Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng đê đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy hiêm...Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sựcó hiệu quảđê giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡlớn trong thực tếmà ta thường gặp, như đếvận chuyển hàng hóa đầy đủnhưng có tong chi phí là nhởnhất đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kếhoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm đê thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất... Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng đê xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳbài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉcần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữnhờviệc lập trình trên máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính một cách dê dàng nhanh chóng và chính xác. Nhưvậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quảkinh tếrất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách. 2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. Trong thực tếta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong sốnhững quyết định quan trọng đê đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủlà một kẻthông minh và nguy hiêm...Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sựcó hiệu quảđê giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡlớn trong thực tếmà ta thường gặp, như đếvận chuyển hàng hóa đầy đủnhưng có tong chi phí là nhởnhất đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kếhoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm đê thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất... Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng đê xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳbài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉcần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữnhờviệc lập trình trên máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính một cách dê dàng nhanh chóng và chính xác. Nhưvậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quảkinh tếrất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách. 2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.
, Bộ CÔNG THƯƠNG ĨHUÍ TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HÒ CHÍ MINH HO CHI UNH UMVBBITY Cf INDLSTSY KHOA KHOA HỌC BẢN Viện Công nghệ Sinh học - Thực phẩm Lớp : 211301202 Bộ MÔN QUY HOẠCH TUYÉN TÍNH TIẺU LUẬN GVHD : TS Võ Văn Tuấn Dũng Nguyễn Trung Nhân 0771637 Mai Hạnh Nguyên 0770613 Huvnh Thành Trung 0771757 Hồ Thị Thanh Hiếu 0771725 Dưong Thị Hà Như 0771496 Cao Thị Ngọc Tuvền 0770834 Mai Nguyễn Thục Hiền 0770770 Vũ Kim Hường 0771102 ■d\ TP HCM, ngày 25 tháng năm 2009 LỜI MỞ ĐẦU Lv chọn đề tài Trong thực tế ta thường hay gặp tình phải lựa chọn số định quan trọng đê đưa phương án chiến lược tốt sản xuất kinh doanh hay trò chơi mà đối thủ kẻ thông minh nguy hiêm Khi ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có phương án tối ưu cần thiết Trong phương pháp đơn hình George Bemanrd Dantzig đưa năm 1947 lúc với việc khai sinh quy hoạch tuyến tính, phương pháp thực có hiệu đê giải toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn thực tế mà ta thường gặp, đế vận chuyển hàng hóa đầy đủ có tong chi phí nhở - toán vận tải Hoặc kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất nguyên liệu sản phẩm đê thu tổng lợi nhuận lớn Kiến