đề thi HC SINH GII huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Phân tích thành nhân tử a) a + 2a 13a + 10 b) (a + 4b 5) 16(ab + 1) Bài Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho Bài a) Cho a b = Chứng minh a2 + b2 b) Cho 6a 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bài Đa thức bậc có hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 Tính f(-1) + f(5) Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB = +1 AN AB đáp án toán Cõu Phân tích thành nhân tử a) Ta nhận thấy a = 1, a = nghiệm đa thức nên: (1 ) a + 2a 13a + 10 = (a 1)(a 2)(a + 5) b) (a + 4b 5) 16(ab + 1) = (a + 4b + 4ab + 4)(a + 4b 4ab 4) = (a + 2b) (a 2b) = (a + 2b + 1)(a + 2b 1)(a 2b + 3)(a 2b 3) Cõu Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho (3 đ) A = a + b + c =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho => C Cõu (1 ) => B a.Cho a - b = Chứng minh a2 + b2 (2 ) Từ a -b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vào (*) ta có: + 2b + 2b2 => 4b2 + 4b +1 =>(2b + 1)2 BĐT Vậy a2 + b2 Dấu xẩy (2b + 1)2 b =- 1 a = ; 2 b.Cho 6a 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Dấu xẩy b = Cõu ; 50 a= 1 Hay 4a2 + 25b2 10 10 = 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b x y 20 Đa thức bậc có hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 Tính f(-1) + f(5) (4 đ) Nhận xét: g(x) = 2x2 + thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21 Q(x) = f(x) - g(x) đa thức bậc có nghiệm x = 1, x = 2, x = Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - a); ta có: f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + = 29 + 24a f(5) = Q(5) + 2.52 + = 173 - 24a => f(-1) + f(5) = 202 Cõu Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB = +1 AN AB ( đ) a) ANC vuông N (vì AM = MC = MN) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v Mà MNA = NAC => CNM = BAN Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN C F M N => BNE BAN a) b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN ( đ) Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đờng chéo cắt trung điểm đờng) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN BFA => A E B FA BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB = => = => = => = + (Đpcm) AN BA AN AB AN AB AN AB