tuyển tập pt, hệ, bất pt hay

PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn TUYỂN TẬP P ƢƠ B P ƢƠ R - H P ƢƠ R R A Ơ – Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn 3 y (2 x  y )  x (5 y  x )  y  Bài Giải hệ phương trình  ( x, y  R )   x  y 1   x  y  Lời giải Điều kiện: x  2; y  1; y3 (2 x  y)  0;5 y  x  Sử dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số không âm ta có: y  (2 x  y )  y (2 xy  y )  Vì ta phải có: y  3xy  y  xy  y  xy; x (5 y  x )  x  y  x y  3x  2 y  3x  3( x  y )2   x  y Vậy phương trình đầu hệ tương đương với: x  y Thay y  x vào phương trình thứ hệ ta được: Do  x  x    x  x2 (*)  x  x   nên ta phải có: x2  x    x  ( x  1 ) Khi phương trình (*) tương đương với: 1    x2  x   ( x    x )  ( x  x  1)   x  x  1     x 1   x x  x     x2  x   (   1   0) x 1   x x  x   1 (t / m) x  1  x y  1 (l ) x    1 1  Vậy hệ có nghiệm ( x; y )    ;     Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Bài (THPT Minh Châu) 2  (1)  ( x  y )  x  y (2 x  y )  y  x(2 x  y ) Giải hệ phương trình:  2( y  4) x  y   ( x  6) x  y   3( y  2) (2)  Lời giải: x  x    ĐK  y  y  2 x  y   Nếu y= (1)  2 (vô lý)   x x x2 Tương tự x= không thỏa mãn, x,y >0 Đặt x  ty, t  0, phương trình đầu trở thành: 2   (1') ( t  1) t  2t  1  t (2t  1) Ta có 2    t  2t  2t  2t  (2t  1)  2t   ( 2t   1) (1')  2 1      (2) Đặt ( t  1)2 ( 2t   1)  t (2t  1) ( t  1) ( 2t   1)  t (2t  1) a  t 1  (a, b  0), (2)(2)    (*)  2 (1  a) (1  b)  ab b  2t   Bổ đề: 1   2 (1  a) (1  b)  ab Áp dụng BĐT Cauchy-Schawarz ta có: (1  ab)(a  b)  ( a  ab , b )2  a(1  b)2  Tương tự a  (3) (1  b) ab ab b  (4) (1  a) ab ab Cộng vế với vế ta đpcm Dấu “=” xảy  a  b (*)  t  2t   t   x  y 2( x  4) x   ( x  6) x   3( x  2)   4( x  4)2 ( x  3)  ( x  6) (2 x  1) 4( x  4) ( x  3)  ( x  6) 2( x  4) x   ( x  6) x     3( x  2) 2( x  4) x   ( x  6) x   Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn ( Do ĐK x  nên x   ) 2( x  4) x   ( x  6) x   3( x  2) (5)   x  x  28 (6) 2( x  4) x   ( x  6) x    Cộng vế (5) với (6) ta được: 4( x  4) x   x  x  28  3( x  2)  12( x  4) x   2( x  4)( x  12)  2( x  4)(6 x   x  12)   2( x  4)( x   x   9)   2( x  4)( x   3)2  x   y   x   y  Vậy phương trình cho có tập nghiệm T  (4; 4),(6;6) Bài (THPT Phù Cừ)  x  x  y  x  y   y   Giải hệ phương trình  ( x, y  )  x  y   x  y  x  y  3x  y  Lời giải:  x2  x  y    ĐK: 2 x  y  5 x  y  3x  y   x  Trường hợp 1: x2  x  y   từ (1)  y    y  1  x  x    x  x  Thử lại vào phương trình (2) thấy  thỏa mãn Suy (1; 1) nghiệm HPT  y  1 Trường hợp 2: x2  x  y   (1)  x  y   y 1 x2  x  y  x y2  ( x  y  1)  x  y     x  y 1 1  y 1 x2  x  y  1 ( x  y  1)( x  y  2) x2  x  y 1  y  Ta có: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn   x  y 1  ( x  y  2)   0  ( x  y  1)  x  y   x  x  y  1y  1   x  y    x  y 1    0(*)  ( x  y  1)  x  y   x2  x  y   y    1  x  x  x  y 1  Vì   x  x  y   2 x   x  x     1  2 x  y  x   2 Nên y  2 x    y      x  y   Do PT (*) vô nghiệm Suy y  x  Thế vào phương trình (2) ta được: x   3x   8x2  x   x   3x   2(2 x  1)  2(3x  2)  2 x   a(a  ) Điều kiện x  Đặt   3x   b(b  0)  Phương trình trở thành: a  b  2a  2b2  a  2ab  b2  2a  2b2  (a  b)2   a  b Từ ta có x  x   3x   x  x   3x   x  x     (t / m) x   2  ) x   y  1 Thử lại HPT thấy thỏa mãn ) x   y   Thử lại không thỏa mãn 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1; 1) Bài ( P chƣơng  x  xy  x  y  y  y   ) Giải hệ phương trình   y2  x   y 1  x 1  Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Lời giải:  xy  x  y  y   ĐK: 4 y  x    y 1   Ta có (1)  x  y  ( x  y)( y  1)  4( y  1)  Đặt u  x  y , v  y  1(u  0, v  0) u  v Khi (1) trở thành : u  3uv  4v    u  4v(vn) Với u  v ta có x  y  1, thay vào (2) ta được: y2  y   y 1  y  y  y   (2 y  1)  ( y   1)   2( y  2) y  y   y 1  y2 0 y 1 1   ( y  2)    y  y   y 1   y  ( y2  y   y 1  0 y 1 1     0y  ) y 1  Với y= x= Đối chiếu ĐK ta nghiệm hệ PT (5;2) Bài ( P hanh hƣơng )  y   x   3xy  y   Giải hệ phương trình:  ( x, y  R ) 4( x  xy  y ) 2  2( x  y )  2x  y   Lời giải: Từ PT (2) ta có hệ PT có nghiệm x  y  đặt a  x2  y , b  4( x  xy  y ) (a, b  0) ,PT(2) trở thành: a  b  a  b  2(3b2  a )  (a  b)(3a  5b)    3a  5b  Với a  b   x  y thay vào PT (1) ta y   5x   3x  x  3(*) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn ĐK: x   Khi PT (*)  3( x2  x)  [( x  1)  3x  1]  [( x  2)  5x  4]=0 1    ( x  x)    0 x   3x  x   x    x   x2  x    (t / m) x  Với 3a  5b   a  b   x  y  nghiệm phương trình Cách khác: Với x  y  ta có: x  y  ( x  y)2  x  y  x  y x  xy  y  ( x  y )  xy  ( x  y )  2x2  y  ( x  y)2 4( x  xy  y )   x y 4( x  xy  y )  2( x  y )  PT (2)  x  y Bài (THPT Lý Thái Tổ)  x  x  2( x  x)  y  (2 y  3) x   Giải hệ phương trình:  x  x3  x    3 2y  2x 1  Lời giải: 1 Điều kiện: x   ,   y  2 PT (1)  x2  x   2( x  1) x  y  x (3  y)   ( x  1)  2( x  1) x  y  x (3  y )    x 1 x  y  0  x  y  x  (3) Nhận thấy x  không nghiệm phương trình  x  Suy (3)   y  x 1  1 x x Thay vào PT (2) ta được:  x  x3  x    (2 x  1)   x  x  x3 x 2x 1 x  1 2 1 2      1  1  1   1   1  1  1  x x x x x x x x    (4) Xét hàm số f (t )  t  t , t  R Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Ta có: f '(t )  3t   0t  R  Hàm số f(t) đồng biến R   1 2 Do đó, (4)  f     f            x x x x   Đặt a  (5) 1  2a  ( 0)  (5) trở thành:  a   2a   3 x (1  a)  (1  2a)  a    1    a   a   1 1    a  2 a 2 a  a  a  a  a        1 a   Với a  1 5 1 1 x  (3)   y   (l ) 2 Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm ( x  y )  xy (6  x  y )  36  Bài (THPT Nghèn) Giải hệ phương trình  4 2  y  x  x  xy  y  Lời giải: Điều kiện: xy  0,5 y  x  Xét PT (1) xem x  y ẩn ta có : ( x  y )2  xy (5 y  x )  12 xy  36    xy   Do x2  y  6, x2  y  2 xy  (l ) Thay x  y  vào (2) ta có: y  x   x  y  x  y   xy  y  x   y  5x   x y  xy Xét f (t )  t  t , t  Hàm số đồng biến y  x  xy  x  y Thay vào x  y5  giải ta có x  y  1 Vậy hệ cho có nghiệm  x, y   1,1   1,  1 Bài ( P hƣ hanh) Giải phương trình 5x3  x2   10 x3  8x2  x   x  13  Lời giải: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn 5 x3  x    + Điều kiện  (*) 10 x  x  x    + Phương trình tương đương với 5x3  x2   10 x3  8x2  x   x  13 Với (*), áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: x3  x   1(5 x3  x  2)  (5 x3  x  2)  (1) Tương tự ta có 10 x3  x  x   4.(10 x3  x  x  1)  (10 x3  x  x  1)  (2) Từ (1) (2) ta có VT  5x3  x2   10 x3  8x2  x   4 x2  x  Mặt khác ta lại có 4 x2  x   4 x2  x   4( x  1)2  x  13  VP 5 x3  x    + Vậy PT cho  10 x3  x  x    x  4( x  1)   Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài ( P chuyên ĩnh Phúc )  x  xy  y  x  xy  y  3( x  y ) (1)  Giải hệ phương trình:  (2)  x  y   12 x  y   xy  x   Lời giải: 5 x  xy  y   + ĐK: 2 x  xy  y   x  y   x  y 1   Khi hệ có nghiệm ( x, y)  x  y   Ta thấy 5x  xy  y  x  y (*) dấu xảy x  y (*)  5x2  xy  y  (2 x  y)2  ( x  y)2  với moi x, y  R Tương tự x  xy  y  x  y (**) dấu xảy x  y Từ (*) (**)  VT  5x2  xy  y  x  xy  y  3( x  y)  VP1 Dấu đẳng thức xảy x  y (3) Thế (3) vào (2) ta được: 3x   19 x   x  x  (4) đk x   Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn (4)  2( x2  x)  ( x   3x  1)  2( x   19 x  8)  x2  x x2  x  2( x  x)   0 x   3x  ( x  2)  ( x  2) 19 x   (19 x  8) 2   1  ( x  x)     2 x   3x   ( x  2)  ( x  2) 19 x   (19 x  8)  x 0    0     x   y    x  x  0  (t / m)   x   y  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x, y)  (0,0);( x, y)  (1,1) ( y  1)2  (3x  2)3   y 3x   3xy  ( x, y  R ) Bài 10 Giải hệ phương trình   x  3x  12 x  (3x  1) y    Lời giải: ĐK: x   (1)  y( y  3x  2)  ( y  3x  2) 3x    ( y  3x  2)( y  3x  2)   y  3x    y  3x  Với y  3x  thay vào (2) ta x3  3x  12 x  (3x  1)(3x  2)    x3  12 x  15 x    ( x  1)( x  11x  4)   x  1   x  11  105    11  105 29  105  Từ tìm nghiệm ( x, y )  (1,1);( x, y )   ,    2   Với y  3x  thay vào (2) ta x3  3x2  12 x  (3x  1) 3x     (3x  2) 3x   3(3x  2)  3 x     x3  3x  3x   ( 3x   1)3  ( x  1)3  3x    x Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 10 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn  x2  2x  x2  2x      ,với x   2; 2 (3) Dấu đẳng thức (3) xảy x  0,x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  0,x  Bài 19 (THPT Trần ƣng Đạo) 2 y   y   x   x Giải hệ phương trình    (y  4)(2y  12)   x2  y  (x2  2)(x2  y)  (1) (2) Lời giải y    ĐK:  x  y  + Từ PT (2) ta có: (y  4)(2y  12)   x  y  (x  2)(x  y)  x2   y  (y  4)(2y  12)  (x  2)(x  y)   2(x2   y)  (y  4)(2y  12)  (x  2)(x  y)   2y   y     x2   x2  y   y  2  y     2y   y   2   x2   x2  y       + Thay vào PT (1) ta được: y   y   x3   x  y   y   x3   x   y2    y   x3   x + Xét hàm số f(t)  t  t  , t  R ta có: f '(t)   f3  y2  3t 2 t3   f(x)  0(t  R)  y2 x Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 18 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn  y2 0   x    (t / m)  y   x  y  2   + Vậy ta có   Kết luận nghiệm hệ (x.y)   , 2  Bài 20 (THPT Lý Thái Tổ) xy  y  2y  x   y   x (1)  Giải hệ phương trình  3  y  2x  3y   2x  (2)  Lời giải ĐK: x  ,1  y  6,2x  3y   (*) x  Nhận thấy  y  không nghiệm hệ phương trình  y 1  x  Khi đó, PT (1):  x(y  1)  (y  1)2   (y  1)(x  y  1)  y 1 x y 1  x y 1 x y 1  x   0  (x  y  1)  y    y 1  x     x y 1  y  x  1(do(*)) Thay