Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương.. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số ch
Trang 1SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1) Định nghĩa: Là số có dạng n n 2 ,
2) Tính chất:
1 Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1
2 Nếu a=3k thì a 2 0 mod 9 ; Nếu a 3k thì a 2 1 mod 3
3 Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào
4 Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8
5 Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương
6 Nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d + Do 2 2
a d c b c vi a c, 1
2
b
7 Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2 Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên
tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương
3) Bài tập
1 Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương HD: 2n (2n 2) 4 n 2 2 mod 4
2 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ không chính phương
HD:
3 Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương
HD: 2 2 k 1 a2 b2 a b a b
Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn Khi đó vế phải chia hết cho 4
4 Chứng minh phương trình 13x2 +2 =y2 không có nghiệm nguyên
HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ
+ Khi y chẵn: VP 0 mod 4 ;VT 2 mod 4 ;
+ Khi y lẻ : VP 1 mod8 ; VT 7 mod8 ;
5 Tìm n để 2n 8n 5 là chính phương
HD: + n 3 2n 8n 5 5 mod8
Trang 2+ n=2: 25 là chính phương.
+ n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn
6 Chứng minh rằng không tồn tại n để 24n+41 là chính phương.
HD: G/s 24n+41=t2
+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3
+ Nếu t không chia hết cho 3 thì t2 1 mod 3 3 8 n 13 2 1 mod 3
7 Chứng minh không tồn tại n để 7.10n+4 là chính phương
HD: 7.10n 4 2 mod 3
8 Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương
HD: có n2 < n(n+1) < n2+2n+1 = (n+1)2
9 Tìm n n2 + 3n là chính phương
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng
Ngoài ra, có n2+2n+1< n2+3n < n2+4n+4 hay (n+1)2 < n2+3n< (n+2)2
10.Tìm n để n2 + 3 chia hết cho 5
11 Tìm n để n! + 97 là chính phương
HD: Nếu n 5 thì n!+97 có tận cùng là 7 nên không chính phương
Nếu n = 4 thì 24+97 = 121= n2
Nếu 0 n 3 thì đều không thoả mãn
12 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương
13.Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không?
HD: a) N S N( ) mod 3 Vì 1994 2 mod 3 nên nếu S(N)=1994 thì
2 mod 3
N
b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995
14 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương
HD: n 22n 12n2 n 12n 22 5n2 2 5 nhưng không chia hết cho 25
15 Chứng minh rằng không tồn tại n để n2+n+2 chia hết cho 3
HD: G/s n để n2+n+2=3k khi đó n2+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương
Có 3 4 k 3 2 là số chính phương Điều này vô lí vì 2 mod 3
16 Gọi N=2.3.4…Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng
cả 3 số N, N-1, N+1 đều không là số chính phương
HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó N=(k-1)(k+1) 4!
Nếu N 1 2 mod 3 th ì N-1 không chính phương
17.Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương
Trang 318.Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6
HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Với b 9chữ số hàng chục của
20n(5n+b) chẵn do đó chữ số hàng chục của b2 lẻ nên b=4; 6
19 Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn
HD: Xét (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 với b lẻ,
2
ĐPCM
20 Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là chẵn
HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25 Vì a(a+1) chẵn Ta có ĐPCM
21 Tìm x y , để 2x + 5y chính phương
HD: G/s 2 2 5y k k2
+ Nếu x=0 thì 1+5y=k2 suy ra k chẵn 1 5y 2 mod 4
+ Nếu x 0 k lẻ và k không chia hết cho 5
y=0: 2x 1 k2 2m 12 2x 4m m 1 m 1,x 3,y 0
y 0, vì k không chia hết cho 5 nên k 2 1 mod 5
Từ giả thiết suy ra 2x mod 5
x chẵn, x=2n
Và từ giả thiết suy ra 5 ( 2 ) 2 2 5 , ; ,
n a
n b
k
k
+ Nếu y=2t thì 2n+1=25t-1 chia hết cho 3
+ Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1)
nếu y>1 thì 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ
Vậy y=1 suy ra x=2 Đáp số x=1; y=2
22.Tìm 1 số có 2 chữ số biết:
a) Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương b) Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương
HD:a) ab ba 11a b 11, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11 do đó a+b chia hết cho 11
+) 2 2 2 2 2 2
2 a b 18 a b 11 ab ba 9.11.11.(a b ) chính phương hay (a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4
ĐS: số 65
23 Tìm số chính phương abcd biết ab cd 1
n 10 n 10 101cd
Trang 4Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.
24.(VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ
thức 2a2+a = 3b2 + b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2
Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết
(2a+2b+1-2(a-b)=4b+1)
Mặt khác (1) 2 2
(1) d \b d b\ d\1 d 1 Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1 Từ đó ta được ĐPCM
* Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) là chính phương
25.(HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên
của p4 là số chính phương
HD: G/s 1+p+p2+p3+p4=n2 Dễ thấy 4p4+4p3p2<4n2<4p4+p2+4+4p3+4p+8p2
hay
(2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2 suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3
26 Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính phương thì tích pq cũng là tổng của 2 số chính phương
27 Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính
phương thì tích m.n cũng là tổng của 4 số chính phương
HD: (a2+b2+c2+d2)(m2+n2+p2+p2)=(am-bm-cp-dq)2+
+(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2
28 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính phương
29 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính phương
30 Tìm a để a2+a+1589 chính phương
31 Chứng minh rằng nếu 8n+1 và 24n+1 là chính phương thì 8n+3 là hợp số
32 Chứng minh rằng n3+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1
33 Tìm abcd biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương
34 Chứng minh rằng nếu 1
2
ab cd thì abcd không chính phương
35 Tìm tất cả các số chính phương có dạng A 1985ab
ĐS: 198025 và 198916
36 Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương ĐS: a=26m2+22m+4 hoặc a=26m2+30m+8
37 Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại
38 Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương