Bài giảng xác suất thống kê

• A discrete random variable: is one that can take on a countable number of values.. • A continuous random variable is one that can take on an uncountable number of values... This is a

Random Variables and Discrete 

Probability Distributions

• A probability (assigned to each outcome in the experiment)

• We now add the concept of a random variable and a 

probability distribution.

• A discrete random variable: is one that can take on  

a  countable number of values. 

• A continuous random variable is one that can take 

on an uncountable number of values.

• Example: Experiment is flipping a coin 10 times, and 

let X=# of heads observed in the experiment This is a 

discrete random variable, since X can only take on 

the values {0,1,2,…,10}, which is finite and therefore countable

• Example: Suppose the experiment is measuring the 

time to complete a task, and let X=total time taken. 

This is a continuous random variable: Since time is 

continuous, the range of values that X can take is a continuum, and therefore uncountable. 

• To help understand the distinction between  countable and uncountable sets, keep in mind: a) The set of all integer numbers is countable.

b) The set of all real numbers is uncountable (a 

continuum).

• A probability distribution describes the values  that a random variable can take, along with 

• If X is a discrete random variable, its probability 

distribution simply represents the probability that X 

can take on each one of its possible values.

• We use upper case to denote a random variable, 

and we use lower case to denote a particular value  that this random variable can take.  

• We represent the probability that the random 

variable ‘X’ will equal ‘x’ as P(X=x) or, more simply, 

P(x). 

• As a result of the conditions required of a probability (non‐negative, they must add to 1), the probability distribution P of a discrete random variable must 

• We can developing the probability distribution  using a Probability Tree.

P(S)=.2

P(S C )=.8

P(S)=.2 P(S)=.2 P(S)=.2

P(S)=.2

P(S C )=.8 P(S C )=.8

P(S C )=.8 P(S)=.2

Population/Probability Distribution …

• The discrete probability distribution describes 

a population.

• Since we have populations, we can describe  them by computing various parameters.

• Two of the population parameters we studied 

previously are: population mean and 

population variance.

Random Variable

• Our general definition of the population mean is

• If we know that the random variable X is discrete, we  can re‐express µ in terms of the probability 

distribution of X. We have: 

• This parameter is also called the expected value of X

• The population variance of a discrete random variable  can be expressed similarly. It is the weighted average of 

the squared deviations from the mean:

• As before, there is a “short‐cut” formulation…

• The standard deviation is the same as before:

) 7 ( 7

) 2 ( 2 )

1 ( 1 )

• There are certain properties of the Expected Value  that are useful to know. Let ‘c’ be a constant. Then:

(1) E(c) = c 

In words: The expected value of a constant (c) is just the value of the constant

(2) E(X + c) = E(X) + c, and (3) E(cX) = cE(X)

In words:  We can “pull” a constant out of the 

expected value expression (either as part of a sum 

with a random variable X or as a coefficient of random 

• Example 7.4: Monthly sales have a mean of 

$25,000 and a standard deviation of $4,000. 

• Profits are calculated by multiplying sales by 30% and subtracting fixed costs of $6,000

Find the  mean monthly profit.

1) Describe the problem statement in algebraic terms:

sales have a mean of $25,000  E(Sales) = 25,000

profits are calculated by… 

Profit = .30(Sales) – 6,000

Find the  mean monthly profit.

E(Profit)  =E[.30(Sales) – 6,000]

=E[.30(Sales)] – 6,000 [by rule #2]

=.30E(Sales) – 6,000 [by rule #3]

=.30(25,000) – 6,000 = 1,500 Thus, the mean monthly profit is  $1,500

3 V(cX) = c 2 V(X) 

– In words:  The variance of a random variable and a 

constant coefficient is the coefficient squared times 

the variance of the random variable.

$25,000 and a standard deviation of $4,000. Profits are  calculated by multiplying sales by 30% and subtracting 

profits are calculated by…  Profit = .30(Sales) – 6,000

2) The variance of profit is = V(Profit)

• Example 7.4 (summary): Monthly sales have a 

mean of $25,000 and a standard deviation of 

$4,000. Profits are calculated by multiplying  sales by 30% and subtracting fixed costs of 

• As before, we can calculate the marginal probabilities by 

summing across rows and down columns to determine 

the probabilities of X and Y individually:

• The (population) coefficient of correlation is  calculated in the same way as described 

earlier…

• Example 7.6: Compute the covariance and the 

P(X+Y=2) = P(0,2) + P(1,1) + P(2,0) 

• This is:

Pr(2 ≤ X+Y ≤ 3) = 0.19 + 0.05 = 0.24

.)

YX

Two Random Variables

• Previously, we stated Laws for expected values and variances involving a random variable X and a 

constant ‘c’. 

• We also have laws involving the sum of two random variables:

1 E(X + Y) = E(X) + E(Y)

2 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y)

• If X and Y are independent, COV(X, Y) = 0 and thus (2) becomes:

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

marginal distributions of X and Y before. We have:

• We had obtained E(X+Y) and V(X+Y) by deriving the 

distribution of X+Y. But we can use the Laws of sums of  random variables:

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = .7 + .5 = 1.2 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y)

= .41 + .45 + 2(‐.15) = .56

Combinations of Two Random Variables

• Let ‘c’ and ‘d’ be two constants. We can generalize the  laws of expectation and variance from the sum X+Y to 

a) The expected values of the two stocks are

E(R1) = .08 and E(R2) = .15 The weights are w1 = .25 and w2 = .75. 

Thus,

E(R2) = w1E(R1) + w2E(R2) 

= .25(.08) + .75(.15)

= .1325  (an expected portfolio return of 13.25%)

The standard deviations are σ1 = .12 and σ2 = .22.  Thus, V(Rp) =  w12 σ12 + w22 σ22 + 2w1w2ρσ1σ2

= (.25 2 )(.12 2 ) + (.75 2 )(.22 2 ) + 2(.25)(.75)ρ (.12)(.22)

= .0281 + .0099 ρ

When ρ = 1

V(Rp) = .0281 + .0099(1) = .0380  When ρ = .5

V(Rp) = .0281 + .0099(.5) = .0331  When ρ = 0

V(Rp) = .0281 + .0099(0) = .0281 

• Next, note that the statement of the problem 

did not give us the covariance between R1 

and R2 directly…

• However, it gave us the standard deviations of  R1 and R2, and it asked us to solve the 

• Recall that:

• and, therefore:

• Therefore, in the three correlation scenarios to be  considered, we have:

• We can extend the formulas that describe the mean and variance of the returns of a portfolio of two 

k

1 i j

j i

j i

k

1 i

2 i

2

i 2 w w COV ( R , R ) w

• When k is greater than 2 the calculations can be  tedious and time‐consuming. 

• For example, when k = 3, we need to know the  values of the three weights, three expected 

values, three variances, and three covariances.

• When k = 4, there are four expected values, four  variances and six covariances. [The number of 

covariances required in general is k(k‐1)/2.] 

• “Success” and “Failure” are just labels for a 

binomial experiment, there is no value judgment  implied.

4) The trials are independent  (i.e. the outcome of heads on the first flip  will have no impact on subsequent coin flips).

all conditions were met.

• The binomial random variable counts the number of 

successes in n trials of the binomial experiment. It  can take on values from 0, 1, 2, …, n. Thus, its a 

discrete random variable.

• To calculate the probability associated with each 

value of X, we use combinatorics:

for x=0, 1, 2, …, n

• Thus, we have that the probability of any outcome that yields ‘x’ successes in ‘n’ trials is:         

• In addition, there are a total of  

such outcomes

• Thus, adding up the probabilities of all such outcomes, 

we obtain the binomial probability formula: 

• Example: A quiz consists of 10 multiple‐choice  questions. Each question has five possible 

answers, only one of which is correct. 

• Suppose a student plans to guess the answer to 

each question.

• What is the probability that the student gets no  answers correct?

• What is the probability that the student gets two  answers correct?

• Thus, we have a binomial experiment where

n=10 , and  P(success) = .20

• What is the probability that the student gets 

no answers correct? This is P(X=0):

The student has about an 11% chance of getting no answers correct

using the guessing strategy.

• What is the probability that the student gets 

two answers correct? That is, P(X=2):

Pat has about a 30% chance of getting exactly two answers

correct using the guessing strategy.

• Thus far, we have been using the binomial probability distribution to find probabilities for individual values 

• We already know P(0) = .1074 and P(2) = .3020. Using  the binomial formula to calculate the others:

P(1) = .2684 , P(3) = .2013, and P(4) = .0881

• We have P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 = .9672

• Thus, its about 97% probable that the student will fail  the test using the luck strategy and guessing at 

answers…

• Calculating binomial probabilities by hand is tedious and  error prone. There is an easier way. Refer to  Table 1 in 

• We can compute these probabilities from 

cumulative probabilities, we explain how next…

• If X is discrete, we can obtain P(X=k) from P(X ≤ k) 

and P(X ≤ k‐1) by:

P(X = k) = P(X ≤ k) – P(X ≤ k–1)

• Likewise, for probabilities given as P(X ≥ k), we  have:

P(X ≥ k) = 1 – P(X ≤ k–1)

• Finally, we can compute Pr(k1 ≤ X ≤ k2)  as:

• Example: Problem 7.93.‐ The leading brand of 

dishwasher detergent has a 30% market share. A sample 

of 25 dishwasher detergent customers was taken. What 

is the probability that 10 of fewer customers chose the leading brand?

• This is an example of a binomial random variable:

X=# of customers who bought leading dishwasher brand

• The underlying experiment consists of:

n=25 trials p=Prob(“Success”)=0.30 

• The problem asks for P(X ≤ 10) . Using Table 1  in the 

Appendix, we have P(X ≤ 10)=0.9022

• Example: Problem 7.97.‐ It is believed that 10% of all 

voters in the United States consider themselves as 

“Independent”. A survey asked 25 people to identify themselves as Democrat, Republican or 

• Once again, this is an example of a binomial random variable

X = # of Independent voters in the survey

• The underlying experiment consists of 

n=25 trials p=Prob(“success”)=0.10

• The problem asks:

a) Pr(X = 0)

b) Pr(X ≤ 4)

c) Pr(X ≥ 3)

random variable X lies within ‘k’ standard deviations of  its mean is at least:

• Since we want this to be at least 75%, we first need to  find the ‘k’ such that

• This yields  .

• Next, recall that in the example we have n=25 and p=0.30

• Therefore, using the expectation and variance formulas  for Binomial random variables, we have:

E[X] = n∙p = 7.5 and 

• Therefore, an interval that will include, with at least 75%  probability, the actual number of customers who will 

• Named for Simeon Poisson, the Poisson distribution

is a discrete probability distribution and refers to the 

number of events (a.k.a. successes) within a specific  time period or region of space. 

stretch of highway. (The interval is defined by both  time, 1 day, and space, the particular stretch of 

highway.)

• Difference between Binomial and Poisson 

Random variables:

• A binomial random variable is the number of  successes in a given number of trials, whereas 

a Poisson random variable is the number of 

successes in an interval of time or in a specific  region of space.

time period

• Example 7.12: A statistics instructor has observed 

that the number of typographical errors in new  editions of textbooks varies considerably from 

• How to proceed?

• First, note that we are now talking about an  interval of 400 pages. 

• For a 400 page book, what is the probability that 

there are five or less typos?

P(X≤5) = P(0) + P(1) + … + P(5)

• This is rather tedious to solve manually. A better  alternative is to refer to  Table 2 in Appendix B…

k=5,  µ =6, and P(X ≤ k) = .446

“there is about a 45% chance there are 5 or less typos”

• Characterize a range of values that will include the actual  number of typos found in a 400 page book with 

probability at least 90%.

• Again, we can use Chebysheff’s Theorem. Since we want 

this to be at least 75%, we first need to find the ‘k’ such  that

• This yields  .

• Next, recall that, if X is a Poisson random variable, then 

• If X is the number of typos in 400 pages, then

5‐day period. 

• This is Pr(X ≥ 3). Again, to use Table 2, we need to  express this in terms of a probability of the type  Pr(X ≤ k). Note that: