Bài giảng Cơ học đại cương, Đại học Bách Khoa Hà Nội

§¹i häc ®µ n½ng Tr−êng ®¹i häc B¸ch KHOA khoa s− ph¹m kü thuËt ¶ · bµi gi¶ng c¬ häc ®¹i c−¬ng MÐcanique gÐnÐrale (C¥ Häc vËt r¾n – dao ®éng vµ sãng c¬) dïng cho sinh viªn ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s− chÊt l−îng cao (L¦U HµNH NéI Bé) Biªn so¹n : L£ CUNG Khoa s− ph¹m kü thuËt ®µ n¨ng 2006Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông PHÁÖN I : CÅ HOÜC VÁÛT RÀÕNBaìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Chæång än táûp: MÄÜT SÄÚ KHAÏI NIÃÛM VAÌ ÂËNH LYÏ CÅ BAÍN CUÍA ÂÄÜNG HOÜC VAÌ ÂÄÜNG LÆÛC HOÜC HÃÛ CHÁÚT §1. Håüp váûn täúc Håüp gia täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1). Goüi ( ; O e 1 1 G G x y ,e 1,e Gz1) vaì ( ; O e 2 2 Gx y ,e G G 2,ez2) laì hai hãû toüa âäü Descartes láön læåüt gàõn liãön våïi (R1) vaì (R2). ez2 1) Chuyãøn âäüng tæång âäúi cuía hai hãû quy chiãúu : a) Veïctå quay : Vectå quay Ω R 2 R1 G cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : Ω = R2R1 Ωx2. . e e G G x y 2 + Ω 2 y2 + Ωz2.e Gz2 G våïi : 2 2 2 1 x z ( ) . y R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G Suy ra : 2 2 1 2 1 x R R x R de e dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = Ω × ⎝ ⎠ G G G O2 e y2 ex2 e y1 ez1 ( ) R1 ( ) R2 O1 ex1 2 2 2 1 y x ( ) . z R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G 2 2 1 2 1 y R R y R de e dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = Ω × ⎝ ⎠ G G G 2 2 2 1 z y ( ) . x R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G 2 2 1 2 1 z R R z R de e dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = Ω × ⎝ ⎠ G G G Vectå âàûc træng cho chuyãøn âäüng quay cuía hãû (R2) âäúi våïi hãû (R1) vaì âæåüc goüi laì vectå quay keïo theo. Ω R 2 R1 G b) Træåìng håüp (R2) chuyãøn âäüng tënh tiãún tæång âäúi so våïi (R1) : G Ta coï : Ω = R R 2 1 0 ⇒ 2 1 x 0 R de dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ G ; 2 1 y 0 R de dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ; ⎝ ⎠ G 2 1 z 0 R de dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ G O1 z1 y1 ( ) R1 z2 x2 O2 ( ) R2 x1 y2Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ⇒ Caïc veïctå vaì moüi vectå gàõn liãön våïi hãû quy chiãúu (R2) âãöu laì khäng âäøi trong hãû quy chiãúu (R1). e e x y 2 2 , ,ez G G G 2 Váûn täúc 1 2 2 1 1 ( ) R R dO O v O âàûc træng cho chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía hãû (R2) so våïi hãû (R1). dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJ G G b) Træåìng håüp hãû (R2) quay tæång âäúi xung quanh mäüt truûc cäú âënh cuía hãû (R1): Giaí sæí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh truûc cäú âënh (O1z1) cuía hãû quy chiãúu (R1) vaì giaí sæí O1 = O2, hai truûc (O1z1) vaì (O2z2) truìng nhau. z1= z2 x1 O1 = O2 y1 θ θ ΩR 2 R1 G x2 Vectå quay cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : Ω = R2R1 θ.ez1 G  G Trong âoï : θ = = ( , O O x x 1 2) (Oy1,Oy2) JJJ G JJJ G JJJ G JJJG y2 b) Træåìng håüp täøng quaït : Trong træåìng håüp täøng quaït, chuyãøn âäüng tæång âäúi cuía hãû (R2) cuía so våïi hãû (R1) coï thãø xem laì håüp cuía hai chuyãøn âäüng : • Chuyãøn âäüng tënh tiãún våïi váûn täúc : 1 2 2 1 1 ( ) R R dO O v O dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJ G G • Chuyãøn âäüng quay våïi vectå quay Ω G R2R1 coï phæång chiãöu thay âäøi theo thåìi gian. 2) Âaûo haìm cuía mäüt vectå trong hãû (R1) vaì trong hãû (R2): G Xeït mäüt veïctå U t ( ) phuû thuäüc vaìo thåìi gian t vaì âæåüc mä taí trong cå såí ( , e e Gx y 2 2 G G ,ez 2 ) cuía hãû (R2) nhæ sau : U t ( ) = + U x2 2 .ex y U 2.ey2 + U z2.ez2 G G G G G Âaûo haìm cuía U t ( ) trong hãû (R2) : 2 2 2 2 2 2 . . x z y x y z . 2 R dU dU dU dU e e dt dt dt dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + + ⎝ ⎠ e G G G G Âaûo haìm cuía U t ( ) trong hãû (R1) : G 2 1 1 2 R R R R dU dU U dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + Ω × ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G G G 3) Håüp váûn täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R ). Xeït mäüt âiãøm M chuyãøn âäüng våïi váûn täúc 1 v M G( ) R2 trong hãû quy chiãúu (R2): 2 2 2 ( ) R R dO M v M dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJ G G vaì chuyãøn âäüng våïi váûn täúc v M G( ) R1 trong hãû quy chiãúu (R1) : 1 1 1 ( ) R R dO M v M dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJ G G Âënh lyï håüp váûn täúc : v M G G ( ) 1 R = + ve R ( ) M v M G( ) 2 Trong âoï : v M e R ( ) = + v(O2 ) 1 Ω R2 R1 × O2M G JJJJJ G G G ; 1 1 1 2 2 ( ) R R dO O v O dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJ G G v M Ge ( ) âæåüc goüi laì váûn täúc theo cuía âiãøm M. 4Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Váûn täúc theo cuía âiãøm M, taûi thåìi âiãøm âang xeït, chênh laì váûn täúc trong hãû (R1) cuía âiãøm M gàõn liãön våïi hãû (R2) vaì taûi thåìi âiãøm âang xeït M truìng våïi âiãøm M. M goüi laì truìng âiãøm cuía M taûi thåìi âiãøm noïi trãn : v M Ge ( ) v M Ge R ( ) = v G(M) 1 4) Håüp gia täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1). Xeït mäüt âiãøm M chuyãøn âäüng trong hãû quy chiãúu (R2) våïi gia täúc a M G( ) R2 vaì trong hãû quy chiãúu (R1) våïi gia täúc a M G( ) R1. Âënh lyï håüp gia täúc : a M G G ( ) 1 R = + ae C ( ) M a G ( ) M + a M G( ) R2 Trong âoï : 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 e R ( ) ( ) R R R R ( R R R d a M a O O M O M dt ⎛ ⎞ Ω = + ⎜ ⎟ × + Ω × Ω × ⎝ ⎠ ) G JJJJJ G G G JJJJJ G G G a Ge (M ) âæåüc goüi laì gia täúc theo cuía âiãøm M. Gia täúc theo cuía âiãøm M, taûi thåìi âiãøm âang xeït, chênh laì gia täúc trong hãû (R1) cuía truìng âiãøm M cuía âiãøm M taûi thåìi âiãøm noïi trãn : a M a Ge (M ) Ge R ( ) = a G(M) 1 Vaì : a M C R ( ) = Ω 2 2 R1 × v(M ) R2 G G G a GC (M ) âæåüc goüi laì gia täúc Coriolis cuía âiãøm M. 5) Caïc træåìng håüp chuyãøn âäüng âàûc biãût cuía (R2) âäúi våïi (R1): a) Hãû (R2) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R1) : G y2 y1 O1 = O2 2 θ θ Ω R2R1 G H M = M x2 z1= z Ta coï : Ω = R R 2 1 0 Do âoï : v M Ge R ( ) =v G(O2 ) 1 a M Ge R ( ) = a G(O2 ) 1 a M GC( ) = 0 b) Hãû (R2) quay quanh mäüt truûc cäú âënh cuía (R1) : Giaí sæí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh truûc cäú âënh (O1z1) cuía hãû quy chiãúu (R1) vaì giaí sæí O1 = O2, hai truûc (O1z1) vaì (O2z2) truìng nhau. x1 Vectå quay cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : Ω = R2R1 θ.ez1 G  G Trong træåìng håüp naìy, ta coï : v O G( ) 2 R1 = 0 (do O2 cäú âënh trong R1) v M e z ( ) = × θ.e 1 HM JJJJ G G G  a O G( ) 2 R1 = 0 (do O2 cäú âënh trong R1) 2 a M e z ( ) = × θ θ .e 1 HM − .HM JJJJ G JJJJ G G G   Trong âoï : H laì hçnh chiãúu cuía M trãn truûc quay Oz1 = Oz2 . • Ghi chuï : Gia täúc a M Ge ( ) gäöm hai thaình pháön : Thaình pháön a e τ = × θ . z1 H JJJJ G G  G M vuäng goïc våïi HM (gia täúc tiãúp tuyãún) vaì thaình pháön an = −θ 2.HM JJJJ G G  hæåïng tæì M vãö H (gia täúc hæåïng tám). 5Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông §2. Khäúê læåüng vaì khäúi tám cuía hãû cháút Hãû quy chiãúu khäúi tám : 2) Khäúi læåüng cuía hãû : (dV) M (V) • Xeït mäüt hãû cháút (S) gäöm n cháút âiãøm Mi khäúi læåüng mi. Khäúi læåüng m cuía hãû (S) : i i m m = ∑ • Nãúu hãû (S) laì mäüt táûp håüp vä haûn caïc cháút âiãøm phán bäú liãn tuûc trong thãø têch V, khäúi læåüng m cuía hãû: ( ). V m M = ∫∫∫ ρ dV Våïi : ρ(Μ) laì khäúi læåüng riãng cuía phán täú thãø têch dV cuía hãû bao quanh âiãøm M (khäúi læåüng cuía phán täú dV: dm = ρ( ) M .dV ). • Hãû goüi laì âäöng nháút nãúu nhæ khäúi læåüng riãng ρ = hàòng säú vaì khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm M. 2) Khäúi tám (Quaïn tám) : Xeït mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi træåìng ngoaìi bao quanh hãû) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi. Goüi O laì mäüt âiãøm báút kyì. Khäúi tám G cuía hãû (S) âæåüc xaïc âënh båíi : JJJJ JJJ . i. i m OG = ∑m OM i K J G våïi : i i m m = ∑ Nãúu choün O åí G: O ≡ G thç : i. 0 i i ∑m GM = JJJJJ G Ghi chuï : • 2 JJJK G G Giaí sæí hãû (S) bao gäöm tæì hai hãû (S1) vaì (S2) láön læåüt coï khäúi tám laì G1 vaì G2, coï khäúi læåüng laì m 1 vaì m2, khäúi tám chung G cuía hãû (S) âæåüc xaïc âënh båíi : JJJJ JJJJ ( ) m m 1 2 + = .OG m1.OG m 1 + 2.OG • Khi mäüt hãû laì âäöng nháút vaì coï mäüt pháön tæí âäúi xæïng (màût âäúi xæïng, truûc âäúi xæïng..), khäúi tám G cuía hãû seî nàòm trãn pháön tæí âäúi xæïng naìy. 3) Hãû quy chiãúu khäúi tám: Chuyãøn âäüng cuía hãû cháút (S) âæåüc nghiãn cæïu trong hãû quy chiãúu (R). Hãû quy chiãúu khäúi tám (R), tæång æïng våïi hãû quy chiãúu (R), laì hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi khäúi tám G cuía hãû cháút (S) vaì chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc v G G( ) R . z O y (R) y z x G (R) x Khi âoï, theo âënh lyï håüp váûn täúc vaì håüp gia täúc, ta coï: v M G G ( ) R R = v (G) + v M G( ) våïi : v M G( ) = v M G( ) R a M G G ( ) R R = + a(G) a M G( ) våïi : a M G G ( ) = a M ( ) R Chæïng minh: Do hãû (R) chuyãøn âäüng tënh tiãún trong hãû (R), nãn: v M Ge R ( ) = v G(G) ; a M G G e R ( ) = a(G) ; a M GC ( ) = 0 6Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Thãú maì: v M G G ( ) R = + ve R ( ) M v M G( ) ⇒ v M G G ( ) R R = v (G) + v M G( ) Vaì : a M G G ( ) R = + ae C ( ) M a G ( ) M + a M G( ) R ⇒ a M G G ( ) R R = + a(G) a M G( ) §3. Âäüng læåüng vaì momen âäüng læåüng cuía mäüt hãû cháút: 1) Âäüng læåüng : a) Âënh nghéa : Xeït hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi , coï váûn täúc v Gi trong hãû quy chiãúu (R). Âäüng læåüng P cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : G i. i i P m G = ∑ v G Cuîng coï thãø viãút: i i i i ( ) i i dOM d d P m m OM mOG dt dt dt ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ∑ ∑ ⎝ ⎠ JJJJJ G G JJJJJ G JJJG ⇒ P m = . ( v G) G G våïi : i i m m = ∑ b) Âäüng læåüng trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) : Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R), khäúi tám G laì âiãøm cäú âënh Váûn täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) : ⇒ v G G( )= 0 ⇒ Âäüng læåüng P G cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) : P m . = = v(G) G G 0 2) Momen âäüng læåüng : a) Âënh nghéa : Xeït mäüt hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi, coï váûn täúc v Gi trong hãû quy chiãúu (R). Momen âäüng læåüng L0 G cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : 0 i i i L O = ∑ M × m G JJJJJ G Gvi b) Âënh lyï Koenig vãö momen âäüng læåüng : • Momen âäüng læåüng L G0 cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : L O 0 = × G mv( ) G + LG G JJJG G G våïi : : Momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy chiãúu (R); G laì khäúi tám cuía hãû; : Váûn täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). LG G v G G( ) • Suy ra, momen âäüng læåüng L GG cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : L G G G = × G mv( ) G + L G G JJJG G ⇒ LG G = L G G 3) Mämen âäüng læåüng khäúi tám: Momen âäüng læåüng cuía mäüt hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm tênh toaïn. 7Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Tháût váûy, goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, L GA laì momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm A trong hãû quy chiãúu (R), v Gi laì váûn täúc cuía âiãøm Mi trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R), ta coï: A i i i ( i ) i i ( i i ) ( i i i ) i i i i L G = × ∑ ∑ JJJJ AM m J G v G G = J A JJ G G + G JJJJ MJ G × m v = J A JJ G G ×∑ m v G + ∑ G JJJJ M m J G × v G Båíi vç: ( i i) i P m G = = ∑ v G 0 Suy ra: LA G = L G G 4) Momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt truûc : Hçnh chiãúu cuía momen âäüng læåüng L G0 cuía hãû cháút (S) âäúi våïi âiãøm O, trãn truûc ∆ âi qua O âæåüc goüi laì momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi truûc ∆. L L ∆ = 0.e G G ∆ våïi : e ∆ G veïctå âån vë cuía truûc ∆ §4. Täøng âäüng læûc vaì mämen âäüng læûc cuía mäüt hãû cháút : 1) Täøng âäüng læûc: Xeït hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi , coï gia täúc a Gi trong hãû quy chiãúu (R). • Täøng âäüng læûc S cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R): G i i i S G = ∑ m a G • Tæång tæû nhæ âäüng læåüng, ta coï: S m = a(G) G G våïi : i i m m = ∑ Chæïng minh: i i i i ( ) G ( ) i i dv d d S m m v mv ma G dt dt dt ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = = ∑ ∑ ⎝ ⎠ G G G G G • Giæîa täøng âäüng læûc S vaì âäüng læåüng G GP coï hãû thæïc: S dP dt = G G 2) Momen âäüng læûc: • Momen âäüng læûc DO cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R): G O i i i D G =∑OM JJJJ J G×mia G • Tæång tæû momen âäüng læåüng, cuîng coï âënh lyï Koenig vãö momen âäüng læûc: DO G = × OG ma( ) G + D G G JJJG G G GD : momen âäüng læûc cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R); G laì khäúi tám cuía hãû, a G G( ) laì gia täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). • Suy ra momen âäüng læûc DG cuía hãû cháút (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : G D G G = × G ma( ) G + DG G G JJJG G ⇒ DG G = D G G . Tæång tæû momen âäüng læåüng, momen âäüng læûc âäúi våïi hãû quy chiãúu khäúi tám (R) khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm tênh toaïn. Nãúu goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, ta coï: • D D A G = G G • Giæîa vaì DO G LO G ta coï hãû thæïc: dLO D O O v( ) mv( ) dt = − × G G G G G 8Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Nãúu O laì mäüt âiãøm cäú âënh trong (R) hay O ≡ G thç: dLO DO dt = G G Chæïng minh: O i i i ( ) i ( ) i i i i i i i i dL d OM m v v v O m v OM m a dt dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ × = − × + × ⎝ ⎠ ∑ ∑ JJJJJ G G G G G ∑ JJJJ J G G G Ta coï: Thãú maì: v v G G i i × = 0 vaì i i ( ) , nãn : i ∑ m v G = mv G G dLO D v 0 ( ) O mv(G) dt = − × G G G G Nãúu O cäú âënh trong R hay O ≡ G , säú haûng thæï hai cuía vãú phaíi bàòng 0, vaì: dLO D0 dt = G G §5. Âäüng nàng cuía mäüt hãû cháút : 1) Âënh nghéa : Âäüng nàng cuía hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi, coï khäúi læåüng mi chuyãøn âäüng våïi váûn täúc trong hãû quy chiãúu (R) : vi G 1 2 EK = ∑ i 2 m v i i 2) Âënh lyï Koenig vãö âäüng nàng : Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : 1 2 ( ) E m K K = 2 v G + E våïi : i i m m = ∑ Våïi : EK : Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R). Chæïng minh: EK = = ∑ ∑ i i 1 1 2 2 m v i i i i 2 m ( ) v G G ( ) G + v ) 2 = 1 2 mv G(G)2 + Ek + 2v G( ) G ∑ i 1 2 m v i Gi = Ta coï: Thãú maì: 0 , nãn: i i i P m G = ∑ v G 1 ( )2 E m K K = + 2 v G E §6. Mäüt säú âënh lyï cå baín cuía âäüng læûc hoüc hãû cháút : 1) Âënh lyï vãö täøng âäüng læûc (hay âënh lyï vãö âäüng læåüng) : • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), täøng âäüng læûc S G cuía mäüt hãû cháút kheïp kên (S) bàòng täøng F ext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: G S F = ext G G • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), âaûo haìm theo thåìi gian cuía täøng âäüng læåüng cuía mäüt hãû cháút kheïp kên (S) bàòng täøng cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû : GP F ext G dP ext F dt = G G Nhæ váûy ta coï: dP S ma( ) G Fext dt = = = G G G G 2) Âënh lyï vãö momen âäüng læûc (hay âënh lyï vãö momen âäüng læåüng): • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), momen âäüng læûc D GO cuía mäüt hãû cháút kheïp kên (S) âäúi våïi âiãøm O bàòng momen M F G G O( ext ) âäúi våïi âiãøm O cuía täøng F G ext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: D M O O = (F ext ) G G G 9Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), âaûo haìm theo thåìi gian cuía momen âäüng læûåüng LO G cuía mäüt hãû cháút (S) kheïp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trong (Rg) bàòng momen M F G O( G ext ) âäúi våïi âiãøm O cuía täøng F G ext cuía táút caí ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: dLO D M O O(Fext dt = = ) G G G G (Våïi O laì âiãøm cäú âënh trong (Rg)). Tháût váûy, ta coï: dLO DO v(O m ) v(G) dt = − × G G G G våïi O laì mäüt âiãøm báút kyì. Khi O laì âiãøm cäú âënh trong Rg, ta coï: v( G O) = 0, do âoï: dLO DO dt = G G . Tæì âoï suy ra: dLO D M O O( ) Fext dt = = G G G G Ghi chuï: • Træåìng håüp O khäng phaíi laì âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhæng O truìng våïi âiãøm G, ta cuîng coï: v( G G O m )× v(G) = 0, do âoï: dLG DG dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ G G ⇒ Âënh lyï vãö momen âäüng læåüng váùn nghiãûm âuïng: dLG DG G M F ( ext) dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ G G G G (màût dáöu G khäng cäú âënh trong hãû (Rg)). • Do DG = DG G G vaì LG = LG G G våïi LG G : momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy chiãúu (Rg), L G G : momen âäüng læåüng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R). Màûc khaïc, do (R) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi (Rg), nãn : G G Rg R dL dL dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G Suy ra: G G G ( ext R dL D M F ) dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ G G G G Nhæ váûy âënh lyï vãö momen âäüng læåüng coï thãø váûn duûng cho âiãøm G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) (màûc dáöu hãû quy chiãúu (R) coï thãø khäng phaíi laì hãû quy chiãúu Galileïe). 3) Âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt truûc cäú âënh: Trong hãû quy chiãúu Galileïe Rg, âaûo haìm theo thåìi gian cuía momen âäüng læåüng L∆ cuía mäüt hãû cháút (S) kheïp kên âäúi våïi mäüt truûc ∆ cäú âënh trong (Rg) bàòng momen M∆(F Gext) âäúi våïi truûc ∆ cuía täøng F Gext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: dL M F ( ) ext dt ∆ = ∆ G • Tháût váûy, chiãúu âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn truûc ∆ cuía hãû (S): dLO MO(Fext) dt = G G G lãn truûc ∆ , suy ra: dL M F ( ) ext dt ∆ = ∆ G 4) Âënh lyï vãö âäüng nàng : • Âaûo haìm theo thåìi gian cuía âäüng nàng cuía mäüt hãû cháút (S) kheïp kên trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg) bàòng täøng cäng suáút cuía táút caí caïc näüi læûc vaì ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû (S). 10Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Xeït mäüt hãû (S) kheïp kên gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi. Goüi Fie G vaì laì ngoaûi læûc vaì näüi læûc taïc duûng lãn cháút âiãøm thæï i cuía hãû (S). i GFi vi G laì váûn täúc trong (Rg) cuía cháút âiãøm thæï i. Goüi EK laì âäüng nàng cuía hãû (S) trong (Rg). Ta coï : . . K i e i i i i i i dE F v F dt = + ∑ ∑ G G G G v int Âäü biãún thiãún âäüng nàng ∆EK cuía mäüt hãû cháút kheïp kên trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg) trong mäüt khoaíng thåìi gian (t0,t) naìo âoï bàòng täøng cäng cuía táút caí caïc ngoaûi læûc vaì näüi læûc sinh ra trong chuyãøn dåìi tæång æïng våïi khoaíng thåìi gian âoï: • ∆ = EK k ( , t t 0 0 ) E t ( ) − E t k( ) =Wext +W Våïi: laì cäng cuía caïc ngoaûi læûc, laì cäng cuía táút caí caïc näüi læûc uïng våïi chuyãøn dåìi noïi trãn. Wext Wint 11Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Chæång 1 : CHUYÃØN ÂÄÜNG CUÍA VÁÛT RÀÕN §1. Váût ràõn trong cå hoüc : 1) Khaïi niãûm vãö váût ràõn : Trong cå hoüc, váût ràõn laì mäüt váût thãø khäng biãún daûng : Khoaíng caïch giæîa hai âiãøm báút kyì cuía váût ràõn khäng âäøi theo thåìi gian. Khaïi niãûm váût thãø khäng biãún daûng chè laì mäüt mä hçnh. Vç váûy, mäüt tåì giáúy moíng træåüt trãn màût baìn vaì khäng bë biãún daûng váùn coï thãø xem nhæ laì mäüt váût ràõn. Trong khi âoï mäüt dáöm kim loaûi âàût trãn hai gäúi tæûa vaì chëu læûc JGF khaï låïn, seî bë biãún daûng khaï nhiãöu trong quïa trçnh chëu læûc ⇒ trong træåìng håüp naìy, khäng thãø coi dáöm laì váût ràõn. GF gäúi tæûa dáöm kim loaûi Hçnh 1 2) Hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi váût ràõn : (R) (RS) z O x Hçnh 2 zS OS yS xS ( ) S O z y (R) ( ) RS exs G β α γ x M zS C xS y = yS ⊕ θ exs G Xeït mäüt váût ràõn (S) coï daûng hçnh vaình troìn, tám C, chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng trãn màût âáút nàòm ngang, trong hãû quy chiãúu traïi âáút R( ; O e G G x;ey;e Gz ) . Âiãøm C, tám cuía vaình troìn, cuîng coï thãø xem nhæ laì mäüt âiãøm thuäüc váût ràõn, màûc âáöu taûi C khäng coï váût cháút, båíi vç khi vaình troìn chuyãøn âäüng, âiãøm C cuîng chuyãøn âäüng cuìng våïi vaình troìn. Täøng quaït hån, moüi âiãøm trong khäng gian (màûc dáöu taûi âoï khäng coï váût cháút), liãn kãút chàût cheî våïi (S) vaì chuyãøn âäüng cuìng våïi (S) cuîng coï thãø xem laì caïc âiãøm thuäüc váût ràõn (S). Nhæ váûy nãúu gàõn cæïng trãn váût ràõn (S) mäüt hãû quy chiãúu ( ; ; ; ) RS x C e G G S S ey e GzS (1) liãn kãút chàût cheî våïi váût ràõn vaì chuyãøn âäüng cuìng våïi váût ràõn. Khi âoï, chuyãøn âäüng cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) coï thãø xem nhæ tæång âæång våïi chuyãøn âäüng cuía hãû quy chiãúu (RS) so våïi hãû quy chiãúu (R). Hçnh 3 3) Thäng säú cáön thiãút âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn : • Âäúi våïi mäüt hãû cháút âiãøm (S) gäöm n cháút âiãøm Mi. Âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu(R), cáön phaíi biãút 3n thäng säú (våïi mäùi cháút âiãøm cáön biãút ba toüa âäü x, y, z cuía noï). 1 Caïc hãû toaû âäü ( ; O e G G x y ;e ;e Gx ) vaì( ; C e G G x y S S ;e ;e GzS ) laì caïc hãû toüa âäü De scartes 12Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông • Tuy nhiãn, âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R), chè cáön biãút nhiãöu nháút laì 6 thäng säú, nhàòm mä taí chuyãøn âäüng cuía hãû quy chiãúu (RS) gàõn liãön våïi váût ràõn âäúi våïi hãû quy chiãúu (R): + Ba thäng säú âãø xaïc âënh vë trê cuía gäúc cuía hãû quy chiãúu (RS) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) : ba toüa âäü xOS, yOS, zOS cuía âiãøm OS trong hãû (R) OS + Ba thäng säú (ba goïc) âãø xaïc âënh phæång chiãöu cuía vectå âån vë exS G cuía hãû (RS) âäúi våïi hãû (R): α, β, γ • Trong træåìng håüp chuyãøn âäüng cuía váût ràõn âæåüc dáùn hæåïng båíi mäüt säú raìng buäüc, säú thäng säú cáön thiãút âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn coï thãø < 6. Vê duû, vaình troìn chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng vaì luän tiãúp xuïc våïi màût âáút nàòm ngang chè cáön hai thäng säú âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 2): ⇒ + Hoaình âäü x cuía tám C cuía vaình troìn trong hãû (R) + Goïc θ xaïc âënh phæång chiãöu cuía veïctå âån vë exS G cuía hãû (RS) trong (R). §2. Træåìng váûn täúc : 1) Quan hãû váûn täúc vaì gia täúc : Xeït mäüt váût ràõn (S) chuyãøn âäüng trong hãû quy chiãúu (R). Goüi (RS) laì hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi váût ràõn (S) vaì coï gäúc P, våïi P laì mäüt âiãøm cäú âënh trãn (S). Goüi laì váûn täúc cuía âiãøm M thuäüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). AÏp duûng âënh lyï håüp váûn täúc : v M K( ) R ( ) ( ) ( ) v M K K R e = + v M v M K RS våïi : v M Ke ( ) : váûn täúc theo cuía âiãøm M. : váûn täúc cuía âiãøm M trong hãû quy chiãúu (RS) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (RS) : ( ) v M K RS ( ) 0 v M K RS = ) Hçnh 4 y z O P ° M ( ) S (R) ( ) S zS R xS yS x Goüi laì veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) (veïctå quay cuía hãû quy chiãúu (RS) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R)) ΩRS R K ⇒ v M ( ) R e = = v ( ) M v(P) R + ΩRS R × PM JJJJ K K K K K Viãút goün laûi, ta coï : v M ( ) = + v(P) Ω × PM JJJJ K K K K (1) Nhæ váûy, khi biãút váûn täúc cuía mäüt âiãøm P vaì vectå quay tæïc thåìi Ω K cuía váût ràõn (S) ⇒ coï thãø xaïc âënh váûn täúc cuía mäüt âiãøm M báút kyì thuäüc váût ràõn (S) theo biãøu thæïc (1). Tæång tæû, goüi laì gia täúc cuía âiãøm M thuäüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). AÏp duûng âënh lyï håüp gia täúc : a M G( ) R a M G G ( ) R = + ae C ( ) M a G ( ) M + a M G( ) RS våïi : a M Ge ( ) laì gia täúc theo cuía âiãøm M : ae( ) M a(P)R d R R S PM R R S S ( R R PM ) dt Ω = + × + Ω × Ω × G JJJJ G J G G JJJ G G G a GC (M ) laì gia täúc Coriolis : 13Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông do a M C R ( ) = Ω 2. S R ×v( ) M Rs = 0 G G G v M G( ) Rs = 0 : gia täúc cuía âiãøm M trong hãû quy chiãúu (RS) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (RS) : ) a M G( ) RS ( ) 0 a M G RS = Viãút goün laûi, ta coï : a M ( ) a(P) d PM ( PM ) dt Ω = + × + Ω × Ω × G JJJJ G J G G JJJ G G G (2) Nhæ váûy, khi biãút gia täúc cuía mäüt âiãøm P, vectå quay tæïc thåìi Ω K (coìn goüi laì vectå váûn täúc goïc tæïc thåìi) vaì vectå gia täúc goïc tæïc thåìi d dt GΩ cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) ⇒ coï thãø xaïc âënh gia täúc cuía mäüt âiãøm M báút kyì thuäüc váût ràõn (S) theo biãøu thæïc (2). Hçnh 5 y z (R) ( ) S O 2) Caïc træåìng håüp âån giaín : a) Váût ràõn (S) chuyãøn âäüng tënh tiãún : Nãúu váût ràõn S chuyãøn âäüng tënh tiãún trong (R)⇒ Ω K = 0 ⇒ v M K K ( ) = v(P) = v K(t) Váûn täúc cuía moüi âiãøm M trãn váût ràõn taûi thåìi âiãøm t cho træåïc âãöu bàòng nhau. a M ( ) a(P) dv a(t dt Tæång tæû cho gia täúc : = = = ) K G K K x O z = zS y ( ) R xS Hçnh 6 yS °M ( ) RS GΩ Gez z θ Ger Geθ θ H r x b) Váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc Oz cäú âënh trong (R): Xeït váût ràõn (S) quay xung quanh truûc Oz cäú âënh trong hãû quy chiãúu R( ; O e G G x y ;e ;e Gz ) . Gàõn cæïng våïi váût ràõn mäüt hãû quy chiãúu RS S ( ; O x , yS , zS ) nhæ hçnh 6 våïi Oz = OzS. Goüi θ laì goïc quay cuía váût ràõn (S) quanh truûc Oz (goïc quay cuía hãû quy chiãúu (RS) xung quanh truûc Oz cuía hãû quy chiãúu (R)). Veïctå quay cuía váût ràõn (S) trong (R): Ω =θ ( ) t e . z JJ K K  Mäùi âiãøm M cuía váût ràõn vaûch nãn mäüt quyî âaûo hçnh troìn, coï truûc laì Oz. Trong hãû toüa âäü truû, vë trê cuía M âæåüc xaïc âënh bàòng : JJJJ . . OM = + r er z ez G G G (r vaì z khäng phuû thuäüc vaìo t) Váûn täúc cuía âiãøm M trong (R) : ( ) ( ) R dOM v M v O OM OM HM dt ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ + Ω× = Ω× = Ω× ⎝ ⎠ JJJJ G JJJJ K JJJJ K JJJJ K K K K K G (2) ⇒ v M ( ) = r.θ.eθ JJ K K  Vectå v M K( ) vuäng goïc våïi HM vaì hæåïng theo chiãöu chuyãøn âäüng cuía (S) trong hãû quy chiãúu R. 2 O vaì M laì hai âiãøm thuäüc váût ràõn nãn : v M K( ) = + v G(O) Ω K ×O JJJ M J K ; Ο cäú âënh trong R nãn v O G( ) = 0 14Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Gia täúc cuía âiãøm M trong (R) : ( ( )) ( . . ) ( ) . . . . R R R d v M d r e de a M r r e dt dt dt θ θ θ θ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = θ ⎛⎜ ⎞⎟ + θ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K  G G JJ K G   våïi : S z r R R de de e e e e dt dt θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + Ω × θ θ = Ω × =θ × = θ −θe ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G G G G G   G G G (3) ⇒ 2 ( ( )) ( ) . . r . . R d v M a M r e r e G = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Kdt − θ  JK J + θ J θ K Ghi chuï : Gia täúc cuía âiãøm M coï thãø phán thaình hai thaình pháön : Thaình pháön hæåïng tæì M vãö H (goüi laì gia täúc hæåïng tám) vaì thaình pháön a M G( ) a M n ( ) = −r.θ 2.e JK G  r a M t ( ) = r.θ .eθ JJ K G  vuäng goïc våïi HM (gia täúc tiãúp tuyãún). 3) Váût ràõn quay xung quanh truûc coï phæång khäng âäøi trong (R): a) Vê duû 1 : Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön : Xeït cå cáúu tay quay con træåüt nhæ hçnh 7î, duìng âãø biãún chuyãøn âäüng quay cuía kháu OA thaình chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía con træåüt B vaì ngæåüc laûi. Haîy nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB coï khäúi tám laì G. Âãø nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB, ta xeït thãm hãû quy chiãúu khäúi tám R (G e ; Gx y ,e G G ,ez ) tæång æïng våïi hãû quy chiãúu (R). ( ) R y x A O B M G x y θ ( R ) ⊕ z : Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R), thanh truyãön AB quay xung quanh truûc Gz cäú âënh. Goüi M laì mäüt âiãøm báút kyì cuía thanh truyãön AB, ta coï : JJJJ v M ( ) = + v(G) Ω ×GM K K K K  K våïi : vaì laì váûn täúc cuía M vaì G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R), laì v M K( ) v G K( ) Ω K Hçnh 7 vectå quay tæïc thåìi cuía thanh truyãön AB K JJ trong hãû (R) : Ω = ( θ t e ). z Do khäúi tám G cäú âënh trong hãû (R) ⇒ v G K( ) = 0 ⇒ v M K( ) = Ω K ×G JJJJ M K Sæí duûng âënh lyï håüp váûn täúc, trong hãû quy chiãúu (R), ta coï : v M K K ( ) = + ve ( ) M v M K( ) Hãû quy chiãúu khäúi tám (R) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) ⇒ v M K K e ( ) = v(G) ⇒ v M ( ) = + v(G) Ω ×GM JJJJ K K K K (1) Màûc khaïc, goüi Ω K laì vectå quay tæïc thåìi cuía thanh truyãön AB trong hãû (R), ta coï : v M ( ) = + v(G) Ω × GM JJJJ K K K K (2) 3 Chuï yï ràòng trong RS, eθ G khäng âäøi nãn 0 RS de dt ⎛ ⎞ θ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ G 15Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Tæì (1) vaì (2), suy ra : Ω = ( Ω =θ t e ). z JJ K K K  Veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn laì nhæ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) vaì (R). Måí räüng ra, veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn laì nhæ nhau trong caïc hãû quy chiãúu chuyãøn âäüng tënh tiãún tæång âäúi âäúi våïi nhau. Ghi chuï: Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB trong hãû quy chiãúu (R) coï thãø xem nhæ håüp cuía hai chuyãøn âäüng: • Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). • Chuyãøn âäüng quay xung quanh mäüt truûc Gz âi qua khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R) (Truûc Gz cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R)). b) Vê duû 2 : Chuyãøn âäüng cuía mäüt baïnh xe : Xeït mäüt baïnh xe, coi nhæ mäüt âéa troìn, baïn kênh b, tám C, chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 8). Goüi I laì âiãøm tiãúp xuïc cuía baïnh xe vaì màût âáút taûi thåìi âiãøm t. Taûi chäù tiãúp xuïc I vaìo thåìi âiãøm t, cáön phán biãût ba âiãøm khaïc nhau: • Âiãøm I S cuía màût âáút, cäú âënh trong (R). • Âiãøm I R cuía baïnh xe. Do baïnh xe làn ⇒ taûi mäüt thåìi âiãøm sau âoï IR khäng coìn nàòm trãn màût âáút næîa. • Âiãøm hçnh hoüc I xaïc âënh vë trê tiãúp xuïc. ( ) R y O C z I Hçnh 9 C’ ⊕ Ω.dt taûi t + δt taûi t : ( ) ∆ : GΩ y z O x (R) x b I = IR = IS Hçnh 8 JS = J C’ C ∆x : x θ taûi t + ∆t taûi t JR : Ω = θ ez G ⊕ G M (R) y x Taûi thåìi âiãøm t, ba âiãøm IS, IR vaì I coï váûn täúc khaïc nhau trong (R) : v I K( ) S = 0 v I K( ) = v K(C) , båíi vç I vaì C luän luän nàòm trãn cuìng mäüt âæåìng thàóng âæïng. v I ( ) R = + v(C) Ω × CI våïi : JJK K K K Ω K laì veïctå quay cuía baïnh xe trong (R). Váûn täúc âæåüc goüi laì váûn täúc træåüt cuía baïnh xe trãn màût âáút (nhåï ràòng màût âáút laì cäú âënh trong R). Ta tháúy v I K( ) R = v Kg vg K nàòm theo phæång tiãúp tuyãún chung taûi I giæîa baïnh xe vaì màût dáút. Baïnh xe âæåüc goüi laì làn khäng træåüt nãúu nhæ : v v Kg = K( ) I R = 0 . 16Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút, taûi thåìi âiãøm t âang xeït, âiãøm IR cuía baïnh xe tiãúp xuïc våïi màût âáút coï váûn täúc bàòng khäng ⇒ Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút, giæîa hai thåìi âiãøm t vaì t + dt ráút gáön nhau baïnh xe coï thãø xem nhæ chuyãøn âäüng quay tæïc thåìi xung quanh mäüt truûc ∆ âi I vaì song song våïi Ω K y . Truûc ∆ âæåüc goüi laì truûc quay tæïc thåìi cuía baïnh xe (4) (Hçnh 9). Chuyãøn âäüng cuía baïnh xe coï thãø xem nhæ håüp cuía hai chuyãøn âäüng : + Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám C (OC = x.ex + b.e JJJG G G ) våïi váûn täúc laì v G G C x = x .e + Chuyãøn âäüng quay xung quanh truûcCz JJG âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R våïi váûn täúc goïc Ω = K θ( ) t e .JJ K z , trong âoï θ laì goïc giæîa truûc Cx vaì mäüt baïn kênh CM gàõn cæïng trãn baïnh xe. Váûn täúc cuía âiãøm IR trãn baïnh xe taûi thåìi âiãøm t: v I ( ) R = + v(C) Ω×CI JJK K K K ⇒ v I K( ) R x = + x .e G G θ .ez ×(−b.e Gy ) ⇒ v I K( ) R x = + x .e G G θ.b.ex Suy ra váûn täúc træåüt cuía baïnh xe trãn màût âáút : v v Gg = = K( ) IR x (x  +θ .b).e G Baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút khi: v v Kg = K( ) I R = 0 . Thãú maì : v x Gg = + ( .  θ  b).e Gx . Do âoï, khi baïnh xe làn khäng træåüt : x b  + = θ. 0 Màût khaïc, nãúu goüi ∆x vaì ∆θ láön læåüt laì dëch chuyãøn cuía tám C cuía baïnh xe vaì goïc quay cuía baïnh xe trong khoaíng thåìi gian ∆t; JR vaì JS láön læåüt laì caïc âiãøm cuía baïnh xe vaì cuía màût âáút, maì taûi thåìi âiãøm t + ∆t âãún tiãúp xuïc våïi nhau taûi J, ta coï : IS S J = ∆x vaì cung I J R R = b. ∆θ Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút thç: x b  + = θ. 0 ⇒ ∆ = x b. ∆θ ⇒ q IS S J I = RJ R Ghi chuï : Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön (vê duû 1) vaì cuía baïnh xe (vê duû 2) coìn âæåüc goüi laì chuyãøn âäüng song phàóng. Trong chuyãøn âäüng song phàóng, mäüt âiãøm M báút kyì cuía váût ràõn chuyãøn âäüng trong cuìng mäüt màût phàóng hay trong caïc màût phàóng song song våïi mäüt màût phàóng quy chiãúu âënh træåïc. Chuyãøn âäüng song phàóng cuía mäüt váût ràõn coï thãø xem laì täøng håüp cuía hai chuyãøn âäüng: Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám G vaì chuyãøn âäüng quay xung quanh truûc Gz âi qua khäúi tám vaì vuäng goïc våïi màût phàóng quy chiãúu noïi trãn. §3. Caïc âaûi læåüng âäüng hoüc : 1) Træåìng håüp váût ràõn chuyãøn âäüng quay xung quanh mäüt truûc cäú âënh : a) Momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt âiãøm trãn mäüt truûc : Xeït mäüt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc ∆ gàõn cæïng våïi (S) (truûc ∆ cäú âënh trong hãû quy chiãúu R(O ; x, y, z)), våïi veïctå quay laì : Ω K . Láúy truûc Oz cuía hãû R truìng våïi truûc quay ∆. Goüi θ laì goïc quay cuía hãû quy chiãúu (RS) gàõn cæïng våïi váût ràõn so våïi hãû (R), ta coï : Ω = K Ω.e Gz =θ .e Gz (Hçnh 10). Goüi M laì mäüt âiãøm báút kyì cuía váût ràõn (S), dm laì khäúi læåüng cuía mäüt phán täú thãø têch váût ràõn bao quanh âiãøm M. 4 Khi baïnh xe chuyãøn âäüng, truûc quay tæïc thåìi ∆ dëch chuyãøn theo âiãøm tiãúp xuïc I giæîa baïnh xe vaì màût âáút vaì luän luän song song våïi vectå Ω K . 17Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Momen âäüng læåüng LA G cuía váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn truûc Oz trong hãû quy chiãúu (R) : ( ) A ( ) S L G = × ∫∫∫ JJJJ AM G v G M dm Do M vaì A laì hai âiãøm thuäüc váût ràõn (S) nãn (Âiãøm A cäú âënh trãn truûc Oz : ) v M ( ) = + v(A) Ω × AM = Ω.ez × AM G JJJJ G JJJJ G G G G v A G( ) = 0 Suy ra : ( ) A z . ( S L G = Ω ∫∫∫ JJJJ AM G × e G × JJJJ AM G)dm Hay : 2 ( ) A z . . ( . z ) S L = Ω ⎡ ⎤ AM e − AM e AM dm G ∫∫∫ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ JJJJ G G G JJJJ G JJJJ G (Ghi chuï : A× × ( ) B C = B(C.A) − C(A.B) G G G G G G G G G ) Goüi H laì hçnh chiãúu cuía M trãn truûc quay ∆, ta coï : AM A = + H HM = ( . AM ez z ).e + HM JJJJ G JJJJ G JJJJ G JJJJ G J y x O z = zS (R) yS xS (R S) Hçnh 10 M θ r H A ( ) ∆ GΩ (S) θ JJJ G G G z Suy ra : 2 ( ) ( ) A z . . . ( . ) ( . z ) S S L = Ω AM dm − Ω AM e ⎡ ⎤ AM e e + HM dm G G ∫∫∫ ∫∫∫ JJJJ G J G G ⎣ ⎦ JJJ G G JJJJ G 2 2 ( ) ( ) A z . . . . ( . ). S S L A = Ω M dm − Ω ⎡ ⎤ AH e + AM e HM G G ∫∫∫ ∫∫∫ ⎣ ⎦ G G JJJJ G J z JJJ G dm 2 2 ( ) ( ) ( ) A . . . . . ( . z ). . S S S L G G = Ω ∫∫∫ AM dm − Ω G ∫∫∫ AH dm − Ω ∫∫∫ JJJJJ AM G e G JJJJ HM G dm Màûc khaïc : HM2 = AM2  AH2 Suy ra : 2 ( ) ( ) A z . . . (( . ) ) S S L G G = Ω ∫∫∫ HM dm − Ω ∫∫∫ J AM JJJ G e G J H JJJ M G dm Nhæ váûy, momen âäüng læåüng LA G gäöm hai pháön : • 2 ( ) A . S L G G = Ω ∫∫∫ HM .dm song song våïi veïctå quay Ω G . • ( ) A . (( . z ) ) S L AM e HM dm G ⊥ = −Ω ∫∫∫ JJJJ G G JJJJ G vuäng goïc våïi veïctå quay Ω G . Ghi chuï : Thaình pháön LA⊥ = 0 khi : G Váût ràõn nháûn truûc ∆ laìm truûc âäúi xæïng. Khi váût ràõn laì váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua A vaì vuäng goïc våïi truûc ∆. b) Momen âäüng læåüng âäúi våïi truûc ∆ Momen quïan tênh : • Hçnh chiãúu L∆ cuía momen âäüng læåüng L GA lãn truûc quay ∆ âæåüc goüi laì momen âäüng læåüng cuía váût ràõn (S) âäúi våïi truûc ∆: 2 ( ) A Z . . A Z . S L L e L e HM dm ∆ = = G G G G = Ω∫∫∫ L∆ khäng phuû thuäüc vaìo vë trê cuía âiãøm A trãn truûc ∆. • Momen quaïn tênh cuía váût ràõn (S) âäúi våïi truûc quay ∆ âæåüc âënh nghéa nhæ sau : 18Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 2 ( ) . S J r dm ∆ = ∫∫∫ våïi : r laì khoaíng caïch tæì âiãøm M cuía váût ràõn âãún truûc quay ∆. • Nhæ váûy : L J ∆ = ∆.Ω vaì : LA = J∆.Ω G G Ghi chuï : Træåìng håüp váût ràõn (S) bao gäöìm hai pháön (S1) vaì (S2), láön læåüt coï momen quaïn tênh âäúi våïi truûc ∆ laì J∆1 vaì J∆2 . Khi âoï, momen quaïn tênh cuía (S) âäúi våïi truûc âäúi våïi truûc ∆ seî bàòng : J∆ = J∆1 + J∆2 c) Âäüng nàng : Âäüng nàng cuía váût ràõn (S) noïi trãn trong hãû quy chiãúu (R) : 2 ( ) 1 . ( ). K 2 S E v = ∫∫∫ M dm våïi : v M G( ) = Ω G × J A JJJ M G Suy ra : ( ) 1 . ( ). ( ). K 2 S E A = Ω ∫∫∫ G × JJJJ M G v G M dm ⇒ ( ) 1 . ( ( )). . K 2 S E AM v M d ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫∫ JJJJ G G m Ω G Ta coï : (Ω × AM v ). (M ) G JJJJ G G (AM × v(M )).Ω JJJJ G G G båíi vç : A( ) B C × = × B( ) C A = C(A× B) G G G G G G G G G = ) ⇒ 1 1 . . . E L K A = Ω 2 2 = LA G G Ω ⇒ 1 1 . . . . 2 E L K = Ω 2 2 ∆ ∆ = J Ω 2) AÏp duûng caïc âënh lyï Koenig : a) Momen âäüng læåüng vaì âäüng nàng cuía váût ràõn: Âãø nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía mäüt váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu R(O,x,y,z), ta âæa thãm vaìo hãû quy chiãúu khäúi tám R(G,x,y,z). Khi âoï, aïp duûng caïc âënh lyï Koenig: Vãö momen âäüng læåüng : L A A = × G mv( ) G + LG G JJJG G G våïi : laì momen âäüng læåüng cuía (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R); G GL L L G G G G = + L GG ⊥ våïi L GG : thaình pháön cuía L GG song song våïi Ω G ; G L ⊥ G : thaình pháön cuía L GG vuäng goïc våïi Ω G . GΩ A (S) G O (R) x z (R) z x y Hçnh 11 y Vãö âäüng nàng : 1 . ( 2 ) 2 EK = mv G + EK våïi : EK laì âäüng nàng cuía (S) trong hãû quy chiãúu (R). Træåìng håüp vectå quay cuía váût ràõn (S) luän luän khäng thay âäøi phæång trong suäút quaï trçnh chuyãøn âäüng, chàóng haûn Ω KΩ K luän nàòm theo phæång truûc Oz (Hçnh 11) (5) : Trong (R), (S) quay quanh truûc cäú âënh Gz, ta coï: 5 Vectå quay Ω K laì nhæ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) vaì (R) 19Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông L L G G = + LG⊥ = JGz.Ω + LG⊥ G G G G G 1 1 . . . . E L K G = 2 2 z Ω = JGz Ω2 Våïi: JGz : momen quaïn tênh cuía váût ràõn âäúi våïi truûc Gz. LGz : momen âäüng læåüng cuía váût ràõn âäúi våïi truûc Gz trong hãû R. Ghi chuï : Trong biãøu thæïc cuía momen âäüng læåüng vaì âäüng nàng ta tháúy gäöm hai thaình pháön: Thaình pháön AG m × v(G) JJJG G hay 1 . 2( 2 mv G) tæång æïng våïi chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía toaìn bäü váût ràõn (S) cuìng våïi khäúi tám G; thaình pháön . L J G = Ω Gz + LG⊥ G G G hay 1 . . E K = 2 JGz Ω2 tæång æïng våïi chuyãøn âäüng quay cuía váût ràõn (S) quanh truûc Gz trong hãû quy chiãúu khäúiï tám (R). Tråí laûi baìi toaïn chuyãøn âäüng cuía baïnh xe làn trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu traïi âáút (R). Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R(C, x, y, z), baïnh xe quay quanh truûc Cz cäú âënh trong R, ta coï: L J GC C = zΩe Gz våïi: 1 2 JCz = 2 mb ; E 2 K = 1 2 JCzΩ . AÏp duûng âënh lyï Koenig, trong hãû (R) ta coï : L O O C = × C mv( ) C + L G G JJJG G ⇒ L O O G = × C mv( ) C + J Ωe G JJJG z z G G 1 2 . ( ) EK = + 2 mv G EK ⇒ E m K G = + 1 1 2 2 . ( v2 2 G) J zΩ (Chuï yï : Âáy laì træåìng håüp váût ràõn phàóng chuyãøn âäüng trong màût phàóng qua C vaì vuäng goïc våïi truûc quay Cz, do âoï thaình pháön G LC ⊥ = 0 , chè coìn laûi thaình pháön L GC ) b) Âënh lyï Huygens : z z (∆) x O G (∆G) (S) (R) H a GΩ (R) Hçnh 12 Xeït váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc cäú âënh (∆) truìng våïi truûc Oz cuía hãû quy chiãúu R âang xeït våïi veïc tå quay . Goüi G laì khäúi tám cuía váût ràõn (Hçnh 11). Trong (R), (S) quay xunh quanh truûc cäú âënh (∆G) truìng våïi Gz vaì song song våïi truûc (∆). GΩ Theo âënh lyï Koenig : 1 2 . ( ) EK = + 2 mv G E K (1) y y våïi m : khäúi læåüng cuía váût ràõn EK laì âäüng nàng cuía váût ràõn trong (R) : 1 2 . . EK = 2 J ∆ Ω (a) x K E laì âäüng nàng cuía váût ràõn trong R : 1 . . E K = 2 J ∆G Ω2 (b) Màût khaïc, trong R, khäúi tám G chuyãøn âäüng trãn voìng troìn tám H baïn kênh a (H laì hçnh chiãúu cuía G trãn truûc (∆)) våïi váûn täúc goïc laì Ω , do âoï : v G 2 2 ( ) = a Ω2 (c) Thay (a) (b) (c) vaìo (1), suy ra : J m ∆ = a2 + J ∆G Âáy chênh laì âënh lyï Huygens. 20Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Chæång 2 : TIÃÚP XUÏC GIÆÎA HAI VÁÛT RÀÕN ÂËNH LUÁÛT VÃÖ MA SAÏT §1. Nghiãn cæïu âäüng hoüc: (R) x O y (Σ) (S) (Σ) I Hçnh 1: v( G IS ) R v( G G I∑) R = vxe v ( G g I) z 1) Váûn täúc træåüt: • Xeït hai váût ràõn (S) vaì (Σ) luän luän tiãúp xuïc våïi nhau, vaì cuìng chuyãøn âäüng trong hãû quy chiãúu R (Hçnh 1). Chuïng coï thãø tiãúp xuïc theo mäüt màût, theo mäüt âæåìng hay theo mäüt âiãøm Taûi mäùi thåìi âiãøm t, luän luän coï êt nháút mäüt âiãøm IS cuía (S) truìng våïi mäüt âiãøm IΣ cuía (Σ) taûi âiãøm tiãúp xuïc I. ⇒ Váûn täúc træåüt v g K cuía (S) trãn (Σ) taûi âiãøm I vaìo thåìi âiãøm t : v ( ) K K g I I = − v( S R ) v K(I∑ ) R Váûn täúc træåüt cuía (S) trãn (Σ) taûi âiãøm I cuîng chênh laì váûn täúc cuía âiãøm IS cuía (S) (hçnh truû) trong hãû quy chiãúu (R∑ ) gàõn liãön våïi (Σ) (xe cam nhäng) : v ( K K g I ) = v(I S ) R∑ v ( G g I) (P) ( ) ∑ (S) Hçnh 2 • Thäng thæåìng, chuïng ta nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía váût ràõn (S) trãn mäüt giaï âåî (Σ) cäú âënh trong hãû quy chiãúu R : Khi âoï hãû quy chiãúu (R∑ ) truìng våïi hãû quy chiãúu R. • Trong træåìng håüp giæîa hai váût ràõn (S) vaì (Σ) täön taûi mäüt tiãúp diãûn chung (P), váûn täúc træåüt v K g seî nàòm trong màût phàóng (P) (Hçnh 2). • (S) âæåüc goüi laì khäng træåüt trãn (Σ) khi váûn täúc træåüt bàòng 0 taûi moüi âiãøm tiãúp xuïc I : v ( ) g I = 0 G K 2) Chuyãøn âäüng làn vaì xoay cuía (S) âäúi våïi (Σ): • Trong hãû quy chiãúu R, goüi Ω K S vaì Ω K ∑ laì vectå quay cuía váût ràõn (S) vaì (Σ). Veïctå quay tæång âäúi ΩS ∑ cuía (S) so våïi (Σ), tæïc laì veïctå quay cuía (S) trong hãû quy chiãúu K (R∑ ) gàõn liãön våïi (Σ): Ω = S ∑ ΩS − Ω K K ∑ K coï thãø âæåüc phán thaình hai thaình pháön (Hçnh 3). + Veïctå phaïp ΩN K vuäng goïc våïi tiãúp diãûn chung (P) taûi I cuía (S) vaì (Σ). Ω K N âæåüc goüi laì vectå quay cuía chuyãøn âäüng xoay. + Veïctå tiãúp Ω K T nàòm trong tiãúp diãûn chung (P) . Ω K T âæåüc goüi laì vectå quay cuía chuyãøn âäüng làn. 21Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 22 (P) (Σ) (S) I ΩN G ΩT S G Ω ∑ G Hçnh 3: Hçnh 5: Hçnh truû (S) chuyãøn âäüng làn so våïi giaï âåî Ω = ΩT K K ( ) ∑ ( ) S I Ω = ΩN K K ( ) ∑ ( ) S I Hçnh 4 : Khäúi vuäng (S) chuyãøn âäüng xoay so våïi giaï âåî • Trong toaìn bäü pháön Cå hoüc váût ràõn, chuïng ta chè nghiãn cæïu caïc chuyãøn âäüng âån giaín cuía váût ràõn (S) trãn giaï âåî cäú âënh (∑) våïi: + Caïc vectå ΩN K vaì Ω K T khäng thay âäøi phæång trong quïa trçnh chuyãøn âäüng. + (S) làn khäng xoay ( Ω = N 0 ) hay xoay khäng làn ( K 0 ΩT = K ), hoàûc khäng làn khäng xoay (chuyãøn âäüng tënh tiãún) trãn ( ) ∑ §2. Taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc: 1) Taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc cuía hai váût ràõn: ( ) ∑ ( ) S I Ri G Hai váût ràõn (S) vaì (Σ) coï thãø tiãúp xuïc nhau theo màût (khäúi vuäng tiãúp xuïc våïi màût phàóng), theo âæåìng (hçnh truû tiãúp xuïc våïi màût phàóng) hay theo âiãøm (hçnh cáöu tiãúp xuïc våïi màût phàóng). Tuy nhiãn, trãn thæûc tãú, do coï biãún daûng âaìn häöi, (S) vaì (Σ) luän tiãúp xuïc nhau theo mäüt màût naìo âoï (diãûn têch tiãúp xuïc coï thãø khaï nhoí). Hçnh 6: Taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc giæîa (S) vaì (Σ) gáy ra båíi tæång taïc giæîa caïc phán tæí cuía (S) vaì (Σ) trãn bãö màût tiãúp xuïc, vaì coï táöm taïc duûng ráút ngàõn. Noïi chung, âáy laì mäüt hãû læûc khäng gian phán bäú (Hçnh 6). Taïc âäüng cå tæì (Σ) lãn (S) taûi chäù tiãúp xuïc, khi thu goün vãö mäüt âiãøm tiãúp xuïc I, bao gäöm: • Læûc thu goün (Håüp læûc): i i R = G G ∑ R • Momen thu goün: M ( I, tiepxuc I i i G = ∑ M G G R ) Theo âënh luáût III Newton, (S) seî taïc duûng lãn (Σ) mäüt hãû læûc, khi thu goün vãö I cuîng bao gäöm: G • Læûc thu goün: RBaìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông • Momen thu goün: MI, tiepxuc G Taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc laì áøn säú cuía baìi toaïn phán têch læûc. Taïc âäüng cå do (Σ) taïc duûng lãn (S) taûi chäù tiãúp xuïc âæåüc phán thaình caïc thaình pháön (Hçnh 7) : (R, MI, tiepxuc ) G G • Âäúi våïi håüp læûc R : G + Thaình pháön T nòm taûi I trong tiãúp diãûn chung (P) taûi I cuía (S) vaì (Σ). G + Thaình pháön N nòm taûi I theo phæång phaïp tuyãún taûi I våïi (P) G R = T + N G G G våïi: T ⊥ N G G • Âäúi våïi momen : MI, tiepxuc G + Thaình pháön M G I,t nàòm trong tiãúp diãûn chung (P). + Thaình pháön M G I,n nàòm theo phæång phaïp tuyãún våïi (P) . M = I, tiepxuc MI,t n + MI, G G G våïi : M M I,t n ⊥ I, G G GN âæåüc goüi laì aïp læûc (phaín læûc phaïp tuyãún); T G âæåüc goüi laì læûc ma saït træåüt båíi vç noï chäúng laûi chuyãøn âäüng træåüt cuía (S) trãn (Σ); M G I,t âæåüc goüi laì momen ma saït làn båíi vç noï chäúng laûi chuyãøn âäüng làn cuía (S) trãn (Σ); M G I,n âæåüc goüi laì momen ma saït xoay båíi vç noï chäúng laûi chuyãøn âäüng xoay cuía (S) trãn (Σ). Trong chæång naìy, chuïng ta seî boí qua ma saït xoay vaì ma saït làn. Båíi vç chuïng ta chè nghiãn cæïu caïc træåìng håüp âån giaín : + Hoàûc: (S) chuyãøn âäüng tënh tiãún trãn giaï âåî (Σ) nhæ hçnh 9, momen ma saït xoay vaì momen ma saït làn khäng xuáút hiãûn. + Hoàûc : (S) tiãúp xuïc våïi giaï âåî (Σ) theo âiãøm (hçnh cáöu tiãúp xuïc våïi màût phàóng hçnh 10, hay træåìng håüp tiãúp xuïc theo âæåìng trong baìi toaïn phàóng : Baïnh xe làn trãn màût âáút hçnh 11), chuïng ta boí qua ma saït làn vaì ma saït xoay. M G I, n (P) ( ) Hçnh 8: Σ (S) MI, tiepxuc G MI, t G GN (P) I T GR G (S) Hçnh 7: ( ) Σ ( ) ∑ I ( ) S (Σ) I (S) Hçnh 11 I x y O Hçnh 10 Hçnh 9 23Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Khi âoï, taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc tæì váût ràõn (Σ) lãn váût ràõn (S) chè coìn laûi håüp læûc R = T + N G G G âi qua âiãøm tiãúp xuïc I. 2) Âënh luáût Coulomb vãö ma saït træåüt (khä) : Khi nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía váût ràõn, phaíi kãø thãm vaìo caïc áøn säú cuía baìi toaïn caïc læûc ma saït træåüt T G vaì aïp læûc . Caïc âënh lyï cå baín khäng cho ta âuí säú phæång trçnh âãø xaïc âënh táút caí caïc áøn säú ⇒ Do váûy, cáön phaíi biãút thãm quan hãû giæîa vaì . GN GT GN Bàòng thæûc nghiãûm, Coulomb âaî tçm âæåüc mäúi quan hãû giæîa læûc ma saït træåüt T G vaì aïp læûc N G . a) Tênh cháút cuía aïp læûc N G : • Âäúi våïi liãn kãút mäüt phêa, vê duû khi (S) âæåüc âàût trãn giaï âåî (Σ) (Hçnh 12), aïp læûc tæì (Σ) taïc duûng lãn (S) luän luän hæåïng tæì (Σ) vãö (S). GN (S) Hçnh 12 (Σ) I GN GN (S) O (Σ) O Hçnh 13 (S) vaì (Σ) khäng tiãúp xuïc våïi nhau næîa khi: N = 0 G • Âäúi våïi liãn kãút hai phêa, vê duû hçnh truû räùng (S) läöng qua mäüt thanh hçnh truû (Σ) (Hçnh 13), càõt truûc OO cuía hçnh truû, nhæng chæa thãø kãút luáûn gç vãö phæång, chiãöu cuía GN GN . G b) Tênh cháút cuía læûc ma saït træåüt T : • Tuìy theo (S) træåüt hay khäng træåüt trãn (Σ) maì T G coï caïc tênh cháút khaïc nhau. Goüi v G g váûn täúc træåüt cuía (S) trãn (Σ). + Nãúu (S) træåüt trãn (Σ): v 0 G g ≠ : T G vaì v G g song song vaì ngæåüc chiãöu nhau: vaì T v × g = 0 G G T .vg < 0 G G Suáút (moâun) cuía T G tè lãû våïi suáút cuía N G : T f G = . N G våïi f laì hãû säú tè lãû vaì âæåüc goüi laì hãû säú ma saït træåüt (f > 0). + Nãúu (S) khäng træåüt trãn (Σ), maì chè coï xu hæåïng træåüt trãn (Σ): v 0 G g = : cuìng phæång vaì ngæåüc chiãöu våïi chiãöu cuía xu hæåïng træåüt. GT Suáút cuía T G vaì cuía N G thoía maîn biãøu thæïc: T f G ≤ . N G Trong caí hai træåìng håüp, giaï trë cæûc âaûi cuía T G bàòng f . N G • Khi f = 0, tiãúp xuïc giæîa (S) vaì (Σ) âæåüc goüi laì tiãúp xuïc khäng coï ma saït. Khi âoï: T = 0 vaì håüp læûc G R = T + N = N G G G G vuäng goïc våïi tiãúp diãûn chung (P) taûi âiãøm tiãúp xuïc I cuía (S) vaì (Σ). • Vê duû, khi hçnh khäúi chæî nháût (S) âæåüc âàût nàòm yãn trãn màût phàóng nghiãng (Σ) (Hçnh 14), (S) coï xu hæåïng træåüt xuäúng trãn màût phàóng nghiãng (Σ) theo phæång chiãöu x JJJ x G ⇒ T G hæåïng lãn theo phæång chiãöu xx . JJG GN Gg mg G GT y x’ x Hçnh 14 Khi hçnh khäúi chæî nháût (S) cán bàòng, ta coï : 0 = + Te G G x y Ne + mg G 24Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Tæì âoï : T m = − g sinα < 0 vaì N m = g cosα > 0 (T vaì N laì caïc gêa trë âaûi säú cuía læûc ma saït vaì cuía aïp læûc). c) Tênh cháút cuía hãû säú ma saït træåüt f: • Hãû säú ma saït træåüt f phuû thuäüc vaìo: + Baín cháút cuía caïc váût ràõn tiãúp xuïc (váût liãûu caïc bãö màût tiãúp xuïc), vê duû khi váût ràõn bàòng theïp tiãúp xuïc våïi váût ràõn bàòng gäù, hãû säú ma saït f seî khaïc våïi træåìng håüp váût ràõn bàòng theïp tiãúp xuïc våïi váût ràõn bàòng cao su. + Traûng thaïi caïc bãö màût tiãúp xuïc, vê duû khi hai bãö màût tiãúp xuïc gäö ghãö, f seî låïn. Khi hai bãö màût tiãúp xuïc âæåüc phuí mäüt låïp cháút bäi trån, f seî giaím xuäúng. + Tàng theo thåìi gian tiãúp xuïc ban âáöu (thåìi gian coï aïp læûc N G nhæng chæa coï træåüt tæång âäúi hay xu hæåïng træåüt tæång âäúi). • Hãû säú ma saït træåüt f khäng phuû thuäüc vaìo diãûn têch tiãúp xuïc vaì háöu nhæ khäng phuû thuäüc vaìo váûn täúc træåüt. Ghi chuï: Âënh luáût Coulomb chè phaín aïnh gáön âuïng quy luáût ma saït træåüt khä, tuy nhiãn váùn coï thãø aïp duûng noï trong nhiãöu baìi tênh kyî thuáût. Trãn thæûc tãú, f khäng phaíi laì hoaìn toaìn âäüc láûp våïi váûn täúc træåüt: Træåìng håüp (S) khäng træåüt trãn (Σ), f låïn hån trong træåìng håüp (S) træåüt trãn (Σ), do váûy ngæåìi ta phán biãût hãû säú ma saït âäüng fâ khi (S) træåüt trãn (Σ) vaì hãû säú ma saït ténh ft khi (S) khäng træåüt trãn (Σ). Trong âa säú træåìng håüp: fâ < ft 2) Mäüt säú hãû quaí cuía âënh luáût Coulomb: a) Váût ràõn cán bàòng: y Hãû ngoaûi læûc taïc duûng lãn váût ràõn (S) khi thu goün vãö âiãøm A naìo âoï bao gäöm læûc thu goün Fe xt G vaì momen thu goün . Trong hãû quy chiãúu Rg giaí sæí laì hãû quy chiãúu Galileïe, váût ràõn (S) cán