4.2 Điều kiện cần tối ưu sử dụng đối đạo hàm
4.2.2 Luật nhân tử Lagrange
Xét bài toán pP2q. Gr là ánh xạ đa trị được định nghĩa như sau Grpxq Gpxq Q. Hơn nữa, cho hai ỏnh xạ đa trị F : X ẹ Y, G : X ẹZ, chỳng ta xột ỏnh xạ đa trịpF, Gq:X ẹYZ được cho bởi pF, Gqpxq: Fpxq Gpxq, @xP X. Như thường lệ, nón trên không gian tíchY Z làKQ.
ĐặtS: txPX|0PGpxq Qu txPX|0P rGpxqu là tập tất cả các điểm chấp nhận được củapP2q.
Bổ đề 4.2.5. pr4sq Giả sửpx,¯ y¯q PGrFX pSYqlà một điểm cực tiểu Pareto địa phương của pP2q,Kz Kφ. Khi đó, ánh xạ đa trị p rF ,Grq không mở tại px,¯ y,¯ 0q vàpF, Gq,p rF ,Grq không mở tại px,¯ y,¯ ¯zq với bất kìz¯PGpx¯q X Q. Hơn nữa, nếu intKφthìclp rF ,Grqkhông mở tại px,¯ y,¯ 0qvàclp rF ,Grq,clp rF , Gq,clpF, Gqlà không mở tại px,¯ y,¯ ¯zq với bất kì ¯zPGpx¯q X Q.
Chứng minh. Giả sử,U là một lân cận củax¯từ định nghĩa của điểm cực tiểu Pareto địa phương. Khi đó,pFpUXSqy¯q X KK. Ta thấy pp rF ,GrqpUq py,¯ z¯qq X pK Qq KZ, (4.2.10) với mọiz¯P rGpx¯q X Q, đặc biệt là với bất kìz¯PGpx¯q X Q.
Chọn x P U, y P Fpxq, k P K, z P rGpxq sao cho y ky¯ P K và zz¯P Q.
Vì ¯zP Qnên ta cózP Q. Từ đó,0P rGpxq Q rGvàxPS.
Khi đó, x P U XS vàyy¯ P pFpU XSq y¯q X K K. Từ đó, y ky¯Pk KK, vì vậy yêu cầu đã được chứng minh.
Bây giờ, giả sử ngược lại, nghĩa làDz¯P rGpx¯q X Qsao cho p rF ,Grqlà mở tại px,¯ y,¯ z¯q. Khi đó, sử dụng tính cực tiểu củapx,¯ y¯q và tính mở củap rF ,Grq, tồn tại một lân cậnW củapy,¯ ¯zqsao choW p rF ,GrqpUq. Theo chứng minh trên, ta cópW py,¯ z¯qq X pK Qq KZ.
ĐặtV1 :W py,¯ z¯qlà một lân cận củap0,0q PYZvàV1XpK Qq KZ.
VìV1 là tập hút nên ta suy ra rằngKKvà điều này mâu thuẫn nên p rF ,Grq không mở tại px,¯ y,¯ z¯q, với bất kìz¯ P rGpx¯q X Q,do đó cũng đúng với bất kìz¯PGpx¯q X Q. Đặc biệt,pF, Gqlà không mở tại px,¯ y,¯ z¯q, với bất kìz¯PGpx¯q X Qvàp rF ,Grqlà không mở tạipx,¯ y,¯ 0q. Để chứng minh phần tiếp theo, giả sử ngược lại, nghĩa làDz¯P rGpx¯q X Qsao choclp rF ,Grqlà mở tạipx,¯ y,¯ z¯q. Khi đó, ta chọn lại U là một lân cận mở của x¯sao chopFpUXSq y¯q X KK và tìm một lân cậnW củapy,¯ z¯qsao choW clp rF ,GrqpUq. Bây giờ, chọn bất kì điểm py, zq PW. Khi đó, tồn tạixPU sao chopy, zq Pclp rF ,Grqpxq. Khi đó, tồn tạipxn, yn, znqnPNGrp rF ,Grqsao chopxn, yn, znq ẹ px, y, zq. Vì xnPU vớinđủ lớn và (4.2.10) xảy ra nên
pyny, z¯ nz¯q P pp rF ,GrqpUq py,¯ z¯qq ppYz Kq YKq Z.
Vì thế
pyny, z¯ nz¯q PclppYz Kq YKq Z.
Đặt
V1: pW py,¯ z¯qq clppYz Kq YKq Z.
Vìpy, zqđược chọn tùy ý trongW vàV1 là hút nênY clppYzKqY Kq. Điều này mâu thuẫn vớiintKφ. Vì vậy,clp rF ,Grqkhông mở tại px,¯ y,¯ z¯qvới bất kìz¯P rGpx¯qXQ, vì vậy đúng với bất kìz¯PGpx¯qXQ.
