3.2 Tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị trên đồ thị . 21
3.2.2 Tính chính quy mêtric
Định lý 3.2.1. pr3sqCho X là một không gian mêtric đầy đủ, Y là một khụng gian Banach.K là một tập con đúng củaY,F :X ẹY là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Giả sử rằng, px,¯ ¯k,y¯q PXKY sao choy¯PFpx¯q ¯k. Chom¡0. Nếu tồn tại một lân cậnUVW củapx,¯ ¯k,y¯qvà một số thựcγ¡0 sao cho
|∇ϕEFpp, q, yq| px, kq ¥m,@px, k, yq PUV W (3.2.3) sao choϕEFppx, kq, yq P p0, γq
thì tồn tại một lân cậnUr rV W củapx,¯ k,¯ y¯qsao cho dppx, kq,EF1pyqq ¤ 1
mdpy, Fpxq kq, @px, y, kq P rU rrV XKs W . (3.2.4) Nói cách khác, EF là chính quy mêtric trong lân cận của ppx,¯ ¯kq,y¯q. Do đó, EF là mở trong lân cận điểmppx,¯ ¯kq,y¯q.
Trong phần tiếp theo,X là không gian Banach,Bkí hiệu toán tử dưới vi phân trừu tượng, đó là một ánh xạ đa trị sao cho mọi hàm nửa liên tục dưới xác định trên X và mọixPX tậpBfpxq X (có thể rỗng), thỏa mãn các điều kiện sau:
pC1q Nếuf :X ẹRY t 8u là một hàm lồi, thỡ Bf trựng với dưới vi phân Fenchel - Moreau - Rockafellar:
Bfpxq: tx PX:xx, yxy ¤fpyq fpxq, @yPXu; pC2q Giả sử f1 : X ẹRY t 8u là một hàm nửa liờn tục dưới và f2, . . . , fn : X ẹR là những hàm Lipschitz. Nếuf1 f2 fn
đạt cực tiểu địa phương tại x0 thì với bất kì ε ¡ 0, tồn tại xi P x0 εBX, xi P Bfipxiq, i P 1, n sao cho |fipxiq fipx0q| ε, i P 1, n, và }x1 x2 xn} ε.
Chú ý rằng, lớp các dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm các dưới vi phân Fréchet trong các không gian Asplund, các dưới vi phân nhớt (viscosity subdifferentials) trong các không gian Banach trơn, và các dưới vi phân Ioffe-Clarke-Rockafellar trong các không gian Banach.
Cho tập C X đóng, nón pháp tuyến của C tại x P C được định nghĩa bởi
NBpC, xq BδCpxq
và khi đó, ta sẽ xemBδCpxqlà một nón với bất kì tập con đóngCX. ChoX, Y là các không gian Banach, B là toán tử dưới vi phân trên XY. Ta cũng giả sử rằng
pC3q NBpAB,pa, bqq NBpA, aq NBpB, bqvới mọi A X, B Y, aPA, bPB.
Tiếp theo, cho F :X ẹY là một ỏnh xạ đa trị đúng,px,¯ y¯q PGrF. Trong chương này, đối đạo hàm của F tại px,¯ y¯q là ánh xạ đa trị
DBFp¯x,y¯q:YẹX được định nghĩa bởi
DBFpx,¯ y¯qpyq tx PX:px,yq PNBpGrF,px,¯ y¯qqu. Tương tự như trên, đối đạo hàm qua giới hạn của F tại px,¯ y¯qlà ánh xạ đa trịDlim Fpx,¯ y¯q:YẹX được định nghĩa bởi
Dlim Fpx,¯¯yqpyq
txPX: @pxn, ynq ẹ px,¯ y¯q,pxn, ynqííẹ pw x, yq, vớipxn, ynq PGrF vàxnPDBFpxn, ynqpynqu.
Định lý tiếp theo cho ta ước lượng dưới cho|∇ϕEFpp, q, yq|, nó được sử dụng để đạt được điều kiện đối đạo hàm trên các không gian Banach cho tính chính quy mêtric hay tính mở của ánh xạ đa trị EF. Trong các kết quả tiếp theo,Klà một nón lồi đóng và kí hiệu
K: ty PY| xy, yy ¥0, @yPKu là nón đối ngẫu của K.
Chú ý rằng, nếukPKthì từpC1qta suy ra được làNBpK, kq K. Định lý 3.2.2. pr3sqChoX, Y là các không gian Banach,K là một nón lồi đóng trên Y và F là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Khi đó, với mỗi px, k0, yq PXKY vớiyRFpxq k0,ta có
|∇ϕEFpp, q, yq| px, k0q ¥lim
ρÓ0
$' '' '' '' '&
'' '' '' ''
% inf
$' '' '' '' '&
'' '' '' ''
% }x}:
pu, vq PGrF, uPBpx, ρq, xPDBFpu, vqpy zq, yPKXSY, zPρBY,
dpy, Fpuq k0q ¤ϕEFppx, k0q, yq ρ, }yvk0} ¤dpy, Fpuq k0q ρ,
}xy z, v k0yy dpy, Fpuq k0q} ρ ,/ // // // /. // // // // -
,/ // // // /. // // // // - .
(3.2.5) Chứng minh. Lấypx, k0, yq PXKY sao choyRFpxq k0. Đặtm: |∇ϕEFpp, q, yq| px, k0q.
Khi đó, tồn tạiξ¡0 sao chodpy, Fpxq k0q ¡ξ¡0.
Theo định nghĩa củaϕEFppx, k0q, yq, tồn tạiN PVpxqsao cho với mọi x1PN, dpy, Fpx1q k0q ϕEFppx, k0q, yq ξ. Do đó,ϕEFppx, k0q, yq ¡ 0.
Bây giờ, sử dụng tính nửa liên tục dưới của ϕEF và định nghĩa độ dốc mạnh, ta thấy với mỗiεP p0, ϕEFppx, k0q, yqq, ta có thể tìm được ηP p0, εqvới4η ε ϕEFppx, k0q, yqvà1 pm ε 2qη¡0sao cho:
dpy, Fpuq k0q ¥ϕEFppx, k0q, yq ε, @uPBpx,2η 21η2q, (3.2.6) và
ϕEFppx, k0q, yq ¥ϕEFppz, kq, yq pm εq }zx} pm εq }kk0}, với tất cảzPDpx, η 21η2q, kPDpk0,maxt21η2, ηuq XK.
Lấy uPBpx,21η2q, vPFpuqsao cho
}yvk0} ¥ϕEFppx, k0q, yq η2. Vậy
}yvk0} ¥ϕEFppz, kq, yq pm εq }zx} pm εq }kk0} η2, với tất cảzPDpx, η 21η2q, kPDpk0,maxt21η2, ηuq XK.
Khi đó,
}yvk0} ¥ϕEFppz, kq, yq pm εq }zu} pm εqη2 η2, với tất cảzPDpx, η 21η2q, kPDpk0,maxt21η2, ηuq XK.
ChozPDpx, η 21η2q. Khi đó với mọi lân cận U củaz, inf
z1PUdpy, Fpz1q kq ¤dpy, Fpzq kq ¤ }ywk}, @wPFpzq. Do đó,
ϕEFppz, kq, yq sup
UPVpzq
inf
z1PUdpy, Fpz1q kq
¤ }ywk} δGrFKpz, w, kq.
Vì vậy,
}yvk0} ¤ }ywk} δGrFKpz, w, kq pm εq }zu} pm ε 1qη2,
@pz, w, kq PW :Dpx, η 21η2q Y Dpk0,maxt21η2, ηuq. Bây giờ, ta áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm số
pz, w, kq ịẹ }ywk} δGrFKpz, w, kq pm εq }zu} trênW, để có đượcpu1, v1, k1q P pu, v, k0q ηDXYY Dpu, ηq Dpv, ηqDpk0, ηq Dpx, η 21η2qYDpk0,maxt21η2, ηuq W vớipu1, v1, k1q PGrF vàk1PK sao cho:
}yv1k1} ¤ }yv1k1} pm εq }zu} ¤ }yvk0} (3.2.7) và hàm
pz, w, kq ịẹ }ywk} δGrFKpz, w, kq pm εq }zu} pm ε 1qη}pz, w, kq pu1, v1, k1q}
đạt cực tiểu trênW tạipu1, v1, k1q.
Sau đó, áp dụng pC2qtrong Định lý 1.3.2 cho tổng của những hàm dưới đây
}y } δGrFKp,, q pm εq } u}
pm ε 1qη}p,, q pu1, v1, k1q}, vớiη được chọn trước.