bàòng khi : MA, ext G F 0 e xt = G ; MA, ext = 0 G vaì nãúu váût ràõn âæïng yãn taûi thåìi âãøm ban âáöu. Ngoaìi ra, nãúu (S) chëu taïc âäüng cå (R G, M G I, tiepxuc ) taûi âiãøm tiãúp xuïc I, thç hãû læûc (R G G , MI, tiepxuc ) naìy phaíi tuán theo âënh luáût Coulomb. GF x’ ( ) Σ mg G I GN GT G (S) x O H Hçnh 15 Vê duû: Khäúi chæî nháût (S) tiãúp xuïc våïi màût âáút (Σ) (Hçnh 15). Hãû ngoaûi læûc taïc duûng lãn (S) bao gäöm: Troüng læåüng mg G ; læûc keïo F G vaì taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (Σ) lãn (S) : (R, MI, tiepxuc ) . G G GN T Hçnh 16 G GR α ϕ α = ( , N R) G G ( ) Σ Noïn (N) (S) Dæåïi taïc duûng cuía , giaí sæí váût ràõn (S) coï xu hæåïng chuyãøn âäüng so våïi (Σ) theo phæång chiãöu xx’ (nhæng chæa chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi (Σ)) hæåïng theo chiãöu x’x. Ta coï: GF ⇒ T G • N = mg ; T = G G F G G (S) khäng træåüt trãn màût âáút: T f G G ≤ N ⇒ F G ≤ fmg • , IG × + mg IH× F + II × (T + N) + M I tiepxuc = 0 JJG JJG G G JJ G G G G G 25Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông b) Noïn ma saït vaì hiãûn tæåüng tæû haîm: Hçnh noïn ma saït : Goüi laì taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (Σ) lãn (S). Xeït mäüt hçnh noïn troìn xoay (N), âènh I, truûc song song våïi aïp læûc , næía goïc åí âènh laì ϕ våïi tg ϕ = f (f: hãû säú ma saït træåüt). Hçnh noïn (N) noïi trãn âæåüc goüi laì hçnh noïn ma saït (Hçnh 16). (R, MI, tiepxuc ) G G N G • Khi (S) træåüt trãn (Σ): T f = .N ⇒ T t = gϕ.N ⇒ ( , N R) = ϕ G G ⇒ α = ϕ ⇒ R G nàòm trãn meïp noïn ma saït (N). • Khi (S) khäng træåüt trãn (Σ) (maì chè coï xu hæåïng træåüt): T f ≤ .N ⇒ T t ≤ gϕ.N ⇒ ( , N R) ≤ ϕ G G ⇒ α ≤ ϕ ⇒ R G nàòm bãn trong noïn ma saït (N) (Træåìng håüp giåïi haûn, R G nàòm trãn meïp noïn (N)). y Hçnh 17 ( ) Σ O I GN GT (S) GR GF α x Hiãûn tæåüng tæû haîm : Xeït váût ràõn (S) khäúi læåüng m, âàût trãn mäüt màût phàóng nàòm ngang cäú âënh (Σ). Taïc duûng vaìo (S) mäüt læûc âáøy F G nghiãng âi mäüt goïc α so våïi phæång thàóng âæïng (Âiãøm âàût cuía G F nàòm taûi vë trê sao cho (S) khäng bë láût quanh mäüt caûnh) (Hçnh 17). Taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (Σ) lãn (S) khi thu goün vãö âiãøm I : R = G T G + N G (giaí sæí boí qua momen ma saït). T song song, ngæåüc chiãöu våïi Ox. G GN song song, cuìng chiãöu våïi Oy. Aïp duûng âënh lyï vãö âäüng læåüng: ( ) iext i dP ma G F dt = = ∑ G G G vaì chiãúu lãn hai truûc Ox vaì Oy, ta coï : sin 0 cos mx T F N F α α ⎧ = − + ⎨ ⎩ = −  (6) Våïi T vaì N laì giaï trë cuía T vaì . G GN • Khi (S) âæïng yãn ⇒  x = 0; T f ≤ .N ⇒ F f sinα ≤ F cosα ⇒ tgα ≤ ⇒ tgϕ α ≤ ⇒ ϕ F G nàòm trong noïn ma saït (N). Nhæ váûy, khi α < ϕ hay F nàòm trong noïn ma saït (N) thç cho duì giaï trë cuía G GF coï låïn bao nhiãu âi næîa, váùn luän luän coï: T < fN ⇒ (S) váùn khäng træåüt trãn (Σ). Luïc âoï (S) bë råi vaìo traûng thaïi tæû haîm khi træåüt. Fcosα Fsinα GF tgϕ. N = f.N α ϕ GN Hçnh 18 • Khi α > ϕ hay nàòm ngoaìi noïn ma saït (N): Duì giaï trë cuía giaï trë cuía khaï nhoí, (S) cuîng seî træåüt trãn (Σ) (Hçnh 18). (Båíi vç nãúu (S) khäng træåüt trãn (Σ) thç ta seî suy âæåüc GF GF α ≤ ϕ , âiã öu naìy traïi våïi giaí thiãút α > ϕ ). Luïc âoï : T = f N = f Fcosα ⇒ Gia täúc cuía (S): x f F (sin .cos ) m  = − α α §3. Cäng suáút cuía caïc taïc âäüng cå taûi chäù tiãúp xuïc: • Xeït mäüt váût ràõn (S) chuyãøn âäüng trong hãû quy chiãúu (R). Giaí sæí hãû ngoaûi læûc taïc duûng lãn váût ràõn âæåüc thu goün vãö âiãøm A vaì bao gäöm: Læûc thu goün R G vaì momen thu goün: MA G . 6 Giaí sæí troüng læåüng mg cuía váût ràõn (S) khäng âaïng kãø so våïi giaï trë cuía læûc F G 26Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Cäng suáút cuía hãû læûc noïi trãn: P = R. v (AS) + M A.ΩS G G G G Våïi: v ( G AS ) : váûn täúc cuía âiãøm A thuäüc (S) (váûn täúc cuía âiãøm âàût A cuía læûc R G ), : Veïctå quay cuía (S). ΩS G Chuï yï ràòng cäng suáút P khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm tênh toaïn A. • Cho váût ràõn (S) tiãúp xuïc våïi váût ràõn (Σ) vaì cuìng chuyãøn âäüng trong (R). Haîy tênh cäng suáút cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (S) lãn (Σ) vaì tæì (Σ) lãn (S) trong caïc træåìng håüp sau: + (S) vaì (Σ) chuyãøn âäüng tënh tiãún trong (R): Ta coï: 0 Ω = S Ω = Σ G G Cäng suáút cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc : + Tæì (Σ) lãn (S): P = R. v (IS , ) + M I tiepxuc.ΩS G G G G ⇒ P R S S = . ( v I ) G G + Tæì (S) lãn (Σ): , P = R. v (IΣ) + M I tiepxuc.ΩΣ G G G G ⇒ P R Σ = − .v(IΣ) G G Våïi : v ( G IS) : váûn täúc cuía âiãøm I thuäüc (S); v ( G IΣ) : váûn täúc cuía âiãøm I thuäüc( ) Σ + (S) vaì (Σ) tiãúp xuïc theo âiãøm : (hoàûc theo âæåìng trong baìi toaïn phàóng, vê duû hçnh truû làn trãn màût âáút). Boí qua ma saït làn vaì ma saït xoay (boí qua momen thu goün M G I, tiepxuc ). Khi âoï : P R S S = . ( v I ) G G P R Σ = − .v(IΣ) G G • Trong caí hai træåìng håüp trãn, täøng cäng suáút cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc lãn cå hãû gäöm (S) vaì (Σ): P P = + S S P Σ Σ = R(v(I ) − v(I )) G G G ⇒ våïi P=(N+T).vg G G G v I Gg S = v G( ) v − G(IΣ) : váûn täúc træåüt cuía (S) trãn (Σ) ⇒ P=N.vg g +T.v G G G G ⇒ P T = .vg ≤ 0 (Do G G N ⊥ vg G G vaì T G song song ngæåüc chiãöu våïi v Gg ) Cäng suáút täøng coüng P cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc lãn cå hãû gäöm (S) vaì (Σ) luän luän ám hoàûc bàòng khäng. Ta tháúy P = 0 khi khäng coï ma saït (T G = 0 ) hay khi khäng træåüt: v 0 G g = • Træåìng håüp âàûc biãût khi (Σ) cäú âënh trong (R) : v( G IΣ) = 0 ⇒ P R ∑ Σ = − .v(I ) = 0 G G ⇒ .v 0 P P = S g = ≤ T G G Cäng suáút PS cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (Σ) lãn (S) luän luän ám hoàûc bàòng khäng. 27Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång

Tr êng ®¹i häc B¸ch KHOA -Ĩ ( Ơ - bµi gi¶ng c¬ häc ®¹i c ¬ng - MÐcanique gÐnÐrale (C¥ Häc vËt r¾n – dao ®éng vµ sãng c¬) dïng cho sinh viªn ch ¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s (L¦U HµNH NéI Bé) chÊt l ỵng cao Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng PHÁƯN I : CÅ HC VÁÛT RÀÕN Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Chỉång än táûp: MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM V ÂËNH L CÅ BN CA ÂÄÜNG HC V ÂÄÜNG LỈÛC HC HÃÛ CHÁÚT §1 Håüp váûn täúc - Håüp gia täúc : Xẹt hãû quy chiãúu (R2) chuøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1) Gi (O1 ; ex1 , e y1 , ez1 ) v (O2 ; ex , e y , ez ) l hai hãû ez2 ez1 ta âäü Descartes láưn lỉåüt gàõn liãưn våïi (R1) v (R2) 1) Chuøn âäüng tỉång âäúi ca hai hãû quy chiãúu : a) Vẹctå quay : Vectå quay R / R1 ca hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy ( R2 ) O2 ( R1 ) chiãúu (R1) : O1 R2/R1 x2 z2 Vectå x2 ex (t ) ez dex dt y2 ey2 ex2 ey z2 ez våïi de y : Suy : dt ey1 ex1 / R1 ex R / R1 / R1 (t ) e x (t ) e y R / R1 y2 dez dt dex dt dey / R1 / R1 dez dt ey / R1 / R1 R / R1 ez âàûc trỉng cho chuøn âäüng quay ca hãû (R2) âäúi våïi hãû (R1) v âỉåüc gi l vectå quay kẹo theo b) Trỉåìng håüp (R2) chuøn âäüng tënh tiãún tỉång âäúi so våïi (R1) : Ta cọ : R / R1 dex dt R / R1 dt 0; / R1 dey dt 0; / R1 dez dt / R1 z2 z1 ( R2 ) O2 ( R1 ) O1 x2 y1 x1 y2 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Cạc vẹctå ex , e y , ez v mi vectå gàõn liãưn våïi hãû quy chiãúu (R2) âãưu l khäng âäøi hãû quy chiãúu (R1) Váûn täúc v (O ) / R1 dO1O2 dt âàûc trỉng cho chuøn âäüng tënh tiãún ca hãû (R2) so våïi hãû (R1) / R1 b) Trỉåìng håüp hãû (R2) quay tỉång âäúi xung quanh mäüt trủc cäú âënh ca hãû (R1): Gi sỉí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh trủc cäú âënh (O1z1) ca hãû quy chiãúu (R1) v gi sỉí O1 = O2, hai trủc (O1z1) v (O2z2) z1= z2 trng Vectå quay ca hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : ez1 R2/R1 O1 = O2 Trong âọ : (Ox1 , Ox ) (Oy1 , Oy ) b) Trỉåìng håüp täøng quạt : Trong trỉåìng håüp täøng quạt, chuøn âäüng tỉång âäúi ca hãû (R2) ca so våïi hãû (R1) cọ thãø xem l håüp ca hai chuøn âäüng : dO1O2 dt Chuøn âäüng tënh tiãún våïi váûn täúc : v (O2 ) / R1 Chuøn âäüng quay våïi vectå quay R2/R1 R / R1 y2 y1 x1 x2 / R1 cọ phỉång chiãưu thay âäøi theo thåìi gian 2) Âảo hm ca mäüt vectå hãû (R1) v hãû (R2): Xẹt mäüt vẹctå U (t ) phủ thüc vo thåìi gian t v âỉåüc mä t cå såí (ex , e y , ez ) ca hãû (R2) sau : U (t ) U x ex Âảo hm ca U (t ) hãû (R2) : U y ey U z ez dU dt dU x ex dt / R2 dU dt Âảo hm ca U (t ) hãû (R1) : / R1 dU dt dU y dt dU z ez dt ey R / R1 U / R2 3) Håüp váûn täúc : Xẹt hãû quy chiãúu (R2) chuøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1) Xẹt mäüt âiãøm M chuøn âäüng våïi váûn täúc v ( M ) / R hãû quy chiãúu (R2): v ( M ) / R váûn täúc v ( M ) / R1 hãû quy chiãúu (R1) : v ( M ) / R dO1M dt dO2 M dt v chuøn âäüng våïi /R2 / R1 Âënh l håüp váûn täúc : v (M )/ R1 ve (M ) v (M )/ R Trong âọ : ve ( M ) v (O2 ) / R1 R / R1 O2 M ; v (O2 ) / R1 dO1O2 dt / R1 ve ( M ) âỉåüc gi l váûn täúc theo ca âiãøm M Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Váûn täúc theo ve ( M ) ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l váûn täúc hãû (R1) ca âiãøm M* gàõn liãưn våïi hãû (R2) v tải thåìi âiãøm âang xẹt M* trng våïi âiãøm M M* gi l trng âiãøm ca M tải thåìi âiãøm nọi trãn : ve ( M ) v ( M *) / R1 4) Håüp gia täúc : Xẹt hãû quy chiãúu (R2) chuøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1) Xẹt mäüt âiãøm M chuøn âäüng hãû quy chiãúu (R2) våïi gia täúc a ( M ) / R v hãû quy chiãúu (R1) våïi gia täúc a ( M ) / R1 Âënh l håüp gia täúc : a ( M ) / R1 Trong âọ : ae ( M ) aC ( M ) a ( M ) / R d ae (M ) a (O2 ) R1 R / R1 dt O2 M R / R1 ( O2 M ) R / R1 / R1 ae ( M ) âỉåüc gi l gia täúc theo ca âiãøm M Gia täúc theo ae ( M ) ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l gia täúc hãû (R1) ca trng âiãøm M* ca âiãøm M tải thåìi âiãøm nọi trãn : ae ( M ) V : aC ( M ) R / R1 a ( M *) / R1 v (M )/ R aC ( M ) âỉåüc gi l gia täúc Coriolis ca âiãøm M 5) Cạc trỉåìng håüp chuøn âäüng âàûc biãût ca (R2) âäúi våïi (R1): a) Hãû (R2) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R1) : Ta cọ : R2/ R1 Do âọ : z1= z2 ve (M ) v(O2 )/ R1 ae (M ) a(O2 )/ R1 aC (M ) H R2/R1 