Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: - §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: (1) ' ' '(2) ax by c a x b y c ì + = ï ï ï í ï + = ï ï ỵ (I) - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x 0 ; y 0 ) th× (x 0 ; y 0 ) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I) - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm 2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d) Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d') - NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt - NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm - NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm. 3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm 4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng. a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. + Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®- ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn). + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph¬ng tr×nh thø nhÊt còng th- êng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë bíc 1). b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. + Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi. + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong h¸i ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ gi÷a nguyªn ph¬ng tr×nh kia) L u ý : Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi nhau (hc b»ng nhau) th× ta céng (hc trõ) hai vÕ cđa hƯ. Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn kh«ng b»ng nhau còng kh«ng ®èi nhau th× ta chän nh©n víi sè thÝch hỵp ®Ĩ ®a vỊ hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi nhau (hc b»ng nhau). Bµi tËp Lo¹i 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng, ph¬ng ph¸p thÕ. Bµi 1 a) 2 3 2 3 2 3 x y x y + = -ì ï ï ï í ï - = - ï ï ỵ b) 4 3 6 2 0 x y x y + =ì ï ï ï í ï + = ï ï ỵ c) 9 8 6 2 2 x y x y + =ì ï ï ï í ï - = ï ï ỵ d) 6 17 5 23 x y x y - =ỡ ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ e) 7 4 74 3 2 32 x y x y + =ỡ ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ f) 3 6 2 6 12 x y x y - =ỡ ù ù ù ớ ù - + = - ù ù ợ Bài 2 a) 2 0 3 4 5 11 x y x y ỡ ù + - = ù ùù ớ ù - = ù ù ù ợ b) 1 5 3 3 4 5 10 0 a b a b ỡ ù ù + = - ù ù ớ ù ù - - = ù ù ợ c) 2 3 10 0 x y x y ỡ ù = ù ùù ớ ù + - = ù ù ù ợ Bài 3: a) 2 3 1 3 2 x y x y ỡ ù - = ù ù ớ ù + = ù ù ợ b) ( 2 1) 2 ( 2 1) 1 x y x y ỡ ù - - = ù ù ớ ù + + = ù ù ợ c) 2 3 1 2 2 2 x y x y ỡ ù - = ù ù ớ ù + = - ù ù ợ d) 2 3 1 3 2 x y x y ỡ ù - = ù ù ớ ù + = ù ù ợ e) ( 5 (1 3) 1 (1 3) 5 1 x y x y ỡ ù - + = ù ù ớ ù - + = ù ù ợ f) 5 3 2 2 6 2 2 x y x y ỡ ù + = ù ù ớ ù - = ù ù ợ Bài 4: a) 6( ) 8 2 3 5( ) 5 3 2 x y x y y x x y ỡ + = + - ù ù ù ớ ù - = + + ù ù ợ b) ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 5)( 4) ( 4)( 1) x y x y x y x y ỡ - - = + - ù ù ù ớ ù - + = - + ù ù ợ c) ( 2)( 1) ( 8)( 2) x y xy x y xy ỡ - + = ù ù ù ớ ù + - = ù ù ợ Loại 2: Hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất, một phơng trinh không phải bậc nhất. a) 2 2 1 0 2 3 7 12 1 0 x y x xy y x y ỡ - + = ù ù ù ớ ù - + - - + = ù ù ợ b) 2 2 5 1 3 10 x y x y x y x y ỡ - = - ù ù ù ớ ù + - + + = ù ù ợ c) 2 2 2 2 23 0 3 3 0 x y x y x y ỡ + - - - =ù ù ù ớ ù - - = ù ù ợ d) 2 3 6 3 0 4 9 6 x xy x y x y ỡ + - + =ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ Loại 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. Dạng thứ nhất: a) 1 1 1 3 4 5 x y x y ỡ ù ù - = ù ù ù ù ớ ù ù + = ù ù ù ù ợ b) 6 5 3 9 10 1 x y x y ỡ ù ù + = ù ù ù ù ớ ù ù - = ù ù ù ù ợ c) 1 1 1 4 10 1 1 x y x y ỡ ù ù + = ù ù ù ù ớ ù ù - = ù ù ù ù ợ d) 1 1 1 24 2 3 x y x y ỡ ù ù + = ù ù ù ù ớ ù ù = ù ù ù ù ợ e) 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 x y x y ỡ ù ù + = ù - -ù ù ù ớ ù ù - = ù ù - - ù ù ợ f) 4 5 2 3 1 5 1 29 3 1 20 x y x y ỡ ù ù + = ù - +ù ù ù ớ ù ù + = ù ù - + ù ù ợ g) 8 1 1 12 1 5 3 12 x y x y ỡ ù ù - = ù +ù ù ù ớ ù ù + = ù ù + ù ù ợ h) 4 9 1 2 1 1 3 2 13 2 1 1 6 x y x y ỡ ù ù + = - ù + -ù ù ù ớ ù ù - = ù ù + - ù ù ợ i) 1 1 2 1 2 2 3 1 2 1 x y y x ỡ ù ù + = ù - -ù ù ù ớ ù ù - = ù ù - - ù ù ợ j) 2 2 7 13 39 5 11 33 x y x y ỡ + = - ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ k) 2 2 2 2 2 3 36 3 7 37 x y x y ỡ + =ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ l) 2 2 2 2 3 5 3 1 x y x y ỡ + =ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ m) 3 5 2 3 18 x y x y ỡ - = ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ n) 3 2 6 4, 5 x y x y ỡ + = ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ o) 3 2 1 2 2 3 1 4 x y x y ỡ ù + - + = ù ù ớ ù + + + = ù ù ợ p) 7 4 5 37 6 5 3 1 2 67 6 x y x y ỡ ù ù - = ù ù - + ù ù ớ ù ù + = ù ù - + ù ù ợ Dạng thứ hai: a) 2 2 1 1 3 1 1 1 x y x y x y x y ỡ ù ù + = ù + +ù ù ù ớ ù ù + = - ù ù + + ùù ợ b) 4 5 2 2 3 3 3 5 21 3 2 3 x y x y x y x y ỡ ù ù + = - ù - +ù ù ù ớ ù ù - = ù ù + - ùù ợ c) 7 5 9 2 1 2 3 2 4 2 1 x y x y x y x y ỡ ù ù - = ù - + + -ù ù ù ớ ù ù + = ù ù - + + - ùù ợ d) 1 12 2 12 x x y y x x y y ỡ ù - = ù ù + ù ù ớ ù ù - = ù +ù ù ợ e) 3 6 1 2 1 1 0 2 x y x y x y x y ỡ ù ù - = - ù - +ù ù ù ớ ù ù - = ù ù - + ù ù ợ f) 4 5 5 1 2 3 2 3 1 7 1 2 3 5 x y x y x y x y ỡ ù ù - = ù + - - +ù ù ù ớ ù ù + = ù ù + - - + ù ù ợ g) 5 2 10 3 x y xy xy x y x y xy xy x y + ỡ ù ù + = ù + ù ù ù ớ -ù ù + = ù ù - ù ù ợ h) 2 3 1 1 1 2 5 2 1 1 x y y x y x x y ỡ ù ù + = ù - -ù ù ù ớ ù ù - = ù ù - - ù ù ợ i) 6 2 3 2 2 3 4 1 2 2 x y x y x y x y ỡ ù ù + = ù - +ù ù ù ớ ù ù + = - ù ù - + ù ù ợ Loại 4: Hệ hai phơng trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích đợc thành nhân tử. a) 2 2 1 0 22 x y xy x y x y ỡ + + + = ù ù ù ớ ù + - - = ù ù ợ b) 2 ( 2 1)( 2 2) 0 3 1 0 x y x y xy y y ỡ + + + + = ù ù ù ớ ù + + + = ù ù ợ c) (2 3 2)( 5 3) 0 3 1 x y x y x y ỡ + - - - = ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ d) 2 2 ( 2)(2 2 1) 0 3 32 5 0 x y x y x y ỡ + + + - = ù ù ù ớ ù + + = ù ù ợ e) 2 ( ) 3( ) 2 0 5 0 x y x y x y ỡ + - + + =ù ù ù ớ ù - - = ù ù ợ f) 2 2 ( 1) ( 1) 0 3 5 0 x y x y ỡ - - + =ù ù ù ớ ù + - = ù ù ợ g) 2 2 ( ) 4( ) 12 ( ) 2( ) 3 x y x