Tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán tĩnh và động lực tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo mô hình vinkler

MỞ ĐẦU Vật liệu composite ngày sử dụng rộng rãi thiết kế chế tạo kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền Composite ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác ngành chế tạo máy kinh tế quốc dân Composite ứng dụng phát triển chúng nhẹ bền Để thiết kế tối ưu vật liệu kết cấu composite, cần thiết phải hiểu rõ chất quy luật ứng xử học phức tạp loại vật liệu Trong thực tế thường gặp kết cấu đặt tiếp xúc bề mặt môi trường vật thể đàn hồi khác, ví dụ dầm móng đặt đất, cầu phao phà đặt mặt nước Bài toán xác định nội lực chuyển vị kết cấu đàn hồi dạng toán siêu tĩnh, phản lực hệ lực phân bố liên tục bề mặt tiếp xúc, phụ thuộc vào biến dạng kết cấu quan niệm mô hình Trong luận văn ta sử dụng mô hình đơn giản, thường dùng kỹ thuật mô hình Vinkler Theo đó, cường độ phản lực điểm tỷ lệ thuận với độ lún điểm Nếu kí hiệu p áp suất phản lực, y độ lún, K hệ số p = Ky Thứ nguyên hệ số [Lực/(chiều dài)3] Dao động tượng phổ biến tự nhiên kỹ thuật Các máy, phương tiện giao thông vận tải, tòa nhà cao tầng, cầu, mạch điện hệ dao động kỹ thuật Nghiên cứu dao động ngày trở thành phận thiếu cho tất kết cấu, công trình Trong [1], [6] nghiên cứu toán dao động vỏ trụ vỏ thoải composite có gân gia cường Dao động phi tuyến composite lớp có gân gia cường tính toán [2] Trong [5] nghiên cứu toán phi tuyến, đưa hệ thức tính toán tĩnh động cho vỏ thoải composite hai độ cong Trong [7] tính toán dao động vỏ thoải composite Mục đích luận văn tìm nghiệm giải tích gần toán tĩnh động lực composite lớp đàn hồi theo mô hình Vinkler Từ hệ phương trình cân sử dụng hàm ứng suất phương pháp BubnovGalerkin để nhận phương trình dao động phi tuyến Lời giải số tìm theo phương pháp bước lặp sơ đồ tính toán Newmark, xem xét quan hệ tần số - biên độ dao động phi tuyến, ảnh hưởng hệ số tần số dao động ngoại lực đến lời giải toán động lực Báo cáo sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán độ võng composite lớp đàn hồi Đã so sánh kết thu theo hai phương pháp giải tích phần tử hữu hạn Luận văn gồm chương: Chương Các hệ thức sở composite lớp đàn hồi Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho composite lớp đàn hồi Chương Tính toán số cho composite lớp đàn hồi Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Vũ Đỗ Long người tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô môn Cơ học thầy cô khoa Toán – Cơ – Tin học trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Các kết luận văn trình bày thảo luận Hội nghị khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10” Tác giả nhận góp ý bổ ích từ thành viên Hội nghị Tuy nhiên bước đầu tiếp cận nghiên cứu khoa học lĩnh vực vật liệu composite, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong tiếp tục nhận đánh giá góp ý thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Học viên Nguyễn Thị Huệ CHƯƠNG CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ CỦA TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 1.1 Phương trình tổng quát composite lớp đàn hồi 1.1.1 Mối liên hệ chuyển dịch – biến dạng composite lớp Xét composite lớp có x1 , x2 trục tọa độ nằm mặt phẳng theo cạnh, x3 ≡ z hướng theo phương pháp tuyến với mặt (Hình 1) x1 x2 x3 Hình Theo lý thuyết Kirchhoff – Love mối liên hệ phi tuyến dịch chuyển – biến dạng tấm: ε11 = ε10 + zφ1 ε 22 = ε 20 + zφ2 γ 12 = ε 60 + zφ6 Trong đó: ε10 ∂u  ∂w  = +   ∂x1  ∂x1  2 ∂v  ∂w  = +   ∂x2  ∂x2  ∂u ∂v ∂w ∂w ε 60 = + + ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂ 2w φ1 = − ∂x1 ∂ 2w φ2 = − ∂x2 ∂2w φ6 = − ∂x1∂x2 ε 20 (1.1) Còn u , v, w chuyển vị phương ngang, phương dọc độ võng điểm thuộc mặt phẳng tấm; ε10 , ε 20 , ε 60 biến dạng mặt giữa; φ1,φ2 ,φ6 biến thiên độ cong Chúng thỏa mãn phương trình tương thích biến dạng: ∂ 2ε10 ∂ 2ε 20 ∂ 2ε 60  ∂ w  ∂ w ∂ w + − =  − ∂x1∂x2  ∂x1∂x2  ∂x22 ∂x1 ∂x1 ∂x22 (1.2) 1.1.2 Quan hệ ứng suất biến dạng composite lớp Sử dụng giả thiết Kirchhoff bỏ qua thành phần ứng suất vuông góc với mặt giữa: σ 13 = σ 23 = σ 33 = Liên hệ ứng suất biến dạng lớp composite thứ k [5]: σ 11    σ 22  σ   12  (k ) (k )  Q11 Q12 Q16    =  Q12 Q22 Q26    Q 16 Q26 Q66   ε1    ε  ε   6 (k ) (1.3) Trong ký hiệu thành phần biến dạng mặt phẳng lớp thứ k: ε11 ≡ ε1 , ε 22 ≡ ε , ε ≡ ε12 Trường hợp phương sợi lệch góc θ với trục x1 tấm, thay ma trận Qijk ma trận Qijk Trong Qijk tính qua Qijk theo công thức [4]: Q11 = Q11 cos θ + ( Q12 + 2Q66 ) sin θ cos θ + Q22 sin θ ( Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin θ cos θ + Q12 sin θ + cos θ ) Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cos3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cosθ Q22 = Q11 sin θ + ( Q12 + 2Q66 ) sin θ cos θ + Q22 cos θ (1.4) Q26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cosθ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cos3 θ ( Q66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin θ cos θ + Q66 sin θ + cos θ ) Biểu thức số độ cứng qua mô đun đàn hồi hệ trục sau: Q11 = E1 , E2 − ν 12 E1 Q12 = Q16 = E2 ν , E2 12 − ν 12 E1 Q26 = Q22 = E2 E − ν12 E1 (1.5) Q66 = G12 đó: E1 , E2 môđun đàn hồi theo phương trục lớp vật liệu composite; ν12 hệ số Poisson vật liệu, G12 môđun trượt hệ trục lớp vật liệu Lực pháp, lực tiếp, mômen uốn, mômen xoắn xác định theo công thức: h N1 = − ∫h h N2 = − h σ 11dz M1 = − h ∫h σ 22dz M2 = − h ∫h σ 11zdz N6 = − ∫h ∫h h σ 22 zdz M6 = − σ 12dz 2 ∫h σ 12 zdz (1.6) Ở đây: N12 = N 21 = N , M12 = M 21 = M Thay (1.3) vào (1.6) ta được: h N1 = ∑ ∫ k =1 − h h =∑ k =1 − h = ( (k ) (k ) ) (k ) Q11 ε1 + Q12 ε + Q16 ε dz 2 ∫h Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ( ) ( ) ( 2 0   ∫h Q11 (ε1 + zφ1 ) + Q12 (ε + zφ2 ) + Q16 (ε + zφ6 )dz + + (1) h (1) (1) 0   ∫ Q11 (ε1 + zφ1 ) + Q12 (ε + zφ2 ) + Q16 (ε + zφ6 )dz + ( 2) 0 + − ∫h −h + − ∫h ( 2) ( 2) Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ 12 2 16 6  11 )dz + Q ( 4) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 )dz ( ) ( ) h N2 = ∑ ( ) ( ) 2 ∫ k =1 − h ( h N6 = ∑ k =1 − ∫h (k ) Q12 ε1 + Q22 A12ε1 + ( = A11ε10 + A12ε 20 + A16ε 60 + B11φ1 + B12φ2 + B16φ6 = )dz (k ) ) (k ) ε + Q26 ε dz A22ε 