vào PT (2) ta được:  x  5x   2x  DK :  x  5(**)   x  (7  x)  3( 5x   x)   4  5x  x  x  (7  x)  3( 4  5x  x ) 5x   x 0    ( 4  5x  x )   0   x  (7  x) 5x   x     x  5x   0(do(**)) x   t   (t / m (*)(**)) x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2),(4; 5) Bài 21 (THPT Quỳnh ƣu 2015) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 19 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn  9x2  9xy  5x  4y  y   Giải hệ phương trình   x  y    9(x  y)  7x  7y  Lời giải  9x2  9xy  5x  4y  y   (1) Giải hệ phương trình   x  y    9(x  y)  7x  7y  (2) ĐK: x  y  Nếu x  y (2) vô nghiệm nên x  y (2)  x  y   7x  7y   3  x  y       6x  6y x  y   7x  7y  (1  3x  3y)(1  3x  3y)     (1  3x  3y)   (1  3x  3y)   x  y   7x  7y      x  y  nên   (1  3x  3y)  suy  3x  3y   x  y   7x  7y    Thay y  x  vào phương trình (1) ta  1  1 9x  9x  x    5x   x    x   3 3    18x  8x  6x  9 x 0 3  2x(9x  4)  (9x  4)  3( 9x   1)     (9x  4)  2x   vi x  0x 9x     Với x  4 1 y  Vậy hệ có nghiệm (x, y)   ;  9 9 9 Bài 22 (Đặng Thúc Hứa)  (2x2  y2  y  1)y  2x2   Giải hệ phương trình  x2  y  x2   (1  y) x  (x, y  R) Lời giải Điều kiện  x  (1)  (2x2  1)(y  1)  y2 (y  1)   (y  1)(2x  y  1)  x  Với y  ,thay vào (2) ta có x2   x2    x2    x2        Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/  x  (  x  ) - Trang | 20 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Trường hợp hệ có nghiệm (x, y)  (0;1),(x, y)  (1;1) Với 2x2  y2  , ta có: x  y   (a) 2x2  y2   x2  y   x2     1  x   Từ phương trình (2) : x2  y  x2   (1  y) x   x  y  x  (1  y) x   x2  y  x2 (do   y    y  0)   x  y2   x2   x  y (b) x2  y   x   Từ (a),(b) cho ta  x    y   y1   Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho T  (0;1),(1;1) ĩnh) Bài 22 (Chuyên   x3  y y   y  x  Giải hệ phương trình    (4x  3)   y  3x        Lời giải  Điều kiện  x1 0  y  16 ( *) Với điều kiện (*) ta có :  x3  y y   Do (1)   x3  y y   x  y  (1  x3 )  (y y  1)  x3  y y  x y  (x  y)(x2  x y  y   x  y y    y  x (do x2  x y  y   x  y y   0) Thế vào (2) ta : (4x  3)( x   3x   1)  Vì x   1 nghiệm (3) nên (4)  x   3x   4x  Xét hàm số g(x)  x   3x   Ta có g '(x)  x4  (3x  4)2   3  ( 4; )\   4x   4 36 (4x  3)  x  4, x   3 3   Suy hàm số g(x) đồng biến khoảng  4;   ;   ;   4    Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/  - Trang | 21 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Lập BBT ta thấy phương trình g(x)  có tối đa nghiệm Ta lại có g(0)  g(3)  suy x  0; x  3 nghiệm phương trình g(x)  Với x   y  0; x  3  y  Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có nghiệm:  0;  ;  3;  Bài 23 (Thanh Hóa)   Giải hệ phương trình  x2 y  x2   2x x2 y   y3 (x6  1)  3y(x2  2)  3y    (x, y  R) Lời giải Điều kiện : x2 y  2 Gọi phương trình (1) (2) (2)  x6 y3  3x2 y  y3  3y2  3y   3(y  1)  (x2 y)3  3x2 y  (y  1)3  3(y  1)(3) Xét hàm số f(t)  t  3t có f '(t)  3t   0, t  R Do (3)  f(x2 y)  f(y  1)  x2 y  y  1,(y  1) Thế vào (1) ta x2 y(y  1)  2x y     (x y   1)2   x y   Do hệ cho tương đương với  x2 y  x   y   x2 x y          x2 y  y   x2 (2  x )  x  1(4)  x y  y   x0  x0       (4)  x  3x    (x  1)2  x   (x  x  1)(x  x  1)   1  x 1 1   Do x  nên x  x  2  1  x   Với x  1 1  Với y 2 x 1  1 y 2  1 1   1    ; ;  ,(x, y)       2     Vậy hệ cho có nghiệm (x, y)    Bài 24 (Lào Cai)   Giải hệ phương trình sau tập số thực  x2   2y  x (1) x  xy  x  y  y  5y   (2) Lời giải Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 22 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn - Điều kiện xy  x  y2  y  y  -Với điều kiện : (2)  (x  2y  1)  3( xy  x  y  y  y  1)    3(y  1) 0  (x  2y  1) 1   xy  x  y  y  y      x  2y   ( Vì với x, y thỏa mãn xy  x  y2  y  y  1 3(y  1) xy  x  y  y  y   0) Thế 2y  x  vào (1) ta có x2   x   x2  x2  x2   2 x2 x 1 1  (x  2)(x  2)   2(x  2) (x  2)     (x  2)   0(3) x 1 1  x2      Ta thấy : x   2(x  2) x2    x 1 1  (x  2)     (x  2)   0 x 1 1 x5 3  Nên (3) có nghiệm x   1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x, y)   2;  Bài 25 ( Nguyễn Công Trứ 2015) Giải phương trình 2x3  10x2  17x   2x2 5x  x3 Lời giải Nhận xét : x  không thỏa mãn phương trình cho Chia hai vế phương trình cho x , ta 2  10 17    23 x x x x 1 x Đặt t  (t  0) , phương trình trở thành 2  10t  17t  8t  5t  3 3  (2t  1)3  2(2t  1)   5t    5t   f(2t  1)  f( 5t  1)     với f(t)  t  2t, t  R Ta có : f '(t)  3t   0, t  R nên f đồng biến R , : Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 23 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn 3 f(2t  1)  f  5t    2t   5t       t  (loai)    17  97  (2t  1)3  5t   8t  17t  6t  t  (nhan) 16   17  97 (nhan) t  16  17  97 17  97 x 16 12 17  97 17  97 t x 16 12 t Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài 25 ( P Phan Đình Phùng 17  97 12 ội)    2  (x  x  2x   1)  y  y    (1)   Giải hệ phương trình  2 x  y  2y  9x   y   2x  y (2)  (x, y  R) Lời giải Ta có y2   y2  y  y  y  y2   , nhân hai vế phương trình (1) với y  y2   (1)  (x  1)  (x  1)2   y  ( y)2  1(3) Xét hàm số f(t)  t  t  R , có f '(t)  t  t2  t2   t t t2   0, t  R  f(t) đồng biến R Vậy (3)  f(x 1)  f( y) x 1  y  y  x 1 Thay vào (2) ta có (2)  2x  9x    x  3x   2x  9x   3x    x   2x2  9x     (x  5)(2x  1)    3x     x  3(x  5) 3x    x5 1  x  x5   2x     3x     x  0 (4) Từ điều kiện   x   (4) vô nghiệm Vậy nghiệm hệ (x, y)  (5; 6) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 24 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Bài 26 (THPT Thuận Thành số Bắc Ninh)  2x2  6xy  5y  2x  2xy  13y  2(x  y) Giải hệ phương trình     (x  2y) x   4y y  8y y  x  Lời giải  x  2  Điều kiện:  y  x  y   Xét y = , hệ vô nghiệm nên y khác Chia vế (1) cho y ta được: 2 x x x  x x          13     y y y y y  x y Đặt t  (t  1) 2 PT: 2t  6t   2t  2t  13  2(t  1)  t  2t  3t  4t    t  1(loai)  (t  1)2 (t  2)2     t  2(t / m) Với t   x  2y vào (2) ta được: 4y 2y   4y y  8y y  2y   4y 2y   2y   8y y  4y y 4 2 2    8y  4y y y y 2  2    2 2 2   2y  2.2y y y y   (3) Xét hàm số f(u)  u3  2u với u  , có f '(u)  3u2   , u  => hàm số đồng biến   Từ (3)  f     f(2y)    2y  4y  2y    y   y  y   Hệ có nghiệm (2,1) Bài 27 (THPT Lạng