chinh quy metric Tính chính quy mê tric là một trong những tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị, thu hút đượ c sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán họ c trên thế giới. Hiện nay, kết quả đạt đượ c theo hướng này là rất ph on g phú và đa dạng. Tính chín h quy mêtric có nguồn gố c trong Nguyên lý ánh xạ mở cho các ánh xạ tuyến tính đạt đượ c trong những năm 1930 b ởi Banach và Schauder. Sau đó, Nguyên lý này đượ c giải thích lại và tổng q uát trong hai kết q uả cổ điển đặc sắc: Định lý về không gian tiếp xúc của Lyusternik 7 và Định lý về tính toàn ánh của G raves 6. Bướ c quyết định tiếp theo trong lịch sử phát triển này là sự mở rộng của Nguyên lý ánh xạ mở BanachSchauder cho c ác ánh xạ đa trị có đồ thị lồi, đóng đượ c thiết lập độ c lập b ởi Ursescu 13 và Robinson 12 (Định lý RobinsonUrsescu nổi tiếng).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN DUY AN TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC VÀ LUẬT FERMAT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN DUY AN TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC VÀ LUẬT FERMAT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: T.S Nguyễn Hữu Trọn Bình Định - Năm 2015 Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Lời nói đầu v Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.1 Một số khái niệm ánh xạ đa trị 1.1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị Nguyên lý biến phân Ekeland Đạo hàm ánh xạ đa trị 1.2.1 Nón tiếp tuyến 1.2.2 Đạo hàm Bouligand Nón pháp tuyến, vi phân, đối đạo hàm 1.3.1 Nón pháp tuyến 1.3.2 Dưới vi phân 11 1.3.3 Đối đạo hàm 14 1.1.3 1.2 1.3 Lý thuyết chặn sai số 16 2.1 Khái niệm chặn sai số 16 2.2 Một số tính chất 17 i ii Tính quy mêtric ánh xạ đa trị 20 3.1 Tính quy mêtric ánh xạ đa trị tổng quát 20 3.2 Tính quy mêtric ánh xạ đa trị đồ thị 21 3.2.1 Ánh xạ đa trị đồ thị 21 3.2.2 Tính quy mêtric 22 Điều kiện cần cho toán tối ưu đa trị 34 4.1 Bài toán tối ưu đa trị 34 4.2 Điều kiện cần tối ưu sử dụng đối đạo hàm 36 4.2.1 Luật Fermat 36 4.2.2 Luật nhân tử Lagrange 50 Điều kiện cần tối ưu sử dụng đạo hàm Bouligand 54 4.3.1 Luật Fermat 54 4.3.2 Luật nhân tử Lagrange 59 4.3 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU F :X ÑY Ñ F ✁1 :Y X dom F epi f rge F Gr F ker F N R C φ ⑥x⑥ ①x, y② V ♣xq B ♣x, rq D♣x, rq SX X✝ K✝ int A co A aff A d♣x, Aq xÝ Ñ x¯ S xÝ Ñ x¯ w xk Ý Ñ x ✝ w x✝k ÝÝÑ x✝ ♣ε ♣S, xq N ♣ ♣S, xq N N ♣S, x ¯q ♣ ❇f ♣x¯q ❇f ♣x¯q f : Ánh xạ đa trị từ X vào Y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ánh xạ ngược F Miền hữu hiệu F Tập đồ thị f Miền ảnh F Đồ thị F Tập không điểm F Tập số nguyên dương Tập số thực Tập số phức Tập rỗng Chuẩn x Tích vô hướng véctơ x y Họ lân cận x Hình cầu mở tâm x bán kính r Hình cầu đóng tâm x bán kính r Mặt cầu đơn vị X Không gian đối ngẫu không gian Banach X Nón liên hợp nón K Phần A Bao lồi A Bao affine A Khoảng cách từ x đến tập A : xÑx ¯ x S : xÑx ¯ f ♣xq Ñ f ♣x ¯q : Dãy véctơ xk hội tụ đến véctơ x theo tôpô yếu : : : : : : Dãy véctơ x✝k hội tụ đến véctơ x✝ theo tôpô ✝ yếu Tập véctơ ε- pháp tuyến S x Nón pháp tuyến Fréchet S x Nón pháp tuyến sở S x ¯ Dưới vi phân Fréchet f x ¯ Dưới vi phân sở f x ¯ iv ❇Ω f ✶ ♣ xq ①✝ F ♣x D ¯, y¯q♣☎ q D✝ F ♣x ¯, y¯q♣☎ q TB ♣S, x ¯q DB F ♣x ¯, y¯q : : : : : : Hàm tập φ ✘ Ω ⑨ X Đạo hàm Fréchet f x Đối đạo hàm Fréchet F ♣x ¯, y¯q Đối đạo hàm Monkhovich F ♣x ¯, y¯q Nón tiếp tuyến S x ¯ Đối đạo hàm Bouligand F ♣x ¯, y¯q DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT t.ư : tương ứng v Lời nói đầu Tính quy mêtric tính chất quan trọng ánh xạ đa trị, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Hiện nay, kết đạt theo hướng phong phú đa dạng Tính quy mêtric có nguồn gốc Nguyên lý ánh xạ mở cho ánh xạ tuyến tính đạt năm 1930 Banach Schauder Sau đó, Nguyên lý giải thích lại tổng quát hai kết cổ điển đặc sắc: Định lý không gian tiếp xúc Lyusternik [7] Định lý tính toàn ánh Graves [6] Bước định lịch sử phát triển mở rộng Nguyên lý ánh xạ mở Banach-Schauder cho ánh xạ đa trị có đồ thị lồi, đóng thiết lập độc lập Ursescu [13] Robinson [12] (Định lý Robinson-Ursescu tiếng) Trong ba mươi năm qua, sau tương đương tính quy mêtric tính mở với tỉ lệ tuyến tính bối cảnh tổng quát ánh xạ đa trị không gian véctơ định chuẩn xác định rõ ràng Nhiều nổ lực trải qua để đạt điều kiện cần đảm bảo tính chất theo đối tượng vi phân tổng quát khác để hiểu mối liên hệ với Định lý điểm bất động với điều kiện tối ưu cho số lớp toán tối ưu Có nhiều tác giả đóng góp cho phát triển lĩnh vực nghiên cứu Chúng liệt kê tác giả tiêu biểu J P Aubin, J M Borwein, A Dontchev, A.V Dmitruk, H Frankowska, A loffe, D Klatte, B Kummer, A.A Milyutin, B S Mordukhovich, J P Penot, S M Robinson, R T Rockafellar, C Ursescu số người khác Trong luận văn khảo sát tính quy mêtric cho loại ánh xạ đa trị đặc biệt có tên ánh xạ đồ thị mà chứng minh quan trọng toán tối ưu véctơ đa trị Luận văn "Tính quy mêtric luật Fermat cho toán tối ưu đa trị" nhằm mục đích tìm hiểu tính quy mêtric ánh xạ đa trị đồ thị ứng dụng việc thiết lập vi điều kiện cần tối ưu (Luật Fermat, Luật Lagrange) cho toán tối ưu đa trị không gian Banach Để đạt mục đích trên, mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia thành bốn chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị: Chương dành để trình bày kiến thức cở cần thiết ánh xạ đa trị định nghĩa, tính liên tục, đạo hàm, đối đạo hàm, ánh xạ đa trị, khái niệm Giải tích đa trị Giải tích biến phân số kết kinh điển Quy tắc tổng, Quy tắc tổng mờ Nguyên lý biến phân Ekeland Chương Lý thuyết chặn sai số: Chương này, dành để trình bày số kết Lý thuyết chặn sai số, thông qua nghiên cứu chặn sai số cho hàm nửa liên tục Chương Tính quy mêtric ánh xạ đa trị: Chương dành cho việc nghiên cứu tính quy mêtric ánh xạ đa trị Đặc biệt nghiên cứu tính quy mêtric cho loại ánh xạ đa trị đặc biệt, cụ thể ánh xạ đa trị đồ thị Chương Điều kiện cần cho toán tối ưu đa trị: Chương đề cập đến toán tối ưu đa trị Điều kiện cần cho toán tối ưu đa trị Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy nhiệt tâm TS Nguyễn Hữu Trọn Nhân đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tiếp đến, xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khoá XV tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè, người chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ hoàn thành luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm Giải tích đa trị Giải tích biến phân sử dụng nhiều chương sau Các kết chương chủ yếu lấy từ giáo trình Nguyễn Đông Yên r14s 1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.1 Một số khái niệm ánh xạ đa trị Ñ Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y hai tập hợp Cho F : X Y Y ánh xạ từ X vào toàn tập Y (được kí hiệu ) Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với x X, F ♣xq tập hợp Y Ñ Người ta thường sử dụng kí hiệu F : X Y để F ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với x X tập F ♣xq gồm phần tử Y , ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho kí hiệu F :X Y người ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X Ñ Y Ñ Định nghĩa 1.1.2 Cho X, Y hai không gian tôpô Xét ánh xạ đa trị F : X Y xác định X, nhận giá trị tập tập Y Đồ thị F cho Ñ Gr F ✏ t♣x, yq X ✂ Y :y F ♣xq✉ Miền hữu hiệu F cho dom F ✏ tx X ⑤F ♣xq ✘ φ✉ Miền ảnh F cho rge F ✏ ty Y : ❉x X cho y F ♣xq✉ ✏ ↕ F ♣xq x dom F Ánh xạ ngược F ✁1 : Y định công thức Ñ X ánh xạ đa trị F : X Ñ Y F ✁1 ♣y q ✏ tx X : y xác F ♣xq✉, ❅y Y Cho X, Y không