20 + A26ε 60 + B12φ1 + B22φ2 + B26φ6 (Q 16 (k ) (k ) ) (k ) ε1 + Q26 ε + Q66 ε dz = A16ε10 + A26ε 20 + A66ε 60 + B16φ1 + B26φ2 + B66φ6 ( h M1 = ∑ k =1 − =∑ k =1 − h = ∫h h ∫ h (Q (k ) ) (k ) ε1 + Q12 ε + Q16 ε zdz 2 ∫h (k ) 11 Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ( ) ( ) ( )zdz Q (1) ε + zφ + Q (1) ε + zφ + Q (1) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ( ) ( ) ( )zdz + h ( 2) ( 2) ( 2) + ∫ Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6  ( + − ∫h − ( ) ( )zdz + Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ zdz + 1 12 2 16 6   11  ( ) ( ) ( ) −h + ) ∫h Q ( 4) ε + zφ + Q ( 4) ε + zφ + Q ( 4) ε + zφ zdz 1 12 2 16 6   11  ( ) ( ) ( ) = B11ε10 + B12ε 20 + B16ε 60 + D11φ1 + D12φ1 + D16φ6 h M2 = ∑ k =1 − ∫h Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ 1 22 2 26 6  12 ( ) ( ) ( )zdz = B12ε10 + B22ε 20 + B26ε 60 + D12φ1 + D22φ1 + D26φ6 M6 = ∑ h ∫ k =1 − h Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ zdz 1 26 2 66 6   16  ( ) ( ) = B16ε10 + B26ε 20 + B66ε 60 + D16φ1 + D26φ1 + D66φ6 ( ) N zk +1 ( Aij , Bij , Dij ) = ∑ ∫ Qij ( k ) (1, z, z ) dz Với: (i, j = 1, 2, 6) (1.7) k =1 zk Mối quan hệ lực pháp, lực tiếp, momen uốn, momen xoắn biến dạng, biến thiên độ cong viết dạng ma trận sau:  N1   A11 N  A    12  N   A16  =  M1   B11  M   B12     M   B16 A12 A22 A26 B12 B22 A16 B11 B12 A26 B12 B22 A66 B16 B26 B16 D11 D12 B26 D12 D22 B26 B66 D16 D26 B16  ε1    B26  ε 20  B66  ε    D16   φ  D26  φ    D66  φ   6 (1.8) với: N = số lớp tấm;  Aij  ,  Bij  ,  Dij  ma trận độ cứng dãn nén, độ cứng tương tác dãn – uốn – xoắn độ cứng uốn composite lớp Giả thiết xếp lớp đối xứng qua mặt ta có  Bij  = xem đại lượng A16 , A26 , D16 , D26 nhỏ bỏ qua Khai triển (1.8) ta biểu thức lực màng composite lớp: N1 = A11ε10 + A12ε 20 N = A12ε10 + A22ε 20 (1.9) N = A66ε 60 Giải ngược lại suy ra: ε10 = Trong đó:   A N − 12 N  , * A 22 E1   E1* ε 20 =   A N − 12 N1  , * A11  E2  2 A11 A22 − A12 A11 A22 − A12 * = , E2 = , G* = A66 A22 A11 ε 60 = N6 G* Và mômen composite lớp tính theo công thức:  ∂ 2w ∂ 2w  M1 = D11φ1 + D12φ2 = − D1  + µ 2  ∂x2   ∂x1  ∂ 2w ∂ 2w  M = D12φ1 + D22φ2 = − D2  + µ1  ∂x1   ∂x2 ∂ w M = D66φ6 = −2 Dk ∂x1∂x2 (1.10) Trong đó: D1 = D11 , µ2 = D12 , D11 D2 = D22 , µ1 = D12 , D22 Dk = D66 µ1 D1 = µ2 D2 D3 = Dk + D1µ = Dk + D2 µ1 1.1.3 Phương trình chuyển động composite lớp đàn hồi Phương trình chuyển động composite lớp đàn hồi với hệ số K theo mô hình Vinkler viết sau [5]: ∂N1 ∂N ∂ 2u ∂ 3w + = J O − J1 ∂x1 ∂x2 ∂t ∂x1∂t (1.11) ∂N ∂N ∂ 2v ∂ 3w + = J O − J1 ∂x1 ∂x2 ∂t ∂x2∂t ∂ M1 ∂ 2M ∂ 2M ∂  ∂w ∂w  ∂  ∂w ∂w  + + + N + N + N + N     ∂x1∂x2 ∂x1  ∂x1 ∂x2  ∂x2  ∂x1 ∂x2  ∂x12 ∂x22  ∂ 3u  ∂ 4w ∂ 2w ∂ 3v  ∂4w  = J O + J1  + − J  2 + 2  − q (t ) + Kw 2 ∂t ∂ x ∂ t ∂ x ∂ t ∂x2 ∂t     ∂x1 ∂t N zk +1 Trong J i xác định theo công thức: J i = ∑ ∫ k =1 ρ ( k ) z i dz zk ρ ( k ) mật độ khối lượng lớp thứ k, q (t ) lực phân bố 1.2 Nghiệm toán Giả thiết lực ngang q (t ) phân bố mật độ khối lượng lớp thứ k số Khi ta có: N zk +1 J1 = ∑ ∫ k =1 ρ ( k ) zdz = zk Theo Volmir [8] số hạng quán tính hai phương trình đầu (1.11) bỏ qua Do phương trình chuyển động có dạng: ∂N1 ∂N + =0 ∂x1 ∂x2 (1.12) ∂N ∂N + =0 ∂x1 ∂x2 (1.13) ∂ M1 ∂ 2M ∂ 2M ∂  ∂w ∂w  + + + N + N  + ∂x1∂x2 ∂x1  ∂x1 ∂x2  ∂x12 ∂x22  ∂4w ∂  ∂w ∂w  ∂2w ∂ 4w  + N + N = J − J + − q (t ) + Kw   2 O 2 2 ∂x2  ∂x1 ∂x2  ∂t ∂ x ∂ t ∂ x ∂ t   (1.14) Phương trình (1.12), (1.13) thỏa mãn đưa vào hàm ứng suất φ dạng: ∂ 2ϕ N1 = hσ 11 = ∂x2 ∂ 2ϕ N = hσ 22 = ∂x1 ∂ 2ϕ N = hσ 12 = − ∂x1∂x2 10 (1.15) PHỤ LỤC Chương trình dùng Matlap tính toán trường hợp toán tĩnh function uonbancomposite1 syms x y z f a=0.4;b=0.4;h=0.01; q0=1000; k=10^8; E1=12.74*10^10; E2=13*10^9; v12=0.38; G12=6.4*10^9; Q11=E1/(1-E2*(v12^2)/E1); Q12=E2*v12/(1-E2*(v12^2)/E1); Q22=E2/(1-E2*(v12^2)/E1); Q66=G12; % Lop doi xung t1=pi/4; Q11n=Q11*cos(t1)^4+ Q22*sin(t1)^4+2*(Q12+2*Q66)*(sin(t1)^2)*(cos(t1)^2); Q12n=(Q11+Q22-4*Q66)*(sin(t1)^2)*(cos(t1)^2)+Q12*(sin(t1)^4+cos(t1)^4); Q16n=(Q11-Q12-2*Q66)*sin(t1)*(cos(t1)^3)+(Q12Q22+2*Q66)*(sin(t1)^3)*cos(t1); Q22n=Q11*sin(t1)^4+ Q22*cos(t1)^4+2*(Q12+2*Q66)*(sin(t1)^2)*(cos(t1)^2); Q26n=(Q11-Q12-2*Q66)*(sin(t1)^3)*cos(t1)+(Q12Q22+2*Q66)*sin(t1)*(cos(t1)^3); 42 Q66n=(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*(sin(t1)^2)*(cos(t1)^2)+ Q66*(sin(t1)^4+cos(t1)^4); % Lop lop doi xung t2=-pi/4; Q11n2=Q11*cos(t2)^4+ Q22*sin(t2)^4+2*(Q12+2*Q66)*(sin(t2)^2)*(cos(t2)^2); Q12n2=(Q11+Q22-4*Q66)*(sin(t2)^2)*(cos(t2)^2)+Q12*(sin(t2)^4+cos(t2)^4); Q16n2=(Q11-Q12-2*Q66)*sin(t2)*(cos(t2)^3)+(Q12Q22+2*Q66)*(sin(t2)^3)*cos(t2); Q22n2=Q11*sin(t2)^4+ Q22*cos(t2)^4+2*(Q12+2*Q66)*(sin(t2)^2)*(cos(t2)^2); Q26n2=(Q11-Q12-2*Q66)*(sin(t2)^3)*cos(t2)+(Q12Q22+2*Q66)*sin(t2)*(cos(t2)^3); Q66n2=(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*(sin(t2)^2)*(cos(t2)^2)+ Q66*(sin(t2)^4+cos(t2)^4); % Tính ma tran Aij A11=int(Q11n,z,h/4,h/2)+int(Q11n2,z,0,h/4)+int(Q11n2,z,-h/4,0)+int(Q11n,z,h/2,-h/4); A12=int(Q12n,z,h/4,h/2)+int(Q12n2,z,0,h/4)+int(Q12n2,z,-h/4,0)+int(Q12n,z,h/2,-h/4); A16=int(Q16n,z,h/4,h/2)+int(Q16n2,z,0,h/4)+int(Q16n2,z,-h/4,0)+int(Q16n,z,h/2,-h/4) A22=int(Q22n,z,h/4,h/2)+int(Q22n2,z,0,h/4)+int(Q22n2,z,-h/4,0)+int(Q22n,z,h/2,-h/4); A26=int(Q26n,z,h/4,h/2)+int(Q26n2,z,0,h/4)+int(Q26n2,z,-h/4,0)+int(Q26n,z,h/2,-h/4); 43 A66=int(Q66n,z,h/4,h/2)+int(Q66n2,z,0,h/4)+int(Q66n2,z,-h/4,0)+int(Q66n,z,h/2,-h/4); A11=vpa(A11,5); A12=vpa(A12,5); A22=vpa(A22,5); A66=vpa(A66,5); % Tính ma tran Bij B11=int(Q11n*z,z,h/4,h/2)+int(Q11n2*z,z,0,h/4)+int(Q11n2*z,z,h/4,0)+int(Q11n*z,z,-h/2,-h/4); B12=int(Q12n*z,z,h/4,h/2)+int(Q12n2*z,z,0,h/4)+int(Q12n2*z,z,h/4,0)+int(Q12n*z,z,-h/2,-h/4); B16=int(Q16n*z,z,h/4,h/2)+int(Q16n2*z,z,0,h/4)+int(Q16n2*z,z,h/4,0)+int(Q16n*z,z,-h/2,-h/4); B22=int(Q22n*z,z,h/4,h/2)+int(Q22n2*z,z,0,h/4)+int(Q22n2*z,z,h/4,0)+int(Q22n*z,z,-h/2,-h/4); B26=int(Q26n*z,z,h/4,h/2)+int(Q26n2*z,z,0,h/4)+int(Q26n2*z,z,h/4,0)+int(Q26n*z,z,-h/2,-h/4); B66=int(Q66n*z,z,h/4,h/2)+int(Q66n2*z,z,0,h/4)+int(Q66n2*z,z,h/4,0)+int(Q66n*z,z,-h/2,-h/4); % Tính ma tran Dij D11=int(Q11n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q11n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q11n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q11n*z^2,z,-h/2,-h/4); D12=int(Q12n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q12n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q12n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q12n*z^2,z,-h/2,-h/4); D16=int(Q16n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q16n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q16n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q16n*z^2,z,-h/2,-h/4); 44 D22=int(Q22n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q22n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q22n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q22n*z^2,z,-h/2,-h/4); D26=int(Q26n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q26n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q26n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q26n*z^2,z,-h/2,-h/4); D66=int(Q66n*z^2,z,h/4,h/2)+int(Q66n2*z^2,z,0,h/4)+int(Q66n2*z^2,z,h/4,0)+int(Q66n*z^2,z,-h/2,-h/4); D11=vpa(D11,5); D12=vpa(D12,5); D16=vpa(D16,5); D22=vpa(D22,5); D26=vpa(D26,5); D66=vpa(D66,5); D1=D11; D2=-D22; D3=2*D66+D12; Ds=[D11 D12 D16;D12 D22 D26;D16 D26 D66] E1s=(A11*A22-A12^2)/A22; E1s=vpa(E1s,5); E2s=(A11*A22-A12^2)/A11; E2s=vpa(E2s,5); Gs=A66; m1=(pi^4)*(D1/a^4+2*D3/(a^2*b^2)+D2/b^4); m1=vpa(m1,5) m3=((pi^4)/16)*(E2s/b^4+E1s/a^4); m3=vpa(m3,5) % Bai toan tinh 45 f=solve((k+m1)*f+m3*f^3-16*q0/pi^2); f=vpa(f,5) % Ham vong w=[1 x y x^2 x*y y^2 x^3 x^2*y x*y^2 y^3 x^3*y x*y^3]; tx=diff(w,x); ty=diff(w,y); p=[w;tx;ty]; p1=subs(p,[x,y],[0,0]); p2=subs(p,[x,y],[a/4,0]); p3=subs(p,[x,y],[a/4,b/4]); p4=subs(p,[x,y],[0,b/4]); A1=[p1;p2;p3;p4]; N=p*inv(A1); N1=N(1,:); B=[diff(diff(N1,x),x);diff(diff(N1,y),y);2*diff(diff(N1,x),y)]; % Ma tran cung phan tu cua tam composite K1=int(int(B'*Ds*B,x,0,a/4),y,0,b/4); K1=vpa(K1,5); %Ma tran cung phan tu cua nen dàn hoi K2=k*int(int(N1'*N1,x,0,a/4),y,0,b/4); K2=vpa(K2,5); % Ma tran cung phan tu cua ban composite tren nen dan hoi Ke=K1+K2; %Vecto tai phan tu cua tam P=int(int(N1'*q0,x,0,a/4),y,0,b/4); P=vpa(P,5); 46 % Ma tran dinh vi I=eye(75,75); L1=[I(1:6,:);I(19:21,:);I(16:18,:)]; L2=[I(4:9,:);I(22:24,:);I(19:21,:)]; L3=[I(7:12,:);I(25:27,:);I(22:24,:)]; L4=[I(10:15,:);I(28:30,:);I(25:27,:)]; L5=[I(16:21,:);I(34:36,:);I(31:33,:)]; L6=[I(19:24,:);I(37:39,:);I(34:36,:)]; L7=[I(22:27,:);I(40:42,:);I(37:39,:)]; L8=[I(25:30,:);I(43:45,:);I(40:42,:)]; L9=[I(31:36,:);I(49:51,:);I(46:48,:)]; L10=[I(34:39,:);I(52:54,:);I(49:51,:)]; L11=[I(37:42,:);I(55:57,:);I(52:54,:)]; L12=[I(40:45,:);I(58:60,:);I(55:57,:)]; L13=[I(46:51,:);I(64:66,:);I(61:63,:)]; L14=[I(49:54,:);I(67:69,:);I(64:66,:)]; L15=[I(52:57,:);I(70:72,:);I(67:69,:)]; L16=[I(55:60,:);I(73:75,:);I(70:72,:)]; %Ma tran cung tong the cua ban composite tren nen dan hoi Kt=L1'*Ke*L1+L2'*Ke*L2+L3'*Ke*L3+L4'*Ke*L4+L5'*Ke*L5+L6'*Ke*L6+ L7'*Ke*L7+L8'*Ke*L8+L9'*Ke*L9+L10'*Ke*L10+L11'*Ke*L11+L12'*Ke*L 12+L13'*Ke*L13+L14'*Ke*L14+L15'*Ke*L15+L16'*Ke*L16; Kt=vpa(Kt,5); %vecto tai tong the cua ban Pt=L1'*P+L2'*P+L3'*P+L4'*P+L5'*P+L6'*P+L7'*P+L8'*P+L9'*P+L10'*P+L1 1'*P+L12'*P+L13'*P+L14'*P+L15'*P+L16'*P; 47 Pt=vpa(Pt,5); % Ban