So chinh phuong.ngon tuyet

A. Đặt vấn đề Trong toán học, Đại số nói chung Số chính phơng nói riêng là một mảng kiến thức khá khó, phức tạp và trừu tợng giữa học lý thuyết và áp dụng vào giải bài tập. Các em học sinh đợc tiếp cận rất sớm, ngay ở bậc tiểu học các em đã làm quen với các số 0, 1, 4, 9, 16, 25, Khi các em lên bậc học THCS, ngay từ lớp 6 các em đã đợc tiếp cận khá nhiều các dạng bài tập thể hiện kiến thức về số chính phơng. ở các lớp 7, 8, 9 thì yêu cầu về tính khoa học, chặt chẽ của mảng kiến thức này ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải có các phơng pháp học thật đa dạng, phong phú, tăng khả năng t duy trừu tợng để tìm tòi, khai thác vấn đề trên mọi góc độ, mọi khía cạnh nhằm tìm ra một Sợi chỉ liên hệ giữa lí thuyết và bài tập, giữa các yếu tố cho và hỏi. Trong quá trình học tập đây đó đã có những tài liệu để hỗ trợ học sinh thích nghi và học tốt số chính phơng song cách viết và sự trình bầy của tài liệu còn cha sát thực vói thực tiễn học tập của học sinh làm cho học sinh vẫn ngại đôi khi còn có cảm giác sợ học toán về phần số chính phơng. Đặc biệt với những học sinh lớp 8, lớp 9 khi các em còn cha tạo cho mình một thói quen, một phơng pháp học phù hợp với những nội dung liền trớc thì đã phải gặp rất nhiều bài toán khó, lạ nhất là những bài toán Mở từ các bài toán cơ bản. Các em sau khi đọc kỹ đề bài mà vẫn không biết định hình mình phải làm gì và bắt đầu từ đâu. Để giúp các em học sinh khắc phục những lo sợ, ức chế khi học số chính phơng tôi đi sâu và nghiên cứu tìm hiểu Phơng pháp giải một số dạng toán về số chính phơng trong chơng trình toán THCS. Đồng thời thông qua đó giúp các em biết phân tích, tìm tòi, phát triển bài toán ban đầu ra nhiều bài toán khác. 1 B. Nội dung và phơng pháp. I. Tình hình chung. Nh đã nêu ở trên giải toán số chính phơng là một dạng toán rất đa dạng và phong phú, học sinh đợc làm quen sớm. Tuy nhiên hiệu quả học tâp của các em lại cha cao. Nếu học sinh nắm đợc phơng pháp, kỹ năng giải một số dạng toán số chính phơng thì các em sẽ tự tin hơn, sáng tạo hơn, nâng cao khả năng t duy lôgíc tốt hơn trong học tập nội dung số chính phơng nói riêng môn toán nói chung. Thế nhng trong sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu tham khảo về loại toán này đã có song sự trình bầy còn tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết và phơng pháp mà chỉ là sự đa ra một số bài tập cùng lời giải. Vì lí do đó tôi đã chọn chuyên đề này để nghiên cứu dạy thực nghiệm cho học sinh nhằm bổ sung cho các em phần nào kiến thức cần có trong quá trình học toán ở trờng THCS. II. Những vấn đề đợc giải quyết. Qua nghiên cứu và từ thực tế giảng dạy phần hàm số tôi đã chia thành các dạng bài cụ thể nh sau. Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phơng Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phơng không? Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phơng Dạng 4: Tìm số chính phơng Dạng 5: Một số bài toán khác về số chính phơng. III. Phơng pháp tiến hành. 3.1 Lí thuyết cơ bản về số chính phơng a. Khái niệm: Số chính phơng là bình phơng của một số tự nhiên. Ví dụ: Số 16 là một số chính phơng vì 16 = 4 2 Số 121 là một số chính phơng vì 121 = 11 2 b. Tính chất: 2 + Số chính phơng chỉ có thể có chữ số tận cùng bởi: 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bởi: 2, 3, 7, 8. Vì ( ) 2 1 1ìììì = ììììì ( ) 2 0 0ìììì = ììììì ( ) 2 2 4ìììì = ììììì ( ) 2 3 9ìììì =ììììì ( ) 2 4 6ìììì = ììììì ( ) 2 5 5ìììì = ììììì ( ) 2 6 6ìììì = ììììì ( ) 2 7 9ìììì = ììììì ( ) 2 8 4ìììì = ììììì ( ) 2 9 1ìììì = ììììì 3.2. Một số kiến thức liên quan. a. Các hằng đẳng thức đáng nhớ. + (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 + (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 + (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA + (A + B - C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB - 2BC - 2CA + (A - B - C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 - 2AB + 2BC - 2CA b. Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. + Đặt nhân tử chung + Sử dụng hằng đẳng thức + Nhóm các hạng tử + Phối hợp các phơng pháp 3.3. Các kiến thức bổ sung. a. Một số tính chất của số chính phơng + Một số chính phơng có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 Vì : Xét số A = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 10 5 100 100 25 1 100 25m m m m m m= + = + + = + ì + Nh vậy: Số m(m+1).100 có hai chữ số cuối là 0 Hay : Số A có chữ số hàng chục là 2 + Một số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. CM: Giả sử số chính phơng B = a 2 có chữ số tận cùng là 6 Suy ra: Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hoặc 6 3 Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hay số a có dạng 4m Do đó: a 2 = ( ) ( ) 2 2 2 4 10 4 100 80 16m m m m= + = + + Ta có : Số 100m 2 và số 80m có chữ số hàng chục là số chẵn, 16 có chữ số hàng chục là số lẻ. Suy ra: Số B có chữ số hàng chục là số lẻ. Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 6 ( chứng minh tơng tự). + Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. CM: Xét số m có dạng: m = a x . b y . c z . Trong đó a, b, c . là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z, là các số nguyên tố d ơng Khi đó: Số A = m 2 = (a x . b y . c z .) 2 = a 2x . b 2y . c 2z . Từ tính chất này, suy ra: Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 + Số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 CM: Nhận thấy một số bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể d 0, d 1, d 2 Số chia cho 3 d 0 luôn có dạng 3k trong đó k Z. Suy ra: A = (3k) 2 = 9k 2 M 3 Số chia cho 3 d 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k Z. Suy ra: A = (3k + 1) 2 = [(9k 2 + 6k) + 1] chia cho 3 d 1 Số chia cho 3 d 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k Z. Suy ra: A = (3k + 2) 2 = 9k 2 + 12k + 4 = [(9k 2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 d 1 + CMTT: Số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1 b. Một số nhận xét trong quá trình giải toán. Nhận xét1: Khi gặp các số có nhiều chữ số giống nhau nh A = / 2 222 22 nc s ìììì 142 43 ; B = / 5 5555 5 55 nc s ìììì 1 4 2 4 3 ; C = / 9 9999 999 nc s 1 4 2 4 3 thì ta thờng đặt m = / 1 111 11 nc s 14 2 43 4 Suy ra: A = 2m; B = 5m; C = 9m Nhận xét2: Khi gặp số có dạng 10 n ta có thể biến đổi nh sau. 10 n = ( / 9 9999 999 nc s 1 4 2 4 3 + 1) = 9m + 1 hoặc 10 n = ( / 8 8888 888 nc s 1 4 2 4 3 + ( 1) / 1 1111 1112 n c s 1 4 2 4 3 ) = ( / 8 8888 888 nc s 1 4 2 4 3 + / 1 1111 111 nc s 1 4 2 4 3 + 1) = 3. Nội dung Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phơng Phơng pháp: + Căn cứ vào cấu trúc của số, biểu thức số mà đề bài cho để đa số về dạng số có n chữ số giống nhau. + Đặt số có dạng / 1 1111 111 nc s 1 4 2 4 3 = a, sau đó biến đổi số, biểu thức số mà bài cho theo a (tơng tự nh trong các nhận xét của phần kiến thức bổ sung) + Biểu diễn số, biểu thức số đã cho theo a và đa biểu thức chứa a về dạng hằng đẳng thức bình phơng của một tổng, bình phơng của một hiệu. + Trả lại giá trị cụ thể của a và kết luận bài toán. Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = / 9 / 0 9999 990000 00 25 nc s nc s 14 2 43 142 43 là số chính phơng. Có thể nói rằng khi học sinh cha đợc tiếp cận chuyên đề này thì đây thực sự là một bài toán khó vì với cấu trúc của số có quá nhiều chữ số thờng làm cho học sinh mất bình tĩnh, thiếu tự tin do không hình dung, nhận dạng đợc cách biến đổi. Nhng sau khi đợc tiếp xúc làm quen với chuyên đề, các em rất tự tin với việc tách, biển đổi số đã cho lí thuyết đã học. Lời giải chi tiết Ta có: A = / 9 / 0 9999 990000 00 25 nc s nc s 14 2 43 142 43 = / 9 ( 2) / 0 9999 990000 00 nc s n c s+ 14 2 43 142 43 + 25 = 2 / 9 9999 999 10 10 n nc s ì ì 1 42 43 + 25 5 = 2 / 1 / 9 9 1111 11 10 . 9999 99 1 nc s nc s ì ì + ữ 14 2 43 14 2 43 + 25 = 2 / 1 / 1 9 1111 11 10 . 9 1111 11 1 nc s nc s ì ì ì + ữ 14 2 43 14 2 43 + 25 Đặt a = / 1 1111 111 nc s 1 4 2 4 3 ta có A = 9a.100.(9a + 1) + 25 = (90a) 2 + 2.90a. 5 + 5 2 = (90a + 5) 2 = ( 90. / 1 1111 111 nc s 1 4 2 4 3 + 5) 2 = ( / 9 9999 999 0 nc s 1 4 2 4 3 + 5) 2 = 2 / 9 9999 9995 nc s 1 4 2 4 3 Vậy: A là số chính phơng. Ví dụ 2: Chứng minh rằng B = (2 ) / 4 4444 444 n c s 1 4 2 43 + ( 1) / 2 2222 222 n c s+ 1 4 2 43 + / 8 8888 888 nc s 1 42 43 + 7 là số chính phơng. Đây là một bài toán khó với nhiều học sinh đặc biệt là trớc khi các em làm quen với chuyên đề này. Với việc đã đợc tiếp cận lý thuyết, phơng pháp phân tích, cách giải cơ bản thì nhiều em tự tin hơn vì có đợc những định hớng biến đổi khá tối u để giải quyết bài toán. Tất nhiên cũng có những em biến đổi từng thành phần khá thành thạo nhng lại không thật linh hoạt trong kết hợp để hoàn thiện lời giải. Lời giải chi tiết Ta có: B = (2 ) / 4 4444 444 n c s 1 4 2 43 + ( 1) / 2 2222 222 n c s+ 1 4 2 43 + / 8 8888 888 nc s 1 42 43 + 7 = ( ) / 4 ( ) / 0 4444 4440000 000 n c s n c s 1 4 2 43 1 42 4 3 + ( ) / 4 4444 444 n c s 1 4 2 43 + ( ) / 4 2222 2220 n c s 1 4 2 43 + 2 + / 8 8888 888 nc s 1 42 43 + 7 = ( ) / 1 4 1111 111 10 n n c s ì ì 14 2 43 + ( ) / 1 4 1111 111 n c s ì 14 2 43 + ( ) / 1 2 1111 111 10 n c s ì ì 14 2 43 + ( ) / 1 8 1111 111 n c s ì 14 2 43 + 9 = ( ) / 1 ( ) / 1 4 1111 111 9 1111 111 1 n c s n c s ì ì ì + ữ ữ 14 2 43 14 2 43 + ( ) / 1 4 1111 111 n c s ì 14 2 43 + ( ) / 1 2 1111 111 10 n c s ì ì 14 2 43 + ( ) / 1 8 1111 111 n c s ì 14 2 43 + 9 Đặt a = ( ) / 1 1111 111 n c s 14 2 43 Suy ra: B = 4a(9a + 1) + 4a + 2a.10 + 8a +9 6 = 36a 2 + 4a + 4a + 20a + 8a + 9 = 36a 2 + 36a + 9 = (6a + 3) 2 =(6. ( ) / 1 1111 111 n c s 14 2 43 + 3) 2 =( ( ) / 6 6666 666 n c s 1 4 2 43 + 3) 2 = 2 ( 1) / 6 6666 669 n c s 142 43 Bài tập tơng tự: Chứng minh các số sau là số chính phơng C = ( ) / 1 ( 1) / 5 1111 111555 5556 n c s n c s 14 2 43 14 2 43 D = ( ) / 1 ( 1) / 2 1111 1112222 2225 n c s n c s+ 14 2 43 1 4 2 43 E = ( ) / 9 ( ) / 0 9999 99980000 0001 n c s n c s 1 42 43 1 42 43 F = ( ) / 4 ( 1) / 8 4444 4448888 8889 n c s n c s 1 4 2 43 1 42 43 G = (2 ) / 1 1111 111 n c s 14 2 43 - ( ) / 2 2222 222 n c s 1 4 2 43 H = ( 2) / 9 2249999 99910000 0009 n c s n 1 42 43 1 4 2 43 Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phơng không? Phơng pháp: + Cần nắm chắc các đơn vị kiến thức trọng tâm có liên quan trực tiếp đến số chính phơng ( đã trình bày trong phần lí thuyết). - Số chính phơng không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8. - Số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 - Số chia cho 3 d 2 không thể là số chính phơng - Số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1 - Số chia cho 4 d 2 hoặc d 3 không thể là số chính phơng - Bình phơng của một biểu thức có giá trị nguyên là một số chính phơng. - Dấu hiệu chia hết cho các số 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25, 125 7 + Căn cứ vào cấu trúc của biểu thức số đã cho ta phân tích mối quan hệ giữa các thành phần trong biểu thức để biến đổi, tách số hoặc đánh giá đa biểu thức về dạng mới sao cho thoả mãn một trong các điều kiện đã trình bày ở trên. Ví dụ 1: Số sau có là số chính phơng không? A = 52 / 5 5555 5556 c s 1 42 43 Bài toán này làm khó khăn cho khá nhiều học sinh vì các em phải phân tích rất nhiều do cha nhận định đợc số đã cho là chính phơng hay không, song với việc đợc tiếp cận lí thuyết và phơng pháp nh đã nêu thì đã có rất nhiều học sinh suy luận nh sau Theo dạng 1 học sinh nhanh chóng biến đổi A = 52 / 1 5 1111 111.10 c s ì 1 4 2 43 + 6 = 5.m.10 + 6 = 50m + 6 ( với m = 52 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 ) Bớc đầu nhìn nhận A không là số chính phơng Học sinh suy luận số A không là số chính phơng + Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định A không là số chính phơng vì chữ số tận cùng của A là 6. + Không thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 4 vì A chia hết cho 4 hay A chia cho 4 d 0. + Nh vậy chỉ có thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 3 và để khẳng định A không là số chính phơng thì phải làm sáng tỏ A chia cho 3 d 2. Lúc này học sinh tính tổng các chữ số của A 5 . 52 + 6 = 266 chia cho 3 d 2 Lời giải chi tiết. Xét số m Z bất kỳ với phép chia cho 3 và B = m 2 Nhận thấy số m bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể d 0, d 1, d 2 Ta có : Số chia cho 3 d 0 luôn có dạng 3k trong đó k Z. Suy ra: B = (3k) 2 = 9k 2 M 3 Số chia cho 3 d 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k Z. Suy ra: B = (3k + 1) 2 = [(9k 2 + 6k) + 1] chia cho 3 d 1 Số chia cho 3 d 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k Z. 8 Suy ra: B = (3k + 2) 2 = 9k 2 + 12k + 4 = [(9k 2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 d 1 Lại có: Tổng các chữ số của số A bằng 52 . 5 + 6 = 266 Mà: 266 : 3 d 2 Nên : Số A : 3 d 2 Nh vậy: A = 52 / 5 5555 5556 c s 1 42 43 không phải là số chính phơng. Ví dụ 2: Số B = 100 / 4 4444 44400 c s 1 4 2 43 có là số chính phơng không? Bài toán này không còn là vấn đề với nhiều học sinh nữa, bởi các em đã có công cụ giải quyết trong tay và bớc đầu cách suy luận không có gì khác nhiều so với ví dụ 1. Nhiều em suy luận nh sau Theo ví dụ 1 học sinh nhanh chóng biến đổi B = 100 / 1 4 1111 111.100 c s ì 1 4 2 43 = 4.m.100 = 400m = 20 2 . m ( với m = 100 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 ) Bớc đầu nhìn nhận B không là số chính phơng Học sinh suy luận số B không là số chính phơng + Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định B không là số chính phơng vì chữ số tận cùng của B là 0. + Không thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 3 vì B chia cho 3 d 1. + Nh vậy chỉ có thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 4 và để khẳng định B không là số chính phơng thì phải làm sáng tỏ B chia cho 4 d 2 hoặc d 3. Lời giải chi tiết Ta có: B = 100 / 1 4 1111 111.100 c s ì 1 4 2 43 = 4.m.100 (với m = 100 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 ) = 400m = 20 2 . m Để B là số chính phơng thì m = 100 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 phải là số chính phơng 9 Lại có: Số chính phơng lẻ khi chia cho 4 thì có số d là 1( phần lí thuyết đã viết) Mà: 11 chia cho 4 d 3 Nên: m = 100 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 chia cho 4 có d là 3 Hay: m = 100 / 1 1111 111 c s 1 4 2 43 không là số chính phơng. Vây: B = 100 / 4 4444 44400 c s 1 4 2 43 không là số chính phơng. Ví dụ 3: Chứng minh rằng C = 1 + 9 2k + 77 2k + 1977 2k không là số chính phơng với mọi k N * . Bài toán này về mặt yêu cầu thì đã rõ ràng, nhng cấu trúc của biểu thức đã làm cho học sinh khá ngại do khác hẳn với hai ví dụ trên. Song với kiến thức về số chính phơng mà các em đợc tiếp từ chuyên đề này thì đã có nhiều em phân tích kỹ mối quan hệ giữa các thành phần và suy luận nh sau Phải dựa vào các tính chất, dấu hiệu của số chính phơng để phân tích Biểu thức có cấu trúc của luỹ thừa tổng quát tức là liên quan đến các hằng đẳng thức dạng tổng quát. Theo dạng của biểu thức với luỹ thừa chẵn của từng số hạng thì liên quan đến hằng đẳng thức a 2n - b 2n hoặc a 2n - (- b) 2n . Cụ thể học sinh biến đổi nh sau Ta có: C = 1 + 9 2k + 77 2k + 1977 2k = (77 2k - 1) + 9 2k + 1997.1977 2k 1 + 2 = [77 2k - (-1) 2k ] + 9 2k + 3.659.1977 2k 1 + 2 = [77-(-1)][77 2k-1 + 77 2k-2 .(-1) +. + (-1) 2k-1 ] + 9 2k + 3.659.1977 2k 1 + 2] = 78.t + 3 4k + 3.659.1977 2k 1 +2 = 3(26t + 3 4k-1 + 659.1977 2k-1 ) + 2 Xét thấy: 3(26t + 3 4k-1 + 659.1977 2k-1 ) M 3 với mọi k N * Suy ra : C chia cho 3 d 2 Mà: Bất kỳ một số chính phơng nào khi chia cho 3 chỉ có thể số d là 0 hoặc 1 Vậy: C = 1 + 9 2k + 77 2k + 1977 2k không là số chính phơng. Bài tập tơng tự Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phơng. A = 99 / 4 14444 444 c s 1 4 2 43 B = 1994 7 + 7 10 [...]... luận bài toán Ví dụ 1: Tìm a Z để biểu thức sau là số chính phơng 11 S = a4 a + 2 Trớc khi tiếp cận chuyên đề bài toán này là khá khó với học sinh vì học sinh chỉ quen với toán tìm x, giải phơng trình Song cũng có những học sinh làm và nghĩ rằng có rất nhiều giá trị của a để S là số chính phơng do không định hình ra con đờng đi để tìm hết các giá trị thoả mãn, biện luận các giá trị không thoả mãn Sau... chính phơng C = 1! + 2! + 3! + 4! + + n! Bài này lúc đầu là khó với các em vì sự xuất hiện của giai thừa, của quy luật n số Nhng sau khi tiếp cận phơng pháp giải thì phần nào bài toán đã đợc tháo gỡ, song các em còn lúng túng một chút về cách giải quyết giai thừa của các số lớn Lúc đó tôi gợi ý các em quan tâm sâu đến vấn đề chữ số tận cùng của số chính phơng để giải bài toán Lời giải chi tiết 13 Với... toán này lúc đầu có thể làm nhiều học sinh thấy băn khuăn, lúng túng, nhng khi đọc kỹ đề bài thì các em tự tin hơn vì đã viết đợc dạng số phải tìm, cụ thể số phải tìm có dạng (m + 1)m(m + 2)(m + 3) = a2 song công việc tiếp theo là tìm ra m thì đã làm cho hầu hết học sinh bí Khi các em cha tiếp cận chuyên đề này chủ yếu các em biến đổi nh sau Dùng máy tính thử các số Tách (m + 1)m(m + 2)(m + 3) = 1000(m... (4n2 + 8n + 4) (4n2 + 4n + 1)= (2n + 2)2 - (2n + 1)2 ( với mỗi giá trị của n cho ta hai số lẻ liên tiếp bất kỳ) Nh vậy bài này theo học sinh có thể viết bằng một trong hai cách trên ta đều giải đợc, song thực tế cho thấy viết theo cách một cha thực sự chặt chẽ (theo phơng pháp quy nạp) do không thể hiện đợc sự liên tục tại cùng một thời điểm, một giá trị của n chỉ đa ra đợc một số thoả mãn còn cách... nhiều học sinh vì có quá nhiều số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 và không biết mỗi số chính phơng có bao nhiêu chữ số., làm các em bí trong việc tìm chữ số hàng chục của 5 số chính phơng bất kỳ Song sau khi học sinh đợc tiếp cận với chuyên đề thì bài toán này thật đơn giản, các em dựa vào những kiến thức về số chính phơng có chữ số tận cùng là 6 để giải Lời giải chi tiết Cách 1: Một số chính... hợp, còn những em xét đủ các trờng hợp thì vẫn vớng mắc ở khâu vẽ Học sinh tự hỏi? ? Vẽ hàm số nào trong các trờng hợp trên hay vẽ tất ? Vẽ trên một hệ trục toạ độ hay mỗi hàm số vẽ trên một hệ trục ? Vẽ song thì đã kết thúc cha 32 Qua thực tế giảng dạy tôi thấy các em thờng vẽ mỗi hàm số trên một hệ trục toạ độ và không kết luận đồ thị của hàm số ban đầu Khi đó tôi hớng các em tiếp cận phơng pháp giải... là đờng gấp khúc AGHT x 3 Bài toán 3: Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 x 1 + x 3 Bài toán này không còn khó với các em nữa khi các em đã đợc tiếp cận lí thuyết và qua kỹ năng giải bài toán 1, bài toán 2 song các em chỉ lu ý hơn một chút về điều kiện xác định của hàm số do trong hàm số có chứa biến ở mẫu 34 Lời giải: ĐKXĐ: x 3 Tơng tự nh các bài toán trên ta có bảng x x 1 x3 1 - (x 1) - (x 3) 3 0 x1 . trình học tập đây đó đã có những tài liệu để hỗ trợ học sinh thích nghi và học tốt số chính phơng song cách viết và sự trình bầy của tài liệu còn cha sát thực vói thực tiễn học tập của học sinh. chung. Thế nhng trong sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu tham khảo về loại toán này đã có song sự trình bầy còn tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết và phơng pháp mà chỉ là sự đa ra. sinh vì các em phải phân tích rất nhiều do cha nhận định đợc số đã cho là chính phơng hay không, song với việc đợc tiếp cận lí thuyết và phơng pháp nh đã nêu thì đã có rất nhiều học sinh suy luận