Báo cáo tiểu luận môn học Số học và logic Đồng dư và các định lý đồng dư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC BÁO CÁO TIỂU LUẬN MÔN HỌC: SỐ HỌC VÀ LOGIC ĐỀ TÀI: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐỒNG DƯ Họ tên sinh viên: Đỗ Thị Thu Hiền 1311106 Bùi Thị Yến Duyên 1311046 Trần Thị Ngọc Cẩm 1311026 Lê Thị Hiền Diệu 1311038 Khóa học: 2015-2016 Giảng viên phụ trách: Trần Nam Dũng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-NĂM 2015 I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận Lý thuyết đồng dư xây dựng tảng phép chia vành số nguyên Là nội dung suy luận cách lôgic, chặt chẽ Cơ sở thực tiễn Lý thuyết đồng dư cho ta phương pháp đồng dư, đố động tác có tính chất kỷ thuật giúp bổ sung giải vấn đề chia hết vành số nguyên II NỘI DUNG Đồng dư 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Định nghĩa Cho m ∈ ℤ, m >1 ta nói a b đồng dư theo mơđun m viết a ≡ b (mod m) a b có số dư chia cho m hay nói cách khác a – b ⋮ m Ta có : a ≡ b (mod m)  a – b ⋮ m Ví dụ: 19  (mod 8); -25  (mod 4) Chứng minh: Giả sử chia a b cho n thu thương nguyên phần dư Các phần dư nằm n – 1, nghĩa a  q1n  r1 b  q n  r2 Trong  r1  n   r2  n  a  b mod n Khi dễ dàng thấy a  b mod n r1  r2 Như vậy: a mod n  b mod n 1.1.2 Tính chất đồng dư Tính chất 1: a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) Thì a+c ≡ b+d (mod m) a.c ≡ b.d (mod m) ≡ Chứng minh: + Từ giả thuyết ta có a = mt + b c= d+ ms, suy a+c = b+d + (t+s).m điều có nghĩa a+c ≡ b+d (mod m) + Từ giả thuyết ta có a = mt + b c= d+ ms, suy a.c = b.d + (bs+td+mts) n điều có nghĩa a.c ≡ b.d (mod m) Tính chất 2: a c ≡ b d (a, m) = Thì b ≡ c (mod m) Tính chất 3: Xét ℤ quan hệ ≡ ℤ, ≡ quan hệ tương đương i Phản xạ : a ≡ a (mod m) ii Đối xứng a≡ b => b ≡ a iii Bắc cầu a≡ b, b≡ c => a ≡ c Hệ thặng dư đầy đủ Một họ gồm m đại diện lấy từ m lớp thặng dư gọi hệ thặng dư đầy đủ module m 2.1 Định nghĩa : ∀ , ∈ ℤ, ∃! ,… hệ thặng dư đầy đủ mod m ∈ {1,2, … , }, ≡ (mod m) Ví dụ: {-4, 5, 10, 15} hệ thặng dư đầy đủ theo modul Ví dụ: {0, 1, 2, 3, 4} hệ thặng dư đầy đủ không âm bé modul Ta có nhận xét: Một tập hợp m số (m > 1) đôi không đồng dư theo modul m lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo modul m 2.2 Tiêu chuẩn : hệ thặng dư đầy đủ  ó ℎ ℎầ ấ ℎầ ì ℎơ đồ 2.3 Tính chất Nếu { , +{ + , ,… , } HTDĐĐ module m + ,… , + } hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m với số nguyên b + (a,m)=1 { , ,… , } hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m với số nguyên a nguyên tố Các định lý đồng dư 3.1 Định lý Wilson Với p ∈ Ν ∗ , p>1, p số nguyên tố (p-1) ! +1 ⋮ p (p hợp số (p-1) ! +1 khơng chia hết cho p) Ví dụ: p = 17 ≡ (mod 17) 16 ≡ -1 (mod 17) 2.9 ≡ (mod 17) 3.6 ≡ (mod 17) 4.13 ≡ (mod 17) 5.7 ≡ (mod 17) 8.15 ≡ (mod 17) 10.12 ≡ (mod 17) 11.14 ≡ (mod 17) Ta có 16 ! ≡ (- 1).17  16 ! + ⋮ 17 3.2 Định lý Fermat - Định lý Fermat Cho p số tự nhiên khác a số nguyên không chia hết cho m Khi ta có: ap -  (mod p) - Định lý Fermat Cho p số nguyên tố, a số nguyên bât kỳ Khi ta có: ap -  a (mod p) -Định lý fermat nhỏ: p ∈ ℘ a ∈ℤ  a p –a ⋮ p (a,p) =1 ap-1 ≡ (mod p) Bổ đề : = ! !( ⋮ )! ≤ với 1≤ −1 Ví dụ 1: Tìm 32012 mod Giải: lấy 2012 chia cho 6, ta có: 2012=6.335+2 32012 = 36.335 + = (36)335.32 = Ví dụ 2: Chứng minh a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ≡ (mod 5) a15 + + a55 ≡ (mod 5) Giải: số nguyên tố Þ theo định lý Fermat nhỏ: ≡ ⇒ Ví dụ 3: Chứng minh Giải: Với 1( 11) ⇒ ( ≡ =1 +2 5); = 1,5 ( 5) ≡ ( + ⋯ + 11 5) không chia hết cho 11 = 1,2, … ,10 ℎì ( , 10) = Do theo định lý Fermat nhỏ ≡1( 11) với = 1,2, … ,10 11 ≡0( ≡ 11) Như ≡ + + ⋯+ + ( 11) 10 số ≡ 10 ( 11) ⇒ ℎô ℎ ℎế ℎ 11 3.3 Định lý Euler Cho m số tự nhiên khác a số nguyên tố với m Khi ta có: ( ) ≡ (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 109345 chia cho 14 Giải: Ta có: 109  -3 (mod 14) => 109345  (-3)345 (mod 14) Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1 Hơn nữa: µ(14) = 14.(1  )(1  )  Nên: (-3)6  (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle) => (-3)345  (-3)3 (mod 14) Mặt khác: (-3)3 = -27  (mod 14) Vậy số dư phép chia 109345 chia cho 14 Ví dụ 2: Chứng minh 34 n 1  311 với n số tự nhiên Giải: Ta có: µ(11) = 10; µ(10) = 10(1  )(1  ) = Áp dụng ĐL Eucler ta có: (3; 10) = => 3µ(10)  (mod 10) 34  (mod 10) => 34n +  (mod 10) Đặt 34n + = 10.k + với k  N Khi ta có: 34 n 1   210.k 1  Áp dụng định lý Eucler ta có: (2; 11) = Nên 2µ(11)  (mod 11) 210  (mod 11) => 210.k +3  23 (mod 11) => 210.k +3 +  23 +3 (mod 11) Vậy 34 n 1 34 n 1   (mod 11)  311 Ví dụ 3: Tìm chữ số tận 20092010 Giải: Ta có: 20092010  92010 (mod 100) Áp dụng định lý Eucler ta có: (9; 100) =1 1 µ(100)  (mod 100) Mà µ(100) = 100.(1  )(1  )  40 Nên: Hay: 940  (mod 100) => 92010  910 (mod 100) Mà 910 = 3486784401  (mod 100) 3.4 Định lý Trung hoa số dư Cho n số nguyên dương m1 , m2 , , mn số nguyên dương đôi nguyên tố Khi hệ đồng dư tuyến tính  x  (mod mi )  i  1, n có nghiệm mođun M  m1m2 mn Ứng dụng 4.1 Tìm số dư phép chia Ví dụ1 : Tìm số dư phép chia: 29455 – chia cho Giải: Ta có: 2945  (mod 9) => 29455 –  25 – (mod 9) Mà 25 –  (mod 9) Vậy số dư 29455 – chia cho Ví dụ 2:Tìm số dư phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 Giải: Ta có: 1998  (mod 111) => 1997  -1 (mod 111) 1999  (mod 111) Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000  (mod 111) (19971998 + 19981999 +19992000 )10  210 (mod 111) Mặt khác ta có: 210 = 1024  25 (mod 111) Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư 25 Ví dụ 3: Chứng minh 62n + + 5n + chia hết cho 31 với n số tự nhiên Giải: Ta có: 62  (mod 31) => 62n  5n (mod 31) Mặt khác:  - 52 (mod 31) Nên: 62n +  -5n + (mod 31) Vậy 62n + + 5n + chia hết cho 31 4.2 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – chia hết cho 13 Giải Ta có: 33 = 27  (mod 13) => 3100 = 3.399  3.1 (mod 13) => 3100-  (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13 4.3 Tìm chữ số tận Ví dụ 1: tìm chữ số tận 19 2015 Ta có 19 ≡ 19 (mod 100) 19 ≡ 61 (mod 100) 193 ≡ 21 (mod 100) … 1920 ≡ 01 (mod 100) 192015 =(1920)100 1915 = 1915 (mod 100) Vậy chữ số tận 99 Một số tập 5.1 Tìm số dư phép chia: a) 6635 chia cho 11 b) 171999 chia cho c) 270 + 370 chia cho 13 d) 53999 chia cho 17 5.2 Tìm chữ số tận bên phải số sau hệ thập phân: a) 21999 b) 999 c) 262000 d) 72003 5.3 (IMO 1989) : Chứng minh với số nguyên dương n bất kì, ln tồn n số ngun dương liên tiếp mà khơng có số lũy thừa số nguyên tố 10 5.4 Cho m, n số tự nhiên lớn (m,n) = Chứng minh: mj(n) + nj(m) ≡ (mod mn) 5.5 Chứng minh: 12000 + 22000 + 32000 + + 102000 ≡ -1 (mod 11) 5.6 Cho (a,m) = a, b số tự nhiên cho a º b (mod j(m)) với j(m): hàm Euler Chứng minh: aa º ab (mod m) 5.7 Cho p nguyên tố Chứng minh: [(p!)2 - p2] ⋮ p3 5.8 Cho ∈ ; ≥ Chứng minh n+2 nguyên tố (n!-1) hợp số 5.9 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn (7p−5p)(7q−5q) chia hết cho pq 5.10 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn 2p+2q chia hết cho pq 5.11 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: Với cặp số nguyên a, b thỏa mãn a2b+1 chia hết cho n ta ln có a2+b chia hết cho n 5.12 Cho số nguyên tố lẻ p số nguyên dương a, b, n thỏa mãn (a, p)=1 ap ≡ bp (mod pn+1) Chứng minh rằng: a ≡ b (mod pn) Bài tập định lý số dư Trung hoa 1.Chứng minh tồn số nguyên k cho n k  hợp số với số nguyên dương n Cho hai số nguyên dương p, q nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên k cho ( pq  1) n k  hợp số với số nguyên dương n Cho số nguyên dương n  p1 p2 pk , p1 , p2 , , pk số nguyên tố đơi k khác Tìm số nghiệm phương trình đồng dư x  x  0(mod n) Tìm số nguyên dương n lẻ cho với hệ thặng dư thu gọn mođun n a , a , , a  ta có a a a  (n)  ( n)  1(mod n) Chứng minh với số tự nhiên n, tồn n số tự nhiên liên tiếp cho số số hợp số 11 Chứng minh với số tự nhiên n, tồn n số tự nhiên liên tiếp cho số số khơng phải luỹ thừa (với số mũ nguyên lớn 1) số nguyên tố Chứng minh với số tự nhiên n, tồn cấp số cộng gồm n số hạng cho số hạng luỹ thừa số tự nhiên với số mũ lớn Cho A tập khác rỗng N Chứng minh tồn số nguyên dương n cho nA  {nx | x  A} tập hợp luỹ thừa số tự nhiên với số mũ lớn Tài liệu tham khảo [tl1]: Châu Hoàng Lâm 2015 lý thuyết đồng dư số ứng dụng http://violet.vn/chauhoanglam2012/present/same/entry_id/7634554 [tl2]: Lê Văn Ngọc 2015 lý thuyết đồng dư số ứng dụng http://www.slideshare.net/thuvienso24h/l-thuyt-ng-d-v-ng-dng [tl3]: Đồng dư thức 2015 http://documents.tips/documents/dong-du-thuc.html [tl4] 2015 http://websrv1.ctu.edu.vn/coursewares/supham/sohoc/sohoc_6-2.htm 12