TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT LÝ TỰ TRỌNG KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ Bùi Thiên Ái Mạch Minh Huy Huỳnh Tuyết Quan 12CĐ-ĐT1 MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH TP HỒ CHÍ MINH – 2013 Mã khối tuyến tính I/ Giới thiệu : Trong lý thuyết mã hóa, mã tuyến tính mã sửa lỗi tổ hợp tuyến tính mã tự mã tự Mã tuyến tính thường phân loại thành mã khối mã chập, mã Turbo coi thuộc hai thể loại Mã tuyến tính thường có thuật toán mã hóa giải mã hiệu loại mã khác Mã tuyến tính dùng sửa lỗi trước dùng để truyền kí hiệu (chẳng hạn bit) kênh liên lạc cho, có lỗi trình truyền, người nhận phát sửa số lỗi khối nhận Mỗi mã tự mã khối tuyến tính khối kí hiệu mã hoá thành khối lớn khối ban đầu Lượng thông tin thừa khối dùng để phát sửa lỗi trình truyền Độ dài n mã khối tuyến tính số kí hiệu khối Ví dụ, mã Hamming [7,4,3] mã nhị phân tuyến tính biểu diễn thông điệp bit mã tự bit Hai mã tự khác sai khác bit Do đó, mã phát lỗi sai sửa lỗi sai Mã gồm 24=16 mã tự II/ Định nghĩa : Một mã tuyến tính với độ dài n hạng/số chiều k không gian C với số chiều k không gian vectơ trường hữu hạn với q phần tử Mã gọi mã q-phân Nếu q = hay q = 3, mã gọi tương ứng mã nhị phân, mã tam phân Các vectơ C gọi mã tự Kích thước mã số mã tự, qk Trọng lượng mã tự số lượng phần tử khác không khoảng cách hai mã tự khoảng cách Hamming chúng, nghĩa số phần tử khác hai mã tự Khoảng cách d mã trọng lượng nhỏ mã tự khác không, cách tương đương, khoảng cách nhỏ hai mã tự khác Mã tuyến tính độ dài n, số chiều k, khoảng cách d kí hiệu mã [n,k,d] Ghi chú: Ta sử dụng sở thông thường cho tọa độ ứng với kí hiệu truyền "kênh nhiễu" Chỉ sử dụng sở khoảng cách Hamming tương ứng với số lỗi sai trình truyền Qui ước viết dấu + thay cho dấu ⊕ dấu + hiểu theo ngữ cảnh III/ Tính Chất : Vì không gian , toàn mã C (có kích thước lớn) biểu diễn hệ sinh gồm mã tự (gọi sở đại số tuyến tính) Nếu ghép mã tự làm hàng ma trận G ma trận gọi ma trận sinh mã C Khi G có dạng khối ma trận , ma trận đơn vị A , ta nói G nằm dạng chuẩn Ma trận H biểu diễn biến đổi tuyến tính có hạt nhân C gọi ma trận kiểm tra C (còn gọi ma trận kiểm tra tính chẵn lẻ) Nếu C mã với ma trận sinh G dạng chuẩn, G = (Ik | A), H = (−At | In − k) ma trận kiểm tra C Mã sinh H gọi mã đối ngẫu C Tính chất tuyến tính đảm bảo khoảng cách Hamming nhỏ d mã tự c0 mã tự c ≠ c0 độc lập với c0 Điều suy từ tính chất hiệu c − c0 hai mã tự C mã tự (nghĩa phần tử không gian C), tính chất d(c, c0) = d(c − c0, 0) Theo tính chất này, Nói cách khác, để xác định khoảng cách nhỏ mã tự mã tuyến tính, cần xét khoảng cách mã tự khác không mã tự không Mã tự khác trọng lượng nhỏ mã tự gần mã tự không trọng số khoảng cách nhỏ Khoảng cách d mã tuyến tính C số nhỏ cột phụ thuộc tuyến tính ma trận kiểm tra H Chứng minh: Xét c mã tự có trọng số nhỏ Theo định nghĩa, nên cột với phụ thuộc tuyến tính Vì số cột nhỏ phụ thuộc tuyến tính nhỏ d Mặt khác xét tập hợp nhỏ cột phụ thuộc tuyến tính tập hợp số cột Xét vectơ Ta nhận thấy số nhỏ cột phụ thuộc tuyến tính Do ta có cho , Như vậy, ta thu kết cần chứng minh IV/ Cách biểu diễn mã - Ma trận sinh Mã tuyến tính C(n,k) không gian k chiều không gian vectơ n thành phần, ⇒∃ k từ mã độc lập tuyến tính, chẳng hạn (g0, g1, , gk-1) cho từ mã C tổ hợp tuyến tính k từ mã ( với ai∈{0, 1}∀i= 0, 1, , k–1 ) w = a g + a g + + a g 0 1 k–1 k–1 k từ mã tạo thành ma trận cấp k x n sau : Với gi = ( gi0, gi1, , gi(n-1)), với i = 0, 1, , k-1 V/ Cách mã hóa Nếu u = (a0, a1, , ak-1) thông tin cần mã hóa từ mã w tương ứng với u ta cách lấy u nhân với G w = u x G = ( a0,a1, , ak-1) hay w = a g + a g + + a g 0 1 k–1 k–1 Vì từ mã tương ứng với thông báo sinh G theo cách nên G gọi ma trận sinh cảu mã Ví dụ Cho ma trận sinh mã tuyến tính C(7,4) sau Nếu u = ( 1101) thông tin cần mã hóa từ mã tương ứng w= 1.g + 1.g + 0.g + 1.g = (1100101) Bất kỳ k từ mã độc lập tuyến tính dùng để làm ma trận sinh cho mã Một mã tuyến tính ( hay gọi không gian mã) có nhiều ma trận khác biểu diễn Mỗi ma trận sinh tương ứng với mã hóa khác VI/ Cách giải mã Lấy ma trận sinh ví dụ u = ( a0,a1,a2,a3) thông báo, w = ( b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6) từ mã tương ứng Chúng ta có hệ phương trình sau liên hệ u w Chọn bốn phương trình đơn giản để giải theo bj Chẳng han phương trình (4), (5), (6), (7) giải Hệ phương trình gọi hệ phương trình giải mã Có thể có nhiều hệ phương trình giải mã khác cho kết w = 1001011 ⇒ u=? VII/ Mã tuyến tính hệ thống Một mã tuyến tính C(n,k) gọi mã tuyến tính hệ thống từ mã có hai dạng sau Dạng : từ mã bao gồm phần thông tin k bit trước phần lại (gồm n-k bit) sau ( phần gọi phần dư thừa hay phần kiểm tra ) Dạng : Ngược dạng 1, từ mã bao gồm phần kiểm tra trước phần thông tin sau VIII/ Ma trận sinh hệ thống Ví dụ Dùng phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận sinh sau thành ma trận sinh hệ thống Không phải ma trận sinh biến đổi thành ma trận sinh hệ thống