NhờpC1q, chúng ta tìm được:
pu2, v2, k2q,pu4, v4, k4q PBXYYppu1, v1, k1q, ηq và
pu3, v3, k3q PBXYYppu1, v1, k1q, ηq X rGrFKs sao cho:
p0, v2, k2q P B }y } pu2, v2, k2q,
pu3, v3, k3q PNBpGrFK,pu3, v3, k3qq, pu4,0,0q P Bppm εq } u}qpu4, v4, k4q và
p0,0,0q Pp0, v2, k2q pu3, v3, k3q pu4,0,0q pm ε 2qηrDXDYDYs. Chú ý rằng,
}yv2k2}
¥ }yvk0} }v2v} }k2k0}
¥ϕEFppx, k0q, yq ε p}v2v1} }v1v}q p}k2k1} }k0k1}q
¡ϕEFppx, k0q, yq ε2η2η ϕEFppx, k0q, yq ε4η¡0.
(3.2.8) Chúng ta đã biết:
B }y } pu2, v2, k2q tp0, y, yq:yPSY, xy, v2 k2yy }yv2k2}u.
Do đó,
v2k2 PSY và xv2, v2 k2yy }yv2k2}. Cuối cùng, sử dụngpC3qvàpC1q, ta có
NBpGrFK,pu3, v3, k3qq NBpGrF,pu3, v3qq NBpK, k3q, vớiNBpK, k3q K.
Khi đó, tồn tạipu5, v5, k5q PDXDYDY sao cho
pu4 pm ε 2qηu5,v2 pm ε 2qηv5,k2 pm ε 2qηk5q PNBpGrF,pu3, v3qq pKq.
Khi đó,
u4 pm ε 2qηu5 PDBFpu3, v3qpv2 pm ε 2qηv5q
và
k2 pm ε 2qηk5PK. Ngoài ra, ta cũng có
}k2 pm ε 2qηv5 PK} ¥1 pm ε 2qη¡0, điều đó giúp ta xác định:
x: pu4 pm ε 2qηu5q }k2 pm ε 2qηk5}1, y: pk2 pm ε 2qηv5q }k2 pm ε 2qηk5}1, z: pm ε 2qηpv5k5q }k2 pm ε 2qηk5}1. Tổng kết lại, ta có:
xPDBFpu3, v3qpy zq, (3.2.9)
yPSYXK, (3.2.10)
}z} ¤ pm ε 2qη }k2 pm ε 2qηk5}1
¤ 2pm ε 2qη
1 pm ε 2qη :δ (3.2.11)
và
}x} ¤ }u4 pm ε 2qηu5} }k2 pm ε 2qηk5}
¤pm εq pm ε 2qη 1 pm ε 2qη . Mặt khác, do (3.2.6), (3.2.7) và thêm vào đó
u3PBpu1, ηq Bpu,2ηq Bpx,2η 21η2q, ta có
ϕEFppx, k0q, yq ε¤dpy, Fpu3q k0q ¤ }yv3k0}
¤ }yv1k1} }v3v1} }k1k0}
¤ }yvk0} η 2η
¤ϕEFppx, k0q, yq η2 3η. (3.2.12)
Do đó,
xy z, v3 k0yy
¤ p1 δq }yv3k0}
¤ p1 δqdpy, Fpu3q k0q p1 δqpη2 3η εq. Từ đó,
xy z, v3 k0yy dpy, Fpu3q k0q
¤δdpy, Fpu3q k0q p1 δqpη2 3η εq. Hơn nữa,
xy z, v3 k0yy
xv2 pm ε 2qηv5, v3 k0yy }v2 pm ε 2qηv5}
xv2, v2 k2yy xv2, v3v2y xv2, k0k2y }v2 pm ε 2qηv5}
pm ε 2qηxv5, v3 k0yy }v2 pm ε 2qηv5}
¥}yv2k2} 2η2η pm ε 2qη}yv3k0}
1 pm ε 2qη .
Từ (3.2.8) và (3.2.12), ta suy ra
}yv2k2} ¥ϕEFppx, k0q, yq ε4η
¥dpy, Fpu3q k0q η27ηε.
Sau đó, sử dụng (3.2.12) một lần nữa, xy z, v3 k0yy
¥ dpy, Fpu3q k0q η27ηε4η 1 pm ε 2qη
pm ε 2qηpdpy, Fpu3q k0q η2 3η εq 1 pm ε 2qη
dpy, Fpu3q k0qp1 pm ε 2qηq 1 pm ε 2qη
pη2 3η εqp1 pm ε 2qηq 8η
1 pm ε 2qη .
