ĐỀ tài mã KHỐI TUYẾN TÍNH

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT LÝ TỰ TRỌNG KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ LỚP 12CĐ-ĐT3 MÔN KỸ THUẬT TRUYỀN SỐ LIỆU ĐỀ TÀI: MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH CÁC THÀNH VIÊN THỰC HIỆN: LÃ VĂN CÔNG NGÔ THANH SANG NGUYỄN VĂN CHUNG Thành Phố Hồ Chí Minh.ngày tháng năm Mục lục I.GIỚI THIỆU CHUNG……………………………Trang II.Cách biểu diễn mã - Ma trận sinh……………… Trang III.Cách mã hóa:……………………………………Trang IV.Cách giải mã…………………………………….Trang V.Mã tuyến tính hệ thống………………………… Trang VI.Ma trận sinh hệ thống ………………………… Trang VII.Phát sai sửa sai…………………………Trang VIII.Ma trận kiểm tra……………………………….Trang IX.Chứng minh…………………………………… Trang 11 X.Khả chống nhiễu tương đương ……………Trang 13 XI.Cách sửa sai…………………………………… Trang 14 XII.Tập giải mã - coset …………………………….Trang 14 XIII.Sơ đồ giải mã………………………………….Trang 15 XIV.Mã tuyến tính Hamming…………………… Trang 16 XV.Ma trận sinh mã tuyến tính Hamming ……Trang 16 I.GIỚI THIỆU CHUNG: TRANG Mã khối tuyến tính xây dựng Dựa kết đại số tuyến tính lớp mã dùng phổ biến việc chống nhiễu 1.ĐỊNH NGHĨA: Mã khối có chiều dài n gồm 2k từ mã gọi mã tuyến tính C (n,k) Nếu 2k từ mã hình thành không gian vectơ k chiều Của không gian vectơ n chiều gồm tất vectơ n chiều gồm tất Các vectơ n thành phần trường GF(2) Mã tuyến tínhC(n, k) có mục đích mã hoá khối tin (hay thông báo) k bit thành từ mã n bit Hay nói cách khác n bit từ mã có chứa k bit thông tin Qui ước viết dấu + thay cho dấu ⊕ dấu + hiểu theo ngữ cảnh II.Cách biểu diễn mã - Ma trận sinh Mã tuyến tính C(n, k) không gian k chiều không gian vectơ n thành phần, ⇒∃ k từ mã độc lập tuyến tính, chẳng hạn (g0, g1, , gk-1)sao cho từ mã C tổ hợp tuyến tính k từ mã (với ai∈ {0, 1} ∀ i = 0, 1, , k-1) w = a0g0 + a1g1 + + ak-1gk-1 k từ mã tạo thành ma trận cấp k × n sau TRANG Với gi = (gi0, gi1, …, gi(n-1)), với i = 0, 1, …, k-1 III.Cách mã hóa: Nếu u = (a0, a1, …, ak-1) thông tin cần mã hoá từ mã w tương ứng với u ta cách lấy u nhân với G hay w = a0g0 + a1g1 + … + ak-1gk-1 -Vì từ mã tương ứng với thông báo sinh G theo cách nên G gọi ma trận sinh mã Cho ma trận sinh mã tuyến tínhC(7, 4) sau Nếu u = (1101) thông tin cần mã hoá từ mã tương ứng w = 1.g0 + 1.g1 + 0.g2 + 1.g3 = (1100101) TRANG Bất kỳ k từ mã độc lập tuyến tính dùng để làm ma trận sinh cho mã -Một mã tuyến tính (hay gọi không gian mã) có nhiều ma trận sinh khác biểu diễn -Mỗi ma trận sinh tương ứng với cách mã hóa khác IV.Cách giải mã Lấy ma trận sinh ví dụ trên.u = (a0, a1, a2, a3) thông báo,w = (b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6) từ mã tương ứng Chúng ta có hệ phương trình sau liên hệ u w Chọn bốn phương trình đơn giản để giải aitheo bj Chẳng hạn phương trình (4), (5), (6), (7) giải TRANG Hệ phương trình gọi hệ phương trình giải mã Có thể có nhiều hệ phương trình giải mã khác cho kết w = 1001011 ⇒ u=? w = 0101110 ⇒ u=? V.Mã tuyến tính hệ thống Một mã tuyến tính C(n, k) gọi mã tuyến tính hệ thống từ mã có hai dạng sau Dạng 1: Từ mã bao gồm phần thông tin k bit trước phần lại (gồm n - k bit) sau (phần gọi phần dư thừa hay phần kiểm tra) Dạng 2: Ngược dạng 1, từ mã bao gồm phần kiểm tra trước phần thông tin sau TRANG VI.Ma trận sinh hệ thống Ví dụ Dùng phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận sinh sau thành ma trận sinh hệ thống Không phải ma trận sinh biến đổi thành ma trận sinh hệ thống TRANG Ví dụ (tt) VII.Phát sai sửa sai Nguyên lý phát sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có phải từ mã hay không, không tổ hợp nhận sai Nguyên lý sửa sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có khoảng cách Hamming gần với từ mã nhất, từ mã phát Nguyên lý gọi nguyên lý khoảng cách Hamming tối thiểu Không gian bù trực giao Cho S không gian k chiều không gian V n chiều GọiSd tập tất vectơ v V cho ∀ u∈ S, u × v = (phép nhân vô hướng hai vectơ).Sd chứng minh không gian V có số chiều n - k Sd gọi không gian bù trực giao S ngược lại TRANG Hệ Mỗi ma trận G kích thước k × n với k hàng độc lập tuyến tính tồn ma trận H kích thước (Tn - k) × n với (nT- k) hàng độc lập tuyến tính cho G × HT = 0, H Tlà ma trận chuyển vị ma trận H Nói cách khác vectơ hàng H trực giao với vectơ hàng G Cách phát sai Nếu v từ mã sinh từ ma trận sinh G có ma trận trực giao tương ứng H v × HT = Ngược lại v × HT = v từ mã VIII.Ma trận kiểm tra Ma trận kiểm tra mã có ma trận sinh GKXN ma trận H có kích thước (n - k) × n cho : G × HT = Syndrome - vectơ sửa sai (corrector) v × HT gọi syndrome hay vectơ sửa sai v kí hiệu làs(v).v từ mã s(v) = TRANG H có kích thước × Gọi h = (a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6) hàng H h trực giao với hàng G nên có hệ bốn phương trình sau Vấn đề tìm vectơ h độc lập tuyến tính nghiệm hệ phương trình Chú ý, hệ phương trình cho phép giải bốn biến theo ba biến lại Chẳng hạn giải a3, a4, a5, a6 theo a0, a1, a2 sau a3 = a0 + a1 a4 = a1 + a2 a5 = a0 + a1 + a2 a6 = a0 + a2 TRANG 10 Cho (a0, a1, a2) giá trị (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (độc lập tuyến tính với nhau), ta xác định (a3, a4, a5, a6) sau (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1) Vậy H Chú ý : Có thể tồn nhiều ma trận kiểm tra khác mã chúng có khả kiểm tra Bổ đề Nếu ma trận sinh hệ thống mã tuyến tính hệ thống có dạng GKXN = [Ikk | Pk(n-k) ] H(n-k )xn = [Pk(n-k) T | I (n-k)(n-k) ] ma trận kiểm tra mã Tương tự ma trận sinh có dạng GKxn = [Pk(n-k) | Ikk ] ma trận kiểm tra có dạng H(n-k)xn = [I(n-k)(n-k) | Pk(n-k) T ] I(n-k)(n-k) ma trận đơn vị kích thước (n-k)×(n-k) , Pk(n-k) T ma trận chuyển vị ma trận Pk(n-k) IX.Chứng minh TRANG 11 Ta chứng minh G × HT = Chứng minh điều ⇔ việc chứng minh gi × hj = ∀ i = 0, …, k-1, j = 0, …, n-k-1 gi = (gi0, …, gi(n-1)) hàng i G hj = (hj0, …, hj(n-1)) hàng j ma trận H Thật Ví dụ Tìm ma trận H cho ma trận sinh sau TRANG 12 X.Khả chống nhiễu tương đương Hai mã tuyến tínhC(n, k) gọi có khả chống nhiễu tương đương chúng có khoảng cách Hamming Bổ đề Nếu hoán vị hai cột ma trận sinh tạo mã có khả chống nhiễu tương đương với mã cũ Nói cách khác việc hoán vị hai cột ma trận sinh không làm thay đổi khả chống nhiễu Bổ đề Khoảng cách Hamming mã tuyến tính trọng số nhỏ khác mã Bổ đề Gọi H ma trận kiểm tra mã tuyến tính, từ mã có trọng số d tồn d cột H có tổng Hệ : Nếu ma trận kiểm tra H mã tuyến tính số cột phụ thuộc tuyến tính nhỏ d khoảng cách Hamming mã d TRANG 13 XI.Cách sửa sai Vectơ lỗi Là vectơ biểu diễn vị trí lỗi từ mã truyền tổ hợp nhận, vị trí lỗi biểu diễn bit 1, lại Nếu từ mã truyền w, vectơ lỗi e vectơ nhận v v=w+e , e=v+w , w=e+v Ví dụ w = 1011011, e = 0010100 ⇒ v = w + e =1001111 w = 0110010, v = 0010011 ⇒ e = w + v =0100001 v = 1011001, e = 0010010 ⇒ w = v + e = 1001011 XII.Tập giải mã - coset Cho S không gian từ mã không gian V, coset phần tử z ∈ V S kí hiệu z + S định nghĩa sau : z + S = {z + w: w∈ S} Bổ đề Tập coset z + S có tính chất sau (1)z∈ z + S (2) Nếu z∈ S z + S = S TRANG 14 (3) Nếu v∈ z + S v + S = z + S (4) Nếu v∉ z + S v + S z + S rời XIII.Sơ đồ giải mã Với vectơ nhận v có tập coset tương ứng v + S Trong tập chọn phần tử có trọng số nhỏ nhất, chẳng hạn z Phần tử thường gọi coset leader Thông báo từ mã truyền w = v + z Bổ đề Các phần tử tập coset có syndrome Các tập coset khác có syndrome khác e = (a1, a2, , an), cột H h1, h2, , hn Nghĩa làs(e) tổng cột vị trí tương ứng với vị trí e Nếu vị trí lỗi sai syndrome vectơ nhận cột số H TRANG 15 Tìm vị trí lỗi sai vectơ nhận sau v = 0010011 ⇒s(v) = ? ⇒e=? ⇒w=? v = 0101101 ⇒s(v) = ? ⇒e=? ⇒w=? XIV.Mã tuyến tính Hamming Mã tuyến tính Hamming mã có ma trận H có tính chất giá trị cột hi i (i = 1, 2, ) Bổ đề Các mã tuyến tính Hamming có khoảng cách Hamming d = Vì phát sai bit sửa sai bit XV.Ma trận sinh mã tuyến tính Hamming Xét mã tuyến tính HammingC(7, 4) có bit thông tin nằm vị trí 3, 5, 6, Hãy xác định ma trận sinh G mã TRANG 16 Gọi w = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) từ mã Chúng ta có hệ phương trình sau dẫn từ công thức w × HT = a4 + a5 + a6 + a7 = a2 + a3 + a6 + a7 = a1 + a3 + a5 + a7 = Từ suy công thức tính bit kiểm tra a1, a2, a4 theo bit thông báo a3, a5, a6, a7 sau A1 = a3 + a5 +a7 ,a2 = a3 + a6 + a7 , a5+ a6 + a7 =a4 Ví dụ Xét mã tuyến tính HammingC(7, 4) có bit thông tin nằm vị trí 1, 2, 3, Hãy xác định ma trận sinh G mã TRANG 17 TRANG 18 [...]... ⇒w=? XIV .Mã tuyến tính Hamming Mã tuyến tính Hamming là mã có ma trận H có tính chất giá trị của cột hi bằng i (i = 1, 2, ) Bổ đề Các mã tuyến tính Hamming đều có khoảng cách Hamming d = 3 Vì vậy có thể phát hiện sai 2 bit và sửa sai 1 bit XV.Ma trận sinh của mã tuyến tính Hamming Xét mã tuyến tính HammingC(7, 4) có các bit thông tin nằm ở các vị trí 3, 5, 6, 7 Hãy xác định ma trận sinh G của bộ mã TRANG... số nhỏ nhất khác 0 của bộ mã Bổ đề Gọi H là ma trận kiểm tra của một mã tuyến tính, nếu một từ mã có trọng số d thì tồn tại d cột của H có tổng bằng 0 Hệ quả : Nếu trong ma trận kiểm tra H của một mã tuyến tính số cột phụ thuộc tuyến tính nhỏ nhất là d thì khoảng cách Hamming của bộ mã đó bằng d TRANG 13 XI.Cách sửa sai Vectơ lỗi Là vectơ biểu diễn các vị trí lỗi giữa từ mã truyền và tổ hợp nhận, mỗi... nhiễu tương đương Hai mã tuyến tínhC(n, k) được gọi là có khả năng chống nhiễu tương đương nếu chúng có cùng khoảng cách Hamming Bổ đề Nếu hoán vị hai cột của một ma trận sinh sẽ tạo ra một bộ mã mới có khả năng chống nhiễu tương đương với bộ mã cũ Nói cách khác việc hoán vị hai cột của ma trận sinh không làm thay đổi khả năng chống nhiễu Bổ đề Khoảng cách Hamming của một mã tuyến tính bằng trọng số nhỏ... lượt các giá trị (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (độc lập tuyến tính với nhau), ta xác định được (a3, a4, a5, a6) lần lượt như sau (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1) Vậy H là Chú ý : Có thể tồn tại nhiều ma trận kiểm tra khác nhau của cùng một bộ mã và chúng đều có khả năng kiểm tra như nhau Bổ đề Nếu ma trận sinh hệ thống của một mã tuyến tính hệ thống có dạng GKXN = [Ikk | Pk(n-k) ] thì H(n-k... Gọi w = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) là một từ mã Chúng ta có hệ phương trình sau được dẫn ra từ công thức w × HT = 0 a4 + a5 + a6 + a7 = 0 a2 + a3 + a6 + a7 = 0 a1 + a3 + a5 + a7 = 0 Từ đây suy ra công thức tính các bit kiểm tra a1, a2, a4 theo các bit thông báo a3, a5, a6, a7 như sau A1 = a3 + a5 +a7 ,a2 = a3 + a6 + a7 , a5+ a6 + a7 =a4 Ví dụ Xét mã tuyến tính HammingC(7, 4) có các bit thông tin nằm... w: w∈ S} Bổ đề Tập coset z + S có các tính chất sau (1)z∈ z + S (2) Nếu z∈ S thì z + S = S TRANG 14 (3) Nếu v∈ z + S thì v + S = z + S (4) Nếu v∉ z + S thì v + S và z + S rời nhau XIII.Sơ đồ giải mã Với mỗi vectơ nhận v chúng ta sẽ có một tập coset tương ứng là v + S Trong tập này chọn phần tử có trọng số nhỏ nhất, chẳng hạn là z Phần tử này thường được gọi là coset leader Thông báo từ mã được truyền... mỗi vị trí lỗi được biểu diễn bằng bit 1, còn lại là 0 Nếu từ mã truyền là w, vectơ lỗi là e và vectơ nhận là v thì v=w+e , e=v+w , w=e+v Ví dụ w = 1011011, e = 0010100 ⇒ v = w + e =1001111 w = 0110010, v = 0010011 ⇒ e = w + v =0100001 v = 1011001, e = 0010010 ⇒ w = v + e = 1001011 XII.Tập giải mã - coset Cho S là một không gian con các từ mã của không gian V, coset của một phần tử z ∈ V đối với S được... đều có khả năng kiểm tra như nhau Bổ đề Nếu ma trận sinh hệ thống của một mã tuyến tính hệ thống có dạng GKXN = [Ikk | Pk(n-k) ] thì H(n-k )xn = [Pk(n-k) T | I (n-k)(n-k) ] là một ma trận kiểm tra của mã Tương tự nếu ma trận sinh có dạng GKxn = [Pk(n-k) | Ikk ] thì ma trận kiểm tra có dạng H(n-k)xn = [I(n-k)(n-k) | Pk(n-k) T ] trong đó I(n-k)(n-k) là ma trận đơn vị kích thước (n-k)×(n-k) , còn Pk(n-k)... ta sẽ có một tập coset tương ứng là v + S Trong tập này chọn phần tử có trọng số nhỏ nhất, chẳng hạn là z Phần tử này thường được gọi là coset leader Thông báo từ mã được truyền chính là w = v + z Bổ đề Các phần tử của một tập coset có cùng một syndrome như nhau Các tập coset khác nhau có các syndrome khác nhau e = (a1, a2, , an), các cột của H lần lượt bằng h1, h2, , hn thì Nghĩa làs(e) bằng tổng... a3, a5, a6, a7 như sau A1 = a3 + a5 +a7 ,a2 = a3 + a6 + a7 , a5+ a6 + a7 =a4 Ví dụ Xét mã tuyến tính HammingC(7, 4) có các bit thông tin nằm ở các vị trí 1, 2, 3, 4 Hãy xác định ma trận sinh G của bộ mã TRANG 17 TRANG 18