thức sau học quy hoạch tuyến tính cần thiết, kiến thức quan trọng đê xây dựng mô hình toán học cho toán phức tạp thực tế, cần xây dựng thuật toán mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính cách dê dàng nhanh chóng xác Như việc học quy hoạch tuyến tính quan trọng, đem lại hiệu kinh tế lớn biết lập mô hình tính toán quy cách Đối tượng nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Quy hoạch tuyến tính lĩnh vực nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu vấn đề quan tâm ràng buộc yêu cầu ,điều kiện kế hoạch đặt ra, hàm phương trình, bất phương trình tiiyến tính Các bước đê nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính điên hình là: ■ Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu Æ ■ Lập mô hình toán học thật xác ■ Xây dựng thuật toán đê giải toán lập trình máy tính ■ Tính toán thử điều chỉnh mô hình cần ■ Áp dụng đê giải toán thực tế CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH A LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng: Tìm Xj, j=l,2, ,n cho: f=Vớjc -»min(max) (1) 7=1 Với hệ ràng buộc: bị, i=l,2, ,m ịy, (2) 7=1 >0 ) có dạng thức (=) (3) gọi ràng buộc dấu (của biến), không âm (>0), không dương ( ứng với toán cực đại) Giải toán QHTT tức tìm phương án tối ưu (nêu có) Hai toán QHTT gọi tương đương với riếu chúng có chung tập hợp phương án tối ưu Mệnh đề: (Quan hệ toán cực đại toán cực tiểu) f(x)—» max XGX íg(x) = ‐f(x) —>• min 0)0 v [xeX (2) (Trong đó: X tập hợp phương án) Tức là: đồi dấu hàm mục tiêu đổi loại hàm mục tiêu ta toán tương đương Vì lí mà nghiên cứu cách giải toán qhtt, người ta xét toán có loại hàm mục tiêu cực tiểu (hay xét toán có loại hàm mục tiêu cực đại) PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYÉN TÍNH BIÉN Bài toán có dạng: tìm x=(xi,x2)t cho f(x)=cix1+c2x2“^ (max) Với hệ ràng buộc: ailx1+ai2x2>bi, i=l,2, ,m Chú ý: - Ràng buộc chung có dạng: a-b - Ràng buộc chung có dạng: a = b tương đương với: a>b -a>-b - Còn ràng buộc biến có thê xem trường hợp riêng ràng buộc chung Như vậy, hệ ràng buộc toán QHTT có biến luôn có thê giả thiết có dạng: a¡iXi+ai2X2>b¡; i=l, , m 2.1 Xác định miền phương án Đưa điểm (xi,x2) lên hệ trục tọa độ vuông góc Ta xác định điểm thỏa mãn phương trình: a¡1x1+ai2x2=b, hình thành nên đường thẳng chia mặt phang tọa độ thành nửa mặt phăng (mp) Một nửa mp bao gồm điêm (xi, X-)) thỏa mãn bất phương trình: a¡1 x1 +a¡2 x2 >bi, nửa bao gồm điêm (X], x2) thỏa mãn bất phương trình: aj|Xi+a¡2X2bị Ta thường lấy điêm đặc biệt (0,0); (0,1); (1,0); thay vào bất phương tình, thỏa mãn nửa mp chứa điểm đặc biệt nửa mp phải tìm; không thỏa mãn nửa mp phải tìm nửa mp không chứa điêm đặc biệt Các điêm thỏa mãn hệ ràng buộc toán điêm thuộc miền giao nửa mp xác định bất phương trình tương ứng, tạo nên hình đa giác lồi có the bị giới nội hay không bị giới nội; miền giao rồng ứng với trường hợp hệ ràng buộc không tương thích Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực tiếp bước sau 2.2 Xác định phưong án tối ưu Một điểm X=(X|,X ) T nằm mp tọa độ cho ta giá trị hàm mục tiêu là: C|X1+C2X2 =f Tập hợp tất điếm có giá trị hàm mục tiêu f hình thành nên đường thẳng vuông góc với véctơ oc với C=(ci,c2)t Đường thẳng gọi đường thẳng mục tiêu có mức f Đặc điểm đường thẳng mục tiêu là: tịnh tiến đường thăng mục tiêu theo hưởng vectơ oc giá trị hàm mục tiêu tăng lên cỏn tịnh tiến theo hưởng ngược với vectơ oc giả trị hàm mục tiêu giảm CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BÁT KỲ VÈ DẠNG CHÍNH TÁC Bài toán qhtt dạng chỉnh tăc toán qhtt cỏ tất ràng buộc chung dạng đăng thức tất biến không âm n Tức toán có dạng: f=^c -Xj -» (max) Với hệ ràng buộc: n ^a.