mãn (1.4) gọi nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính không (1.4) Giải phương trình sai phân tuyến tính tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính hai việc làm gần tương đồng Xét toán: Tìm số hạng tổng quát dãy số:   u0 = α0 , , u k−1 = αk−1 u n+k = a0 un+k−1 + + ak−1 un + f (n), ∀n ≥ với f (n) biểu thức biết n , i = 0, k − số Giải toán tương đương với việc giải phương trình sai phân tuyến tính không bậc k với điều kiện ban đầu u0 = α0 , , uk−1 = αk−1 Để giải phương trình sai phân ta giải phương trình sai phân tương ứng: un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.24 Tập hợp U tất dãy thỏa mãn phương trình: un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un không gian véctơ k chiều Phương trình: λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân nhất: un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un , vào nghiệm phương trình đặc trưng tìm sở không gian nghiệm dựa vào mệnh đề sau: 12 Mệnh đề 1.25 Nếu phương trình λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = có k nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , , λk không gian nghiệm U phương trình un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un có sở {(λn1 ), , (λnk )} Mệnh đề 1.26 Nếu phương trình λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = có nghiệm λ1 bội s s dãy (λn1 ), (nλn1 ), , (ns−1 λn1 ) thuộc không gian nghiệm U phương trình un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un Nhận xét 1.27 Xét trường số phức C , phương trình đặc trưng có đủ k nghiệm tính nghiệm bội, việc thay s dãy (λni ), (nλni ), , (ns−1 λni ) nghiệm λi bội s, ta tìm sở tường minh không gian nghiệm U giải phương trình sai phân tuyến tính Với phương trình sai phân tuyến tính không ta tìm nghiệm tổng quát dựa vào mệnh đề sau: Mệnh đề 1.28 Nếu u˜n nghiệm tổng quát phương trình: a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = (1.5) uˆn nghiệm riêng phương trình: a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = f (n) (1.4) un = u˜n + uˆn nghiệm tổng quát (1.4) Vậy ta có lời giải cho toán tìm SHTQ ban đầu cách giải phương trình sai phân tuyến tính không với bước: - Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát u˜n phương trình sai phân tuyến tính tương ứng cách giải phương trình đặc trưng - Bước 2: Tìm nghiệm riêng uˆn phương trình sai phân tuyến tính không - Bước 3: Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính không có dạng un = u˜n + uˆn 13 - Bước 4: Căn vào số hạng ta tìm SHTQ dãy (un ) Dựa vào việc tìm nghiệm phương trình sai phân ta tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp sau Phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp dựa vào sai phân Bài toán: Tìm số hạng tổng quát dãy số un+2 = aun+1 + bun , ∀n ≥ Trong a b số thực + Giải phương trình đặc trưng tương ứngđể tìm t: t2 − at − b = (1.2) + Tìm nghiệm tổng quát phương trinh tương ứng: un+2 − aun+1 − bun = (1.3) Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t1 ; t = t2 dễ thấy {(tn1 ), (tn2 )} sở Da,b nên nghiệm tổng quát (1.3) un = xtn1 + ytn2 , ∀n ∈ N; x, y ∈ R Trường hợp 2: Nếu (1.2) có nghiệm kép t1 = t2 = t (1.3) có ngiệm tổng quát là: un = (x + yn)tn Trường hợp 3: Nếu (1.2) có nghiệm phức t = c + i.d, ta đặt: r = |λ| = d −π π c2 + d2 , tan θ = , θ ∈ ( ; ) c 2 Lúc t = r(cos θ + i sin θ) nghiệm tổng quát (1.3) là: un = rn (x cos nθ + y sin nθ) Chú ý: x y xác định biết u0 , u1 14 Ví dụ 1.29 Tính số hạng tổng quát dãy số (un ), biết: u0 = a > 0; u1 = b > 0; un+2 = 2un un+1 , ∀n ≥ un + un+1 Ví dụ 1.30 Tính số hạng tổng quát dãy số (un ), biết: u0 = 1; un+1 = 2un + 3u2n − 2, ∀n ≥ Ví dụ 1.31 Tìm số hạng tổng quát dãy: √  +  u = 2, u =  un+2 = un+1 − un , ∀n ≥ 1.2.4 Dãy truy hồi dạng un+1 = f (un ) Dãy số hoàn toàn xác định biết f giá trị ban đầu x0 Sự hội tụ dãy số phụ thuộc vào tính chất hàm số f (x) x0 Giả sử f : D → D ánh xạ cho trước u0 ∈ D f đơn điệu tăng D Do un+1 − un = f (un ) − f (un−1 ), nên (un+1 − un ) dấu với (un − un−1 ) (un+1 − un ) dấu với (u1 − u0 ) Từ đó, u0 ≤ u1 (un ) dãy tăng; u0 ≥ u1 (un ) dãy giảm f đơn điệu giảm D Lúc ánh xạ tích f = f ◦ f hàm tăng D Từ đó, u0 ≤ u2 dãy (u2n ) dãy tăng (u2n+1 ) dãy giảm; u0 ≥ u − dãy (u2n ) dãy giảm (u2n+1 ) dãy tăng f liên tục D D đóng R Khi (un ) hội tụ a a ∈ D a nghiệm phương trình f (x) = x Đặc biệt Nếu hàm f thỏa mãn : |f (u) − f (v )| ≤ q|u − v|, ∀u, v ∈ D; < q < 1, dãy (un ) hội tụ giới hạn dãy số nghiệm phương trình f (x) = x 15 Ví dụ 1.32 Hãy khảo sát dãy số (un ) với u0 = 1, un+1 = un u2n +1 , ∀n ∈ N Ví dụ 1.33 Cho a > cố định, xét dãy (an ) xác định sau: a1 > 0, an+1 = an a2n + 3a , ∀n ∈ N 3a2n + a Tìm tất số a1 cho dãy số hội tụ tìm giới hạn dãy Ví dụ 1.34 Hãy khảo sát dãy số (un ) với u0 = a > 0, un+1 = 1.3 b2 (un + ), b > 0, ∀n ∈ N un Bài tập 16 Chương Phương pháp sử dụng hàm sinh Cho dãy số hữu hạn hay vô hạn u0 , u1 , u2 , , un , chuỗi lũy thừa hữu hạn hay vô hạn f (t) = u0 + u1 t + · · · + un tn + · · · gọi hàm sinh dãy số cho Để hình dung rõ phương pháp này, trước hết xem xét trường hợp hàm sinh đa thức 2.1 Dùng hàm sinh đa thức n (Cnk )2 = C2nn Ví dụ 2.1 Chứng minh k=0 Ví dụ 2.2 Chứng minh v +1 v−k+1 Cnk Cm = k=0 m+n v C với v + ≤ min{m, n} v + m+n−1 n Cnk Ckm Ví dụ 2.3 Cho số nguyên dương m ≤ n Tính tổng k=m 17 2.2 Dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa vô hạn Phép màu hàm sinh nằm chỗ ta chuyển phép toán thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tương ứng chúng Cơ sở lí thuyết phương pháp vành A = R[[x]] chuỗi an xn với phép cộng lũy thừa hình thức trường số thực R có dạng n≥0 n bn xn an x = phép nhân chuỗi thông thường Đặc biệt n≥0 n≥0 n an = bn ∀n ∈ N, u = an x khả nghịch A a0 = Hơn n≥0 tìm u giống làm tronh Toán Giải tích, phần tử xn − x nghịch đảo n≥0 Việc sử dụng hàm sinh vào toán tìm số hạng tổng quát dãy số thực sau: Giả sử cần tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức truy hồi Ta thiết lập hàm sinh F (x) (un ) Dựa vào hệ thức truy hồi, tìm phương trình cho F (x), giải phương trình, tìm F (x) Khai triển F (x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm (un ) với n Ví dụ 2.4 Tìm số hạng tổng quát dãy Fibonacci (fn ) xác định bởi: f0 = f1 = 1; fn+2 = fn+1 + fn , ∀n ≥ Ví dụ 2.5 Tính tổng k≥0 k , n−k u v = u < v v < Ví dụ 2.6 Có n(n > 1) thí sinh ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có cách phát đề cho hai thí sinh ngồi cạnh có đề khác nhau, biết ngân hàng đề có m(m > 1) đề đề có nhiều 18 2.3 Bài tập 19 Chương Những tổng hữu hạn biểu diễn qua hàm đại số n Vấn đề tính tổng riêng hữu hạn S (n) = ui dãy số (un )n≥1 thường i=1 hay gặp nhiều Toán học Sơ cấp Mặc dù có nhiều công cụ hỗ trợ, hầu hết tổng không tính Những người có kinh nghiệm nhìn vào tổng, trước hết họ cảm nhận tổng có khả tính hay không Cảm nhận có từ đâu? n ui , tìm biểu thức giải tích S (n) Thực chất việc tính tổng i=1 n biến số tự nhiên n lớp biểu thức có để S (n) = ui Chẳng hạn i=1 biết n i= i=1 n(n + 1) n (2i − 1) = n2 , ; i=1 Thế thì, hầu hết tổng không tính chưa tính được, biểu 20 thức S (n) không nằm lớp biểu