le bon canh Kt([75,74,73,71,70,68,67,65,64,63,62,61,60,58,48,46,45,43,33,31,30,28,18,16,1 5,14,13,11,10,8,7,5,4,3,2,1],:)=[]; Kt(:,[75,74,73,71,70,68,67,65,64,63,62,61,60,58,48,46,45,43,33,31,30,28,18,16, 15,14,13,11,10,8,7,5,4,3,2,1])=[]; Pt([75,74,73,71,70,68,67,65,64,63,62,61,60,58,48,46,45,43,33,31,30,28,18,16,15 ,14,13,11,10,8,7,5,4,3,2,1],:)=[]; disp('chuyen vi tai cac nut chua biet la') Q=inv(Kt)*Pt; Q=vpa(Q,5) Wmax=Q(19,:) %theo duong y=b/4 x=0:a/400:a; y=b/4; DV1=eval(f(1))*sin(pi*x/a)*sin(pi*y/b); plot(x,DV1,'b-','linewidth',2) hold on x=0:a/4:a; w1=[0 eval(Q(5,:)) eval(Q(8,:)) eval(Q(11,:)) 0]; plot(x,w1,'b-o','linewidth',2) hold on % theo duong y=b/2 x=0:a/400:a; y=b/2; DV2=eval(f(1))*sin(pi*x/a)*sin(pi*y/b); 48 plot(x,DV2,'r-','linewidth',2) hold on x=0:a/4:a; w2=[0 eval(Q(16,:)) eval(Q(19,:)) eval(Q(22,:)) 0]; plot(x,w2,'r-o','linewidth',2) hold on % theo duong y=3b/4 x=0:a/4:a; w3=[0 eval(Q(27,:)) eval(Q(30,:)) eval(Q(33,:)) 0]; plot(x,w3,'g-','linewidth',2) hold off title('a = 0.4m, b = 0.4m, K = 10^8 N/m^3') xlabel('Truc x') ylabel('Truc y') legend('PP giai tich theo duong y=b/4 va y=3b/4','PP PTHH theo duong y=b/4','PP giai tich theo duong y=b/2','PP PTHH theo duong y=b/2','PP PTHH theo duong y=3b/4') grid on Chương trình tính toán toán động Maple > restart: > with(linalg): > rho:=1389.23: > a:=0.4: > b:=0.4: > h:=0.01: 49 >J0:=int(rho,z=h/4 h/2)+int(rho,z=0 h/4)+int(rho,z=-h/4 0)+int(rho,z=-h/2 h/4); J0 := 13.89230000 >J2:=int(rho*z^2,z=h/4 h/2)+int(rho*z^2,z=0 h/4)+int(rho*z^2,z=h/4 0)+int(rho*z^2,z=-h/2 -h/4); J2 := 0.0001157691667 > Mh:=J0+J2*evalf(Pi^2)*(1/(a^2)+1/(b^2)); Mh := 13.90658245 > D1:=3711: > D2:=-3711: > D3:=8163.9: > E1s:=0.21921*10^9: > E2s:=0.21921*10^9: > heso_nen_kk: > kk:=10^8: > M1:=kk+evalf(Pi^4)*(D1/a^4+2*D3/(a^2*b^2)+D2/b^4); M1 := 0.6212807491 10 > M3:=(evalf(Pi^4)/16)*(E2s/b^4+E1s/a^4); M3 := 0.1042629241 10 12 > q0:=1000: > F:=q0*16/evalf(Pi^2); F := 1621.138938 > Phuongtrinh:=Mh*d2t*f/dt^2+M1*f+M3*f^3=F*sin(omega*t); 13.90658245 d2t f + 0.6212807491 10 f + 0.1042629241 10 12 f = dt 1621.138938 sin( ω t ) Phuongtrinh := 50 > Chia_Heso_cho_PTVP; Chia_Heso_cho_PTVP > mm:=Mh; mm := 13.90658245 > mm1:=M1; mm1 := 0.6212807491 10 > mm3:=M3; mm3 := 0.1042629241 10 12 > Mh1:=mm1/mm; Mh1 := 0.4467530044 10 > Mh3:=mm3/mm; Mh3 := 0.7497379351 10 10 > qh:=F/mm; qh := 116.5734963 > K:=matrix(1,1,[Mh1+Mh3*f^2]); K := [0.4467530044 10 + 0.7497379351 10 10 f 2] > PTVP; PTVP > ddf_dt^2+Mh1*f+Mh3*f^3=qh*sin(omega*t); ddf_dt + 0.4467530044 10 f + 0.7497379351 10 10 f = 116.5734963 sin( ω t ) > Tanso_Daodong_Tudo; Tanso_Daodong_Tudo > omega1:=sqrt(Mh1); ω1 := 2113.653246 > Matran_M; Matran_M 51 > M:=matrix(1,1,[1]); M := [ 1] > omega0:=1943; ω0 := 1943 > T:=2*evalf(Pi,10)/omega0; T := 0.003233754662 > Dt:=T/120; Dt := 0.00002694795552 > Giaidoan_0; Giaidoan_0 > P0:=matrix(1,1,[qh]); P0 := [116.5734963 ] > P[0]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*0)); P0 := > f0:=matrix(1,1,[0]); f0 := [ 0] > df0:=matrix(1,1,0); df0 := [ 0] > ddf0:=matrix(1,1,0); ddf0 := [ 0] > f[0]:=evalm(f0); f0 := [ 0] > df[0]:=evalm(df0); df := [ 0] > ddf[0]:=evalm(ddf0); 52 ddf := [ 0] > f30:=f[0][1,1]; f30 := > M1:=evalm((4/Dt^2)*M); M1 := [0.5508182836 10 10] > Ks:=evalm(K+M1); Ks := [0.5512650366 10 10 + 0.7497379351 10 10 f 2] > Km:=map(unapply,Ks,f); Km := [Km1, 1] > hs[0]:=evalm((4/Dt^2)*f[0]+(4/Dt)*df[0]+ddf[0]); hs0 := [ ] > M2[0]:=multiply(M,hs[0]); M2 := [ ] > P[1]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*1)); P1 := [6.100985403 ] > Ps[1]:=evalm(P[1]+M2[0]); Ps1 := [6.100985403 ] > f3:=0: > Km_1:=inverse(Km(f3)); Km_1 := [0.1814009476 10 -9 ] > v[1,1]:=multiply(Km_1,Ps[1]); v1, := [0.1106724533 10 -8] > f3:=v[1,1][1,1]; f3 := 0.1106724533 10 -8 > Km_1:=inverse(Km(f3)); 53 Km_1 := [0.1814009476 10 -9 ] > v[1,2]:=multiply(Km_1,Ps[1]); v1, := [0.1106724533 10 -8] > delta:=1: > k:=0: > while delta>0.001 > if k=0 then f3:=0: fi: > if k>0 then f3:=v[1,k][1,1];fi: > Km_1:=inverse(Km(f3)): > v[1,k+1]:=multiply(Km_1,Ps[1]); > if k>0 then delta:=abs(v[1,k+1][1,1]-v[1,k][1,1])/v[1,k][1,1]: fi: > print("delta", delta); > k:=k+1; > od; Km_1 := [0.1814009476 10 -9 ] v1, := [0.1106724533 10 -8] "delta", k := Km_1 := [0.1814009476 10 -9 ] v1, := [0.1106724533 10 -8] "delta", k := > f[1]:=evalm(v[1,k]); f1 := [0.1106724533 10 -8] > n:=0; 54 n := > Mf1:=evalm((4/Dt^2)*(f[n+1]-f[n])); Mf1 := [6.096041077 ] > Mf2:=evalm((4/Dt)*df[n]); Mf2 := [ ] > ddf[n+1]:=evalm(Mf1-Mf2-ddf[n]); ddf := [6.096041077 ] > Mf3:=evalm((Dt/2)*(ddf[n]+ddf[n+1])); Mf3 := [0.00008213792190 ] > df[n+1]:=evalm(df[n]+Mf3); df := [0.00008213792190 ] > So_buoc_lap: > nn:=1200; nn := 1200 > Giai_doan_n>=2; ≤ Giai_doan_n > for n from to nn > hs[n+1]:=evalm((4/Dt^2)*f[n]+(4/Dt)*df[n]+ddf[n]): > M2[n+1]:=multiply(M,hs[n+1]); > P[n+1]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*(n+1))): > Ps[n+1]:=evalm(P[n+1]+M2[n+1]); > delta:=1: > k:=0: > while delta>0.001 > if k=0 then f3:=0: fi: 55 > if k>0 then f3:=v[n+1,k][1,1];fi: > Km_1:=inverse(Km(f3)): > v[n+1,k+1]:=multiply(Km_1,Ps[n+1]); > if k>0 then delta:=abs(v[n+1,k+1][1,1]-v[n+1,k][1,1])/v[n+1,k][1,1]: fi: > k:=k+1; > od; > f[n+1]:=evalm(v[n+1,k]); > Mf1:=evalm((4/Dt^2)*(f[n+1]-f[n])): > Mf2:=evalm((4/Dt)*df[n]): > ddf[n+1]:=evalm(Mf1-Mf2-ddf[n]): > Mf3:=evalm((Dt/2)*(ddf[n]+ddf[n+1])): > df[n+1]:=evalm(df[n]+Mf3): > od: > lin3c_pt_k0:=[seq([i*Dt/T,f[i][1,1]],i=0 nn)]: > with(plots): > plot([lin3c_pt_k0],thickness=[2],color=[blue]); 56 [...]... các hàm xấp xỉ Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán 2.2 Tính toán tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo phương pháp phần tử hữu hạn Bài toán: Xét tấm composite chữ nhật N lớp trên nền đàn hồi có kích thước... - Vật liệu có các hằng số đàn hồi của mỗi lớp : E1 = 127,4 GPa; E2 = 13,0 GPa; ν = 0,38; G12 = 6,4 GPa, ρ = 1389, 23 kg/m3 Lực phân bố đều : q0 = 1000 (N/m2), Hệ số nền K = 108 (N/m3) Điều kiện biên: Bản lề bốn cạnh 3.1 Tính toán số bài toán tĩnh của tấm composite lớp trên nền đàn hồi Chia bản composite thành 16 miền chữ nhật như hình vẽ với 25 nút Các a b phần tử là các hình chữ nhật giống nhau kích... thành phần của véctơ {q} bằng {} không, P cũng thu được từ { P} bằng cách bỏ đi các thành phần tương ứng Nghiệm chuyển vị nút cần tìm được tính theo công thức: −1 {q} =  K  {P} 26 (2.12) CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ CHO TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI Xét tấm composite lớp với các thông số hình học và cấu tạo như sau : - Kích thước tấm: a = b = 0,4m Chiều dày tấm h = 0,01m - Kiểu sắp xếp lớp: [45/-45/-45/45]... thị Khi tấm có kích thước bằng nhau a = b = 0,4m chịu lực phân bố đều q0 = 1000N/m2 và hệ số nền K thay đổi bằng (0,5.108; 108; 2.108)N/m3 thì độ võng của tấm tính theo phương pháp lý thuyết vỏ mỏng và phương pháp phần tử hữu hạn được thể hiện trong các hình (3, 4, 5) sau: 29 Hình 3 Đồ thị biểu diễn độ võng của Hình 4 Đồ thị biểu diễn độ võng của tấm vuông trên nền có hệ số tấm vuông trên nền có hệ... ứng tuyến của tấm vuông trên nền có hệ phi tuyến của tấm vuông trên nền có số K = 0,5.108N/m3 hệ số K = 108N/m3 Hình 11 Đồ thị biểu diễn đáp ứng phi tuyến của tấm vuông với hệ số nền K = 2.108N/m3 35 Chọn biên độ lực ngoài q0 = 1000N/m2 Với hệ số nền K = 108N/m3, tần số dao động tuyến tính tự do ω1 = 3414 rad/s, khi tần số lực ngoài ω0 thay đổi thì đáp ứng phi tuyến của tấm được thể hiện như hình (12,... enen U enen U enen nen với [ K ]e T = K ∫∫ [ N1 ] [ N1 ] dxdy F Vậy thế năng của tấm composite lớp trên nền đàn hồi sẽ là: U e = U etam + U enen = 1 {q}Te [ K ]e {q}e 2 23 tam với [ K ]e = [ K ]e nen + [ K ]e được gọi là ma trận độ cứng phần tử tấm composite lớp trên nền đàn hồi Công của ngoại lực do q gây ra trên độ võng của phần tử e là: Ae = ∫∫ ( q ( x, y ) dF ) w ( x, y ) F Ae = ∫∫ q ( x, y ) ... hữu hạn 31 Hình 8 Đồ thị biểu diễn độ võng của tấm chữ nhật trên nền có hệ số K = 2.108N/m3 theo hai phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng và phần tử hữu hạn Nhận xét: - Trong điều kiện tải trọng như nhau tác động lên các tấm composite thì tấm đặt trên nền có hệ số lớn hơn sẽ có độ võng nhỏ hơn - Sai số hai phương pháp sẽ nhỏ hơn khi áp dụng cho tấm composite xếp lớp có kích thước hai cạnh gần nhau hơn... thì độ võng của tấm tính theo phương pháp lý thuyết vỏ mỏng và phương pháp phần tử hữu hạn được thể hiện trong các hình (6, 7, 8) sau: Hình 6 Đồ thị biểu diễn độ võng của tấm chữ nhật với hệ số nền K = 0,5.108N/m3 theo hai phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng và phần tử hữu hạn Hình 7 Đồ thị biểu diễn độ võng của tấm chữ nhật với hệ số nền K = 108N/m3 theo hai phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng và phần tử... hai cạnh gần nhau hơn 32 3.2 Tính toán số bài toán động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi 3.2.1 Phương pháp Newmark Phương trình dao động phi tuyến có dạng: d2 f m 2 + m1 f + m3 f 3 = q (t ) dt hay d2 f m 2 + (m1 + m3 f 2 ) f = q (t ) dt Đặt  K [ f ] = (m1 + m3 f 2 ) và q (t ) = F (t ) Phương trình trên trở thành: m d2 f +  K [ f ] f = F (t ) dt 2  (3.1) Giải phương trình (3.1) bằng phương... bản vỏ mỏng 16 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 2.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử)