KINH NGHIỆM ĐỂ HỌC SINH HỌC TỐT BÀI KHOẢNG CÁCH

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc tính khoảng cách hình không gian, đặc biệt là khoảng cách hai đường chéo nhau. Tài liệu nên chi tiết cụ thể cách thực hiện và phát hiện để học sinh hoàn thành tốt phần này

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT BÀI “KHOẢNG CÁCH” 1- Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng 1.1- Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường ∆ ) Nếu tam giác MAB vuông tại M thì tính độ dài MH thế nào? có thể nhớ lại hệ thức tam giác vuông: 1 = + Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm MH MA2 MB của AB Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy độ dài MH A M M M B H A A H B H B Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ A đến SC Với ví dụ này học sinh không khó khăn việc kẻ AH vuông góc với SC ( H thuộc SC) và nêu hướng tính AH: SO.AC = AH SC Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả S H D C O A B 1.2 - Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng Sau đưa định nghĩa, giáo viên cho ví dụ Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm đường nào Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.Từ đó giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất của mặt phẳng vuông góc Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng việc kẻ đường vuông góc xuống mặt phẳng Học sinh sẽ phát hiện tính chất ( hai mặt phẳng vuông góc với theo giao tuyến d, mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia) Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)" sau: + Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P) + Tìm giao tuyến a của (P) và (Q) + Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a Khi đó d(M;(P)) = MH Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c Tính khoảng cách từ B đến (ACC'A') B C H A D B' A' C' D' GV yêu cầu mỗi học sinh làm bước (theo các bước đã hướng dẫn) + Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD) vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A')) + Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC + Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông góc với (ACC'A') Vậy d(B; (ACC'A')) = BH + BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông 1 ab ABC nên: BH = BA2 + BC → BH = 2 a +b Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Gọi M là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ M đến (SCD) (Yêu cầu mỗi học sinh làm bước) + Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp (Q) chỉ cần vuông góc với đường của (SCD) Trong các đường của (SCD) hiện thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với CD Từ đó hs phát hiện mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay (SNM) vuông S góc với (SCD) + Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN H + Trong (SMN): kẻ MH vuông B góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc với (SCD) Từ đó suy d(M; (SCD)) = MH + MH là chiều cao của tam giác C M N O A D nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có thể đưa hướng tính: SO.MN = MH SN 2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song 2.1- Khoảng cách giữa đường thẳng và một mặt phẳng song song Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD) Hầu học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ A (hoặc B) đến (SCD) Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD) là phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này hình vẽ rất rối Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từ điểm nào tới (SCD)? Qua ví dụ cụ thể học sinh có thể dần hình thành "các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" sau: + Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) + Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q') chứa a và song song với (Q)) + Tìm giao tuyến ( ∆ ) của (P) và (Q) + Trong (Q): kẻ MH ⊥ ∆ (H∈ ∆ ) Khi đó MH ⊥ (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách ví dụ nên đổi thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ A hay B đến (SCD) Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa AB’ và mp (A'C'D) B C I A D B' C' H A' O D' Yêu cầu mỗi hs l àm bước: + Tìm mp vuông góc với (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’ Đó là mp (BDD’B’) Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) Trong mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’) khoảng cách phải tìm là B’H Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O 2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACB') và (A'C'D) B C I A D B' C' H O A' D' + Tìm mặt phẳng vuông góc với (A'C'D): đó là mặt phẳng (BDD'B') (vì (BDD'B') ⊥ A'C') + Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO + Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I + Trong (BDD'B'), kẻ B'H ⊥ DO thì khoảng cách phải tìm là B'H + B'H là đường cao của tam giác B'OD Từ đó có hướng tính: B’H.OD = DD’.B’O LUYỆN TẬP Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a M, N lầ lượt là trung điểm của AB, AC Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’) Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a SA =2a M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Chứng minh rằng MN // (SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS) 3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo Sau đưa định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo (độ dài đoạn vuông góc chung) Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA =a Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm mp (ABC) và không qua A S A D O B C d Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB Của SA và BD đó là AO Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H Khi đó đoạn AH là đoạn vuông góc chung của SA và d Một cách tổng quát, muốn dựng đoạn vuông góc chung hai đường chéo và vuông góc với làm thế nào? 3.1- Nếu hai đường chéo a và b mà vuông góc với nhau: a M N b P) Yêu cầu hs nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vông góc và chéo nhau? + Tồn tại mp (P) chứa b và vuông góc với a + (P) cắt a tại M + Kẻ MN ⊥ b (N thuộc b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA =a Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC *) Khoảng cách giữa SB và AD - Hai đường này có vuông góc không? tại sao? - Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông góc chung của hai đường + AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ) Từ đó suy có mặt phẳng chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB) S H M A D N O B C + AD cắt (SAB) tai A + Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB + Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB *) Khoảng cách giữa DB và SC + Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC) + (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD + Kẻ OK vuông góc với SC Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD + OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK SC = SA OC 3.2- Nếu hai đường chéo a và b mà không vuông góc với nhau: Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảng cách này Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( đó (P) chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao) S H B C M N O A D Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Tính khoảng cách giữa AB đến SC Trước tiên học sinh kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? Giáo viên hướng dẫn cách kiểm tra Yêu cầu hs đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song Đó là k/c giữa đường AB và (SCD) Bài toán này đã làm ví dụ Kiểm tra học sinh các bước thực hiện loại k/c này Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính k/c giữa AA’ và DB; giữa AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’) - kiểm tra xem hai đường có vuông góc không Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg với (ABCD) Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước Kết quả k/c thứ nhất là AO bằng a 2 - AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O Trong (ACC’) kẻ ON vuông góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD Học sinh dựa vào diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO CC’ a a a Từ đó tính được k/c cần tìm là = a A D N B O C P I A' M H D' C' B' - Hs kiểm tra hai đường AI và C’D’ không vuông góc Cần đổi k/c này thành k/c giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường // với AI để tạo mp - Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM) Yêu cầu hs thực hiện các bước của bài toán này: + Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM) +giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM +Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với (BAPM) Khoảng cách phải tìm là C’H +Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’: a a =a BM C’H= BC MC’ Từ đó suy k/c phải tìm là: a Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 600 Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’ A C H B C' A' B' Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy AB’ có hình chiếu đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600 K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’) Mp( ABC) vuông góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH a a = 2 vuông góc với (BCC’) K/c phải tìm là AH bằng 4-Mở rộng bài toán khoảng cách: - Trong bài toán k/c giữa đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính k/c từ B đến (P) nhiều k/c từ A đến (P) - Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh các trường hợp đặc biệt sau: A A B M P) K H M P) H B K Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB H/s có thể suy được hai k/c bằng (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau) Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có thể suy k/c từ A đến (P) bằng lần k/c từ B đến (P) Vậy từ ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P) Ví dụ 12: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC) Tam giác ABC đều cạnh a SA =2a Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến mp ( SBC) -Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn có thể tính được Kết quả là độ dài a 2a = 19 3a 2 4a + 2a của đoạn AH bằng S H N A I G K C M B Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối Kiểm tra thử xem nó có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm của SB Giả sử IE vuông góc với mp(SBC) Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3 Vậy k/c từ I đến (SBC ) là 2a 19