SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ - Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 09/10/2012 (hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Điểm Đáp án x = y − 2y + x = (y − 1) + 2 Ta có: y = z − 2z + ⇔ y = (z − 1) + ⇒ x, y, z > z3 = x − 2x + z = (x − 1) + điểm Giả sử x = max{x; y;z} ⇒ (y -1) = max{(x -1) ;(y -1) ;(z -1) 2} y = max{x; y;z} ⇒ x = y ⇒ y = z Vậy x = y = z Khi ta có phương trình: x = x − 2x + ⇔ x − x + 2x − = ⇔ (x − 2)(x + x + 4) = ⇔x=2 Vậy hệ có nghiệm (x; y; z) = (2; 2; 2) 1,0 1,0 1,5 1,0 0,5 A điểm Q P B D H E C Cách 1: · · BAH = ACH 1· · · · · BAE = BAH + HAE = BAH + HAC · · · · · BEA = ACH + EAC = ACH + HAC · · ⇒ BEA = EAB ⇒ tam giác ABE cân đỉnh B · Mà BP đường phân giác góc ABE ⇒ BP đường trung trực đoạn AE ⇒ PA = PE · 1· · · · · = PAH + HAE = (BAH + HAC) = BAC = 450 Mặt khác PAE 2 ⇒ ∆PAE vuông cân đỉnh P ⇒ EP ⊥ AD Tương tự: ⇒ DQ ⊥ AE 1,0 1,0 1,0 1,0 Vậy AH, DQ, EQ đường cao tam giác ADE suy AH, DQ, EP đồng quy 1,0 Cách 2: Áp dụng tính chất tia phân giác góc tam giác: PA AB QE CE HD AH EC AC = = = = , , , PD BD QA AC DB AB HE AH 2,0 ⇒ PA HD EC QE = AB AH AC CE = CE PD DB HE QA BD AB AH AC BD 1,5 ⇒ PA HD QE =1 PD HE QA 0,5 ⇒ AH, DQ, EP đồng quy (Định lí Ceva) (6 điểm) a) điểm Xét f n ( x ) = x + 2x + 3x + + nx n − f n' ( x ) = + 22 x + 32 x + + n x n −1 0,5 ' Ta có f n ( x ) > ∀x ∈ R ⇒ f n ( x ) đồng biến, liên tục R 0,5 Mà f n ( ) < 0; f n ( 1) > 0,5 ⇒ f n ( x ) = có nghiệm nghiệm thuộc ( 0;1) 0,5 b) điểm n −1 1 1 1 3f ÷ = + + ÷ + + n ÷ − 3 3 3 n −1 1 1 1 f ÷ = + ÷ + + ( n − 1) ÷ 3 3 3 n 1 + n ÷ − 3 1 n ( + 2n ) 1 1 ⇒ 2f ÷ = + + ÷ + + ÷ − n − = − 3 2.3n 3 3 ( 2n + 3) < ∀n ∈ N* 1 ⇒ f ÷= − 4.3n 3 1 Suy f ÷ < f n ( x n ) suy x n > (do f n ( x ) hàm số đồng 3 biến R) 1 Với n ∈ N* , theo định lý Lagrange, tồn cn ∈ ; x n ÷ 3 1 ' cho: f n (x n ) − f n ( )− = f n (c n )(x n − ) 3 n −1 1,0 0,5 0,5 1 2n + 2n + 1 2n + ⇒ xn − = ' < ⇒ xn − = ' n f n (c n ) 4.3n 4.3n f n (x n ) 4.3 ' (vì f n ( x ) > ∀x ∈ (0; +∞) ) 2n + = ⇒ lim x = Mà lim n n→+∞ 4.3n n→+∞ 4 điểm Kí hiệu S(n) số cách chia tập S thành ba tập khác rỗng cho tập không chứa hai số nguyên liên tiếp Các khả xảy chia tập Sn+1 = {1; 2; 3; ; n; n+1} Khả 1: {n+1} không ba tập Sn+1 Ta thực cách chia sau: Chia S n thành tập (thỏa mãn đề bài) bổ xung phần tử ( n + ) vào hai tập không chứa phần tử n Do số cách chia trường hợp 2S(n) Khả 2: {n+1} không ba tập Sn+1 Khi phần tử Sn phải nằm hai tập lại Có thể thấy có cách chia thỏa mãn (một tập chứa số chẵn tập chứa số lẻ) Do đó, số cách chia trường hợp cách Vậy ta thu công thức truy hồi: S ( n + 1) = 2S ( n ) + ⇒ S ( n + 1) + = S ( n ) + 1 1,0 1,0 1,5 1,0 0,5 Đặt u n = S ( n ) + ⇒ u n +1 = 2u n Vậy ( u n ) cấp số nhân có công bội n −2 Mặt khác, ta thấy S ( 3) = nên ta có S ( n ) = − 1, ∀n ≥ n −2 Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu toán S ( n ) = − 1, ∀n ≥ -Hết - 1,0