Bài giảng xác suất thống kê

Chapter Seven Random Variables and Discrete  Probability Distributions 352 Random Variable and Probability Distribution • In the background, there is a random experiment. As  we discussed, accompanying this experiment, we  have: • A Sample Space (all possible outcomes of the  experiment) • A probability (assigned to each outcome in the  experiment) • We now add the concept of a random variable and a  probability distribution 353 • Random Variable: A random variable is a function  that assigns a number to each outcome of the  experiment.  • There are two main types of random variables:  • Discrete Random Variables • Continuous Random Variables The distinction basically depends on the range of     values that the random variable can take • A discrete random variable: is one that can take on   a  countable number of values.  • A continuous random variable is one that can take  on an uncountable number of values 354 • Example: Experiment is flipping a coin 10 times, and  let X=# of heads observed in the experiment This is a  discrete random variable, since X can only take on  the values {0,1,2,…,10}, which is finite and therefore  countable • Example: Suppose the experiment is measuring the  time to complete a task, and let X=total time taken.  This is a continuous random variable: Since time is  continuous, the range of values that X can take is a  continuum, and therefore uncountable.  355 • To help understand the distinction between  countable and uncountable sets, keep in mind: a) The set of all integer numbers is countable b) The set of all real numbers is uncountable (a  continuum) 356 Probability Distribution • A probability distribution describes the values  that a random variable can take, along with  the probability associated with each value.  • A probability distribution can be summarized  by a table, a formula or a graph.  • In Chapter 6 we focus on the probability  distribution of a discrete random variable 357 • If X is a discrete random variable, its probability  distribution simply represents the probability that X  can take on each one of its possible values • We use upper case to denote a random variable,  and we use lower case to denote a particular value  that this random variable can take.   • We represent the probability that the random  variable ‘X’ will equal ‘x’ as P(X=x) or, more simply,  P(x).  358 Requirements of a Discrete Probability Distribution • As a result of the conditions required of a probability  (non‐negative, they must add to 1), the probability  distribution P of a discrete random variable must  satisfy: • Where the notation  Denotes the sum of P(x) over all possible values ‘x’ that the random variable X can take 359 • Example 7.1: The Statistical Abstract of the  United States is published annually. It contains a  wide variety of information based on the census  as well as other sources.  • Its goal is to provide information about a variety  of different aspects of the lives of the country’s  residents.  • One of the questions asks households to report  the number of persons living in the household.  The following table summarizes the data.  • Develop the probability distribution of the  random variable defined as the number of  persons per household 360 Number of Persons 7 or more Number of Households (millions) 31.1 38.6 18.8 16.2 7.2 2.7 1.4 Total                                      116.0 361 • Difference between Binomial and Poisson  Random variables: • A binomial random variable is the number of  successes in a given number of trials, whereas  a Poisson random variable is the number of  successes in an interval of time or in a specific  region of space 432 The Poisson Experiment • Like a binomial experiment, a Poisson experiment has four defining characteristic properties: i The number of successes that occur in any  interval is independent of the number of  successes that occur in any other interval ii The probability of a success in an interval is the  same for all equal‐size intervals iii The probability of a success is proportional to  the size of the interval.  iv The probability of more than one success in an  interval approaches 0 as the interval becomes  smaller 433 The Poisson random variable is the number of  successes that occur in a period of time or an  interval of space in a Poisson experiment successes E.g. On average, 96 trucks arrive at a border  crossing every hour time period E.g. The number of typographic errors in a new  textbook edition averages 1.5 per 100 pages successes (?!) interval 434 Poisson Probability Distribution • The probability that a Poisson random variable  assumes a value of x is given by: and e is the natural logarithm base • The expected value and variance of a Poisson  random variable X are given by: 435 • Example 7.12: A statistics instructor has observed  that the number of typographical errors in new  editions of textbooks varies considerably from  book to book. After some analysis he concludes  that the number of errors is Poisson distributed  with a mean of 1.5 per 100 pages.  • The instructor randomly selects 100 pages of a  new book. What is the probability that there are  no typos? 436 • That is, what is P(X=0) given that µ = 1.5? “There is about a 22% chance of finding zero errors” • Suppose that the instructor has just received a copy of a  new statistics book. He notices that there are 400 pages a) What is the probability that there are no typos? b) What is the probability that there are five or fewer  typos? 437 • How to proceed? • First, note that we are now talking about an  interval of 400 pages.  • In the original statement of the problem, we  were told that the expected number of typos  in an interval of 100 pages was µ = 1.5 • Therefore, the expected number of typos in  an interval of 400 pages is 4*1.5 = 6 • Thus, when we deal with an interval of 400  pages, we must use µ = 6 in the Poisson  distribution formula 438 • For a 400 page book, what is the probability  that there are no typos? P(X=0) = “there is a very small chance there are no typos” 439 • For a 400 page book, what is the probability that  there are five or less typos? P(X≤5) = P(0) + P(1) + … + P(5) • This is rather tedious to solve manually. A better  alternative is to refer to Table 2 in Appendix B… k=5,  µ =6, and P(X ≤ k) = .446 “there is about a 45% chance there are or less typos” 440 • Characterize a range of values that will include the actual  number of typos found in a 400 page book with  probability at least 90% • Again, we can use Chebysheff’s Theorem. Since we want  this to be at least 75%, we first need to find the ‘k’ such  that • This yields  • Next, recall that, if X is a Poisson random variable, then  ).  E[X]=µ and V(X)= µ (and therefore,  • If X is the number of typos in 400 pages, then and   441 • Thus, the interval is: [6 – 3.162*2.449 , 6+3.162*2.449] = [‐1.743 , 13.743] • We cannot have a negative number of typos,  so we can truncate the interval at zero • Thus, we can state that “with probability at  least 90%, there will be between 0 and 13  typos in a 400‐page book”.  442 Poisson Distribution in Excel • Excel can compute Pr(X = x) and Pr(X ≤ x) when X  is a Poisson random variable • The command is: POISSON.DIST(x, mean, cumulative) • Where: • x: The number of events (“successes”) • mean : The expected number of successes per  interval • Cumulative : If cumulative is TRUE, then  POISSON.DIST returns the cumulative distribution  function Pr(X ≤ x); if FALSE, it returns the  probability function Pr(X = x) 443 • Example: Exercise 7.117: The number of bank  robberies that occur in a large North American  city is Poisson distributed with a mean of 1.5  per day Find the probabilities of the following  events: a) Three or more bank robberies occur in a day a) Between 10 and 15 robberies occur during a  5‐day period.  444 • This is Pr(X ≥ 3). Again, to use Table 2, we need to  express this in terms of a probability of the type  Pr(X ≤ k). Note that: Pr(X ≥ 3) = 1‐Pr(X ≤ 2) where X is a Poisson random variable with µ=1.5  • This is Pr(10 ≤ X ≤ 15). We have: Pr(10 ≤ X ≤ 15) = Pr(X ≤ 15) ‐ Pr(X ≤ 9) where X is Poisson with µ=1.8*5 = 7.5 445 • Using Table 2 in Appendix B, if µ=1.5, then  Pr(X ≤ 2) = 0.8088 and therefore  Pr(X ≥ 3) = 1‐Pr(X ≤ 2) = 0.1912 • And if µ=7.5, then  Pr(X ≤ 15) = 0.9954 and Pr(X ≤ 9) = 0.7764 and therefore  Pr(10 ≤ X ≤ 15) = Pr(X ≤ 15) ‐ Pr(X ≤ 9) = 0.219 446