Giang số 1) x4 y  2x4  y  2y  y    Giải hệ phương trình   y3  3y   x2  x2   (x, y  ) (1) (2) Lời giải: y  (1)  (y  2)(x4  y  1)    x  y   Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 25 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn + Với y= thay vào (2) ta phương trình 6  x2  x2   x2   x2   4(x2  9)  (x2  6)2  x4  8x2   x  + Với x4  y2  Suy 1  x  1, 1  y  Xét hàm số f(y)  y3  4y  8, y  1;1 hàm số g(x)  x2  x2  , x  1;1     Tìm max f(y)  f( 1)  6 g(x)  g(0)  6 1;1   1;1   Tức ta có: y3  3y   6  x2  x2  , x  1;1 , y  1;1     x  Từ (2)    y  1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0;2) (0;-1) Bài 28 ( P ùng ƣơng Phú họ 2015) Giải bất phương trình sau: x   x   x3  x  x   x Lời giải ĐK: x  1, Phương trình tương đương với : (2 x  x  3)(2 x  x  3) x   2x 4x  x   x   ( x  1)( x  x  5)  x   2x x   ( x  1)( x  x  5)   x  1(4 x  3)   x  1  x  x   0 x   2x   x 1    x  1(4 x  3)  x  3x    0(*)  x   2x  Mặt khác ta có  x  3x     x  ( x  3)2  1   x   Theo bất đẳng thức cosi: x  ( x  1)   x  Do ta có: x (4 x  3) x  1(4 x  3)   x    x  3x  2x x   2x Điều chứng tỏ phương trình (*) vô nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x=1 Cách khác: chứng minh (*) vô nghiệm sau:  x2  3x    ( x  2)2  x    x   x  Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 26 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Mặt khác x  1(4 x  3)  x   2x x  1(4 x  4)  x    x  3x   2x Bài 29 (Quảng Nam thi thử THPT Quốc Gia 2015) Giải phương trình x3  x2  x(1  x  1)  x 1   Lời giải Điều kiện: x  (*) (1)  x3  x2  x   2(6 x  1) x  (2) 2 x  x  x   y Đặt y  x  1, y  0, ta có hệ phương trình :  18 x   y  Suy ra: x3  x  12 x   y  y  2( x  1)3  3( x  1)2  y  y (3) Xét hàm số f (t )  2t  3t , với t  f '(t )  6t  6t  0, t  f (t ) liên tục nửa khoảng 0;   nên f (t ) đồng biến nửa khoảng 0;   x  x 1  (3)  f ( x  1)  f ( y)  x   y 6x 1  x  Từ đó:  x   (thỏa (*))  x   ( x  1)  x  x     x    Vậy phương trình (1) có nghiệm: x   x   Bài 30 ( P ĩnh ong) Giải bất phương trình x    x   x   3x  (1) Lời giải: + ĐK:  x  Ta có x   3x    x  1  1) trở thành + Do  3x   x    3x   x   3x   x    x   3x   x    x   3x  (2) x   3x   0, x  1; 2 nên Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 27 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn (2)  3x   x    x  3x    x  x   3x     x  x  1  3x  0   x  1  3x    +   x  3x     x  x    1  x  2  13x  17    x  3x    3x         1  x  +  1 x  x  So với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình S  1; 2 Bài 31 ( THPT Võ Nguyên Giáp) Giải bất phương trình x 3 9 x  x x 1  x  Lời giải + ĐK: 1  x  0; x      x  3x   x x   x   x x 1  x   x  3    0   x  1   x x   x   x x 1  x  x 33   x 1 x   x 1   x x   0  x 8  x 1   0 x  x 1  1  x      0 x 8 00 x8 x Đối chiếu với điều kiện ta tập nghiệm  x  Bài 32 (THPT Việt Trì)  x3  y  x  y  10 x  y    Giải hệ phương trình:   x    y  x  y  4x  y  (1) (2) Lời giải: +ĐK x  2; y  Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 28 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn + (1)  x3  5x2  10 x   