ịXị = bị, i=l,2, ,m ❖ Trường hợp biến có điều kiện < (hay tùy ý) ta thay biến “đối” biến không âm (hay hiệu biến không âm) Ket luận: Mọi toán qhtt đưa dạng tắc việc giải toán qhtt cho tương đương với việc giải toán qhtt dạng tắc tương ứng với nó, theo nghĩa toán dạng tắc có patư từ suy patư toán ban đầu, toán dạng tắc phương án tối ưu toán ban đầu patư Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư toán dạng chỉnh tắc tương úvg với có patư Như ta cần tìm cách giải toán qhtt dạng tắc PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN NGHIỆM BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÉN TÍNH 4.1 Phương pháp khử Gauss-Jordan Xét hệ thống gồm m phương trình tuyến tính, n biến: a x +a \\ \ ì2X2 + •••"*" a\nxn ~ ^1 a2] X, +a22x2 + + aĩnxn=b2 +a„2X2+-+am*X*=bn Dạng bảng: b *1 *2 xv xn a a 10 a ll a12 alv ln ^20 ^21 &22 &2v &2n 3r0 3-rl ar2 arv II ►^ S3 = -3 II X X X X Ta thấy ô có giá trị âm X ma trậntrên.Vậy phương án phương án tối ưu với cước phí thấp : fmin = 30.2 + 5.10 + 10 + 10.3 + 15.3 +15.7 + 10.40 + 20.6 = 8204 Giải toán sau: a Một công ty vận tái biên cản 110 người đê bô trí 10 mảy trưởng, 25 thợ máy 1, 30 thợ máy 45 thợ mảy Phòng tô chức công tỵ tìm 90 người, gồm 25 kỳ sư mảy, 20 trung câp kỹ thuật 45 công nhân.Phòng tô chức đảnh giá khả cán theo công việc bảng sau: Trung cấp 20 Công nhân 45 Vậy cần bô trí cho sử dụng hêt lực người? Ghi chú: Giả thiết đánh giá lực cán theo thang điêm 5, tức qy= 5: cán i có lực hoàn thành xuất sắc công việc j, qjj= 4,3,2,1 tương ứng với mức độ khác nhau, qy=0 cán i hoàn toàn không thê làm công việc j Giải Vì toán max nên thành lập phương án ta ưu tiên phân phối số người vào ô có suất cao Thành lập phương án ban đầu: Do số lượng cán số máy, nên ta thêm lượng người giả 20 người: Hệ số đánh giá lực Công việc TrìnÌK Máy trưởng 10 Máy 25 Máy 45 Máy 30 độ cán N Kỹ sư 25 10 Trung cấp 20 0 30 0 15 0 X 20 R, = II 0 Quy không cước phí ô chọn: X X X 10 0 20 20 Công nhân 45 > 1 II X 0 II > X X II £5 Ki -3 -9 -7 X Ma trận cước phí toán : X X II s3 = -l Co S/ = -5 -1 -1 0 X X X X -5 -4 -1 Vì toán tiến max, nên ô ma trận phải âm Chứng tỏ phương án chưa tối ưu ô suất dương Ta xây dựng phương án Bô sung ô (2;3) vào tập ô chọn E, ta chu trình V : v= {(2;3), (2;2), (1 ;2), (1 ;4), (3;4), (3;3)} 0 X -3 -9 -7 -1 (3)x (2)x 0 (4)x (1)* -1 Ị (6)x (5)x -5 -4 -1 X VL = { (2;3), (1;2), (3;4)} có số người X23=0; Xi2=5; x34=15 vc = { (2;2), (1;4), (3;3) } có số người x22 = 20; X|4=10; x33=30 Các ô không thuộc chu trình : X| 1=10 ; X44 =20 Chọn X j j = { X j j ; (i ; j ) e vc } = { 20;10;30} = 10 Vậy lượng hàng điều chỉnh 10 đơn vị, ô đưa ô (3,5) Hình thành phương án mới: 10 0 15 5 10 10 0 0 20 25 0 0 0 20 Tiếp tục quy không cước phí ô chọn: X X 0 ) ta cộng thêm (hay trừ đi) biến phụ (biến bù) vào vế trái đế cân Biến phụ phải > hệ số tương ứng hàm mục tiêu phải [...]... x2 < 4 2Xị - x2 = 5 X > 0,x2 > 0 Điều kiện: < Giải Dạng chính tắc: thêm 2 biến phụ x3, x4 > 0 Ta c : f(x) = 3X| + x2 min Điều kiện: — X, =3 xì + +x4 -2x] —x2 =5 X,->0,7 = 1,2,3,4 Dạng chuẩn tắc: f(x) = 3X] + X-) - ỳ min X, > 3 ■ X 2 >-4 Điều kiện: < 2x, - X 2 >5 • 2x, + X 2 > -5 Xj >0,j = l,2,3,4 3 Viết các bài toán quì hoạch tuyến tính sau ở dạng chính tắc: a f(x) = 4xI + 3x2 - 2Xị min —X, - x2 +... ưu: A(0,1) Trị tối ưu: fmax=l b f(x) = 5x/ + 4X2 max X, + 2x-, < 8 Điều kiện: < Giải X ị - 2 X 2 < 4 3xj + 2 x 2 < 12 X , > 0,x 2 > 0 Miền ràng buộc: OABC Phương án tối ưu: B (2,3) Trị tối ưu: fmax= 22 c f(x) = 2x, +X2 0 X, > Giải 0,x2 > 0 d f(x) = - 4 X I + 3 X 2 m i n Xị +x2< 6 Điều kiện: < 2Xị + 3X2 > 6 Miền ràng buộc: OAB Phương án tối ưu:... ràng buộc: OAB Phương án tối ưu: B(3/2,3) Trị tối ưu: fmax= 33/2 Xị-X2 0 , x 2 > 0 Miền ràng buộc: ABCD Phương án tối ưu: B (4,2) Trị tối ưu: fmin= -10 Giải 7 Tỉm các phirong án cực biên không suy biến của bài toán qui hoạch tuyến tính với điều kiện ràng buộc sau đây: 1 X, - X, - X, X, + x2 a Điều kiện: < + x3 = 3 X, > 0,x2 > 0,*3 >0 Giải Nhận xét: phương án cực biên của bài toán có nhiều nhất 2... phương trình tuyến tính (bậc nhất) sau: -2x1 + 5x2 0 < 6 3Xị Giải Miền ràng buộc: OAB Phương... max Điều kiện: X, +x2 < 450 X, 0 2 Đưa về dạng chuân tắc và chính tắc các bài toán qui hoạch tuyến tính sau: a X, - 2x2 f(x) - 2x/ - x2 max + x3 < 2 2x, - 2x 2 - x 3 > 3 X, + x2 + x3 = 4 Xj > 0,x 3 > 0,x 2 tùy ý Điều kiện: Giải Dạng chính tắc: thay x2 = x4 - x5 (x4, x5 > 0) và thêm 2 biến phụ x6, x7 > 0 Ta được bài toán: f(x) = 2xr x4+... hàm mục tiêu F phụ thuộc tuyến tính vào M nên các ước lượng của các biến cũng phụ thuộc tuyến tính vào M : f = aQ +/?0M A k = a k + p k M Ợ c = 1,2 ,n + m ) Quy tắc xét dấu và ước lượng Ak như sau : > 0 nếu /?k > 0 ( oc k bất kỳ ) hoặc p h =0, a k > 0 AL > Aj nếu /?t > pj ( al vầ ữj bất kỳ) hoặc Pi = (k = 1,2, , 71 + m ) , 4 tĩị > ơj ạ.j = 1 , 7 , ., n + rri) Trong bảng đơn hình: Tách dòng mục tiêu (... án tối ưu: dừng thuật toán Trái lại, chuyển sang bước 3 Bước 3: (Kiêm tra bài toán không cỏ phương án tối ưu) Nếu 3k: 1 < k < n sao cho zm+lk > 0 và zik < 0 , Vỉ = 1, 2,m Thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu giảm vô hàn trong miền ràng buộc: dừng thuật toán Trái lại chuyên sang bước 4 Bước 4: (Xây dựng phương án cực biên mới) > Chọn vectơ đưa vào cơ s : Chọn s thỏa mãn: zm+1... s thỏa mãn: zm+1 s = max{zm+l k: zrr+l k > o) Đưa vectơ As vào cơ sở > Xác định vectơ loại khỏi cơ s : Æ Tính ớ0 = min Ị ^: vZ»c > 0] = — * Giả sử tên biến cơ sở thứ r là Xi L r Đưa vectơ AiLra khỏi cơ sở r > như sau: Xây dựng phương án cực biên mới: Phương án mới X1 được xác định Phương án x' tương ứng vói cơ sở Ji = ( J0\ {ir} Ư {s}) Và /V) = f o - e c z m+lt5 < /o Tính các hệ số z [ k mới (i = 1,2,... x5 > 0), thêm 2 biến phụ x6, x7 > 0 Ta c : f(x) = 3xi + x4x5-> min 4 X ị - x ì + 2 X 4 - 2 X 5 + xè = 1 5 5 j c , - x ì + 2 X 4 - 2 X 5 - 10 Điều kiện: -3jc, + 2xì - 6 X 4 + 6X5 — x7 = 2 5 Xj >0,7 = (1,3,4,5,6 ,7) 4 Cho bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chỉnh tắc: f(x) = 2xj + x2- x3 + x4 -ỳ max 6 Xị +x2 + 2xì + x4 Xị + x2 + x 4 = 2 Xị - 2X2 +Xì=4 Điều kiện: XJ >0,7 = 1,2,3 a Hãy chỉ rồ ỉ phương án... phương án tối ưu: dừng thuật toán Trái lại, phương pháp sẽ tìm một phương án cực biên mới tốt hơn (giá trị ham mục tiêu nhỏ hơn) mà nó là một đỉnh kề của đỉnh trước đó Trở lại bước kiểm tra tối ưu ❖ Thuật toán đơn hình giải bài tập ( D,f ): Bước 1 : Tìm một phương án cực biên ban đầu Xo với cơ sở {Ảj,j 6 /0} gồm m vectơ độc lập tuyến tính của A Giả sử Xo = ( xj, với Xj > 0 ( j = l, ,m) Ký hiệu: Jo = {j,