Đặc biệt,clp rF ,Grqlà không mở tạipx,¯ y,¯ 0q. VìclpF, GqpUq clp rF , GqpUq
clp rF ,GrqpUqvới bất kìU X. Chứng minh kết thúc.
Nếu px,¯ y¯q là một điểm cực tiểu Pareto địa phương của bài toán tối ưu pP2qthì tồn tạiz¯PGpx¯q X Qvì px¯qlà một điểm chấp nhận được. Đặc biệt, 0 P rGpx¯q. Vì vậy, Định lý sau đây sẽ cho ta kết quả ứng vớipF, Gqtại px,¯ y,¯ z¯qvà xét điểmpx,¯ y,¯ 0qchop rF ,Grq.
Định lý 4.2.8. pr4sqGiả sử X, Y, Z là các không gian Asplund. Giả sử rằng px,¯ y¯q là một điểm cực tiểu Pareto địa phương của pP2q và Kz Kφ.
(i) Nếu GrpF, Gq là đóng địa phương trong lân cận px,¯ y,¯ z¯q thì với mọi ε ¡ 0 đủ nhỏ, có tồn tại pxε, yε, zεq P GrpF, Gq X Bppx,¯ y,¯ z¯q, εq,pyε, zεq P pK Qq XSYZ và pvε, wεq P εBYZ sao cho
0P pDpF, Gqpxε, yε, zεqpyε vε, zε wεq εBX. (4.2.11) (ii) Nếu intK φ thì với mọi ε ¡0 đủ nhỏ tồn tại pxε, yε, zεq P cl GrpF, Gq XBppx,¯ y,¯ ¯zq, εq,pyε, zεq P pKQq XSYZ và pvε, wεq PεBYZ sao cho
0P pDclpF, Gqpxε, yε, zεqpyε vε, zε wεq εBX. (4.2.12) (iii) Nếu Grp rF ,Grq là đóng địa phương quanh px,¯ y,¯ 0q thì với mọi
ε¡0 đủ nhỏ, tồn tại pxε, yε, zεq PGrp rF ,Grq XBppx,¯ y,¯ 0q, εq, pyε, zεq P pKQq XSYZ sao cho
0P pDp rF ,Grqpxε, yε, zεqpyε, zεq εBX. (4.2.13) (iv) Nếu intK φ thì với mọi ε ¡0 đủ nhỏ tồn tại pxε, yε, zεq P cl Grp rF ,Grq XBppx,¯ y,¯ 0q, εq,pyε, zεq P pKQq XSYZ sao cho
0P pDclp rF ,Grqpxε, yε, zεqpyε, zεq εBX. (4.2.14)
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 4.2.5, Định lý 4.2.2 và Định lý 4.2.4 ta dễ dàng chứng minh đượcpiqvàpiiq. Để chứng minhpiiiqvàpivq, ta áp dụngpiqvàpiiqchop rF ,Grqthay chopF, Gqvìpx,¯ y¯q PGrF là một điểm cực tiểu Pareto địa phương của pP2q nếu nó là một điểm cực tiểu Pareto địa phương của bài toán sau
p rP2q minFrpxq, xPX,0P rGpxq Q rGpxq. Chứng minh kết thúc.
Bây giờ, chúng ta sẽ có một kết quả tương tự Định lý 4.2.5.
Định lý 4.2.9. pr4sq Giả sử X, Y, Z là các không gian Asplund và px,¯ y¯qlà một điểm cực tiểu Pareto địa phương củapP2qvàKzKφ.
(i) Giả sử rằng,
(a) K làSN C tại 0hoặc F1 là P SN C tại py,¯ x¯q và (b) Q làSN C tại 0 hoặcG1 là P SN C tại pz,¯ x¯q.
Nếu GrpF, Gq là đóng địa phương quanh px,¯ y,¯ ¯zq thì tồn tại py, zq P pKQqztp0,0qu sao cho
0PDpF, Gqpx,¯ y,¯ z¯qpyε, zεq. (4.2.15) (ii) Nếu intK φ và intQ φ thì tồn tại py, zq P pK
Qqztp0,0qusao cho
0PDpclpF, Gqqpx,¯ y,¯ z¯qpyε, zεq. (4.2.16) (iii) Giả sử rằng,
(a) K làSN C tại 0hoặc F1 là P SN C tại py,¯ x¯q và (b) Q làSN C tại 0 hoặcG1 là P SN C tại pz,¯ x¯q.
Nếu Grp rF ,Grq là đóng địa phương quanh px,¯ y,¯ 0q thì tồn tại py, zq P pKQqztp0,0qu sao cho
0PDp rF ,Grqpx,¯ y,¯ 0qpyε, zεq. (4.2.17)
(iv) Nếu intK φ và intQ φ thì tồn tại py, zq P pK Qqztp0,0qusao cho
0PDpclp rF ,Grqqpx,¯ y,¯ z¯qpyε, zεq. (4.2.18) Chứng minh. Chứng minh tương tự Định lý 4.2.5.