y  y  y   x  1   x  1   x  1  y3  y  y Xét hàm số f (t )  t  2t  3t , f '(t )  3t  4t   t  => f ( x  1)  f ( y)  y  x  Thay vào (2) ta phương trình: x    x  x3  x  x        x    x   x3  x  x    x    x   4   x   3 x 3    x    x     x2  x   x   3 x 3   x  x  x            x    x    x   3 x 3    x    x    x   3 x 3        x  1 x     x  2 x2  x    x  2 x2  x    0  x  3  x       x   x2  x      x  1   x       x   3 x 3     x  2  x    x       Vậy hpt có nghiệm ( x; y)  (2;3) ( x; y)  (1;0) Bài 33 (THPT Hậu Lộc lần 1- 2016) 2 x3  x  3x   x3 (2  y )  y  Giải hệ phương trình   x   14  x  y   (1) (2) Lời giải Ta thấy x  nghiệm hệ Chia hai vế (1) cho x ta Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 29 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn (1)      2(2  y )  y x x x  1  1  1    1    (3  y )  y   y (*)  x  x Xét hàm f (t )  t  t đồng biến R (*)     y (3) x Thế (3) vào (2) ta được: x   15  x   x     15  x    1   ( x  7)   x    x  15    0      0  x  15      111  Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y)   7,   98  Bài 34 (Sở GD-Đ ĩnh Phúc lần 1-2016) x   ( y  2) ( x  1)( y  1) (1) x  x 1 Giải hệ phương trình  ( x, y  R ) 3x  x   4( x  1) y  (2)  Lời giải ĐK: x  1, y  1 (1)  x ( x  1)  x  ( y  2) ( x  1)( y  1) x 1 x3  x  ( y  2) ( x  1)( y  1) x 1 x3 x    ( y  2) y  ( x  1) x  x 1  x  x      x 1  x 1    y   y  (*) Xét f (t )  t  t R f '(t )  3t   0t  R Suy hàm số f(t) đồng biến liên tục R  x  Suy (*)  f   f  x 1    y 1  x  y 1 x 1 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ - Trang | 30 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Suy x  thay vào (2) ta có phương trình 3x  x   x x   x  x   x  x x   4( x  1)   (2 x  1)  x  x    x   x  x  (3)  1  x  x  x  (4)  (3)  x   x  x    x  x   4( x  1) x   x  6x    x  3 (4)   3x  x  1  x   1  x  x  4( x  1)   x   9 x  10 x    x  13 Kết hợp với điều kiện x  ta có x    y  x2 43 1  (t / m) x 1  43  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y )    3,      Bài 35 (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1) 8 x3  y   y y   x  Giải hệ phương trình  ( y   1) x   x  13( y  2)  82 x  29  Lời giải  2 x   x    ĐK:  y   y   Phương trình 8x3  y   y y   x  (2 x)3  x   Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ y2   y2 - Trang | 31 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn Xét hàm đặc trưng f (t )  t  t , f '(t )  3t   0t Hàm số f(t) liên tục đồng biến R Suy x  y  Thế x  y  vào phương trình thứ hai ta được: (2 x  1) x   x3  52 x  82 x  29   (2 x  1) x   (2 x  1)(4 x  24 x  29)  (2 x  1)( x   x  24 x  29)   2x 1   x   y  2 x   x  24 x  29  Hoặc Giải phương trình x   x2  24 x  29  Đặt t  x  1, t   x  t  Ta phương trình: t  (t  1)  12(t  1)  29   t  14t  t  42   (t  2)(t  3)(t  t  7)  t  t  3(l )    t   29 (l )    29 t   Với t   x  Với t   y  11  29 13  29 103  13 29 x y      13  29 103  13 29  Vậy hệ phương trình cho có ba cặp nghiệm  ,3  ;  ,11 ;  ,   2  2     Đ Đ Ƣ AĐ A R NH YÊU A A Ể ĐỂ Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ – Ƣ RƢ CAO Đ - Đ - Trang | 32 -