Thông tin tài liệu
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia Bài tập chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VĂN PHÚ QUỐC Giải PT: Giải BPT: 3x x 2012 3 x x 2013 5 x 2014 2013 x 2x 3x 2012 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2012 x 1 2 2 Giải HPT: 2 2 x1 cos x2 x2 cos x3 x3 cos x4 ; x1 , x2 , x3 , x4 x4 cos x1 y 30 x y 2012 z Giải HPT: 30 z 2012 y x 30 x 2012 z Cho 2013 số dương: x1 , x2 , , x2013 ; x, y , z x12 x2 x2 x1 2 x2 x3 x3 x2 thỏa mãn: x2 x2 x x 2012 2011 2011 2012 2 x2012 x2013 x2013 x2012 Chứng minh 2013 số có hai số a, b cho: a b 2012 x y z Giải HPT: x y z ; x, y , z x 2012 y 2012 z 2012 Giải BPT: x 2012 x 2014 x 4028 2014 4024 x 4024 ; x VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT 30 x x 2013 x 2012 30 x x 2013 x 2012 Giải HPT: 2013 2012 x2 30 x2012 x1 x , x , , x 2012 Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 1 2012 x1 x2 2 x2 x2 x3 2012 Giải HPT: 2 x3 ; x1 , x2 , , x2012 1 2012 x2012 x1 2 x1 x2 2x y y 2y z 10 Giải HPT: ; x, y, z , t z 2z t t 2t x k 1 x1 kx1 x2 x2 kx2 k x3 11 Giải HPT: ; x1 , x2 , , x2012 , k số cho trước k 1 x2012 kx2012 x1 12 Cho số nguyên n Giải hệ phương trình: 2012 x1 4025 x2 2013 x3 2012 x2 4025 x3 2013 x4 ; x1 , x2 , , xn 2012 xn 4025 x1 2013 x2 xy 2013 x y 2013 x 2012 2012 x 2x 1 13 Giải HPT: ; x, y xy 2013 2013 y y x 2012 x y 22012 VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 3 x x x 2 x x x x2 x x x2 10 x x x x3 x x x 3 x x 4 x x x 4 x x x x 3 x y 15 Giải HPT: 2012 ; x, y y 2012 x 2011 y 2011 x 14 Giải PT: y x x 16 Giải HPT: ; x, y y x xy 16 x y 16 6 x x3 x y y 12 x 6 17 Giải HPT: ; x, y 2 5 x x y 11x 5 x y x y x 1 x y 18 Giải HPT: ; x, y 1 x y x x x xy 1 xy y x y x y x y 14 2 19 Giải HPT: ; x, y 3 x y x y 9 xy x y 20 Giải HPT: ; x, y x 2009 y 2013 x 2013 y 2009 2011 2 x y 21 Giải HPT: 2011 ; x, y 2011 y 2013 y 2013 x x y xy 2014 x cos x 22 Giải PT: tan x cos x 1 x y 23 Giải HPT: ( x, y ) 1 1 1 18 x y x y 24 Giải BPT: x x 1 x x ; x x y x y 2 x y 25 Giải HPT: , x, y 12 x x y xy 1 12 y x 1 4 x 2y 2 y x 26.Giải HPT: , x, y y x 3x y x 2y VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 27 Giải BPT: x x x 12 x x ; x 28 Giải BPT: x5 x3 x x 1 x2 x2 x 1 ; x x y z 2 3x x y z 29 Giải HPT: y z x y y z x 2 z x y 5z2 z x2 y2 30 (VMO 1975) Giải PT: y m3 y m y n3 y n ; x, y, z y3 p3 y p 3 ym yn y p 2 ym yn y p 31 (VMO 1975) Không giải PT bậc ba: x x Hãy tính tổng lũy thừa bậc tám ba nghiệm số x x y y12 32 (VMO 1976) Tìm nghiệm nguyên HPT: x y y x 1 x 1 1 x x x 34 (VMO 1978) Tìm tất giá trị m cho HPT sau có nghiệm 33 (VMO 1977) Giải BPT: x x2 x x y m 2 x 1 y x y z t 50 x y z t 24 35 (VMO 1981) Giải HPT: xz yt x y z t 2t1 t2 a1 t 2t t a t 2t3 t4 a3 36 (Kỳ thi đặc biệt Huế, 1981) Giải HPT: tn 2tn 1 tn an 1 tn 1 2tn an 37 Tìm nghiệm nguyên dương PT: x y z 2336 x y z 38 (VMO 1993, bảng B) Giải BPT: 12 x 14 x x 3x ln x 1 y 40 (VMO 1994, bảng B) Giải HPT: y y ln y 1 x 41 (VMO 1995, bảng A) Giải PT: x x x 40 4 x 42 (VMO 1995, bảng B) Giải PT: x 11x 21 3 x VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x 1 2 x y 43 (VMO 1996, bảng A) Giải HPT: y 1 x y 1 42 x y 51 x y 22 x y 1 44 (VMO 1999, bảng A) Giải PT: y x ln y x x y 2x y 45 (VMO 2001, bảng B) Giải HPT: 2x y x y 46 (VMO 2002, bảng A) Giải PT: 10 3x x x x x z 2 47 (VMO 2004, bảng A) Giải HPT: y y z x 30 z z x y 16 x 3xy 49 48 (VMO 2004, bảng B) Giải HPT: x xy y y 17 x x x 6.log y x 49 (VMO 2006, bảng A) Giải HPT: y y 6.log z y z z 6.log x z x 3x x y 50 (VMO 2006, bảng B) Giải HPT : y y y z z 3z z x 12 x 2 y x 51 (VMO 2007) Giải HPT: y y 3x x y 29 52 (VMO 2008) Hãy xác định số nghiệm HPT ( ẩn x, y ) sau: log x.log y 1 xy x2 y2 53 (VMO 2009) Giải HPT: x 1 x y 1 y VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x y 240 54 (VMO 2010) Giải HPT: x y 3 x y x y x 3x x x 16 55 Giải PT: 56 Tìm giá trị lớn tham số m để BPT sau có nghiệm: m3 x 1 m x 1 m3 sin x 57 Giải BPT: x x 30 2013 30 x 2013 30 2013 x y z xy zx zy 58 Giải HPT: x y yz zx xy 1 a b c 169 59 Với giá trị u , v HPT: 2u v 134 2 2 2 2 a ua vb b ub vc c uc va có nghiệm nguyên dương a, b, c ? 2 x x9 x 1 60 Giải PT: 61 Giải BPT: 2x 2 x 12 x x 16 62 Giải PT: 13 x x x x 16 63 Giải PT: x 3x x4 x3 x2 3x 13 13 y x 16 x y x x 16 97 64 Giải HPT: x y 36 x y x y z xyz 65 Giải HPT: 2 2 2 x y 1 z 1 y x 1 z 1 z x 1 y 1 66 Giải BPT: x 2 2x x 6x x2 y2 67 Trong nghiệm thực x, y, z , t HPT: z t xt yz Hãy tìm nghiệm cho tổng y t nhỏ VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 68 Biết PT: x x x (1) có nghiệm dương x0 Chứng minh rằng: x0 nghiệm PT: 162 x0 x x x 1 69 Giải BPT: x x x x 1 x x x y2 y 70 Giải HPT: y z z z x 8x 71 Giải PT: x x x x 10 x 34 x 40 x2 x y 72 Giải HPT: y2 y x sin x sin x 7 sin x sin x 74 Tìm m để BPT: vô nghiệm sin x sin x m 12 sin x sin x 75 Giải PT: 11x 14 x 11x x 17 x x 2 x x y 1 y 1 x 1 x 1 y 76 Giải HPT: x y 2 1 x 1 y y2 1 x 2 1 x 1 y 77 Giải PT: 3log x x log x x x x 2012 y 1 78 Giải HPT: y y y 2012 x 1 75 x x 1 75 x1 2012 x 2012 79 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x m x 2m xy 2 x y x y 80 Giải HPT: x y x2 y log x y log 32 x y 81 Giải HPT: 2 2 x y 1 x y 82 Giải PT: 8sin x 1 162 sin x 27 VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT x y 1 83 Giải HPT: x x y x y 52 xy Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x4 y4 x2 y x y 2 84 Giải HPT: y x y x y x x y 8x 1 xy xy x 85 Giải HPT: y y 3 y x x x x3 y 1 y x y y xy 30 86 Giải HPT: x y x y y y 11 x y x y 4x y 87 Giải HPT: x 16 y x 2 x x y 34 xy x 88 Giải HPT: 2 y x y 34 xy y 4x x log log y 89 Giải HPT: y x 1 log y 1 2 x 1 y 1 xy 90 Giải HPT: 2 