gian định chuẩn Kí hiệu B ♣x, εq D♣x, εq hình cầu mở hình cầu đóng, với tâm x X bán kính ε → BX , DX , SX tương ứng hình cầu đơn vị mở, hình cầu đơn vị đóng mặt cầu đơn vị X Cho x X S ⑨ X, kí hiệu khoảng cách từ x đến S d♣x, S q :✏ inf ⑥x ✁ y ⑥ y S Quy ước d♣x, φq ✏ ✽ Cho x X, V ♣xq tập tất lân cận x ứng với tôpô X Như thường lệ, cl int bao đóng phần tương ứng tập hợp aff S bao affine tập khác rỗng S ⑨ X X ✝ không gian đối ngẫu X đặt ①☎ , ☎② cho cặp đối ngẫu X X ✝ Trên không gian tích X ✂ Y , ta thường sử dụng chuẩn tổng ⑥♣x, yq⑥ ✏ ⑥x⑥ ⑥y⑥ , ❅♣x, yq X ✂ Y Lưu ý rằng, chuẩn đối ngẫu X ✝ ✂ Y ✝ chuẩn max 49 Do đó, tồn ♣x, k q Ecl✁1F ♣y q với ⑥x ✁ x¯⑥ ⑥k⑥ ➔ ε (4.2.9) Do đó, y cl F ♣xq k Vì vậy, tồn dãy ♣xn , yn q ⑨ Gr F với ♣xn , yn q Ñ ♣x, y ✁ kq Đặt kn :✏ k zn :✏ yn kn với n Ta có ♣♣xn , kn q, zn q ⑨ Gr EF với ♣xn , kn , zn q Ñ ♣x, k, y q Từ (4.2.9), ta biết x B ♣x ¯, εq k B ♣0, εq, với n đủ lớn, xn B ♣ x ¯, εq kn B ♣0, εq, yn EF ♣B ♣x ¯, εq, B ♣0, εqq Khi đó, từ giả thiết cực tiểu ta có yn ✁ y¯ ♣Y ③♣✁K qq ❨ K Do đó, y ✁ y¯ cl♣♣Y ③♣✁K qq ❨ K q Bởi y chọn tùy ý nên suy B ♣y¯, mεq ✁ y¯ ⑨ cl♣♣Y ③♣✁K qq ❨ K q Vì B ♣y¯, mεq ✁ y¯ hút cl♣♣Y ③♣✁K qq ❨ K q đóng phép nhân vô hướng ta suy Y ✏ cl♣♣Y ③♣✁K qq ❨ K q Theo Bổ đề 4.1.1, ta suy int K ✏ φ Mâu thuẫn cho thấy giả thiết cực tiểu Pareto tính quy mêtric Ecl F không tương thích Bây giờ, ta giữ lại điều kiện Định lý 3.2.1 thay F cl F dựa vào Bổ đề 4.2.4 ta thu điều kiện tối ưu khác sau Định lý 4.2.7 ♣r3sq Cho X, Y không gian Banach F : X Y ánh xạ đa trị cho ♣x ¯, y¯q Gr F Giả sử rằng, K ⑨ Y nón lồi đóng cho int K ✘ φ Nếu ♣x ¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto hàm F với ε → tồn ♣uε , vε q cl♣Gr F ❳ B ♣♣x ¯, y¯q, εq, yε✝ SY ✝ ❳ K ✝ , zε✝ εBY ✝ , cho Ñ D❇✝ ♣cl F q♣uε , vε q♣yε✝ zε✝ q εBX ✝ Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.2.4, ta biết rằng, Ecl F không quy mêtric lân cận diểm ♣♣x ¯, 0q, y¯q, ta sử dụng lại Định lý 3.2.3 với cl F thay F k¯ :✏ 0, ta có với ε → 0, 50 tồn ♣xε , kε , yε q B ♣x ¯, 2✁1 εq ✂ rB ♣0, 4✁1 εq ❳ K s ✂ B ♣y¯, 4✁1 εq với yε ❘ ♣cl F q♣xε q kε cho ε → inf ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ♣u, vq cl♣Gr F q, u B ♣xε , 2✁1 εq, x✝ D❇✝ F ♣u, v q♣y ✝ z ✝ q, y ✝ K ✝ ❳ SY ✝ , z ✝ εBY ✝ , ⑥ x✝ ⑥ : ✬ d♣yε , ♣cl F q♣uq kε q ↕ 4✁1 ε, ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ⑥yε ✁ v ✁ kε ⑥ ↕ d♣yε , ♣cl F q♣uq kε q 8✁1 ε, ✬ ✬ ✪ ⑤①y✝ z✝ , v kε ✁ yε ② ✁ d♣yε , ♣cl F q♣uq kε q⑤ ➔ ε ✱ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✳ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✲ Phần lại chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 4.2.6 Chú ý 4.2.2 Một kết hoàn toàn tương tự Định lý 4.2.5 cho ánh xạ đa trị F : X Y không gian Banach X, Y với DY ✝ ✝ compắc yếu theo dãy Ñ 4.2.2 Luật nhân tử Lagrange r ánh xạ đa trị định nghĩa sau Xét toán ♣P2 q G ♣xq ✏ G♣xq Q Hơn nữa, cho hai ánh xạ đa trị F : X Y, G : X Z, xét ánh xạ đa trị ♣F, Gq : X Y ✂ Z cho ♣F, Gq♣xq :✏ F ♣xq ✂ G♣xq, ❅x X Như thường lệ, nón không gian tích Y ✂ Z K ✂ Q r ♣xq✉ tập tất Đặt S :✏ tx X ⑤0 G♣xq Q✉ ✏ tx X ⑤0 G điểm chấp nhận ♣P2 q r G Ñ Ñ Ñ Bổ đề 4.2.5 ♣r4sq Giả sử ♣x ¯, y¯q Gr F ❳ ♣S ✂ Y q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P2 q, K ③ ✁ K ✘ φ Khi đó, ánh xạ đa trị ♣Fr, Grq không mở ♣x¯, y¯, 0q ♣F, Gq, ♣Fr, Grq không mở ♣x¯, y¯, z¯q r q không với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q Hơn nữa, int K ✘ φ cl♣Fr , G r q, cl♣F r , Gq, cl♣F, Gq không mở ♣x mở ♣x ¯, y¯, 0q cl♣Fr , G ¯, y¯, z¯q với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q 51 Chứng minh Giả sử, U lân cận x ¯ từ định nghĩa điểm cực tiểu Pareto địa phương Khi đó, ♣F ♣U ❳ S qy¯q❳✁K ⑨ K Ta thấy ♣♣Fr, Grq♣U q ✁ ♣y¯, z¯qq ❳ ♣✁K ✂ ✁Qq ⑨ K ✂ Z, (4.2.10) r ♣x với z¯ G ¯q ❳ ✁Q, đặc biệt với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q r ♣xq cho y k ✁ y Chọn x U, y F ♣xq, k K, z G ¯ ✁K z ✁ z¯ ✁Q r ♣ xq Q ✏ G r x S Vì z¯ ✁Q nên ta có z ✁Q Từ đó, G Khi đó, x U ❳ S y ✁ y¯ ♣F ♣U ❳ S q ✁ y¯q ❳ ✁K ⑨ K Từ đó, y k ✁ y¯ k K ⑨ K, yêu cầu chứng minh r ♣x r q Bây giờ, giả sử ngược lại, nghĩa ❉z¯ G ¯q ❳ ✁Q cho ♣Fr , G mở ♣x ¯, y¯, z¯q Khi đó, sử dụng tính cực tiểu ♣x ¯, y¯q tính mở r q, tồn lân cận W ♣y r q♣U q ♣Fr , G ¯, z¯q cho W ⑨ ♣Fr , G Theo chứng minh trên, ta có ♣W ✁ ♣y¯, z¯qq ❳ ♣✁K ✂ ✁Qq ⑨ K ✂ Z ✶ ✶ Đặt V :✏ W ✁♣y¯, z¯q lân cận ♣0, 0q Y ✂ Z V ❳♣✁K ✂ ✁Qq ✶⑨ K ✂ Z Vì V tập hút nên ta suy ✁K ⑨ K điều mâu thuẫn r q không mở ♣x r ♣x nên ♣Fr , G ¯, y¯, z¯q, với z¯ G ¯q ❳ ✁Q, với z¯ G♣x ¯q❳✁Q Đặc biệt, ♣F, Gq không mở ♣x¯, y¯, z¯q, với z¯ G♣x¯q ❳ ✁Q ♣Fr, Grq không mở ♣x¯, y¯, 0q r ♣x Để chứng minh phần tiếp theo, giả sử ngược lại, nghĩa ❉z¯ G ¯q ❳ r r ✁Q cho cl♣F , Gq mở ♣x¯, y¯, z¯q Khi đó, ta chọn lại U lân cận mở x ¯ cho ♣F ♣U ❳ S q ✁ y¯q ❳ ✁K ⑨ K tìm lân r q♣U q Bây giờ, chọn điểm cận W ♣y¯, z¯q cho W ⑨ cl♣Fr , G ♣y, zq W Khi đó, tồn x U cho ♣y, zq cl♣Fr, Grq♣xq Khi đó, r q cho ♣xn , yn , zn q Ñ ♣x, y, z q tồn ♣xn , yn , zn qnN ⑨ Gr♣Fr , G Vì xn U với n đủ lớn (4.2.10) xảy nên ♣yn ✁ y¯, zn ✁ z¯q ♣♣Fr, Grq♣U q ✁ ♣y¯, z¯qq ⑨ ♣♣Y ③ ✁ K q ❨ K q ✂ Z Vì Đặt ♣yn ✁ y¯, zn ✁ z¯q cl♣♣Y ③ ✁ K q ❨ K q ✂ Z ✶ V :✏ ♣W ✁ ♣y¯, z¯qq ⑨ cl♣♣Y ③ ✁ K q ❨ K q ✂ Z 52 ✶ Vì ♣y, z q chọn tùy ý W V hút nên Y ✏ cl♣♣Y ③✁ K q❨ r q không mở K q Điều mâu thuẫn với int K ✘ φ Vì vậy, cl♣Fr , G r ♣x¯, y¯, z¯q với z¯ G♣x¯q❳✁Q, với z¯ G♣x¯q❳✁Q r q không mở ♣x Đặc biệt, cl♣Fr , G ¯, y¯, 0q Vì cl♣F, Gq♣U q ⑨ cl♣Fr , Gq♣U q r r ⑨ cl♣F , Gq♣U q với U ⑨ X Chứng minh kết thúc Nếu ♣x ¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương toán tối ưu ♣P2 q tồn z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q ♣x ¯q điểm chấp nhận r ♣x Đặc biệt, G ¯q Vì vậy, Định lý sau cho ta kết r q ứng với ♣F, Gq ♣x ¯, y¯, z¯q xét điểm ♣x ¯, y¯, 0q cho ♣Fr , G Định lý 4.2.8 ♣r4sq Giả sử X, Y, Z không gian Asplund Giả sử ♣x ¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P2 q K ③ ✁ K ✘ φ (i) Nếu Gr♣F, Gq đóng địa phương lân cận ♣x ¯, y¯, z¯q với ε → đủ nhỏ, có tồn ♣xε , yε , zε q Gr♣F, Gq ❳ B ♣♣x ¯, y¯, z¯q, εq, ♣yε✝ , zε✝ q ♣K ✝ ✂ Q✝ q ❳ SY ✝ ✂Z ✝ ♣vε✝ , wε✝ q εBY ✝ ✂Z ✝ cho ♣ ✝ ♣F, Gq♣xε , yε , zε q♣y ✝ v ✝ , z ✝ w ✝ q εB ✝ 0D X ε ε ε ε (4.2.11) (ii) Nếu int K ✘ φ với ε → đủ nhỏ tồn ♣xε , yε , zε q cl Gr♣F, Gq ❳ B ♣♣x ¯, y¯, z¯q, εq, ♣yε✝ , zε✝ q ♣K ✝ ✂ Q✝ q ❳ SY ✝ ✂Z ✝ ♣vε✝ , wε✝ q εBY ✝ ✂Z ✝ cho ♣ ✝ cl♣F, Gq♣xε , yε , zε q♣y ✝ v ✝ , z ✝ w ✝ q εB ✝ (4.2.12) 0D X ε ε ε ε r q đóng địa phương quanh ♣x (iii) Nếu Gr♣Fr , G ¯, y¯, 0q với r r ε → đủ nhỏ, tồn ♣xε , yε , zε q Gr♣F , Gq ❳ B ♣♣x ¯, y¯, 0q, εq, ♣yε✝ , zε✝ q ♣K ✝ ✂ Q✝ q ❳ SY ✝ ✂Z ✝ cho ♣ ✝ ♣F r, G r q♣xε , yε , zε q♣y ✝ , z ✝ q εB ✝ 0D X ε ε (4.2.13) (iv) Nếu int K ✘ φ với ε → đủ nhỏ tồn ♣xε , yε , zε q r q ❳ B ♣♣x cl Gr♣Fr , G ¯, y¯, 0q, εq, ♣yε✝ , zε✝ q ♣K ✝ ✂ Q✝ q ❳ SY ✝ ✂Z ✝ cho ♣ ✝ cl♣F r, G r q♣xε , yε , zε q♣y ✝ , z ✝ q εB ✝ 0D X ε ε (4.2.14) 53 Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.2.5, Định lý 4.2.2 Định lý 4.2.4 ta dễ dàng chứng minh ♣iq ♣iiq Để chứng minh ♣iiiq ♣iv q, ta r q thay cho ♣F, Gq ♣x áp dụng ♣iq ♣iiq cho ♣Fr , G ¯, y¯q Gr F điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P2 q điểm cực tiểu Pareto địa phương toán sau ♣Pr2 q r ♣xq Q ✏ G r ♣xq Fr♣xq, x X, G Chứng minh kết thúc Bây giờ, có kết tương tự Định lý 4.2.5 Định lý 4.2.9 ♣r4sq Giả sử X, Y, Z không gian Asplund ♣x¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P2 q K ③✁K ✘ φ (i) Giả sử rằng, (a) K SN C F ✁1 P SN C ♣y¯, x ¯q (b) Q SN C G✁1 P SN C ♣z¯, x ¯q Nếu Gr♣F, Gq đóng địa phương quanh ♣x ¯, y¯, z¯q tồn ✝ ✝ ✝ ✝ ♣y , z q ♣K ✂ Q q③t♣0, 0q✉ cho D✝ ♣F, Gq♣x ¯, y¯, z¯q♣yε✝ , zε✝ q (ii) Nếu int K ✘ φ int Q Q✝ q③t♣0, 0q✉ cho ✘ φ tồn ♣y ✝ , z ✝ q (4.2.15) ♣K ✝ ✂ D✝ ♣cl♣F, Gqq♣x ¯, y¯, z¯q♣yε✝ , zε✝ q (4.2.16) (iii) Giả sử rằng, (a) K SN C F ✁1 P SN C ♣y¯, x ¯q (b) Q SN C G✁1 P SN C ♣z¯, x ¯q r q đóng địa phương quanh ♣x Nếu Gr♣Fr , G ¯, y¯, 0q tồn ✝ ✝ ✝ ✝ ♣y , z q ♣K ✂ Q q③t♣0, 0q✉ cho r q♣x D✝ ♣Fr , G ¯, y¯, 0q♣yε✝ , zε✝ q (4.2.17) 54 (iv) Nếu int K ✘ φ int Q Q✝ q③t♣0, 0q✉ cho ✘ φ tồn ♣y ✝ , z ✝ q ♣K ✝ ✂ r qq♣x D✝ ♣cl♣Fr , G ¯, y¯, z¯q♣yε✝ , zε✝ q (4.2.18) Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 4.2.5 4.3 Điều kiện cần tối ưu sử dụng đạo hàm Bouligand 4.3.1 Luật Fermat Định nghĩa 4.3.1 Cho X không gian Banach S tập khác rỗng X x ¯ X Nón tiếp tuyến S x ¯ (nón contingent) tập hợp TB ♣S, x ¯q ✏ tu X ⑤❉♣tn q Ó 0, ❉♣un q Ñ u, ❅n N, x ¯ tn un S ✉, đây, ♣tn q Ó nghĩa ♣tn q ⑨ ♣0, ✽q ♣tn q Ñ Nhận xét 4.3.1 TB ♣S, x ¯q nón đóng TB ♣S, x ¯q ✏ TB ♣cl S, x ¯q Hơn nữa, TB ♣S, x ¯q ✘ φ x ¯ cl S Nếu S tập lồi ➈ ¯q TB ♣S, x ¯q ✏ cl t→0 t✁1 ♣S ✁ x Định nghĩa 4.3.2 Cho ♣x ¯.¯ y q Gr F Đạo hàm Bouligand F ♣x¯, y¯q ánh xạ đa trị DB F ♣x¯, y¯q từ X lên Y định nghĩa DB F ♣x ¯, y¯q♣uq ✏tv Y ⑤❉♣tn q Ó 0, ❉♣un q Ñ u, ❉♣vn q ⑨ Y, ♣vn q Ñ v, ❅n N, y¯ tn F ♣x¯ tn un q✉ Nhận xét 4.3.2 Gr DB F ♣x ¯, y¯q ✏ TB ♣Gr F, ♣x ¯, y¯qq Ñ Định nghĩa 4.3.3 Ánh xạ đa trị F : X Y gọi mở ♣x¯, y¯q Gr F với U lân cận x¯ F ♣U q lân cận y¯ 55 Định lý 4.3.1 ♣r5sq Giả sử W tập mở X ✂ Y cho Gr F ❳ cl W đóng, giả sử λ → cho với ♣x, y q Gr F ❳ W ta có BY ♣0, λq ⑨ cl♣DB F ♣x, y q♣BX ♣0, 1qqq (4.3.19) Khi đó, với ε BY ♣y, λεq ⑨ W, → với ♣x, yq Gr F cho BX ♣x, εq ✂ BY ♣y, λεq ⑨ F ♣BX ♣x, εqq Chứng minh Lấy ε → ♣x, y q chọn z BY ♣y, λεq Khi đó, ta tìm µ → cho µ ⑥y ✁ z ⑥ ➔ λε Trên không gian tích X ✂ Y ta xét chuẩn X ✂ Y ◗ ♣p, qq ÞÑ maxtλ ⑥p⑥ , ⑥q⑥✉ áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm Gr F ❳ cl W ◗ ♣p, qq ÞÑ ⑥z ✁ q⑥ R, để có điểm ♣a, bq Gr F ❳ cl W cho µ ⑥z ✁ b⑥ ↕ µ ⑥z ✁ y ⑥ ✁ ⑥♣a, bq ✁ ♣x, y q⑥ (4.3.20) µ ⑥z ✁ b⑥ ↕ µ ⑥z ✁ q ⑥ ⑥♣a, bq ✁ ♣p, q q⑥ , ❅♣p, q q Gr F ❳ cl W (4.3.21) Từ (4.3.20), ta có ⑥♣a, bq ✁ ♣x, y q⑥ ↕ µ ⑥z ✁ y ⑥ ➔ λε, suy a BX ♣x, εq, b BY ♣y, λεq, ♣a, bq W theo (4.3.19), ta có BY ♣0, λq ⑨ cl♣DB F ♣a, bq♣BX ♣0, 1qqq Bây giờ, ta chứng minh z ✏ b, Đặt v :✏ z ✁ b lấy dãy ♣rn qnN ♣0, ✽q cho hội tụ tới Khi đó, với n N, v BY ♣0, ⑥v⑥ rn q ⑨ cl♣DB F ♣a, bq♣BX ♣0, λ✁1 ♣⑥v⑥ rn qqqq Do đó, ta tìm thấy chuỗi ♣un , qnN X ✂ Y cho ♣vn q Ñ v với n N, un BX ♣0, λ✁1 ♣⑥v ⑥ rn qq, 56 DB F ♣a, bq♣un q Hơn nữa, ta tìm dãy ♣sn , pn , qn qnN ⑨ ♣0, ✽q ✂ X ✂ Y cho hội tụ gốc R ✂ X ✂ Y với n N, ♣a, bq sn ♣♣pn , qn q ♣un , qq Gr F Cuối cùng, ta có với n N, sN ♣0, 1q ♣a, bq sn ♣♣pn , qn q ♣un , qq W Với n N, từ (4.3.21), ta có µ ⑥v ⑥ ↕ µ ⑥sn ♣vn qn q ✁ v ⑥ sn ⑥♣un , q ♣pn , qn q⑥ µ♣♣1 ✁ sn q ⑥v ⑥ sn ⑥vn qn ✁ v ⑥q sn ⑥♣un , q ♣pn , qn q⑥ Đơn giản µ ⑥v ⑥ chia hai vế cho sn , ta µ ⑥v ⑥ ↕ µ ⑥vn qn ✁ v ⑥ maxt⑥v ⑥ rn , ⑥vn ⑥✉ ⑥♣pn , qn q⑥ Qua giới hạn ta µ ⑥v ⑥, từ v kết luận ✏ 0, z ✏ b F ♣aq ⑨ F ♣BX ♣x, εqq suy Ñ Y (GrH nón) Ta định nghĩa Ñ X ✝ Cho trình H : X ánh xạ đa trị hoán vị H ✌ : Y ✝ H ✌ ♣y ✝ q ✏ tx✝ X ✝ ⑤x✝ ♣xq ↕ y✝ ♣yq, ❅♣x, yq Gr H ✉ Nhận xét 4.3.3 H ✌ w✝ ✁đóng trình lồi ♣y ✝ , x✝ q Gr H ✌ ♣✁x✝ , y ✝ q ♣Gr H q✝ Kết tiếng sử dụng nhiều phần Mệnh đề 4.3.1 ♣r5sq Giả sử X, Y không gian véctơ định chuẩn, H : X Y trình a → Nếu BY ♣0, aq ⑨ cl♣H ♣BX ♣0, 1qqq ❅y ✝ Y ✝ , ❅x✝ H ✌ ♣y ✝ q, a ⑥y ✝ ⑥ ↕ ⑥x✝ ⑥ Điều ngược lại H lồi Ñ Xét toán ♣P1 q Xét ánh xạ đa trị Fr : X Fr♣xq :✏ F ♣xq K, ❅x X Ñ Y , cho 57 Mệnh đề 4.3.2 ♣r5sq Giả sử rằng, DB Fr♣x, y¯q♣0q ❳ ✁K ⑨ K, ❅x Fr✁1 ♣y¯q Khi đó, y¯ điểm cực tiểu Pareto cho F ♣X q tức ♣x, y¯q điểm cực tiểu Pareto cho F với x F ✁1 ♣y¯q r X y r F ♣x ¯q cho yr ✁ y¯ Chứng minh Phản chứng, giả sử ❉x ✁ r r ✁K ③K Đặc biệt, y¯ yr K ⑨ F ♣xrq, xr F ♣y¯q Chọn ♣tn q Ó Với n đủ lớn, tn ➔ y¯ tn ♣yr ✁ y¯q ✏ yr ♣1 ✁ tn q♣y¯ ✁ yrq F ♣x rq K ✏ Fr♣xrq, r, y ¯q♣0q ❳ ♣✁K ③K q, ta suy mâu thuẫn từ yr ✁ y¯ DB Fr♣x Chứng minh kết thúc Ñ Mệnh đề 4.3.3 ♣r5sq Giả sử F : X Y ánh xạ đa trị Gr F điểm cực tiểu Pareto địa phương F Giả sử rằng, Fr đóng địa phương ♣x ¯, y¯q (tức Gr Fr đóng địa phương ♣x ¯, y¯q) K ③ ✁ K ✘ φ Khi đó, với ε → 0, ❉♣xε , yε q Gr Fr ❳ BX ✂Y ♣♣x ¯, y¯q, εq, zε BY ♣0, εq③t0✉ cho ♣x¯, y¯q zε ❘ cl♣DB Fr♣xε , yε q♣BX ♣0, 1qqq Chứng minh Theo Bổ đề 4.2.1, Fr không mở ♣x ¯, y¯q Vì Fr đóng địa phương ♣x ¯, y¯q nên giả thiết Định lý 4.3.1 không thỏa mãn Thật vậy, với ε → 0, ❉♣xε , yε q Gr Fr ❳ BX ✂Y ♣♣x ¯, y¯q, εq cho BY ♣0, εq ❶ cl♣DB Fr♣xε , yε q♣BX ♣0, 1qqq Vì DB Fr♣xε , yε q♣0q ⑨ cl♣DB Fr♣xε , yε q♣BX ♣0, 1qqq nên ta dễ dàng suy điều phải chứng minh Nếu int K F ✘ φ ♣x¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương yếu DB Fr♣x ¯, y¯q♣X q ❳ ✁ int K ✏ φ 58 Bây giờ, giả sử (A) Gr Fr lồi Khi đó, đối đạo hàm Fr có dạng tương đương D✝ Fr♣x ¯, y¯q♣y ✝ q ✏ tx✝ X ✝ ⑤x✝ ♣uq ↕ y✝ ♣vq, ❅♣u, vq Gr DB Fr♣x¯, y¯q✉ ✏ tx✝ X ✝ ⑤x✝ ♣uq ✁ y✝ ♣vq ↕ x✝ ♣x¯q ✁ y✝ ♣y¯q, ❅♣u, vq Gr Fr✉ r y ✝ Bổ đề 4.3.1 ♣r5sq Giả sử ♣x r, y rq Gr F ✝ ✝ ✝ ♣y q ✘ φ y K Y ✝ Nếu D✝ Fr♣xr, yrq Mệnh đề 4.3.4 ♣r5sq Giả sử rằng, Fr đóng địa phương hình cầu đơn vị đóng Y ✝ compắc ✝ yếu theo dãy Giả sử ♣x ¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P1 q Giả sử ♣Aq Fr✁1 ♣P SN C q ♣x ¯, y¯q K ♣SN C q Khi đó, tồn y ✝ SY ✝ ❳ K ✝ cho D✝ Fr♣x ¯, y¯q♣y ✝ q Đặc biệt, ✘ int cl♣DB Fr♣x ¯, y¯q♣BX ♣0, 1qqq DB Fr♣x ¯, y¯q♣X q ✘ Y Chứng minh Từ ♣x ¯, y¯q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P1 q, từ Mệnh đề 4.3.3, ta có ❅ε → 0, ❉♣xε , yε q Gr Fr ❳BX ✂Y ♣♣x¯, y¯q, εq cho BY ♣0, εq ❶ cl♣DB Fr♣xε , yε q♣BX ♣0, 1qqq Lưu ý rằng, đồ thị DB Fr♣xε , yε q nón lồi Khi đó, sử dụng Mệnh đề 4.3.1, ta có BY ♣0, εq ⑨ cl♣DB Fr♣xε , yε q♣BX ♣0, 1qqq Điều tương đương với ❅y✝ Y ✝ , x✝ D✝ Fr♣xε , yε q♣y✝ q, ε ⑥y✝ ⑥ ↕ ⑥x✝ ⑥ Suy ❅n N③t0✉, ❉♣xn , yn q Gr Fr ❳ BX ✂Y ♣♣x ¯, y¯q, n✁1 q, yn✝ SY ✝ ✝ ✝ ✝ ✁ ✝ xn D Fr♣x ¯, y¯q♣y q cho n → ⑥xn ⑥ Đặc biệt, sử dụng Bổ đề 4.3.1, ❅n, yn✝ SY ✝ ❳ K ✝ ♣x✝n q r Ñ 0, ♣xn , yn q ÝGr ÝÝFÑ ♣x¯, y¯q Vì 59 ♣yn✝ q dãy bị chặn, hình cầu đơn vị đóng Y ✝ compắc theo dãy ✝ yếu K ✝ đóng ✝ yếu, ta tìm phần tử y✝ K ✝ cho ✝ ♣yn✝ q ÝwÝÑ y✝ (nếu cần ta lấy dãy con) Ta thấy y ✝ ✘ 0, ngược lại ♣yn✝ Ñ 0q điều không ¯, y¯q♣y ✝ q thể ♣yn✝ ⑨ SY ✝ q Vì qua giới hạn ta D✝ Fr♣x không tính tổng quát ta suy y ✝ SY ✝ Chứng minh phần hoàn thành Hơn nữa, sử dụng Mệnh đề 4.3.1 quan hệ tồn y ✝ cho D✝ Fr♣x ¯, y¯q♣y ✝ q ta thu ❘ int cl♣DB Fr♣x ¯, y¯q♣BX ♣0, 1qqq, SY ✝ ❳ K ✝ (4.3.22) mà không cần thêm giả thiết Ta thấy ❘ int DB Fr♣x ¯, y¯q♣X q (4.3.23) Giả sử điều không đúng, nghĩa int DB Fr♣x ¯, y¯q♣X q Vì theo giả r thiết DB F ♣x ¯, y¯q ánh xạ đa trị có đồ thị đóng nên DB Fr♣x ¯, y¯q mở ♣0, 0q hay DB Fr♣x ¯, y¯q♣BX ♣0, 1qq lân cận Điều mâu thuẫn với (4.3.22) Do (4.3.23) Vậy ta có điều phải chứng minh 4.3.2 Luật nhân tử Lagrange Bổ đề 4.3.2 ♣r5sq Giả sử ♣x ¯, y¯q Gr F ❳ ♣S ✂ Y q điểm cực tiểu Pareto địa phương ♣P2 q giả sử K ③ ✁ K ✘ φ Khi đó, r q không mở ♣x r q không mở ánh xạ đa trị ♣Fr , G ¯, y¯, 0q ♣F, Gq, ♣Fr , G ♣x ¯, y¯, z¯q với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q Chứng minh Giả sử U lân cận x ¯ từ định nghĩa điểm cực tiểu Pareto địa phương Khi đó, ♣F ♣U ❳ S qy¯q❳✁K ⑨ K Ta thấy ♣♣Fr, Grq♣U q ✁ ♣y¯, z¯qq ❳ ♣✁K ✂ ✁Qq ⑨ K ✂ Z, (4.3.24) r ♣x với z¯ G ¯q ❳ ✁Q, đặc biệt với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q r ♣xq cho y k ✁ y Chọn x U, y F ♣xq, k K, z G ¯ ✁K 60 r ♣xq Q ✏ G r z ✁ z¯ ✁Q Vì z¯ ✁Q nên ta có z ✁Q, từ G x S Khi đó, x U ❳ S y ✁ y¯ ♣F ♣U ❳ S q ✁ y¯q ❳ ✁K ⑨ K, từ y k ✁ y¯ k K ⑨ K, yêu cầu chứng minh r ♣x r q Bây giả sử ngược lại, nghĩa ❉z¯ G ¯q ❳ ✁Q cho ♣Fr , G mở ♣x ¯, y¯, z¯q Khi đó, sử dụng tính cực tiểu ♣x ¯, y¯q tính mở r r r q♣U q ♣F , Gq, tồn lân cận W ♣y¯, z¯q cho W ⑨ ♣Fr , G Theo chứng minh trên, ta có ♣W ✁ ♣y¯, z¯qq ❳ ♣✁K ✂ ✁Qq ⑨ K ✂ Z ✶ ✶ Đặt V :✏ W ✁♣y¯, z¯q lân cận ♣0, 0q Y ✂ Z V ❳♣✁K ✂ ✁Qq ✶⑨ K ✂ Z Vì V tập hút nên ta suy ✁K ⑨ K điều mâu thuẫn, r q không mở ♣x r ♣x ♣Fr , G ¯, y¯, z¯q, với z¯ G ¯q ❳ ✁Q, với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q Đặc biệt, ♣F, Gq không r q không mở mở ♣x ¯, y¯, z¯q, với z¯ G♣x ¯q ❳ ✁Q ♣Fr , G ♣x¯, y¯, 0q Mệnh đề 4.3.5 ♣r5sq Giả sử ♣x ¯, y¯q Gr F ❳♣S ✂ Y q điểm cực r q đóng địa phương ♣x tiểu Pareto địa phương ♣P2 q, ♣Fr , G ¯, y¯, 0q r rq ❳ K ③ ✁ K ✘ φ Khi đó, với ε → 0, ❉♣xε , yε , zε q Gr♣F , G BX ✂Y ✂Z ♣♣x ¯, y¯, 0q, εq, ♣vε , wε q BY ✂Z ♣♣0, 0q, εq③t♣0, 0q✉, cho ♣vε , wε q ❘ cl♣DB ♣Fr, Grq♣xε , yε , zε q♣BX ♣0, 1qqq 61 Kết luận Trong luận văn trình bày số kết tính mở, tính quy mêtric ánh xạ đa trị Trên sở tìm hiểu thêm số vấn đề toán tối ưu đa trị Luận văn đạt số kết sau: Đọc hiểu trình bày lại khái niệm Giải tích đa trị, Giải tích biến phân số kết kinh điển như: Nguyên lý biến phân Ekeland, quy tắc tổng mờ, quy tắc tổng Trình bày lại kết lý thuyết chặn sai số cho hàm nửa liên tục Công cụ sử dụng độ dốc mạnh hàm bao nửa liên tục Trình bày kết tính quy mêtric ánh xạ đa trị, đặc biệt ánh xạ đa trị đồ thị Trên sở đó, luận văn thu điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đa trị trường hợp có ràng buộc ♣P 1q (Luật Fermat) ràng buộc ♣P 2q (Luật nhân tử Lagrange) Tài liệu tham khảo [1] T.Q Bao - B.S Mordukhovich (2010), Relative Pareto minimizers for multiobjective problems, Math Program., Ser A 122, pp 301 - 347 [2] J.M Borwein - Q.J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, Berlin [3] M Durea - H.T Nguyen - R Strugariu (2013), Metric regularity of epigraphical multivalued mappings and applications to vector optimization, Math Program., Ser B 139, 1, 139 - 159 [4] M Durea - R Strugariu (2011), On some Fermat rules for setvalued optimization problems, Optimization 60, 575 - 591 [5] M Durea - R Strugariu (2010), Optimality conditions in terms of Bouligand derivatives for Pareto efficiency in set-valued optimization , Optim Lett 5, 141 - 151 [6] L.M Graves (1950), Some mapping theorems Duke Math, Proc Natl Acad [7] A Lyusternik (1934), On conditional extrema of functionals, Math Sbornik 41, 390–401 [8] B.S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, J Math Anal Appl., 183, pp 250 - 288 62 63 [9] B.S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Diferentiation, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (A Series of Comprehensive Studies in Mathematics), Vols 330 331, Springer, Berlin [10] H.V Ngai - H.T Nguyen - M Théra (2013), Implicit Multifunction Theorems in complete metric spaces, Math Program., Ser B 139, 1, 301 - 326 [11] K.F Ng and X.Y Zheng (2005), The Fermat rule for multifunctions on Banach spaces, Math Program., Ser A 104, pp 69 90 [12] S.M Robinson (1976), Regularity and stability for convex multivalued functions,Math Oper Res 1, 130–143 [13] C Ursescu (1975), Multifunctions with closed convex graphs, Math Oper Res 1, 130–143 [14] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [...]... toàn tương tự Chương 3 Tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị Trong chương này, chúng tôi trình bày về tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị Đặc biệt là tính chính quy mêtric của một loại ánh xạ đa trị đặc biệt, đó là ánh xạ đa trị trên đồ thị 3.1 Tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tổng quát Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho tính chính quy mêtric của một ánh xạ đa trị bằng cách... được phát biểu như sau Ñ Định nghĩa 1.1.9 Cho X, Y là các không gian mêtric, F : X Y là một ánh xạ đa trị F được gọi là chính quy mêtric quanh ♣x ¯, y¯q Gr F với môdun L → 0 nếu tồn tại hai lân cận U V ♣x ¯q và V V ♣y¯q sao cho với mỗi ♣x, y q ♣U ✂ V q, d♣x, F ✁1 ♣y qq ↕ Ld♣y, F ♣xqq (1.1.2) Ví dụ 1.1.5 Cho F ♣xq ✏ r0; 1s, x R Ta thấy F là chính quy mêtric quanh ♣x ¯, y¯q Gr F Thật vậy, với... quan hệ của ba khái niệm trên như sau 6 Ñ Mệnh đề 1.1.1 Cho X, Y là hai không gian mêtric, F : X Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng và ♣x ¯, y¯q Gr F Khi đó các mệnh đề sau đây là đúng: (i) F là chính quy mêtric địa phương quanh điểm ♣x ¯, y¯q với môdun L nếu và chỉ nếu F mở với tỉ lệ tuyến tính c ✏ L✁1 quanh điểm ♣x¯, y¯q (ii) F là chính quy mêtric địa phương quanh điểm ♣x ¯, y¯q với môdun L ✁ 1 nếu... ♣Ω, xq thay cho δΩ ♣xq Nhận xét 1.3.4 Do (1.3.10) và do công thức của hàm chỉ, ta có ♣ ♣Ω, x x✝ N ¯q khi và chỉ khi ✁ ①x✝ , x ✁ x¯② ➙ 0 xÝ Ñx¯ ⑥x ✁ x¯⑥ lim inf Ω Hay, ①x✝ , x ✁ x¯② ↕ 0 xÝ Ñx¯ ⑥x ✁ x¯⑥ lim sup Ω Quy tắc tổng mờ sau đây cho dưới vi phân Fréchet sẽ rất hữu dụng trong phần tiếp theo 14 Định lý 1.3.1 (Quy tắc tổng mờ) Cho X là không gian Asplund và ϕ1 , ϕ2 : X Ñ R ❨ t✽✉ sao cho ϕ1 liên... tính chính quy mêtric cho một loại ánh xạ đa trị đặc biệt, cụ thể là các ánh xạ đa trị trên đồ thị, chúng tôi sử dụng phương pháp có nguồn gốc từ việc nghiên cứu về chặn sai số cho các hàm nửa liên tục dưới Do vậy, để xem xét vấn đề, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm nền tảng của Giải tích và các kết quả trong Lý thuyết chặn sai số 2.1 Khái niệm chặn sai số Cho X là một không gian mêtric và... tuyến tính và tính chính quy mêtric là tính chất giả Lipschitz được định nghĩa như sau Ñ Định nghĩa 1.1.10 Cho X, Y là các không gian mêtric, F : X Y là một ánh xạ đa trị F được gọi là giả Lipschitz quanh ♣x ¯, y¯q Gr F với hằng số l → 0 nếu tồn tại hai lân cận U V ♣x ¯q và V V ♣y¯q sao cho d♣y, F ♣xqq ↕ ld♣x, x✶ q, ❅x, x✶ U, ❅y F ♣x✶ q ❳ V Ñ (1.1.3) Nhận xét 1.1.2 Cho x ¯ X F : X Y là giả... 3.1.1 ♣r3sq Cho X là không gian mêtric đầy đủ, Y là một không gian mêtric, F : X Y là một ánh xạ đa trị Giả sử rằng ♣x¯, y¯q X ✂ Y thỏa y¯ F ♣x¯q Cho m → 0 Nếu tồn tại một lân cận U ✂ V của ♣x ¯, y¯q và một số thực γ → 0 sao cho Ñ ⑤∇ϕF ♣☎ , yq⑤ ♣xq ➙ m, ❅♣x, yq U ✂ V, 20 với ϕF ♣x, y q ♣0, γ q (3.1.1) 21 r thì tồn tại một lân cận U d♣x, ♣cl F q✁1 ♣y qq ↕ ✂ Vr của ♣x ¯, y¯q sao cho 1 d♣y, F... ¯ Cho m → 0 Nếu tồn tại một lân cận U ✂ V ✂ W sao cho y¯ F ♣x ¯q k ¯ y¯q và một số thực γ → 0 sao cho của ♣x ¯, k, Ñ ⑤∇ϕE ♣♣☎ , ☎ q, yq⑤ ♣x, kq ➙ m, ❅♣x, k, yq U ✂ V ✂ W (3.2.3) sao cho ϕE ♣♣x, k q, y q ♣0, γ q F F 23 r thì tồn tại một lân cận U d♣♣x, k q, EF✁1 ♣y qq ↕ ¯ y¯q sao cho ⑨ của ♣x ✂ Vr ✂ W ¯, k, 1 d♣y, F ♣xq k q, m ⑨ ❅♣x, y, kq Ur ✂ rVr ❳ K s ✂ W Nói cách khác, EF là chính quy. .. 2.2.1 y Y, ♣r3sq Cho F :X ÑY là một ánh xạ đa trị Với mỗi tx X : ϕF ♣x, yq ✏ 0✉ ✏ ♣cl F q✁1 ♣yq Đặc biệt, nếu F có đồ thị đóng thì F ✁1 ♣y q ✏ tx X : ϕF ♣x, y q ✏ 0✉ Chứng minh Lấy x X sao cho ϕF ♣x, y q ✏ 0 Theo định nghĩa, tồn tại một dãy ♣xn q sao cho xn Ñ x và d♣y, F ♣xn qq Ñ 0 và dãy ♣yn q sao 19 cho yn F ♣xn q với mọi n và yn Ñ y Tóm lại, tồn tại ♣xn , yn q Gr F sao cho ♣xn , yn q Ñ... F ♣xqq, ❅♣x, y q U Định lý được chứng minh 3.2 3.2.1 Tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị trên đồ thị Ánh xạ đa trị trên đồ thị Định nghĩa 3.2.1 Cho X là một không gian mêtric và Y là một không gian véctơ định chuẩn F : X Y là một ánh xạ đa trị và K ⑨ Y là một tập đóng Bây giờ, ta liên kết nó với ánh xạ đa trị EF : X ✂ Y Y được cho bởi Ñ Ñ EF ♣x, k q :✏ ★ F ♣xq k, φ, nếu k nếu k K ❘ K Nếu K