Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 7 thiết kế bộ lọc số

Xử lý số tín hiệu Chương 7: Thiết kế lọc số Các bước thực lọc số  Bộ lọc: hệ thống thực hiệu chỉnh tín hiệu số thành phần tần số  Bộ lọc chọn lọc tần số: cho qua số thành phần tần số tín hiệu loại bỏ tất thành phần lại  bước thiết kế lọc số: Yêu cầu lọc Phụ thuộc vào ứng dụng Thiết kế lọc Thực phần cứng Phụ thuộc vào phần cứng Các bước thực lọc số (tt) Mục đích thiết kế lọc số: Xác định hàm truyền H(z)  Đối với lọc IIR: bz  H ( z)  1  a z M1 i i 0 i M2 i 1 i i →Xác định vector tham số tử số b=[b0,b1,…,bM1] mẫu số a=[1,a1,…,aM2]  Đối với lọc FIR: H ( z )  i 10 bi z i M → Xác định vector b=[b0,b1,…,bM1], đáp ứng xung lọc Các yêu cầu lọc Các yêu cầu lọc ωp: Cạnh dải thông ω s: Cạnh dải chắn δp1, δp2: độ gợn dải thông δs: độ gợn (suy hao) dải chắn Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ  Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ dựa nguyên tắc xấp xỉ đáp ứng xung lọc mong muốn Giả sử ta có lọc có đáp ứng tần số mong muốn:  Đáp ứng xung mong muốn:   H d ( )  n hd (n)e  jn  hd (n)  2    H d ( )e jn d VD: tìm đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng: H ( )  1,   c Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Đáp ứng xung số lọc thông dụng:  Thông thấp: hd (n)  sin(c n) n  Thông cao:  Thông dải:  Chắn dải: sin(c n) hd (n)   (n)  n sin(b n)  sin(a n) hd (n)  n sin(b n)  sin(a n) hd (n)   (n)  n Nhận xét: Các lọc lý tưởng có đáp ứng tần số thay đổi đột ngột dải thông dải chắn → đáp ứng xung dài vô hạn không nhân Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt)   Để xấp xỉ đáp ứng xung lọc lý tưởng này, cách đơn giản xén bớt từ đáp ứng xung lý tưởng Giả sử cần thiết kế lọc bậc M(M chẵn), đáp ứng xung hệ thống xấp xỉ: h(n)  hd (n),   M M - n 2 Hay ta viết cách khác: Với h(n)  hd (n)w(n) M M  1  n w(n)   2  n khác 0 Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt)  Do h(n) sau nhân với hàm cửa sổ không nhân quả, ta cần làm trễ M/2 mẫu để có đáp ứng xung nhân h(n-M/2)=hd(n-M/2)w(n-M/2) Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) VD: Dùng phương pháp cửa số chữ nhật xác định đáp ứng xung nhân lọc thông thấp FIR bậc 10 có tần số cắt ωc=/4 Giải: sin(c n) h ( n)  , 5  n  n  2 2 2 h(n)   ,0, , , , , , , ,0,  6 2 2 2 2 6 10   10 Đáp ứng xung nhân quả:  2 2 2 h(n  5)   ,0, , , , , , , ,0,  10        10    Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt)   Để giảm bớt tượng Gibbs cần thay đổi hình dạng cửa sổ: tránh thay đổi đột ngột cạnh hàm cửa sổ Cửa sổ Bartlett (cửa sổ tam giác)  2n / M w(n)   2  2n / M    0 n M /2 , M even M /2 n M Cửa sổ Hann: w(n)  0.5  0.5 cos(2n / M ),  n  M Cửa sổ Hamming: w(n)  0.54  0.46 cos(2n / M ),  n  M Cửa sổ Blackman: w(n)  0.42  0.5 cos(2n / M )  0.08 cos(4n / M ),  n  M Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Ví dụ: Bộ lọc thông thấp dùng cửa sổ chữ nhật cửa sổ Hamming với chiều dài N=81 Thiết kế lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Thiết kế lọc FIR cửa sổ Kaiser:  Với    nM /2   I        M /   w(n)  , 0nM I ( ) 𝛼: hệ số hình dạng I0(x): hàm Bessel sửa đổi loại bậc Cửa sổ Bessel có tham số giúp bù trừ độ rộng búp (độ rộng khoảng chuyển tiếp) độ cao búp (tăng/giảm tượng Gibbs) qua hệ số hình dạng chiều dài lọc ->linh động thiết kế Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục Đối với lọc IIR phương pháp thiết kế thường bắt đầu thiết kế lọc tương tự, sau dùng phép biến đổi để chuyển thành lọc số     Các phương pháp thiết kế lọc IIR tương tự phát triển Các lọc tương tự thường xác định công thức cụ thể -> đơn giản hoá việc thiết kế Các phương pháp xấp xỉ toán học áp dụng cho lọc số IIR thường phức tạp Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt)   Biến đổi lọc tương tự thành lọc số: H(s) → H(z) Các yêu cầu phép biến đổi: Miền s Miền z s    j       0 Trục tần số Tính ổn định z  re j      r 1 Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt)  Phép biến đổi song tuyến tính:  z 1 s  z 1  Kiểm tra yêu cầu phép biến đổi:  s    j   s    j  e j cho s  j :  Chứng minh j   j z | z | : z  e j  j  e  j   Mối liên hệ Ω ω: s  j   j tan    e  j 2 z Như vậy:   tan   hay   arctan 2 Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt)  Chứng minh     r  z  s    j   s    j Dễ thấy: Nếu σ1 Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Cho tiêu chuẩn thiết kế lọc số sau: 0.89125  H ( )  1,    0.2 H ( )  0.17783, 0.3     a) Thiết kế lọc tương tự Butterworth thoả điều kiện biết: H ( )       c  2N b) Sử dụng phép biến đổi song tuyến tính tìm hàm truyền lọc IIR tương ứng Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt) Nhận xét:   tan   2 ánh xạ trục tần số vô hạn vào vòng tròn đơn vị hữu hạn dẫn đến tần số ánh xạ không tuyến tính -> không áp dụng cho lọc có đáp ứng biên độ hay pha tuyến tính Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt) Bộ lọc cực: b0  b1 z 1 H ( z)   a1 z 1 Hàm truyền chuẩn hoá miền s: H a ( s)   s  Yêu cầu: thiết kế lọc thông thấp với đáp ứng tần số ωc Gc2 Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt) Ta có:  2 H a ()   H a ()  j     Tại c  tan(c / 2) : Gc  2 H a ( c )   G    c c 2 c    Gc Nếu Gc2=1/2 𝛼=Ωc Suy hàm truyền miền z: H ( z )  H a ( s) s 1 z 1  1 z 1  s  Với a    , b   1  1  s 1 z 1 1 z 1  z 1 b  az 1 Thiết kế lọc IIR từ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Thiết kế lọc thông thấp cực với tần số cắt 3dB 0.2 sử dụng phép biến đổi song tuyến tính áp dụng cho lọc tương tự sau: H ( s)   s  Giải:  Ωc =tan(0.1)=0.325  Do |Ha(Ωc)|2=1/2, 𝛼= Ωc 0.325  Hàm truyền miền s: H ( s)  s  0.325  Hàm truyền miền z:  z 1  e  j H ( z )  0.245  H ( )  0.245 1  0.509 z  0.509e  j  Tại ω=0.2, |H(ω)|0.707 Bộ lọc có pha tuyến tính  Người ta chứng minh rẳng lọc có pha tuyến tính đáp ứng xung thoả điều kiện đối xứng phản đối xứng: h(n)  h(M  n)   H ( z)   z  M H ( z 1 )   Đối với lọc FIR: đáp ứng xung lọc chọn lọc tần số hàm cửa sổ sẵn có dạng đối xứng -> pha tuyến tính đạt dễ dàng Đối với lọc IIR: Từ phương trình H(z), cực xuất thành cặp nghịch đảo Nếu lọc có cực nằm vòng tròn đơn vị có cực nằm → không ổn định Ưu/khuyết điểm lọc IIR so với lọc FIR FIR IIR Ưu điểm:  Bậc thấp → chi phí tính toán thấp  Dễ thiết kế Nhược điểm: Nhược điểm:  Chi phí tính toán lớn để  Dễ trở nên bất ổn có đáp ứng biên độ trình lượng tử tham số làm giống lọc FIR cho cực bị đẩy khỏi có bậc lớn vòng tròn đơn vị  Không thể đạt pha tuyến tính toàn khoảng Nyquist Ưu điểm:  Pha tuyến tính  Ổn định (không có cực) [...]... có 2 tham số giúp bù trừ độ rộng búp chính (độ rộng khoảng chuyển tiếp) và độ cao búp chính (tăng/giảm hiện tượng Gibbs) qua hệ số hình dạng và chiều dài bộ lọc ->linh động hơn khi thiết kế 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục Đối với bộ lọc IIR thì các phương pháp thiết kế thường bắt đầu bằng thiết kế bộ lọc tương tự, sau đó dùng các phép biến đổi để chuyển thành bộ lọc số   ... arctan 2 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt)  Chứng minh   0   r  1 z 1  s 1    j  1  s 1    j Dễ thấy: Nếu σ1 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Cho các tiêu chuẩn thiết kế của một bộ lọc số như sau: 0.89125  H ( )  1, 0    0.2 H ( )  0. 177 83, 0.3 ... thành bộ lọc số     Các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR tương tự đã rất phát triển Các bộ lọc tương tự thường được xác định bằng các công thức cụ thể -> đơn giản hoá việc thiết kế Các phương pháp xấp xỉ toán học khi áp dụng cho bộ lọc số IIR thường rất phức tạp 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt)   Biến đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số: H(s) → H(z) Các yêu cầu của phép... xạ không tuyến tính -> không áp dụng được cho bộ lọc có đáp ứng biên độ hay pha tuyến tính 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Bộ lọc 1 cực: b0  b1 z 1 H ( z)  1  a1 z 1 Hàm truyền chuẩn hoá trong miền s: H a ( s)   s  Yêu cầu: thiết kế bộ lọc thông thấp với đáp ứng tần số tại ωc là Gc2 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ta có:  2 H a ()... M ), 0  n  M 3 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) 3 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Ví dụ: Bộ lọc thông thấp dùng cửa sổ chữ nhật và cửa sổ Hamming với cùng chiều dài N=81 3 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt) Thiết kế bộ lọc FIR bằng cửa sổ Kaiser:  Với   2  nM /2   I 0  1       M / 2   w(n)  , 0nM I 0 ( ) 𝛼: hệ số hình dạng I0(x):... ω=0.2, |H(ω)|0 .70 7 5 Bộ lọc có pha tuyến tính  Người ta chứng minh được rẳng bộ lọc có pha tuyến tính nếu đáp ứng xung của nó thoả điều kiện đối xứng hoặc phản đối xứng: h(n)  h(M  n)   H ( z)   z  M H ( z 1 )   Đối với bộ lọc FIR: đáp ứng xung của các bộ lọc chọn lọc tần số và các hàm cửa sổ sẵn có dạng đối xứng -> pha tuyến tính có thể đạt được dễ dàng Đối với bộ lọc IIR: Từ phương... 0.3     a) Thiết kế bộ lọc tương tự Butterworth thoả các điều kiện trên biết: H ( )  2 1   1    c  2N b) Sử dụng phép biến đổi song tuyến tính tìm hàm truyền của bộ lọc IIR tương ứng 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Nhận xét:   tan   2 ánh xạ trục tần số vô hạn vào vòng tròn đơn vị hữu hạn dẫn đến các tần số được ánh xạ không tuyến tính -> không... H a ( s) s 1 z 1  1 z 1  s  Với a  1   , b   1  1  s 1 z 1 1 z 1 1  z 1 b 1  az 1 4 Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp 1 cực với tần số cắt 3dB là 0.2 sử dụng phép biến đổi song tuyến tính áp dụng cho bộ lọc tương tự sau: H ( s)   s  Giải:  Ωc =tan(0.1)=0.325  Do |Ha(Ωc)|2=1/2, 𝛼= Ωc 0.325  Hàm truyền trong... thành cặp nghịch đảo Nếu bộ lọc có 1 cực nằm trong vòng tròn đơn vị thì cũng có 1 cực nằm ngoài → không ổn định 6 Ưu/khuyết điểm của bộ lọc IIR so với bộ lọc FIR FIR IIR Ưu điểm:  Bậc thấp → chi phí tính toán thấp  Dễ thiết kế Nhược điểm: Nhược điểm:  Chi phí tính toán lớn do để  Dễ trở nên bất ổn nếu quá có cùng một đáp ứng biên độ trình lượng tử tham số làm giống nhau thì bộ lọc FIR cho các cực bị... dải thông và dải chắn lài _ Đáp ứng biên độ của bộ lọc kết quả có những gợn trong cả dải thông và dải chắn 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 / 0.6 0 .7 0.8 0.9 1 3 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt)  Hiện tượng Gibbs 1 H ( )  2  H  d ( )W (   )d W ( )  n M / 2 e  jn  M /2 sin ( M  1) / 2 sin( / 2) 3 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ (tt)  Thay đổi