x y xy x y 14 y x 2 x x y 91 Giải HPT: y x2 1 x2 1 6x 3x y y 92 Giải HPT: y 2 3x 3x y x y x y z t 12 2 2 x y z t 50 93 Tìm số x; y; z; t thỏa mãn HPT: 3 x y z t 252 x 2t y z xyzt 94 Tìm tất nghiệm nguyên PT: 4x y 9x y x2 y 313 VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT x 35 95 Giải BPT: x x 12 Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 96 Tìm tất cặp số thực x; y thỏa mãn BPT: x y x y 97 Xác định tất nghiệm số nguyên PT vô định: x x y xy y x xy y 98 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn PT: 99 Tìm m để PT sau có nghiệm nhất: x y 3361 11296320 x x 2m x 1 x x 1 x m3 100 Giải PT: 16 x 16 x 20 x 20 x3 x x 45 101 Giải PT: x x x x 40 x x 102 Cho a, b, c, d \ 30; 4;14;10 bốn tham số đôi phân biệt x, y , z , t ẩn số y z t x a 30 a a 14 a 10 x y z t 1 b 30 b b 14 b 10 Hãy giải HPT: x y z t 1 c 30 c c 14 c 10 x y z t 1 d 30 d d 14 d 10 x y z kx y z k 2k 103 Cho k Giải HPT: x y z x ky z 4k 8k x y z x y kz 4k 104 Tìm tất cặp x; y với x, y thỏa x y y x xy x y z 105 Tìm tất x; y; z với x, y, z số nguyên thỏa mãn HPT: 3 x y z x y y z 106 Tìm m để HPT: z x xy xy 16 xy yz 25 yz có nghiệm x, y, z zx 36 zx yz zx m xyz VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x x y 2012 y3 y2 107 Giải HPT: z 2012 z3 z2 x 2012 2 x 2012 y 2010 z 2010 108 Tìm tất ba số dương x; y; z thỏa HPT: 2 y 2012 z 2010 x 2010 2012 x 2010 y 2010 2 z x2 y2 y x z 109 Giải HPT: x x y 2 yz 3 x y xy yz x z 2012 x1 x2 x3 2012 x2 x3 x4 110 Giải HPT: 2012 x2011 x2012 x1 x x x 2012 2012 y x 12 x 111 Giải HPT: z y 12 y x z 12 z x2 y 112 Giải HPT: y z z x 1 x y y x 3x x 113 Giải HPT: y x 2x y y y 1 2 x 3x 18 y y 114 Giải HPT: 2 y y 18 z z 2 2 z z 18 x x x y z 2012 115 Giải HPT: 1 x y x y 2z VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 10 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x x x y 1 y y 227 Giải HPT: x y x y 80 697 x y 228 Giải HPT: 81 x y xy x y x5 x4 x y 229 Giải HPT: y y y z z z 2z x 230 Giải HPT: ln x y y 1 x 1 e x x log y 2 3x 92 y 1 2 y x x y 2 3 x y 29 4 x2 16 x x y 8 y y y y 17 2 y x x 3x ln x x 8 x xy y 3x x 4x y y 231 Giải HPT: 232 Giải HPT: 233 Giải HPT: log x log x y x x x y x y x xy 3 3 234 Giải HPT: log x x x x 2012 x y 2012 y 2012 235 Giải HPT: x x xy xy x sin x sin x y z 236 (Russia) Giải HPT: sin y sin x y z sin z 4sin x y z 237 (Moscow) Giải HPT với n = 100 x1 x2 x3 x4 x5 xn x1 x2 x3 x4 x5 xn x1 x2 x3 x4 x5 xn x1 x2 x3 x4 x5 2n 1 xn n VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 21 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x1 x2 x3 x1962 x1 x2 x3 x1962 238 (Moscow 1962) Cho HPT: x1 x2 x3 x4 x1962 Tìm giá trị x25 x1 x2 x3 x1961 x1962 x1 x2 x3 x2 x3 x4 239 (Moscow) Tìm tất nghiệm dương hệ: x3 x4 x5 x4 x5 x1 x x x2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 150 x x 43 x3 x6 52 240 (Moscow) Giải HPT: x4 x7 53 x x 52 x2 x3 480 x3 x4 135 2 a 2a cos x y cos x 1 y 241.(Moscow) Giải HPT: cos x y cos a 1 x 1 y 24 x 25 xy 73 x 25 y 35 242 (Hungari) Giải HPT: x y 2x y x2 y u2 v2 xu yv xv yu 243 (Austria - Poland).Tìm bốn số x; y; u; v thỏa mãn HPT: xyu yuv uvx vxy 2 xyuv 1 244 (England 1975) Chứng minh với n tùy ý, tồn số x1 ; x2 ; ; xn thỏa PT: n 1 245 (IMO 1966) Chứng minh với số tự nhiên n số thực x cho 1 cot x cot 2n x sin 2n x n 1;2; ta có: n sin 2x sin 4x sin x 246 (IMO 1966) Cho a1, a , a , a bốn số thực khác cho trước 1 x1 x1 x2 2 xn1 xn xn VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 22 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia a a x a a x a a x 2 3 4 a a1 x a a x a a x Giải hệ phương trình sau: a a1 x a a x a a x a a x a a x a a x 1 2 3 247 (IMO 1968) Cho hệ phương trình với ẩn số x ; x ; ; x n : ax bx c x ax bx c x ax bx c x n 1 n n 1 ax n bx n c x a,b, c số thực a Chứng minh rằng: a) Hệ nghiệm thực b 4ac b) Hệ có nghiệm b 4ac c) Hệ có nghiệm thực b 4ac 248 (IMO 1972) Tìm tất nghiệm thực dương hệ: x2 x x x2 x x 5 2 x x 4x x x 4x 2 x x 5x x x 5x 2 x x 1x x x 1x x2 x x x2 x x 4 249 (IMO 1976) Cho số nguyên dương n n 2m Với i, j thỏa mãn điều kiện: i n,1 j m Gọi aij số nhận giá trị 0;1; 1 Xét hệ phương trình: a11x a12x a1m x m a21x x 22x a 2m x m an 1x an 2x a nm x m Chứng minh hệ có nghiệm x 1; x ; ; x m cho thành phần x i , i 1, m số nguyên không đồng thời x i m, i 1, m a x a x a x 12 13 11 250 (IMO 1965) Cho hệ phương trình: a 21x a22x a 23x với hệ số thỏa mãn điều a x a x a x 32 33 31 kiện sau đây: (i) a11, a 22 , a 33 dương VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 23 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia (ii) Tất hệ số lại âm (iii) Trong phương trình, tổng hệ số dương Chứng minh rằng: nghiệm x x x nghiệm hệ phương trình 251 (IMO 1965) Tìm bốn số thực x ; x ; x ; x cho số cộng với tích số lại 252 (IMO 1965) Tìm tất giá trị x 0;2 cho: cos x sin 2x sin 2x 253 (IMO 1963) Tìm tất nghiệm x 1; x ; x ; x ; x hệ phương trình: x x x x x x yx x yx x yx x yx x yx y tham số 254 (USA 1995) Giả sử a,b, c số phức nghiệm z phương trình x ax bx c thỏa z Chứng minh phương trình x a x b x c có ba nghiệm w thỏa w 255 (IMO 1963) Với giá trị p phương trình: x p x x có nghiệm thực? Hãy tìm nghiệm x y z a 256 (IMO 1961) Giải hệ phương trình: x y z b a,b số cho trước xy z Các số a,b phải thỏa mãn điều kiện để nghiệm x ; y; z hệ dương khác nhau? 257 (IMO 1961) Giải phương trình: cosn x sinn x với n 2 2 2 258 Giải phương trình: 196sin x 16sin x 100sin x 100cos x 16cos x 196cos x 259 (IMO 1973) Cho phương trình: x ax bx ax có nghiệm thực, với a,b số thực Tìm giá trị nhỏ a b 4x y 1 42x 4y 260 (Canada 1996) Giải hệ phương trình: z 1 4y 4z 1 4z x x 3y y y 261 (IMO Shortlist 2007) Giải hệ phương trình: y 3z z z 2 z 3x x x 262 (Romania 2008) Xác định số nguyên x cho: log3 1 log 1 x x VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 24 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 263 (THPT chuyên Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 2004) Tìm nghiệm x ; y; u; v hệ PT sau: u v ux vy 2 ux vy ux vy 3 x y z 264 (Poland 1997) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 x y y z z x xyz x y z 265 (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu) Tìm tất số thực dương x , x 1, x , , x n x x x cho: log xx log xx log xx n log log log x x x 1 2 n log x log x log x n 266 (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu) Tìm tất số thực a,b, c cho: ax by cz bx cy az cx ay bz x y z , x , y, z 267 (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu) Tìm số thực hệ phương trình: x y z 3 x y z 18 x y z 2058 268 (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu) Tìm tất số thực hệ phương trình: a b ab c d 23 ad bc 28 cd 12 3x 9x 17x 11x 269 (diendantoanhoc.net) Giải phương trình: x x2 3x 4x 1 1 1 270 (diendantoanhoc.net) Giải hệ phương trình: x y z xyz y z x xyz x y z 271 (diendantoanhoc.net) Giải hệ phương trình: xy 2xy x y z 272 (diendantoanhoc.net) Giải phương trình sau: x x 1 x 2 n x x x n x x x 1 x 1 1.2 1.2.3 n! VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 25 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x y3 273 (diendantoanhoc.net) Giải hệ phương trình sau: y z 25 z 1 x 1 x y 2012 xy 274 (diendantoanhoc.net) Giải hệ phương trình: 6 4 x y 2012 x y 275 (VMO 2013) Giải hệ phương trình với x , y : 1 20y cos2 y sin2 x 2 x y sin x cos y 1 20x sin2 y cos2 x x y sin y cos2 x x x x 2012 1 x x x x 2012 1 276 (MSS 2013) Giải hệ phương trình: x x x x x 2012 1 x x x 2011 x 2012 1 277 (Gzeta, Romania) Giải hệ phương trình: x y y x 2 y x z y ; x , y, z 2 z x x z 278 Giải phương trình: 2x x 2x x x 2x 4x 28 27 1 x 6 280 (Romania 2002, Titu Andreescu) Tìm tất số thực a,b, c, d,e 2;2 thỏa hệ phương 279 Giải phương trình: 27x 24x a b c d e trình: a b c d e a b c d e 10 281 (Crux-Canada 1999) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y y z z x x y z xyz 282 (Crux-Canada 1999) Cho n số nguyên dương lẻ Giả sử số nguyên dương x 1, x , , x n thỏa mãn hệ phương trình: VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 26 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x x x x n2 x x x x n2 3 x1 x n x1 xn n Chứng minh rằng: x x n tồn j với j n cho x j x j 1 283 (Iranian MO 1995, Crux - Canada 2002) Cho a,b, c số thực dương Tìm tất số x y z a b c thực x , y, z thỏa hệ phương trình sau: 2 4xyz a x b y c z abc 284 (Austrian-Polish MO 1993, Crux-Canada 1997) Xác định tất nghiệm thực x , y, z hệ x y 3x phương trình: 2y z 6y 3z x 9z 285 (Crux-Canada 1996) Xác định tất số thực x , y, z thỏa mãn phương trình: 3 2 x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 286 (Crux-Canada 1996) Tìm tất số thực x y thỏa hệ phương trình: x y z 2x y 2x y 128 x y 2 x y 1 (y 1)x 287.(Saigon 2012) Giải hệ phương trình : ; x, y 2x 9x 4x 18x 20 y 1 2x 9x x 3xy 6xy 3x 49 288 (Haiphong 2012) Giải hệ phương trình : 2 x 8xy y 10y 25x 289.(Nghean 2012) xy 16 x y x y a) Giải hệ phương trình 2x x3 x2 y x 8y 3y b) Giải phương trình : x2 x x x2 x3 x2 x x( y3 x3 ) 290.(Ninhbinh 2012) Giải hệ phương trình x4 x3 y y y3 x x2 y2 x 291 (Hatinh 2012) Cho số thực a, b, c thỏa a b c Chứng minh phương trình sau có ab nghiệm : x a x b xc VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 27 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 292 (Binhdinh 2012) a) Giải phương trình x x x2 x x3 y3 y2 x b) Giải hệ phương trình : x2 x2 y y2 293 (Hanoi 2012) a) Giải phương trình : x4 x2 x2 y2 xy b) Giải hệ phương trình : x5 y3 294 (Namdinh 2012) x y m2 a) Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: y x m2 x y 2x y b) Giải hệ phương trình : 2x y x y 295 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 x y 3z y z 3x 2 2 2 a) y z 3x z x 3y 2 2 z x y x y2 z 2 2 2 x y 6 z y z 6 x 2 2 2 b) y z 6 x z x 6 y 2 z x y2 x y z x y z 10 296 Giải hệ bất phương trình sau: 2009 y 2011 z 2013 x x y 297 Giải hệ phương trình: ; x, y y x 2x x y 2 298 Giải hệ phương trình: ; x, y 2x x 2y 299 Giải phương trình: sin 2x 40 4 sin6 x cos6x 1 11 300 (Mathematical and youth 8/2012) Giải hệ phương trình sau: VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 28 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia xy x y y xy x y ; x, y x y xy x x 301 (Mathematical and Youth 1/2013) Giải hệ phương trình: 5x 2xy 2y 2x 2xy 5y x y 2x y 7x 12y 2xy y 302 (BMO 2013, Round 1) Giải hệ phương trình sau: x 4y y 6z 14 z 2x 303 (Vinhphuc 2012-2013) Giải hệ phương trình sau: x 3x 5y y y 3y 5z ; x , y, z z z 3z 5x x 304 (British MO 1996) Tìm tất nghiệm thực dương a;b; c;d hệ phương trình: a b c d 12 abcd 27 ab ac ad bc bd cd 305 (Ireland 1999) Tìm tất số thực 1 x thỏa mãn: x2 x x 1 x 3x 18 x 1 306 (Hanoi) Giải hệ phương trình: x 2 y 3 y 3 x z 2 x 5x 9z 7y 15 3yz 8x 18y 18xy 18yz 84x 72y 24z 176 2z x y x 307 (ĐH KHTN Hanoi) Tìm nghiệm x ; y; z hệ phương trình: y2 2 y z 2xy 2zx 2yz 2 y 3x 2x x 308 (THPT chuyên Quang Trung, Binhphuoc 2010-2011) Giải hệ phương trình sau: hệ phương trình: VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 29 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 2009x 2010y x y 2010y 2011z y z ; x , y, z 2011z 2009x z x 309 (Ukraina 1997) Tìm tất nghiệm thực hệ phương trình sau: x x x 1997 1997 4 3 x x x 1997 x x x 1997 310 (Moscow) Giải hệ phương trình: x x x x x x x x x x x x 3 x x x 9 x x x 6 x x x 2 x x x 2 311 (Moscow) Cho 100 số a1; a ; ; a100 thỏa mãn điều kiện: a 3a 2a a 3a 2a a 3a 2a 100 99 a100 3a1 2a Chứng minh rằng: tất số cho 2 x x x 100 10000 312 (Moscow) Cho 100 số dương x ; x ; ; x 100 thỏa điều kiện: x x x 100 300 Chứng minh tìm số mà tổng lớn 100 313 (Moscow) Giải hệ phương trình: 10x 3x 4x x x 11x 2x 2x 3x x 15x 4x 5x 4x x 2x x 3x 12x 3x x x 6x 5x 3x x 17x x 3x 2x 3x 4x x 16x 2x 4x 8x x x 3x 19x VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 30 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 3x 4y 2z 1 314 Giải hệ phương trình: x y z ; x , y, z 89.x y z 315 Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình: x xy y y yz z x xz z x y z 11 316 (Indian MO 2011) Tìm tất số thực x , y, z thỏa mãn hệ phương trình: x xy y y yz z z zx x xyz 2 4 2 4 2 3 x x y y y y z z z z x x x y z 317 (IMO 1979) Tìm tất số thực a cho tồn số thực không âm x ; x ; x ; x ; x thỏa mãn hệ thức: kx k 1 k a ; k x k 1 k a2 ; 5 k x k 1 k a3 318 (Vietnam TST 1993) Với a số thực a , giải hệ phương trình: x ax x ax x ax 1 1000 999 x 1000 ax1 319 (Turkey 1995) Tìm nghiệm thực hệ phương trình: x 2ax b x 2 x 2ax b x ; b a số thực x 2ax b x n 1 n n 1 x n 2ax n b x 320 (Mathematical and Youth 8/2010) Cho số thực x ; y; z thỏa mãn hệ phương trình: y2 25 x xy y z 9 2 z xz x 16 Tính giá trị biểu thức P xy 2yz 3xz 321 (Mathematical and Youth 10/2010) Cho số thực dương x ; y; z thỏa mãn hệ phương trình: x y 2 y z 16 y xz VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 31 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Tính giá trị biểu thức G xy yz 322 (Mathematical and Youth 10/2010) Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 29 x y Cho số thực x ; y; z với y thỏa mãn hệ phương trình: y z y x z Tính giá trị biểu thức: H y x 1 2z 323 (Mathematical and Youth 10/2010) Cho số thực dương x ; y; z thỏa mãn: 2 y z 50 y2 169 x xy x xz z 144 Tính giá trị biểu thức: K xy yz zx 324 (Mathematical and Youth 8/2010) Giải hệ phương trình: 3 x y 3 x y 4x 6x 4x 15y 325 (Mathematical and Youth 12/2010) Giải hệ phương trình: 3x y x2 x 3y 3y z y2 y 3z 3z x z z 3x 326 (Mathematical and Youth 3/2011) Giải phương trình: x y z xyz xy yz zx x y2 x xy y x y 327 (Mathematical and Youth 9/2011) Giải hệ phương trình: x 2xy 5x 4xy 5x x y z 328 Giải hệ phương trình: x y z x y y z 1 y z x y z x y x 19 y 1890z z 2013 329 Giải hệ phương trình: y 19 z 1890x x 2013 z 19 x 1890y y 2013 VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 32 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 1 x y z x y z 1 118 330 Giải hệ phương trình: x y z x y z x x y y z z 728 27 x x y y z z x 2y x 3y x 2y 331 Giải hệ phương trình: y 2z y 3z y 2z 3 2 z 2x z 3x z 2x 332 (Trại hè Hùng Vương 2010) Giải phương trình: x 1 x 3 x2 x 1 333 (Trại hè Hùng Vương 2010) Giải phương trình: 3x 2x x2 x 2 x x 334 (Mathematical and Youth 4/332) Giải phương trình: x2 x x x x2 x x x x 5 5 x y y 335 (Trại hè Hùng Vương 2010) Cho x ; y; z nghiệm hệ phương trình: y z z z x x 2005 x y 2005 z 2005 a 2005 336 (OLP Hùng Vương, lần thứ 3) Cho a Giải hệ phương trình: x 2006 y 2006 z 2006 a 2006 x 2007 y 2007 z 2007 a 2007 337 (Balkan MO 1984) Cho a,b, c số thực dương Tìm tất nghiệm thực x ; y; z hệ ax by x y phương trình: by cz y z cz ax z x 338 (Junior Balkan MO 2008) Tìm tất số thực a,b, c thỏa: a b c d 20 ab ac ad bc bd cd 150 339 (IberoAmerican 1989) Tìm tất ba số thực x ; y; z thỏa hệ phương trình: x y z 1 2 x y z x y z 1 VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 33 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia y z x 340 (CentroAmerican 2011) Tìm tất số thực dương x , y, z thỏa : x y z z x y Tìm giá trị dương x y z x y y 5 y z z 341 (Baltic Way 1993) Giải hệ phương trình: z t t5 t x x 342 (Baltic Way 1995) Tìm tất ba x ; y; z nguyên dương thỏa hệ phương trình: x y z 6 2 x y z 31 y z 343 (Baltic Way 1999) Tìm tất số thực a,b, c, d thỏa hệ phương trình: abc ab bc ca a b c bcd bc cd db b c d cda cd da ac c d a dab da ab bd d a b 344 (Baltic Way 2000) Tìm tất nghiệm thực hệ phương trình: x y z t xy yz zt tx xyz yzt ztx txy xyzt 1 345 (Baltic Way 2000) Xác định tất số thực dương x , y thỏa phương trình: 1 2x 2y x y 346 (Baltic Way 2002) Giải hệ phương trình: a 3ab 3ac 6abc 2 b 3ba 3bc 6abc ; a,b, c c 3ca 3cb 6abc 347 (Baltic Way 2010) Tìm tất số a;b; c;d thỏa hệ phương trình: x y b c d 2010 3a a c d 2010 3b 2010 3c a b d 2010 3d a b c 348 (Mediterranean MO 2010) Cho số thực a,b, c, d VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 34 Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia x yz zu yu a y zu ux xz b Tìm nghiệm x , y, z , u hệ phương trình: z ux xy yu c u xy yz zx d 349 (Middle European MO 2012) Tìm tất ba số thực x ; y; z thỏa hệ phương trình: 2x 3zx 2y 3xy ; x , y, z 2z 3yz 350 (Canada National Olympiad 2003) Tìm tất nghiệm thực dương thỏa x y z x y z 2 x y z xyz 351 (Canada National Olympiad 2004) Tìm tất ba số thực x , y, z thỏa hệ phương trình: xy z x y xz y x z yz x y z 352 (Germany Bundeswettbewerb Mathematik 2003) Tìm tất ba x , y, z nguyên thỏa hệ x 4x 16x 60 y phương trình: y 4y 16y 60 z z 4z 16z 60 x 353 (Polish MO 1999) Tìm tất số nguyên n hệ phương trình: 2 x x 50 16x 12x 2 x x 50 16x 12x x x 50 16x 12x 4 x x 50 16x 12x n 1 n n 1 n x n x 50 16x n 12x 36x y 60x 25y 354 Giải hệ phương trình: 36y 2z 60y 25z ; x , y, z 36z 2x 60z 25x 355 (Hungary 1988) Tìm tất nghiệm thực x , y, z hệ phương trình: x y z 8z 14 x y 2x 5y xy z VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 35
Ngày đăng: 07/07/2016, 14:35
Xem thêm: chuyên đề pt, hệ pt,bất pt,hệ bất pt