Tóm lại,
xy z, v3 k0yy dpy, Fpu3q k0q
¥ 2pm ε 2qηdpy, Fpu3q k0q 8η
1 pm ε 2qη pη2 3η εq. (3.2.13) Vì ε, η, δ¡0nhỏ tùy ý, bằng cách kết hợp các mối quan hệ (3.2.9) - (3.2.13), chúng tôi hoàn thành việc chứng minh. Kết hợp các Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.2, chúng ta có được một kết quả khác cho điều kiện đối đạo hàm cho tính chính quy mêtric củaEF.
Định lý 3.2.3. pr3sqChoX, Y là các không gian Banach,K là một nón lồi đóng trên Y,F là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Giả sử rằng, px,¯ ¯k,y¯q PXKY sao cho y¯PFpx¯q ¯k. Cho m¡0. Nếu tồn tại một lân cận UVW củapx,¯ k,¯ y¯qvà một số thựcγ¡0 sao cho với mọi px, k, yq PU rV XKs W vớiyRFpxq k,
m¤lim
ρÓ0
$' '' '' '' '&
'' '' '' ''
% inf
$' '' '' '' '&
'' '' '' ''
% }x}:
pu, vq PGrF, uPBpx, ρq, x PDBFpu, vqpy zq, yPKXSY, zPρBY, dpy, Fpuq kq ¤γ ρ,
}yvk} ¤dpy, Fpuq kq ρ,
}xy z, v kyy dpy, Fpuq kq} ρ ,/ // // // /. // // // // -
,/ // // // /. // // // // - (3.2.14) thì EF là chính quy mêtric trong lân cận củappx,¯ ¯kq,y¯q. Do đó,EF là mở trong lân cận điểm ppx,¯ k¯q,y¯q.
Chứng minh. Lấy tùy ý px, k, yq P U V W với ϕEFppx, kq, yq P p0, γqthì kPK, vì nếu ngược lại thì ϕEFppx, kq, yq 8. Ngoài ra, y RFpxq k, vì nếu ngược lại thìϕEFppx, kq, yq 0. Bây giờ, từ tập các điểm trong công thức (3.2.5) (tại những điểm cực tiểu) là nhỏ hơn so với tập các điểm tương ứng trong công thức (3.2.14), chúng ta thu được|∇ϕEFpp, q, yq| px, kq ¥m. Theo Định lý 3.2.3, ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.2.1. pr3sqCho X, Y là các không gian Banach,K là một nón lồi đóng trong Y, F là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Giả sử rằng, px,¯ y¯q P XY sao cho y¯P Fp¯xq. Nếu tồn tại r, c ¡0 sao cho với mọi px, yq PGrFX rBpx, r¯ q Bpy, r¯ qs, y PKXSY, z P 2cBY, xPDBFpx, yqpy zq,
c}y z} ¤ }x}
thì EF là mở với tỉ lệ tuyến tính trong lân cậnpp¯x,0q,y¯q, hoặc, tương đương EF là chính quy mêtric trong lân cận ppx,¯ 0q,y¯q. Do đó, EF là mở trong lân cận pp¯x,0q,y¯q.
Chứng minh. Đặt: m:21c ¡0, γ :81r¡0,U :Bpx,¯ 21rq, V :Bp0,81rq,W :Bpy,¯ 21rq.
Đầu tiên, giả sử rằng cho tùy ý px, k, yq PU rV XKs W ta có y P Fpxq k EFpx, kq. Đặc biệt, với mọi px, y, kq P Bpx,¯ 21rq rBp0,81rq XKs Bpy,¯ 41rq, ta có y PEFpx, kq. Chọn bất kì y1 P Bpy,41rq W. Vậy thì y1 PEFpx, kq, do đó Bpy,41rq EFpx, kq. Do đó, với mọiτ P p0,41rq, ta có
Bpy, τq Bpy,41rq EFpx, kq EFpBpx, τq, Bpk, τqq. Như mối quan hệ trước đó là đúng cho mọipx, k, yq PUrVXKsW và mọi τ P p0,41rq, chúng tôi kết thúc trường hợp này với kết luận rằngEF mở tuyến tính trong lân cậnppx,¯ 0q,y¯q.
Bây giờ, giả sử rằng, tồn tại px, k, yq P U rV XKs W sao cho yFpxq k. ChọnρP p0,mint81r,2c,21uq. Xempu, vq PGrF, uP Bpx, ρq,xPDBFpu, vqpy zq,yPKXSY,zPρBY,
}yvk} ¤dpy, Fpuq kq ρ dpy, Fpuq kq ¤γ ρ,
|xy z, yvky dpy, Fpuq kq| ρ.
Thì,
}ux¯} ¤ }ux} }xx¯} ρ 21r, }vy¯} ¤ }v ky} }yy¯} }ux¯}
dpy, Fpuq kq ρ 81r 21r
¤γ 2ρ 81r 21r 81r 81r 41r 21rr, }z} ρ 2c.
Sử dụng các giả thiết từ phát biểu của Hệ quả trên, ta có }x} ¥c}y z} ¥cp}y} }z}q ¥cp1ρq ¥m.
Áp dụng Định lý 3.2.3, ta suy ra điều phải chứng minh.
Định nghĩa 3.2.2. 1. ChoX, Y là các không gian Banach vàH : X ẹY là ỏnh xạ đa trị đúng địa phương quanh px,¯ y¯q P GrH.
Người ta nói rằngH là compắc pháp tuyến từng phần theo dãy (BPSNC) tạipx,¯ y¯qnếu
rpxn, ynqíííẹ pGrH x,¯ y¯q, xn ííẹw 0, ynẹ0, pxn, ynq P pNBpGrH,pxn, ynqqs ủxnẹ0.
2. ChoS Y là tập đóng địa phương quanh y¯PS. Người ta nói S là compắc pháp tuyến theo dãy (BSNC) tạiy¯nếu
ryn íẹS y, y¯ nííẹw 0, yn P xNBpS, ynqs ủynẹ0.
Chú ý rằng, nếuS Klà một nón lồi đóng thì tính chấtpC1qta cóNBpK, kq K, với mỗikPKvàNBpK,0q K. Trong trường hợp này, với mỗi dưới vi phân B tính chất (BSNC) tại 0là tương đương
rpynq K, ynííẹw 0s ủynẹ0.
Đặc biệt, nếuintKφthìK là SN C tại 0.
Định lý sau đây thiết lập tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị trên đồ thịEF bằng cách sử dụng các khái niệm compắc pháp tuyến đã trình bày trước cùng với điều kiện đơn ánh cho đối đạo hàm qua giới hạn của ánh xạ đa trị gốcF.
Định lý 3.2.4. pr3sq Cho X là một không gian Banach, Y là một không gian Banach sao cho DY là w compắc theo dãy, K là một nón lồi đóng trong Y, F là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng và ppx,¯ 0q,y¯q P GrEF. Giả sử rằng, K là pSN Cq tại 0 hoặc F1 là pP N SCqtạipy,¯ x¯qvàkerDlim Fpy,¯ x¯qXK t0u. Khi đó,EF là chính quy mêtric quanh ppx,¯ 0q,y¯q.
Chứng minh. Giả sử rằng,EFlà không chính quy mêtric quanhppx,¯ 0q,y¯q. Theo Hệ quả 3.2.2, tồn tạipxn, ynq ẹ py,¯ x¯qvàxnPDBFpxn, ynqpyn znq sao cho pxn, ynq P GrF vàyn P KXSY, zn P n1BX, xn P n1BX.
Từ DY là wcompắc theo dãy,pynqcó một wdãy con hội tụ, được kí hiệu là yn cho đơn giản. Khi đó, tồn tại y P K sao cho ynííẹw y (chỳ ý làK làwđúng).
Đầu tiờn, giả sử rằng,KlàpSN Cqtại0. Nếuy0thỡ ta cúynẹ0 (vì K là SN C tại 0). Điều này là không thể xảy ra vì }yn} 1 với mọin.
Bây giờ, giả sử F1 là pP N SCq tại py,¯ x¯q và y 0. Rõ ràng, yn zn ííẹw 0 và xn ẹ 0. Điều này cú nghĩa là yn ẹ 0, ta gặp mâu thuẫn. Vậyy0.
Ta thấy pyn znqcũng whội tụ đến y (vì 0PDlimFpy,¯ x¯qpyq).
Do đó,kerDlimFpy,¯ x¯q XK t0u, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Chứng minh kết thúc.
Điều kiện cần cho các bài toán tối ưu đa trị