thức quen thuộc 3.1 Tiêu chuẩn cho tổng không biểu diễn qua biểu thức hữu tỉ Chỉ trừ học sinh phổ thông làm quen với việc tính tổng hữu hạn dãy số, lại dại dột đeo đuổi việc tính tổng: n i=1 i n ; (−1)i i=1 i n ; k=1 (a = 0) ak + b Việc không nên làm biểu thức hữu tỉ biểu diễn tổng Nguyên nhân lý giải qua tiêu chuẩn đơn giản sau: Định lí 3.1 Biểu thức f (x) với biến nguyên dương x biểu thức phân thức hữu tỉ điều kiện sau xảy ra: f (x) =0 x→∞ x (i) lim f (x) = ∞, lim x→∞ (ii) lim f (x) = 0, lim xf (x) = ∞ x→∞ x→∞ (iii) f (x) nhận giá trị hữu tỉ với x lim f (x) số vô tỉ x→∞ n Ví dụ 3.2 Biểu thức biến số nguyên dương n: f (n) = i=1 i biểu thức hữu tỉ n Ví dụ 3.3 Biểu thức biến số nguyên dương n: g (n) = i=1 (−1)i i biểu thức hữu tỉ Ví dụ 3.4 Chứng minh biểu thức với số nguyên dương n f (n) = k=1 1 + − ; x ∈ Z; x = −1, −2, x + 2k − x + 2k x + k biểu thức hữu tỉ 21 3.2 Tiêu chuẩn cho tổng không biểu diễn qua biểu thức đại số Bây ta bàn đến loại tổng khác n n ; i=1 i i=1 ; i! n n ; i=1 i i=1 (−1)i i! Tất nhiên, không nên đặt vấn đề tính tổng này, thực tế biểu thức đại số trường hữu tỉ biểu diễn chúng Ta biết biểu thức f (x) với biến x gọi biểu thức đại số trường K tồn dạng đa thức P0 (x), P1 (x), , Pn (x) K, không đồng thời để n Pi (x)[f (x)]i = i=0 Các biểu thức tạo lên từ biến x với phần tử Q thông qua phép toán số học, phép khai biểu thức đại số Q Dựa vào điều ta rút tính chất quan trọng sau: Định lí 3.5 Nếu biểu thức f (x) với biến x có lim f (x) số siêu việt x→∞ f (x) biểu thức đại số Q n Ví dụ 3.6 Biểu thức biến số nguyên dương n: h(n) = k=1 k! biểu thức đại số Q n Ví dụ 3.7 Biểu thức biến số nguyên dương n: g (n) = k=1 biểu thức đại số Q 3.3 Bài tập 22 k2 Kết luận Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu số vấn đề dãy số bao gồm: Chương 1: Dãy số số dãy truy hồi bản, trình bày khái niệm số tính chất dãy số, số dãy truy hồi Hệ thống số tập lời giải Chương 2: Trình bày phương pháp dùng hàm sinh đa thức, dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống số tập lời giải Chương 3: Trình bày tiêu chuẩn cho tổng biểu diễn qua biểu thức hữu tỉ biểu thức đại số Hệ thống số tập lời giải 23 Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục Việt Nam, (2011) [2] Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học - Chuyên đề 2: Số học dãy số, NXB Giáo dục, (2008) [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên toán - Chuyên đề chọn lọc: Dãy số áp dụng, NXB Giáo dục, (2008) [4] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp, NXB Đại học sư phạm, (2007) [5] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Lê Văn Đính, Bài tập đại số sơ cấp phần số nguyên lý bản, NXB Đại học sư phạm, (2012) [6] Jean-Marie Monier, Đại số 2, NXB Giáo dục Việt Nam, (2009) [7] W J Kaczkor, M T Nowak, Đoàn Chi (Biên dịch), Bài tập giải tích: Số thực - Dãy số chuỗi số, NXB Đại học sư phạm, (2003) 24 [...]... dụ 3.7 Biểu thức của biến số nguyên dương n: g (n) = k=1 một biểu thức đại số trên Q 3.3 Bài tập 22 1 k2 không phải là Kết luận Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu một số vấn đề cơ bản của dãy số bao gồm: Chương 1: Dãy số và một số dãy truy hồi cơ bản, trình bày khái niệm và một số tính chất về dãy số, một số dãy truy hồi cơ bản Hệ thống một số bài tập cùng lời giải Chương 2: Trình bày phương pháp... u0 ≤ u2 thì dãy con (u2n ) là một dãy tăng và (u2n+1 ) là một dãy giảm; nếu u0 ≥ u − 2 thì dãy con (u2n ) là một dãy giảm và (u2n+1 ) là một dãy tăng f liên tục trên D và D là đóng trong R Khi đó nếu (un ) hội tụ về a thì a ∈ D và a là nghiệm của phương trình f (x) = x Đặc biệt Nếu hàm f thỏa mãn : |f (u) − f (v )| ≤ q|u − v|, ∀u, v ∈ D; 0 < q < 1, thì dãy (un ) hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm... một của hàm số un (Đặt un = u(n)) là đại lượng: ∆un = un+1 − un Sai phân cấp k của hàm số u(n) là sai phân cấp (k − 1) của hàm số đó: ∆k un = ∆k−1 un+1 − ∆k−1 un Sai phân có những tính chất cơ bản sau: Mệnh đề 1.17 Sai phân mọi cấp đều có thể biểu thị theo các giá trị của hàm số Hơn nữa: k i k (−1) Cni un+k−i ∆ un = i=0 10 Mệnh đề 1.18 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính Mệnh đề. .. 2.6 Có n(n > 1) thí sinh ngồi xung quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách phát đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau luôn có đề khác nhau, biết rằng trong ngân hàng đề có đúng m(m > 1) đề và mỗi đề có nhiều bản 18 2.3 Bài tập 19 Chương 3 Những tổng hữu hạn không thể biểu diễn được qua các hàm đại số n Vấn đề tính tổng riêng hữu hạn S (n) = ui của một dãy số (un )n≥1 thường i=1 hay gặp nhiều trong... hằng số bằng 0 Mệnh đề 1.20 (Sai phân của đa thức) Sai phân cấp k của đa thức bậc m là đa thức bậc (m − k ) nếu k < m, là hằng số nếu k = m và bằng 0 nếu k > m Mệnh đề 1.21 (Tổng các sai phân) k ∆k un = ∆k−1 uN +1 − ∆k−1 ui n=i Nhận xét 1.22 Từ mệnh đề 1.23 ta có một phép thử để nhận ra các dãy số có số hạng tổng quát dạng đa thức và tìm ra số hạng tổng quát của dãy số đó Phương trình sai phân và dãy. .. thống một số bài tập cùng lời giải Chương 3: Trình bày về tiêu chuẩn cho những tổng không thể biểu diễn được qua các biểu thức hữu tỉ và biểu thức đại số Hệ thống một số bài tập cùng lời giải 23 Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục Việt Nam, (2011) [2] Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học - Chuyên đề 2: Số học và dãy số, ... toán số học, cùng phép khai căn là các biểu thức đại số trên Q Dựa vào điều này ta rút ra được một tính chất quan trọng sau: Định lí 3.5 Nếu biểu thức f (x) với biến x có lim f (x) là một số siêu việt thì x→∞ f (x) không phải là một biểu thức đại số trên Q n Ví dụ 3.6 Biểu thức của biến số nguyên dương n: h(n) = k=1 1 không phải là k! một biểu thức đại số trên Q n Ví dụ 3.7 Biểu thức của biến số nguyên... khảo sát dãy số (un ) với u0 = 1, un+1 = un u2n +1 , ∀n ∈ N Ví dụ 1.33 Cho a > 0 cố định, xét dãy (an ) được xác định như sau: a1 > 0, an+1 = an a2n + 3a , ∀n ∈ N 3a2n + a Tìm tất cả các số a1 sao cho dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy Ví dụ 1.34 Hãy khảo sát dãy số (un ) với u0 = a > 0, un+1 = 1.3 b2 1 (un + ), b > 0, ∀n ∈ N 6 un Bài tập 16 Chương 2 Phương pháp sử dụng hàm sinh Cho dãy số hữu... biết u0 , u1 14 Ví dụ 1.29 Tính số hạng tổng quát của dãy số (un ), biết: u0 = a > 0; u1 = b > 0; un+2 = 2un un+1 , ∀n ≥ 0 un + un+1 Ví dụ 1.30 Tính số hạng tổng quát của dãy số (un ), biết: u0 = 1; un+1 = 2un + 3u2n − 2, ∀n ≥ 0 Ví dụ 1.31 Tìm số hạng tổng quát của dãy: √  2 + 3  u = 2, u = 0 1 2  un+2 = un+1 − un , ∀n ≥ 0 1.2.4 Dãy truy hồi dạng un+1 = f (un ) Dãy số này hoàn toàn xác định khi biết... Nguyễn Minh Tuấn, Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên toán - Chuyên đề chọn lọc: Dãy số và áp dụng, NXB Giáo dục, (2008) [4] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp, NXB Đại học sư phạm, (2007) [5] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Lê Văn Đính, Bài tập đại số sơ cấp phần một số nguyên lý cơ bản, NXB Đại học sư phạm, (2012) [6] Jean-Marie Monier, Đại số 2, NXB Giáo dục Việt Nam,