b) Hãû (R2) quay quanh mäüt trủc cäú âënh ca (R1) : Gi sỉí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh trủc cäú âënh (O1z1) ca hãû quy chiãúu (R1) v gi sỉí O1 = O2, hai trủc (O1z1) v (O2z2) trng Vectå quay ca hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : R2/R1 M = M* y2 O1 = O2 y1 x1 x2 ez1 Trong trỉåìng håüp ny, ta cọ : v (O2 ) / R1 ve ( M ) ez1 a (O2 ) / R1 ae ( M ) ez1 (do O2 cäú âënh R1) HM (do O2 cäú âënh R1) HM HM Trong âọ : H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay Oz1 = Oz2 Ghi chụ : Gia täúc ae ( M ) gäưm hai thnh pháưn : Thnh pháưn a HM (gia täúc tiãúp tuún) v thnh pháưn an ez1 HM vng gọc våïi HM hỉåïng tỉì M vãư H (gia täúc hỉåïng tám) Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng §2 Khäúê lỉåüng v khäúi tám ca hãû cháút - Hãû quy chiãúu khäúi tám : 2) Khäúi lỉåüng ca hãû : Xẹt mäüt hãû cháút (S) gäưm n cháút âiãøm Mi khäúi lỉåüng mi Khäúi lỉåüng m ca hãû (S) : m mi (dV) M i (V) Nãúu hãû (S) l mäüt táûp håüp vä hản cạc cháút âiãøm phán bäú liãn tủc thãø têch V, khäúi lỉåüng m ca hãû: m ( M ).dV V Våïi : l khäúi lỉåüng riãng ca phán täú thãø têch dV ca hãû bao quanh âiãøm M (khäúi lỉåüng ca phán täú dV: dm ( M ).dV ) Hãû gi l âäưng nháút nãúu khäúi lỉåüng riãng = hàòng säú v khäng phủ thüc vo âiãøm M 2) Khäúi tám (Quạn tám) : Xẹt mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi trỉåìng ngoi bao quanh hãû) gäưm n cháút âiãøm Mi cọ khäúi lỉåüng mi Gi O l mäüt âiãøm báút k Khäúi tám G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi : våïi : m mi m.OG mi OM i i i Nãúu chn O åí G: O G thç : mi GM i i Ghi chụ : Gi sỉí hãû (S) bao gäưm tỉì hai hãû (S1) v (S2) láưn lỉåüt cọ khäúi tám l G1 v G2, cọ khäúi lỉåüng l m1 v m2, khäúi tám chung G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi : ( m1 m2 ).OG m1 OG1 m2 OG2 Khi mäüt hãû l âäưng nháút v cọ mäüt pháưn tỉí âäúi xỉïng (màût âäúi xỉïng, trủc âäúi xỉïng ), khäúi tám G ca hãû s nàòm trãn pháưn tỉí âäúi xỉïng ny 3) Hãû quy chiãúu khäúi tám: Chuøn âäüng ca hãû cháút (S) âỉåüc nghiãn cỉïu hãû quy chiãúu (R) Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R), l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi khäúi tám G ca hãû cháút (S) v chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc v (G ) / R Khi âọ, theo âënh l håüp váûn täúc v håüp gia täúc, ta cọ: v (M )/ R v (G ) / R z v (M ) * z våïi : v ( M )* v ( M ) / R* a (M )/ R våïi : a (G ) / R a (M ) * (R) a ( M )* a ( M ) / R* Chỉïng minh: Do hãû (R*) chuøn âäüng tënh tiãún hãû (R), nãn: ve (M ) v (G)/ R ; ae ( M ) a (G ) / R ; aC ( M ) (R*) G x y O y x Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Thãú m: v (M )/ R ve (M ) v (M )/ R* v ( M ) / R v (G ) / R v ( M ) * V : a (M )/ R a (M )/ R ae ( M ) aC ( M ) a ( M ) / R* a (G ) / R a ( M ) * §3 Âäüng lỉåüng v momen âäüng lỉåüng ca mäüt hãû cháút: 1) Âäüng lỉåüng : a) Âënh nghéa : Xẹt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm Mi cọ khäúi lỉåüng mi , cọ váûn täúc vi hãû quy chiãúu (R) Âäüng lỉåüng P ca hãû (S) hãû quy chiãúu (R) : P mi vi i Cng cọ thãø viãút: P mi i d OM i dt d dt mi OM i i P mv(G) våïi : m d mOG dt mi i b) Âäüng lỉåüng hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), khäúi tám G l âiãøm cäú âënh Váûn täúc ca khäúi tám G Âäüng lỉåüng P * ca hãû (S) hãû quy chiãúu khäúi hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : v (G)* tám (R*) : P* m.v (G )* 2) Momen âäüng lỉåüng : a) Âënh nghéa : Xẹt mäüt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm Mi cọ khäúi lỉåüng mi, cọ váûn täúc vi hãû quy chiãúu (R) Momen âäüng lỉåüng L0 ca hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O hãû quy chiãúu (R) : L0 OM i mi vi i b) Âënh l Koenig vãư momen âäüng lỉåüng : Momen âäüng lỉåüng L0 ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm O hãû quy chiãúu (R) : L0 OG mv (G ) LG * våïi : LG * : Momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm G hãû quy chiãúu (R*); G l khäúi tám ca hãû; v (G) : Váûn täúc ca khäúi tám G hãû quy chiãúu (R) Suy ra, momen âäüng lỉåüng LG ca hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G hãû quy chiãúu (R) : LG GG mv (G ) LG * LG LG * 3) Mämen âäüng lỉåüng khäúi tám: Momen âäüng lỉåüng ca mäüt hãû (S) hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phủ thüc vo âiãøm toạn Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Tháût váûy, gi A l mäüt âiãøm báút k, LA * l momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm A * hãû quy chiãúu (R*), vi l váûn täúc ca âiãøm Mi hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), ta cọ: AM i mi vi* LA * mi vi* AG GM i i i Båíi vç: i * i i P* mi vi* AG i Suy ra: LA* LG * mv GM i mi vi* i 4) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt trủc : Hçnh chiãúu ca momen âäüng lỉåüng L0 ca hãû cháút (S) âäúi våïi âiãøm O, trãn trủc âi qua O âỉåüc gi l momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi trủc våïi : e vẹctå âån vë ca trủc L L0 e §4 Täøng âäüng lỉûc v mämen âäüng lỉûc ca mäüt hãû cháút : 1) Täøng âäüng lỉûc: Xẹt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm Mi cọ khäúi lỉåüng mi , cọ gia täúc hãû quy chiãúu (R) Täøng âäüng lỉûc S ca hãû (S) hãû quy chiãúu (R): S mi i Tỉång tỉû âäüng lỉåüng, ta cọ: S ma (G) våïi : m mi i Chỉïng minh: S mi i dvi dt d dt mi vi i d mvG dt ma (G ) Giỉỵa täøng âäüng lỉûc S v âäüng lỉåüng P cọ hãû thỉïc: S dP dt 2) Momen âäüng lỉûc: Momen âäüng lỉûc DO ca hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O hãû quy chiãúu (R): DO OMi mai i i Tỉång tỉû momen âäüng lỉåüng, cng cọ âënh l Koenig vãư momen âäüng lỉûc: DO OG ma (G ) DG* DG* : momen âäüng lỉûc ca hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G hãû quy chiãúu khäúi tám (R*); G l khäúi tám ca hãû, a (G ) l gia täúc ca khäúi tám G hãû quy chiãúu (R) Suy momen âäüng lỉûc DG ca hãû cháút (S) âäúi våïi khäúi tám G hãû quy chiãúu (R) : DG GG ma (G ) DG * DG DG * Tỉång tỉû momen âäüng lỉåüng, momen âäüng lỉûc âäúi våïi hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phủ thüc vo âiãøm toạn Nãúu gi A l mäüt âiãøm báút k, ta cọ: DA* DG* Giỉỵa DO v LO ta cọ hãû thỉïc: dLO dt DO v(O) mv(G) Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Nãúu O l mäüt âiãøm cäú âënh (R) hay O G thç: Chỉïng minh: dL d Ta cọ: O dt dt Thãú m: vi vi OM i mi vi OM i mi i v i mv (G ) , nãn : mi vi i Nãúu O cäú âënh R hay O DO v (O) mi vi vi i dLO dt dLO dt D0 v (O ) mv (G ) dLO dt G , säú hảng thỉï hai ca vãú phi bàòng 0, v: D0 §5 Âäüng nàng ca mäüt hãû cháút : 1) Âënh nghéa : Âäüng nàng ca hãû (S) gäưm n cháút âiãøm Mi, cọ khäúi lỉåüng mi chuøn âäüng våïi váûn täúc vi hãû quy chiãúu (R) : EK i mi vi2 2) Âënh l Koenig vãư âäüng nàng : Âäüng nàng ca hãû (S) hãû quy chiãúu (R) : EK mv(G ) 2 EK * våïi : m mi i Våïi : EK * : Âäüng nàng ca hãû (S) hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) Chỉïng minh: mi vi2 Ta cọ: EK i Thãú m: P* mi vi* i 1 mi v (G ) vi* ) mv (G ) 2 i mv(G )2 EK * , nãn: EK * Ek 2v (G ) i mi vi* §6 Mäüt säú âënh l cå bn ca âäüng lỉûc hc hãû cháút : 1) Âënh l vãư täøng âäüng lỉûc (hay âënh l vãư âäüng lỉåüng) : Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), täøng âäüng lỉûc S ca mäüt hãû cháút khẹp kên (S) bàòng täøng F ext ca táút c cạc lỉûc tạc dủng lãn hãû: S F ext Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo hm theo thåìi gian ca täøng âäüng lỉåüng P ca mäüt hãû cháút khẹp kên (S) bàòng täøng F ext ca táút c cạc lỉûc tạc dủng lãn hãû : dP dt F ext dP S ma(G) F ext dt 2) Âënh l vãư momen âäüng lỉûc (hay âënh l vãư momen âäüng lỉåüng): Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), momen âäüng lỉûc DO ca mäüt hãû cháút khẹp kên (S) âäúi våïi Nhỉ váûy ta cọ: âiãøm O bàòng momen M O ( F ext ) âäúi våïi âiãøm O ca täøng F ext ca táút c cạc lỉûc tạc dủng lãn hãû: DO M O ( F ext ) Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo hm theo thåìi gian ca momen âäüng lỉûåüng LO ca mäüt hãû cháút (S) khẹp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh (Rg) bàòng momen M O ( F ext ) âäúi våïi âiãøm O ca täøng F ext ca táút c lỉûc tạc dủng lãn hãû: dLO dt DO MO (F ext ) (Våïi O l âiãøm cäú âënh (Rg)) Tháût váûy, ta cọ: dLO dt DO v(O) mv(G) våïi O l mäüt âiãøm báút k Khi O l âiãøm cäú âënh Rg, ta cọ: v(O) , âọ: dLO dt DO Tỉì âọ suy ra: dLO dt DO MO (F ext ) Ghi chụ: Trỉåìng håüp O khäng phi l âiãøm cäú âënh (Rg), nhỉng O trng våïi âiãøm G, ta cng cọ: v(O) mv(G) , âọ: dLG dt dLG dt DG Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng váùn nghiãûm âụng: DG MG (F ext ) (màût dáưu G khäng cäú âënh hãû (Rg)) Do DG * DG v LG L* våïi LG : momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm G hãû quy G * chiãúu (Rg), LG : momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) hãû quy chiãúu (R*) Màûc khạc, (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi (Rg), nãn : Suy ra: dLG * dt dLG * dt Rg dLG * dt R* DG* MG (Fext ) R* Nhỉ váûy âënh l vãư momen âäüng lỉåüng cọ thãø váûn dủng cho âiãøm G hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) (màûc dáưu hãû quy chiãúu (R*) cọ thãø khäng phi l hãû quy chiãúu Galilẹe) 3) Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt trủc cäú âënh: Trong hãû quy chiãúu Galilẹe Rg, âảo hm theo thåìi gian ca momen âäüng lỉåüng L ca mäüt hãû cäú âënh (Rg) bàòng momen M (Fext ) âäúi våïi trủc cháút (S) khẹp kên âäúi våïi mäüt trủc ca täøng F ext ca táút c cạc lỉûc tạc dủng lãn hãû: dL M (F ext ) dt Tháût váûy, chiãúu âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn trủc dLO dt MO (F ext ) lãn trủc , suy ra: dL dt ca hãû (S): M (F ext ) 4) Âënh l vãư âäüng nàng : Âảo hm theo thåìi gian ca âäüng nàng ca mäüt hãû cháút (S) khẹp kên hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg) bàòng täøng cäng sút ca táút c cạc näüi lỉûc v lỉûc tạc dủng lãn hãû (S) 10 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng §4 NghiƯm sãng dõng cđa ph ¬ng tr×nh §al¨mbe : 1) Sù h×nh thµnh cđa sãng dõng - D©y Melde: a) ThÝ nghiƯm sãng dõng trªn d©y Melde: Mét sỵi d©y ® ỵc c¨ng th¼ng gi÷a hai ®Çu (H×nh 6) §Çu thø nhÊt g¾n víi mét rung, ® ỵc kÝch thÝch bëi mét nam ch©m ®iƯn, ®Çu d©y sÏ thùc hiƯn dao ®éng bÐ víi tÇn sè v ( v 2v ' , víi v ' : tÇn sè cđa dßng ®iƯn ch¹y qua nam ch©m) §Çu thø hai cđa d©y v¾t qua mét rßng räc Sỵi d©y ® ỵc c¨ng nhê qu¶ c©n cã khèi l ỵng M thay ®ỉi ® ỵc Søc c¨ng trªn d©y: T0 = Mg b) Quan s¸t sãng dõng: Sau giai ®o¹n qu¸ ®é (x¶y mét kho¶ng thêi gian ng¾n), d©y sÏ thùc hiƯn dao ®éng c ìng bøc víi tÇn sè v b»ng tÇn sè cđa rung vµ trªn d©y xt hiƯn c¸c “ bã sãng” Quan s¸t thÊy c¸c dao ®éng x¶y t¹i chç vµ kh«ng dÞch chun Trªn d©y xt hiƯn c¸c sãng dõng Thay ®ỉi tÇn sè v cđa rung Nãi chung, biªn ®é dao ®éng cđa d©y lµ bÐ (vµ cã cïng cë ®é lín víi biªn ®é dao ®éng a cđa rung) Tuy nhiªn, øng víi mét sè tÇn sè nhÊt ®Þnh, biªn ®é nµy cã thĨ trë nªn lín: Trªn d©y xt hiƯn hiƯn t ỵng céng h ëng (H×nh 7) Ta thÊy r»ng øng víi mét tÇn sè cho tr íc, t¹i mét sè ®iĨm cè ®Þnh, c¸ch ®Ịu trªn d©y xt hiƯn c¸c cùc ®¹i dao ®éng (gäi lµ bơng dao ®éng) vµ c¸c cùc tiĨu dao ®éng (gäi lµ nót dao ®éng) y Nam ch©m ®iƯn Rßng räc Thanh rung x O H×nh Khi cã céng h ëng, ®Çu d©y g¾n víi rung gÇn nh trïng víi nót dao ®éng vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai nót b»ng: + ChiỊu dµi L cđa d©y cã mét bã sãng L cã hai bã sãng + L + cã ba bã sãng c) §Þnh nghÜa sãng dõng: Trong thÝ nghiƯm trªn ®©y, mét ®iĨm trªn d©y cã hoµnh ®é x thùc hiƯn mét dao ®éng ( x, t) víi biªn ®é F chØ phơ thc vµo x (vµ kh«ng phơ thc vµo t) ( x, t ) cã d¹ng: ( x, t) F (x).cos( t ) (10) M biªn ®é dao ®éng cđa rung bơng dao ®éng H×nh nót dao ®éng a) TÇn sè bÊt kú b) TÇn sè céng h ëng nhÊt c) TÊn sè céng h ëng thø hai 52 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Trong biĨu thøc nµy, biÕn sè x vµ t ® ỵc ph©n ly Sù phơ thc cđa x hc vµo c ( x, t ) vµo t x kh«ng cßn n÷a Kh«ng cã sù lan trun Hµm ( x, t ) m« t¶ mét sãng dõng c Tãm l¹i: Mét sãng dõng ph¼ng ® ỵc m« t¶ d íi d¹ng thùc bëi hµm cã d¹ng: ( x, t ) F ( x ).G (t ) 2) NghiƯm sãng dõng cđa ph ¬ng tr×nh §al¨mbe: XÐt mét hµm sãng víi biÕn sè ph©n ly m« t¶ mét sãng dõng: ( x, t ) F ( x ).G (t ) 2 Khi ( x, t ) lµ nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh trun sãng §al¨mbe , ta cã: x2 c2 t F ''( x).G (t ) F ( x).G ''(t ) c F ''( x) G ''(t ) V× vËy: A (11) c2 F ( x) G (t ) Hai sè h¹ng ®Çu b»ng vµ lÇn l ỵt phơ thc vµo c¸c biÕn ®éc lËp x vµ t A = h»ng Chóng ta chØ t×m mét nghiƯm chÊp nhËn ® ỵc cho mäi gi¸ trÞ cđa x vµ t Kh«ng xÐt ®Õn c¸c ChØ xÐt tr êng hỵp A < §Ỉt: A nghiƯm ph©n kú Ph ¬ng tr×nh (11) trë thµnh: t F ''( x ) Suy ra: G (t ) c F ( x ) G0 cos( t G ''(t ) G ) F ( x) G (t ) F0 cos( kx F ) víi: k c Tãm l¹i: Sãng dõng ®¬n s¾c, nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh §al¨mbe cã d¹ng: ( x, t ) (12) cos( kx F ) cos( t G) 3) Dao ®éng tù nhá cđa d©y rung hai ®Çu cè ®Þnh: H·y t×m nghiƯm (x,t) cđa ph ¬ng tr×nh trun sãng ngang trªn d©y cã chiỊu dµi L vµ ® ỵc cè ®Þnh ë hai ®Çu NghiƯm (x,t) m« t¶ dao déng tù cđa mét ®iĨm trªn d©y cã täa ®é x a) NghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh trun sãng dao ®éng ngang trªn d©y: NghiƯm tỉng qu¸t cđa ph ¬ng tr×nh trun sãng trªn d©y cã d¹ng: x x ( x, t ) f (t ) g (t ) c c §iỊu kiƯn biªn: f (t ) g (t ) víi mäi t (a) (0, t ) L L (b) ( L, t ) f (t ) g (t ) = víi mäi t c c L L L Tõ (a) vµ (b) suy ra: f (t g (t ) ) = f (t ) c c c 2L Hµm f cã chu kú theo thêi gian lµ T c Khai triĨn hµm f(t) cã chu kú T thµnh chi Fourrier: 53 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) f (t ) a0 bn sin( n 0t ) víi: an cos(n 0t ) n PFIEV  nàơng n c ( ) lµ tÇn sè gãc c¬ b¶n L D¹ng tỉng qu¸t cđa sãng trun trªn d©y hai ®Çu cè ®Þnh: x x ( x, t ) f (t ) g (t ) c c x x ( x , t ) f (t ) f (t ) c c x an cos(n (t bn sin(n (t ( x, t ) a0 )) c n n x x )) )) a0 an cos( n (t bn sin( n (t c c n n 2bn ; Bn 2an §Ỉt: An Suy ra: ( x, t ) x )) c x ) (13) c ( x, t ) theo (13) lµ nghiƯm m« t¶ sãng dõng cđa An cos(n 0t ) Bn sin(n 0t ) sin(n n Hai biÕn x vµ t ph©n ly biĨu thøc trªn ph ¬ng tr×nh §al¨mbe b) C¸c d¹ng dao ®éng riªng cđa d©y rung : @ BiĨu thøc ( x, t ) theo (13) cho thÊy sãng dõng trªn d©y lµ sù chång chÊt cđa nhiỊu sãng dõng x ®¬n s¾c cã d¹ng: Fn ( x)Gn (t ) sin(n ) An cos(n t ) Bn sin(n t ) c x Fn ( x)Gn (t ) F0 n sin( n ).G0 n sin(n t n ) c C¸c hµm Fn ( x ) vµ Gn (t ) cã d¹ng ®iỊu hßa: Fn (x) F0n sin(2 x n x ) F0n sin(2 ) 2L n Gn (t ) G0n sin(2 t nc 2L n ) G0n sin(2 n t n ) c 2L c ; n n ; n 2L L Chu kú theo kh«ng gian cđa Fn(x) t ¬ng øng víi: 2L víi: 2L n n n Chu kú theo thêi gian cđa Gn(t) t ¬ng øng víi: c c n n víi: n 2L 2L Trong ®ã n lµ sè nguyªn c Ta cã: 0 n n víi: n Nh vËy d©y rung cã n d¹ng dao ®éng riªng øng víi n tÇn sè gãc riªng 0n n n c L D¹ng dao ®éng thø nhÊt (n = 1): (4) Ta cã : víi : T T 2L c c L 54 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) c 2L 0 ; 2L n PFIEV  nàơng 2L L D¹ng dao ®éng thø hai (n = 2): 2 ; 2 L 2 D¹ng dao ®éng thø ba (n = 3): 3 ; 3 L 3 D¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè gãc riªng thÊp nhÊt gäi lµ d¹ng dao ®éng riªng c¬ b¶n (n = 1; c ) L HiƯn t ỵng céng h ëng x¶y trªn d©y Melde mçi tÇn sè kÝch thÝch trïng víi mét c¸c tÇn sè riªng cđa dao ®éng cđa d©y H×nh : C¸c d¹ng dao ®éng riªng cđa d©y rung hai ®Çu cè ®Þnh 55 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Ch ¬ng III : sãng ©m chÊt L u Sãng ©m (©m) lµ sãng c¬ cã biªn ®é nhá mµ thÝnh gi¸c cã thĨ nhËn biÕt ® ỵc VÝ dơ sãng ph¸t tõ mét nh¸nh ©m thoa, mét d©y ®µn, mét mỈt trèng Nh÷ng dao ®éng ©m cã tÇn sè dao ®éng kho¶ng 20Hz ®Õn 20000Hz Nh÷ng dao ®éng cã tÇn sè d íi 20Hz gäi lµ h¹ ©m, trªn 20000Hz gäi lµ siªu ©m Nh vËy, d¶i sãng ©m nghe ® ỵc cã b íc sãng tõ 20m ®Õn 2cm (H×nh 1) VỊ ph ¬ng diƯn vËt lý c¸c ©m nghe ® ỵc hay kh«ng nghe ® ỵc kh«ng cã g× kh¸c vỊ b¶n chÊt Chóng chØ kh¸c vỊ ph ¬ng diƯn sinh lý, thÝch hỵp hay kh«ng thÝch hỵp ®èi víi tai ta 20Hz H¹ ©m 20000Hz Nghe d ỵc Siªu ©m H×nh 1: §1 Ph ¬ng tr×nh lan trun sãng ©m : 1) ¢m vµ sù lan trun cđa sãng ©m: a) ThÝ nghiƯm : Mét chiÕc loa nèi víi mét m¸y ph¸t tÇn sè thÊp (GBF), ph¸t mét ©m nghe ® ỵc §Ĩ ph©n tÝch hiƯn t ỵng trun ©m, ta dïng thªm micro vµ quan s¸t tÝn hiƯu ©m ph¸t tõ m¸y ph¸t vµ thu ® ỵc tõ micro nhê mét dao ®éng ký (H×nh 2) b) HiƯn t ỵng lan trun : Loa Trªn mµn h×nh dao ®éng ký, ta nhËn ® ỵc Micro hai tÝn hiƯu h×nh sin, cã cïng tÇn sè nh ng lƯch pha (H×nh 2) Micro b¾t ® ỵc mét tÝn hiƯu h×nh sin loa ph¸t Sãng ©m ®· trun kh«ng khÝ tõ m¸y ph¸t (loa) ®Õn m¸y thu (micro) Khi ® a micro xa dÇn loa, ®é lƯch pha t¨ng dÇn Thêi gian trun tÝn hiƯu tõ m¸y ph¸t ®Õn m¸y thu t¨ng dÇn theo kho¶ng c¸ch gi÷a chóng Khi dÞch chun chËm micro xa loa c¸c kho¶ng c¸ch b»ng , tÝn hiƯu h×nh sin thu ® ỵc H×nh : ¢m lan trun tõ loa ®Õn micro ë micro trë l¹i trïng víi vÞ trÝ ban ®Çu Ngoµi chu kú theo thêi gian lµ T, sãng ©m thu ® ỵc cßn cã chu kú theo kh«ng gian lµ Nh vËy sãng ©m d¹ng sin còng cã nh÷ng ®Ỉc tr ng gièng nh c¸c ®Ỉc tr ng cđa nghiƯm d¹ng sin cđa ph ¬ng tr×nh §al¨mbe c) VËn tèc cđa ©m : Ta ®· biÕt r»ng c¸c chu kú theo kh«ng gian vµ theo thêi gian cđa mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c, nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh §al¨mbe, øng víi mäi tÇn sè , liªn hƯ víi b»ng hƯ thøc : cS T víi cS lµ vËn tèc trun sãng 56 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Khi thùc hiƯn thÝ nghiƯm nãi trªn, nÕu thay ®ỉi tÇn sè cđa tÝn hiƯu ®iƯn gëi vµo loa, lỈp l¹i thao t¸c trªn ®©y nhiỊu lÇn vµ thùc hiƯn c¸c phÐp ®o, ta thÊy r»ng tû sè T cđa sãng ©m b»ng h»ng sè: 340m / s cS biĨu thÞ vËn tèc cđa sãng ©m kh«ng khÝ T d) M«i tr êng lan trun : Khi dïng tÇn sè kh¸ nhá, ta cã thĨ quan s¸t ® ỵc c¸c dao ®éng cđa mµn loa (dao ®éng ®iƯn ®· biÕn thµnh dao ®éng c¬) Víi nh÷ng tÇn sè nghe ® ỵc, hiƯn t ỵng còng t ¬ng tù Chun ®éng cđa mµn loa g©y nh÷ng dao ®éng nhá cđa kh«ng khÝ C¸c m«i tr êng vËt chÊt nh kh«ng khÝ, c¸c chÊt khÝ cã tÝnh ®µn håi Chun ®éng cđa mµn loa lµm líp kh«ng khÝ l©n cËn bÞ nÐn l¹i, ¸p st cđa líp kh«ng khÝ nµy t¨ng lªn chót Ýt, vµ ®Õn l ỵt m×nh, nã ®Èy líp kh«ng khÝ l©n cËn chun ®éng , t¹o nªn sãng ©m Nh vËy, cã sù liªn kÕt gi÷a vËn tèc vµ ¸p st d dßng chÊt l u, vµ ®©y chÝnh lµ nguyªn nh©n cđa sù lan trun Sãng ©m chØ lan trun m«i tr êng vËt chÊt, kh«ng thĨ lan trun ® ỵc ch©n kh«ng 2) C¸c ph ¬ng tr×nh liªn kÕt : a) M« t¶ bµi to¸n : §Ĩ t×m ph ¬ng tr×nh lan trun sãng ©m, cÇn dùa vµo c¸c ph ¬ng tr×nh chun ®éng cđa chÊt l u Chun ®éng cđa chÊt l u ® ỵc m« t¶ bëi c¸c ph ¬ng tr×nh : Ph ¬ng tr×nh b¶o toµn khèi l ỵng : cS div( v) = t (Gi¶ sư bªn chÊt l u kh«ng cã ngn thªm khèi l ỵng; v, t¹i mét ®iĨm M m«i tr êng chÊt l u) Ph ¬ng tr×nh chun ®éng (ph ¬ng tr×nh Euler): v (v.grad)v = - gradP + f V t (1) : vËn tèc vµ khèi l ỵng riªng (2) (Gi¶ sư bá qua ®é nhít cđa chÊt l u; f V lµ lùc thĨ tÝch cđa chÊt l u ë tr¹ng th¸i tÜnh, vÝ dơ lùc g ) träng tr êng : f V BiĨu thøc c©n b»ng n¨ng l ỵng (nguyªn lý thø nhÊt cđa nhiƯt ®éng häc): (3) dU Q W Ph ¬ng tr×nh tr¹ng th¸i : f ( P, , T ) (4) §©y lµ mét hƯ gåm ph ¬ng tr×nh v« h íng vµ phøc t¹p cÇn ph¶i gi¶i Do vËy, ta sÏ ® a nh÷ng gi¶ thut nh»m ®¬n gi¶n hãa bµi to¸n b) Gi¶ thut nhiƯt ®éng häc : Thùc nghiƯm chøng tá r»ng sù lan trun cđa c¸c sãng ©m ® ỵc ®Ỉc tr ng bëi sù t¾t dÇn rÊt u lßng m«i tr êng lan trun Cã thĨ bá qua sù tiªu t¸n n¨ng l ỵng (do dÉn nhiƯt, ®é nhít ) vµ cã thĨ coi nh cã sãng ©m lan trun, chÊt l u thùc hiƯn c¸c chun ®éng nhá ®¼ng entropi (®o¹n nhiƯt) Gäi P0, lµ ¸p st, khèi l ỵng riªng cđa chÊt l u ®øng yªn (gi¶ sư P0, b»ng h»ng sè vµ ®ång nhÊt khèi chÊt l u) Khi xt hiƯn sãng ©m chÊt l u, c¸c ®¹i l ỵng nµy biÕn thiªn kh¸ bÐ Gäi : 0 : ®é biÕn thiªn khèi l ỵng riªng cđa chÊt l u p P P0 : ®é biÕn thiªn ¸p st (p gäi lµ ¸p st d ©m häc) Sư dơng hƯ sè nÐn ®¼ng entropi : S V V P víi : V p P0 M S 57 Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) Suy ra: PFIEV  nàơng V S M S P M S M P P S S P P0 Nh vËy: S p c) Tun tÝnh hãa c¸c ph ¬ng tr×nh : Sù thay ®ỉi tr¹ng th¸i cđa chÊt l u sãng ©m g©y lµ nh÷ng nhiƠu lo¹n nhá tÝnh hãa c¸c ph ¬ng tr×nh nãi trªn (phÐp gÇn ®óng ©m häc) Ph ¬ng tr×nh b¶o toµn khèi l ỵng : t div( v) = Víi : hay : div(v) + vgrad t ( 0 p (5) Cã thĨ tun (5) b»ng h»ng sè) div(v) + v grad 0 div (v) + t Ng êi ta chøng minh ® ỵc r»ng, biªn ®é dao ®éng cđa mét phÇn tư chÊt l u