SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1) Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi thứ 11/10/2011 (Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 04 câu, 01 trang Câu (7 điểm) x + x y + 9y = y x + x y + 9x a) Giải hệ phương trình sau: 3 x(y − x ) = b) Biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m: x + 3x = + mx Câu (4 điểm) n * u = Cho dãy số (un) xác định công thức n ∑ − ln n, n ∈ N Chứng minh k k =1 dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi M trung điểm cạnh BC Điểm X thay đổi cung nhỏ AM đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM, lấy điểm T · · thuộc miền góc BMA cho XMT = 900 XT = XB · · Chứng minh rằng: Hiệu MTB không phụ thuộc vào vị trí điểm X − MTC Câu (4 điểm) Bạn Duy đặt tên đỉnh hình lập phương cách tùy ý A1 , A , , A8 , bạn Hiển đặt tên đỉnh hình lập phương cách tùy ý B1 , B2 , , B8 Chứng minh tồn ba số i, j, k đôi phân biệt thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} cho tam giác có ba đỉnh A i , A j , A k tam giác có ba đỉnh Bi , B j , Bk HẾT -Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Chữ kí giám thị 1: .; Chữ kí giám thị 2: