XÂY DỰNG TỰ ĐỘNG PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ MÔ PHỎNG CƠ CẤU

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 46, số 4, 2008 Tr 123-134 XÂY DỰNG TỰ ĐỘNG PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ MÔ PHỎNG CƠ CẤU LÊ HỒNG LAM, ĐINH VĂN PHONG GIỚI THIỆU Việc xây dựng phương trình chuyển động cấu máy với cấu trúc vòng kín thường phức tạp Trong kĩ thuật ta hay phải sử dụng số giả thuyết đơn giản toán để giải Thông thường xuất phát từ quan hệ hình học người ta xác định yếu tố vị trí, sau từ quan hệ hình học này, đạo hàm để tìm vận tốc gia tốc Cách không tổng quát với toán lại phải thực riêng biệt theo cách khác Trong báo cáo đề cập đến thuật giải phương án việc thiết lập tự động hệ phương trình chuyển động mô cấu sử dụng phương pháp động lực học hệ nhiều vật Sử dụng tọa độ suy rộng dư bổ sung phương trình liên kết để xây dựng hệ phương trình vi phân chuyển động Với cách cấu giải cách tổng quát, thông số học khác phản lực khớp cấu tìm dễ dàng Với phương án sử dụng tọa độ suy rộng dư phương trình liên kết với phương pháp số ta có cách giải tổng quát Tuy nhiên ta phải giải vấn đề liên quan đến trình giải Đó thêm vào tọa độ suy rộng dư số phương trình lớn cách sử dụng tọa độ đủ hệ phương trình hệ hệ phương trình vi phân đại số Một vấn đề gặp phải giải hệ ta phải tìm thêm điều kiện đầu tương thích hệ Cách tìm điều kiện đầu cách giải hệ nghiên cứu chi tiết giải đầy đủ [1, 7] Dựa sở lí thuyết thuật giải nghiên cứu, phần mềm BKSIM xây dựng để thử nghiệm kết Đến chương trình cho kết khả quan, mô hệ cấu phẳng tổng quát Các mô đun BKSIM bao gồm: - Mô đun thiết lập phần thuộc tính học hệ từ vẽ AutoCAD, nhằm mục đích sử dụng trực tiếp vẽ để tính toán mô - Mô đun xử lí Symbolic phục vụ cho việc tính toán biểu thức, phục vụ tính toán biểu thức trình tính toán biểu thức động năng, hệ phương trình chuyển động - Mô đun tính toán biểu thức động năng, phương trình liên kết sinh hệ phương trình symbolic - Mô đun tính toán điều kiện đầu toán giải hệ phương trình chuyển động hệ - Mô đun mô đồ họa động phục vụ việc quan sát chuyển động thực tế hệ Với 05 mô đun tích hợp vào chương trình BKSIM tạo nên chương trình phần mềm mô hình hóa cấu từ vẽ AutoCAD, tính toán, mô hệ, trình bày cụ thể phần 121 THIẾT LẬP BIỂU THỨC ĐỘNG NĂNG, THẾ NĂNG VÀ THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ CẤU Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cấu ta tách cấu thành cấu trúc thêm vào phương trình liên kết vị trí tách Đối với hệ bậc tự ta tách cấu thành tất vật riêng biệt Từ hệ bao gồm cấu trúc ta thiết lập phương trình chuyển động hệ với phương trình liên kết thêm vào ta có hệ phương trình chuyển động cấu Như giải toán cấu dựa vào việc đưa giải toán hệ có cấu trúc Một hệ có cấu trúc có f bậc tự do, p vật rắn với tọa độ suy rộng qi (i = f) Động hệ có dạng:     p T  q T  J TTi mi J Ti  J TRi A i I i ATi J Ri  q  q T Mq  i 1  (1.1) với JTi, JRi ma trận Jacobi kích thước (3xf) vector r, w Trong r véc tơ [rx,ry,rz] tọa độ khối tâm vật, w vận tốc góc vật có dạng [wx,wy,wz], mi khối lượng, Ii mô men quán tính vật i Ai ma trận quay[8], với: A i  A10 * A12 * A 32 * * A ii 12 (1.2) Các A ij ma trận quay vật i vật j Bằng việc sử dụng tính chất đặc biệt cấu trúc cây, số biểu thức đặc biệt xuất hiện, chúng sử dụng để đơn giản biểu thức động phương trình hệ [1 - 3] Một ví dụ thấy xuất biểu thức “cos(q1)*cos(q2)+/-sin(q1)*sin(q2)” thay biểu thức “cos(q1+q2)” Thế vào phương trình Lagrange dạng nhân tử ta có hệ phương trình chuyển động hệ, phương trình có dạng:    d  T  T     Qi   dt   q  qi qi i   f j  , j  s s  j 1 i f j qi , i  n , (1.3) đó: T động hệ,  năng, Qi lực suy rộng, qi tọa độ suy rộng thứ i, i nhân tử lagrange thứ i, f j phương trình liên kết thứ j Khi thiết lập biểu thức động biểu thức lớn ta tiếp tục tách cấu trúc lại bổ sung phương trình liên kết Thuật giải thiết lập phương trình vi phân chuyển động cấu sau: Bắt đầu j=1 i=1 122 Tính giá trị động vật thứ i Tính vế trái phương trình thứ j biểu thức Lagrangedạng nhân tử Tính vật thứ i Tính phương trình liên kết tính toán vế phải phương trình thứ j Tăng i Tăng j Cộng vào động hệ Ghép vào phương trình thứ j THIẾT LẬP MÔ HÌNH CƠ HỌC TỪ BẢN VẼ AUTOCAD Thông thường, trình tính toán mô cấu đựợc phục vu cho trình thiết kế tối ưu Tuy nhiên phần mềm thiết kế thường riêng biệt với phần mềm tính toán, để tính toán ta phải xây dựng mô hình khác phần mềm mô Trong chương trình BKSIM thuộc tính vật rắn ràng buộc gắn trực tiếp vẽ AutoCAD Các thuộc tính vật bao gồm: khối lượng, mô men quán tính, tên vật, vị trí khối tâm Các thuộc tính ràng buộc như: vị trí liên kết, loại ràng buộc chuyển động thông tin liên kết vật liên quan Với việc sử dụng phần mềm AutoCAD giảm bớt thời gian thiết kế, lưu trữ vẽ dễ dàng, thuận tiện cho việc sửa đổi cuối xây dựng hệ sở liệu tích luỹ theo thời gian Công cụ lập trình AutoCAD sử dụng ObjectARX, môi trường lập trình mà bao gồm thư viện liên kết động(DLL) mà chúng chạy AutoCAD, thao tác thẳng với cấu trúc liệu cốt lõi AutoCAD Các thư viện bao gồm tập hợp công cụ đầy đủ cho người phát triển ứng dụng có khả sử dụng lợi cấu trúc mở AutoCAD, truy nhập thẳng tới cấu trúc liệu vẽ, hệ thống đồ hoạ, phương tiện hình học CAD, mở rộng lớp(class) đối tượng AutoCAD, khả chạy đồng thời tạo lệnh hoạt động lệnh AutoCAD Mô hình sở liệu gắn với đối tượng phần mềm AutoCAD hình vẽ: Các thông tin vật: khối lương, mô men quán Các thuộc tính hình học thiết kế Các thông tin chung vẽ AutoCAD Cơ sở liệu hình học AutoCAD Cơ sở liệu hệ Các thông tin liên kết: vị trí liên kết, 123 Các thông tin khác Trong CAD ta sử dụng công cụ để tính toán tự động thông số học vật việc tính toán khối lượng thực tế, tính toán độ dài khâu, tính toán mô men quán tính Các lệnh cụ thể chương trình sau: Lệnh CMP, lệnh chọn vật để tính toán thể tích, vị trí tọa độ trọng tâm Lệnh: dist, lệnh CAD, cho phép tính toán độ dài khâu Từ lệnh này, ta lấy thuộc tính thực tế hệ làm giá trị đầu vào phục vụ cho trình mô Như với việc gắn trực tiếp thông tin hệ vào vẽ AutoCAD dễ dàng việc thiết lập mô toán Sử dụng chức mạnh AutoCAD việc thiết kế mô hình cho ta hệ giống thực tế Khi tiến hành mô hệ ta lấy trực tiếp đối tượng từ vẽ AutoCAD để mô MÔ ĐUN XỬ LÍ SYMBOLIC Với việc xây dựng hệ phương trình chuyển động hệ dùng phương trình Lagrange loại 2, Lagrange dạng nhân tử việc áp dụng tính toán xử lí symbolic cho ta phương pháp thiết lập hệ phương trình cách dễ dàng thuận lợi Hiện người sử dụng sử dụng phần mềm Mapple để tính toán symbolic, phần mềm xử lí symbolic mạnh, nhiên phần mềm túy toán học phần mềm độc lập, khả tích hợp vào chương trình thống để đóng gói không thực Trong chương trình BKSIM xây dựng mô đun xử lí Symbolic riêng biệt, đóng gói chương trình BKSIM, có khả tối ưu riêng cho toán học Ở đây, phục vụ cho việc xử lí symbolic ta dùng cấu trúc nhị phân để tính toán biểu thức, cấu trúc nhị phân gồm thành phần NODE, lưu trữ cấu trúc liện gọi NODE cây, cấu trúc sau: struct NODE{NODE*: Con trái ; NODE*:Con phải ; int : Kiểu liệu; string: Dữ liệu ; } Khi thao tác với ta sử dụng phương pháp đệ quy Việc lưu trữ biểu thức dạng nhị phân thuận lợi cho việc tính toán xử lí symbolic, thao tác toán học nhân, chia, cộng, trừ thuận tiện tốc độ nhanh ta cần ghép gốc Các thao tác đạo hàm biểu thức thực trực tiếp cách dễ dàng GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG Việc giải hệ phương trình vi phân hệ phần việc không nhỏ Phương trình chuyển động nhận từ phương pháp nói chung hệ phương trình vi phân đại số [3, 124 4] Việc giải hệ phương trình nghiên cứu phương pháp giải lâu tích hợp mô đun riêng biệt chương trình BKSIM Sau ta xem xét cụ thể thuật giải hệ vi phân đại số này, hệ có dạng: f(Y’,Y,t)=0; (1.4) đó: Y = {y1,y2, ,yn} ẩn số cần tìm; Y’ = {y1’,y2’, ,yn’} đạo hàm ẩn số cần tìm; f = {f1,f2, ,fn} phương trình liên kết; t biến thời gian Lưu ý hệ phương trình này, vài phương trình Y’, phương trình đại số phương trình liên kết hệ Ở ta sử dụng Runge_Kutta(R_K) dạng ẩn để giải đưa giá trị Y Y’ nút thời gian khảo sát với việc dùng ma trận A, C, B việc chia khoảng thời gian thành q điểm, tương ứng với phương pháp q điểm A=[ai,j] i,j=1, ,q gọi ma trận hệ số ẩn số B=[bj] j=1,q gọi véc tơ trọng số C=[cj] j=1,q gọi véc tơ hệ số nút ma trận A, B, C phụ thuộc vào phương pháp, q gọi nút thời gian thêm vào nút khảo sát, phụ thuộc vào phương pháp, =2,4 Tại nút t1 tq ta tìm Yi sau: Yi = Yk+ h*aij*Yj’ (1.5) i = qj = q ta có Ta nhận hệ: ti = tk+ci.h (1.6) f(Yi,Y’i,t) = Giải hệ phương trình đại số (nói chung phi tuyến) (1.5) ta nhận Yi’ (i=1 n*q) Tiếp tục tính giá trị Yik+1 tk+1: Yik+1= Yk+h.bj Yj’ (1.7) sau ta lại quay lại (1.6) để tính bước thời gian vượt khỏi khoảng khảo sát Thuật giải sau: k=0 Tính tk=t0+k.h Cho j=1 q Tính tj=tk.cj.h Giải hệ (1.5) tìm Yi’ i=1 n*q Tính Yik+1 theo (1.7) Nếu k