y x y x y ỡ + - + =ù ù ù ớ ù - - - = ù ù ợ b) 2 2 2 ( ) ( ) 6 2( ) 5 x y x y x y xy ỡ - - - =ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y. a) 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy ỡ - + = ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ b) 2 2 2 21 2 5 0 x xy y y xy ỡ - + = ù ù ù ớ ù - + = ù ù ợ c) 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 x xy y x xy y ỡ + - =ù ù ù ớ ù - - = ù ù ợ d) 2 2 2 2 3 5 3 1 x y x y ỡ + = ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ e) 2 2 2 2 2 3 36 3 7 37 x y x y ỡ + = ù ù ù ớ ù + = ù ù ợ f) 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2 x xy y x xy y ỡ + + =ù ù ù ớ ù + + = ù ù ợ g) 2 2 2 2 4 2 3 2 3 4 x xy y x xy y ì + - = ï ï ï í ï - + = ï ï î h) 2 2 3 54 4 115 x xy xy y ì + =ï ï ï í ï + = ï ï î i) 2 2 2 2 1 2 x y x y x ì - =ï ï ï í ï + = ï ï î j) 2 2 25 2 ( ) 10 x y xy y x y ì + = - ï ï ï í ï + = ï ï î k) 2 2 2 2 ( )( ) 5 ( )( ) 3 x y x y x y x y ì + + = ï ï ï í ï - - = ï ï î l) 2 2 2 2 ( )( ) 45 ( )( ) 85 x y x y x y x y ì + - = ï ï ï í ï - + = ï ï î Lo¹i 6: HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1. a) 2 2 7 13 x y xy x y xy ì + + = ï ï ï í ï + + = ï ï î b) 2 2 5 5 x xy y x y ì + + = ï ï ï í ï + = ï ï î c) 2 2 2 2 8 7 x y x y x y xy ì + + + =ï ï ï í ï + + = ï ï î d) 2 2 17 65 xy x y x y ì = + + ï ï ï í ï + = ï ï î e) 17 12 0 x y xy xy + + - = -ì ï ï ï í ï - = ï ï î f) 2 2 8 34 x y x y ì + = ï ï ï í ï + = ï ï î g) 2 2 10 29 xy x y ì = ï ï ï í ï + = ï ï î h) 2 2 15 34 xy x y ì = ï ï ï í ï + = ï ï î i) 2 2 4 2 x xy y x xy y ì + + =ï ï ï í ï + + = ï ï î ị) 2 2 1 6 x y xy x y y x ì + + = - ï ï ï í ï + = - ï ï î k) 2 2 102 69 x y x y x y x y ì + - - =ï ï ï í ï + + = ï ï î l) 2 2 3( ) 160 x y xy x y ì + = ï ï ï í ï + = ï ï î m) 2 2 ( 2)( 2) 9 2( ) 6 xy x y x y x y ì + + = ï ï ï í ï + + + = ï ï î n) 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 9 0 2( ) 6 0 x y x y y x x y x y ì + + - + - + = ï ï ï í ï + - + = ï ï î o) 2 2 3 3 1x y xy x y x y ì + + =ï ï ï í ï + = + ï ï î p) ( 1) ( 1) 17 ( 1)( 1) 8 x x y y xy x y ì + + + + = ï ï ï í ï + + = ï ï î q) 2 2 5 7 x y xy x y xy + + = ì ï ï ï í ï + + = ï ï î r) 11 6 6 11 xy x y xy x y ì + + = ï ï ï ï í ï + + = ï ï ï î s) 7 10 3 xy x y x y y x ì + + = ï ï ï ï í ï + = ï ï ï î t) 2 2 52 1 1 5 12 x y x y ì + =ï ï ï ï í ï + = ï ï ï î u) 1 1 2 x x y x x y ì ï ï + = - ï +ï ï í ï ï = - ï ï + ï î v) 1 5 2 6 2 y x y x x y ì ï ï + = - ï -ï ï í ï ï = ï ï - ï î x) 3 3 2 2 9 5 x y x y ì + =ï ï ï í ï + = ï ï î y) 3 3 7 133 x y x y ì + = ï ï ï í ï + = ï ï î z) 30 35 x y y x x x y y ì + = ï ï ï í ï + = ï ï î Lo¹i 7: HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2. a) 2 2 2 4 5 2 4 5 x y y y x x ì = - + ï ï ï í ï = - + ï ï î b) 2 2 2 3 2 3 y x x y ì = +ï ï ï í ï = + ï ï î c) 2 2 2 2 2 7 2 7 x y x y x y ì - =ï ï ï í ï - = ï ï î d) 2 2 2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 x xy y x y xy x y ì - = - -ï ï ï í ï - = - - ï ï î e) 2 2 2 2 x y y x ì = -ï ï ï í ï = - ï ï î f) 3 3 2 4 2 4 x y y x ì - = ï ï ï í ï - = ï ï î g) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x ì - + = ï ï ï í ï - + = ï ï î h) 3 3 5 5 x x y y y x ì = +ï ï ï í ï = + ï ï î i) 3 3 2 2 x y x y x y ì = - ï ï ï í ï = - ï ï î j) 3 3 13 6 13 6 x x y y y x ì = - ï ï ï í ï = - ï ï î k) 2 3 2 2 3 2 4 3 4 3 y x x x x y y y ì = - + ï ï ï í ï = - + ï ï î l) 3 3 2 1 2 1 x y y x ì - =ï ï ï í ï - = ï ï î Lo¹i 8: HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba ph¬ng tr×nh ba Èn. a) 1 2 4 8 3 9 27 x y z x y z x y z ì ï + + = ï ï ï ï + + = í ï ï ï + + = ï ï î b) 12 2 3 12 2 5 x y z x y z x y z ì ï + + = ï ï ï ï - + = í ï ï ï + - = ï ï î c) 2 3 1 3 2 3 2 3 2 x y z x y z x y z ì ï + + = ï ï ï ï + + = í ï ï ï + + = - ï ï î d) 2 4 2 3 3 6 3 4 7 x y z x y z x y z ì ï + + = ï ï ï ï - + = í ï ï ï - + = ï ï î e) 2 3 4 3 2 2 3 5 4 2 x y z x y z x y ì ï - + = ï ï ï ï - + = í ï ï ï - = ï ï î f) 2 3 2 4 6 5 5 3 5 x y z x y z x y z ì ï + + = ï ï ï ï - + - = í ï ï ï - + = - ï ï î g) 4 7 6 4 3 2 24 x y z x y z ì ï = = ï ï ï - í ï + - = ï ï ï î h) 5 7 3 2 4 30 x y z x y z ì ï = = ï ï ï í ï - + = ï ï ï î i) 4 3 2 1 6 10 2 x y z x y z ì + - = - ï ï ïï í ï = = ï ï - - ï î j) 2 1 3 4 7 4 3 x y z x y z - +ì ï ï = = ï ï í ï ï - - = ï ï î k) 4 7 5 x y y z x z ì ï + = ï ï ï ï + = í ï ï ï + = ï ï î l) 16 28 22 x y y z x z ì ï + = ï ï ï ï + = í ï ï ï + = ï ï î m) 25 30 29 x y y z x z ì ï + = ï ï ï ï + = í ï ï ï + = ï ï î n) 1 1 1 1 1 2 1 1 5 x y y z x z ì ï ï + = ï ï ï ï ï ï ï + = í ï ï ï ï ï ï + = ï ï ï î o) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z ì ï ï = ï ï + ï ï ï ï ï ï = í ï + ï ï ï ï ï = ï ï + ï î ï p) 3 2( ) 5 6( ) 4 3( ) xy x y yz y z xz z x ì ï = + ï ï ï ï ï = + í ï ï ï = + ï ïï î q) 3 2 2 9 3 x y z x y z z x ì ï + + = - ï ï ï ï - + = í ï ï ï = ï ï î r) 2 2 3 3 2 2 x z y z x y z ì ï = + ï ï ï ï = + í ï ï ï - - + = - ï ï î Lo¹i 9: HÖ ph¬ng tr×nh hçn hîp. a) 2 2 1 3 5 1 3 5 80 x x x y y y x y x y ì ï + + + + + = - + - + - ï ï í ï + + + = ï ï î b) 1 1 ( 1) ( 1) 2 x y y x xy x y y x y ì ï - + - = ï ï í ï - + - = ï ï î c) 2 2 2 2 1 1 3 4 5 x y x y y x x y ì ï + = - + - ï ï í ï - = ï ï î d) 2 2 2 2 9 16 12 x z y t xt yz ì ï + = ï ï ï ï + = í ï ï ï + ³ ï ï î e) 3 2 2 (3 ) (2 )( 2) 9 4 4 0 x y x z y y y x z x z ì + = - ï ï ï ï ï - + = + ï ï ï í ï + = ï ï ï ï ³ ï ï î ï f) 1 3 7 x xy y y yz z z zx x ì ï + + = ï ï ï ï + + = í ï ï ï + + = ï ï î g) 2 2 2 2 2 2 xy xz x xy yz y xz yz z ì ï + = + ï ï ï ï ï + = + í ï ï ï + = + ï ï ï î . kia cã ®ỵc ë bíc 1). b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. + Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa. - ù ù ù ớ ù - + = - + ù ù ợ c) ( 2)( 1) ( 8)( 2) x y xy x y xy ỡ - + = ù ù ù ớ ù + - = ù ù ợ Loại 2: Hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất, một phơng trinh không phải bậc nhất. a) 2 2 1 0 2. =ù ù ù ớ ù - - = ù ù ợ d) 2 3 6 3 0 4 9 6 x xy x y x y ỡ + - + =ù ù ù ớ ù - = ù ù ợ Loại 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. Dạng thứ nhất: a) 1 1 1 3 4 5 x y x y ỡ ù ù - = ù ù ù ù ớ ù ù +