Chương1.DÃYSỐ31.1Dãysố...........................................31.1.1Địnhnghĩadãysố...............................31.1.2Cáchchodãysố.................................31.1.3Dãysốtăng,giảmvàdãysốbịchặn....................61.2CấpsốcộngCấpsốnhân..............................91.2.1Cấpsốcộng...................................91.2.1.1Địnhnghĩa..............................91.2.1.2Tínhchất...............................91.2.2Cấpsốnhân...................................131.2.2.1Địnhnghĩa..............................131.2.2.2Tínhchất...............................131.2.3ỨngdụngCSCCSNđểtìmCTTQcủadãysố..............16Chương2.GIỚIHẠNDÃYSỐ352.1Địnhnghĩa........................................352.2Cácđịnhlívềgiớihạn.................................362.3Mộtsốphươngpháptìmgiớihạndãysố......................452.3.1Xácđịnhcôngthứctổngquátcủadãysố.................452.3.2SửdụngnguyênlíWeierstrass.......................492.3.3Sửdụngnguyênlíkẹp.............................522.3.4Xâydựngdãyphụ...............................562.3.5Giớihạncủadãyun=f(un)..........................582.3.6Giớihạncủamộttổng.............................632.4Dãysốsinhbởiphươngtrình.............................65
Mục lục Chương DÃY SỐ 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số 1.1.2 Cách cho dãy số 1.1.3 Dãy số tăng, giảm dãy số bị chặn 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.1.1 Định nghĩa 1.2.1.2 Tính chất 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.2.1 Định nghĩa 1.2.2.2 Tính chất 1.2.3 Ứng dụng CSC-CSN để tìm CTTQ dãy số Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Các định lí giới hạn 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 2.3.1 Xác định công thức tổng quát dãy số 2.3.2 Sử dụng nguyên lí Weierstrass 2.3.3 Sử dụng nguyên lí kẹp 2.3.4 Xây dựng dãy phụ 2.3.5 Giới hạn dãy u n = f (u n ) 2.3.6 Giới hạn tổng 2.4 Dãy số sinh phương trình 3 3 9 9 13 13 13 16 35 35 36 45 45 49 52 56 58 63 65 Nguyễn Tất Thu Mục lục Chương DÃY SỐ 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số hữu hạn tập hợp giá trị hàm số u : {1, 2, 3, , m} → R, n → u( n) xếp theo thứ tự tăng dần theo đối số n: u1 , u2 , , u m Ta nói dãy số có m số hạng • u : gọi số hạng đầu • u m : gọi số hạng cuối Định nghĩa 1.2 Dãy số tập hợp giá trị hàm số u : N∗ → R, n → u(n) Được xếp theo thứ tự tăng dần liên đối số tự nhiên n: u(1), u(2), u(3), , u( n), • Ta kí hiệu u( n) u n gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát dãy số, u gọi số hạng đầu dãy số • Ta viết dãy số dạng khai triển u , u , , u n , dạng rút gọn ( u n ) 1.1.2 Cách cho dãy số Người ta thường cho dãy số theo cách sau: • Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số • Cho công thức truy hồi, tức là: * Cho vài số hạng đầu dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước Chương DÃY SỐ Ví dụ 1.1 Cho dãy số (u n ) xác định u n = n+1 với n 2n 1 Viết số hạng dãy Chứng minh u n 1, ∀ n Lời giải 1) Ta có u1 = 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 = 1, u = = , u = = , u = = , u5 = = 16 16 2 2 2) Ta có u n ⇔ 2n n + (1) Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp Với n = ta thấy (1) Giả sử (1) với n = k 1, tức 2k > k + Khi 2k+1 = 2.2k 2( k + 1) = k + + k > k + Do (1) với n = k + Vậy toán chứng minh Ví dụ 1.2 Cho dãy số (u n ) xác định u1 = un + u n+1 = , ∀n Tìm số hạng đầu dãy Chứng minh u n > với ∀n Tìm công thức tổng quát dãy (u n ) Lời giải 1) Ta có u = 2, u = u1 + u2 + u3 + = , u3 = = , u4 = = 2 2) Ta chứng minh u n > quy nạp Hiển nhiên, ta có u1 > Giả sử u n > 1, u n+1 = Do đó, ta có u n > 1, ∀n 3) Ta có u = 2, u = Nguyễn Tất Thu un + 1 + > = 2 21 + 22 + 23 + , u3 = , u = 22 23 1.1 Dãy số Do đó, ta chứng minh un = 2n−1 + 2n−1 2n−1 + , ta có Giả sử u n = 2n−1 2n−1 + +1 n−1 2n + un + = = u n+1 = 2 2n Theo nguyên lí quy nạp, ta suy u n = 2n−1 + 2n−1 Ví dụ 1.3 Chứng minh tồn dãy số nguyên dương (u n ) thỏa: u0 = 1, u1 = u n+2 u n − u2n+1 = Lời giải Ta có: | u − 4| = ⇒ u = ⇒ u = 12, u = 13 u = ⇒ u = 4, u = a) Ta chứng minh tồn dãy số nguyên dương (u n ) thỏa u = 1, u = 2, u = 3, u = u n+2 u n − u2n+1 = 1, ∀ n • Chứng minh tồn tại: Xét dãy (vn ) : (1) v = 1, v = vn+1 = + vn−1 , n = 2, 3, Bằng quy nạp ta chứng minh (vn ) thỏa mãn (1) Thật vậy: vn+2 − v2n+1 = (vn+1 + ) − v2n+1 = vn+1 (vn − vn+1 ) + v2n = v2n − vn−1 vn+1 = • Chứng minh Trước hết ta chứng minh dãy (u n ) thỏa (1) (u n ) dãy tăng Giả sử a n+1 > a n ⇒ a n+1 − a n Từ a n+2 a n − a2n+1 = ta suy a n+2 = a2n+1 ± a2n+1 ± an a n+1 − > a n+1 + > a n+1 Nên theo quy nạp ta có đpcm Giả sử tồn k để vk = u k = u n , ∀n < k Khi đó, ta giả sử vk < u k , suy ra: u k u k−2 = u2k−1 + vk vk−2 = v2k−1 − Nguyễn Tất Thu ⇒ u k−2 ( u k − vk ) = ⇒ u k−2 (vô lí) Chương DÃY SỐ Do tồn dãy nguyên dương (u n ) (đó dãy (vn )) thỏa mãn (1) b) Tương tự ta chứng minh tồn dũy dãy nguyên dương thỏa: u = 1, u = 2, u = 3, u = 4, u n+2 u n − u2n+1 = u = 1, u = 2, u = 5, u = 12, u n+2 u n − u2n+1 = u = 1, u = 2, u = 5, u = 13, u n+2 u n − u2n+1 = Đó dãy tương ứng là: u = 1, u = 2, u n+1 = u n+1 − u n u = 1, u = 2, u n+1 = u n+1 + u n u = 1, u = 2, u n+1 = u n+1 − u n Vậy tồn dãy số nguyên dương thỏa yêu cầu toán 1.1.3 Dãy số tăng, giảm dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số (u n ) • Được gọi dãy tăng u n u n+1 ∀ n ∈ N∗ • Được gọi dãy giảm u n u n+1 ∀ n ∈ N∗ • Được gọi bị chặn tồn số thực m cho u n m , ∀ n = 1, 2, • Được gọi bị chặn tồn số thực M cho u n M , ∀ n = 1, 2, • Được gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Tức tồn số thực N cho | u n | N , ∀ n = 1, 2, • Được gọi dãy tuần hoàn tồn số nguyên dương k cho a n+k = a n với n, số nguyên dương k nhỏ thỏa điều kiện gọi chu kì Khi k = ta gọi dãy Ví dụ 1.4 Cho dãy số (u n ) : u = 1, u = u n+1 = u n + u n−1 , ∀ n Chứng minh dãy ( u n ) dãy tăng bị chặn Lời giải Ta chứng minh dãy (u n ) dãy tăng phương pháp quy nạp * Dễ thấy u1 < u2 < u3 * Giả sử u k−1 < u k , ∀k n, ta chứng minh u n+1 < u n Thật u n+1 = u n + u n−1 > u n−1 + u n−2 = u n Vậy (u n ) dãy tăng Trước hết ta có u n > 0, ∀n Bây ta chứng minh u n < 4, ∀n Nguyễn Tất Thu 1.1 Dãy số Thật vậy, ta có u1 = < Giả sử u k < 4, ∀k n, ta có u n+1 = u n + u n−1 < + = Do đó, ta có < u n < 4, ∀n Vậy dãy (u n ) dãy bị chặn Ví dụ 1.5 Cho dãy (u n ) xác định sau u1 > u n ( u2n + 3) u n+1 = u2n + Tùy thuộc vào giá trị u1 , xét tính tăng, giảm bị chặn dãy (u n ) Lời giải Trước hết ta có u n > 0, ∀n u2 − u n+1 = − n2 Từ ta suy un 3u n + • Nếu u = ⇒ u n = 1, ∀ n Ta xét • Nếu u > ⇒ u n+1 < u n ∀ n ⇒ u n < u , ∀ n • Nếu u < ⇒ u n+1 > u n ∀ n u n+1 − = ( u n − 1)3 u2n + ⇒ u n < 1, ∀ n Vậy • Nếu u = dãy ( u n ) dãy không đổi • Nếu u > dãy ( u n ) dãy giảm bị chặn • Nếu u < dãy ( u n ) dãy tăng bị chặn Ví dụ 1.6 Chứng minh dãy (u n ) dãy tuần hoàn với chu kì un = Lời giải • Giả sử u n = Nguyễn Tất Thu u + u + ( u − u ) (−1)n+1 u + u + ( u − u ) (−1)n+1 Khi u n+1 = u + u − ( u − u ) (−1)n+1 u n+2 = u + u + ( u − u ) (−1)n+3 u + u + ( u − u ) (−1)n+1 = u n = Chương DÃY SỐ Suy dãy (u n ) dãy tuần hoàn chu kỳ • Giả sử dãy ( u n ) tuần hoàn chu kỳ Khi u n+2 = u n ∀ n ∈ N Bằng quy nạp ta chứng minh un = u + u + ( u − u ) (−1)n+1 Vậy toán chứng minh Ví dụ 1.7 Cho dãy số nguyên {a n } truy hồi cấp k ( k số nguyên dương) nghĩa a n+k = f (a n , a n+1 , , a n+k−1 ) ∀ n ∈ N Nếu dãy bị chặn dãy tuần hoàn kể từ lúc Lời giải Giả sử dãy bị chặn số nguyên dương M , nghĩa |a n | Xét k số M (a , a , , a k−1 ) , (a , a , , a k ) , (a , a , , a k+1 ) , Có tối đa (2 M + 1)k khác nên (2 M + 1)k + phải có hai trùng Chẳng hạn (a i , a i+1 , , a i+k−1 ) = a j , a j+1 , , a j+k−1 với i > j Tức : a i+t = a j+t ∀ t = 0, 1, , k − Suy a i+k = f (a i , a i+1 , , a i+k−1 ) = f a j , a j+1 , , a j+k−1 = a j+k Đặt T = i − j ta có a n+ T = a n ∀ n j + k = n0 Vậy dãy (a n ) tuần hoàn với chu kì T = i − j kể từ số hạng n0 = j + k Ví dụ 1.8 Cho dãy số nguyên {a n } thoả mãn a n = c a n+1 + c a n+2 + + c k a n+k , c , c , , c k số nguyên m > số nguyên dương Gọi r n số dư phép chia a n cho m Khi dãy {r n } tuần hoàn Lời giải Theo giả thiết ta có a n ≡ r n ( mod m) Theo tính chất đồng dư thức ta có r n ≡ c r n+1 + c r n+2 + + c k r n+k ( mod m) Nguyễn Tất Thu 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân Theo xác định r n ta có r n m − tức dãy {r n } bị chặn truy hồi tuyến tính cấp k nên theo định lý dãy tuần hoàn kể từ lúc đó, nghĩa ∃ n0 , T cho r n+T = r n , ∀ n n Khi r n0 +T −1 ≡ c r n0 +T + c r n0 +T +1 + + c k r n0 +T +k−1 ≡ c r n0 + c r n0 +1 + + c k r n0 +k−1 ≡ r n0 −1 ( mod m) Suy r n0 +T −1 = r n0 −1 Tương tự, ta có r n0 −2 = r n0 −2+T , , r = r 1+T , r = r T Do dãy {r n } tuần hoàn với chu kì T 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Dãy số (u n ) xác định u1 = a u n+1 = u n + d , n ∈ N ∗ gọi cấp số cộng; d gọi công sai 1.2.1.2 Tính chất Định lí 1.1 Cho cấp số cộng (u n ) với công sai d Khi u n = u + ( n − 1) d Chứng minh Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp Dễ thấy (1) với n = Giả sử u n = u1 + (n − 1)d , u n+1 = u n + d = u + ( n − 1) d + d = u + nd Vậy (1) Định lí 1.2 Cho cấp số cộng (u n ) Khi u k = u k−1 + u k+1 ∀ k = 2, 3, Chứng minh Ta có u k = u k−1 + d , u k+1 = u k + d nên u k = u k+1 − d Suy u k = u k + u k = u k−1 + d + u k+1 − d = u k+1 + u k−1 Nguyễn Tất Thu (1) Chương DÃY SỐ 10 Chú ý Từ định lí ta có: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành CSC a + c = b Định nghĩa 1.5 Cho CSC (u n ), đặt S n = u1 + u2 + + u n Khi S n gọi tổng n số hạng đầu CSC Định lí 1.3 Cho CSC (u n ) có công sai d Khi Sn = n n n( n − 1) ( u + u n ) = (2 u + ( n − 1) d ) = nu + d 2 Ví dụ 1.9 Chứng minh dãy (u n ) cấp số cộng u n = an + b Lời giải • Giả sử (u n ) cấp số cộng, u n = u + ( n − 1) d = dn + u − d = an + b • Giả sử u n = an + b, ta có: u n − u n−1 = an + b − a( n − 1) − b = a Vậy (u n ) CSC với công sai d = a Ví dụ 1.10 Cho a, b, c > lập thành cấp sô cộng.Chứng minh a+ b + b+ c = c+ a Lời giải Gọi d công sai cấp số, suy b − a = c − b = d, c − a = 2d Do đó: a+ b + b+ c = b− a + d = c− a d c−a = d ( c + a) = c+ a Nguyễn Tất Thu c− b d 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 55 Từ (1) suy x3k+1 < x3k + + x03 + k + x03 + k ⇒ x3n < x13 + ( n − 1) + x3n ⇒ Ta có < x13 + n + < x3k + + 1 + k 9k n−1 1 n−1 + k=1 k2 k=1 k n 1 n + k=1 k2 k=1 k (2) n 1 1 + + + < 1+ = 2− < 2 2 n ( n − 1) n k=1 k (3) Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta n k=1 k n n n 1 < < n ⇒ k=1 k k=1 k 2n (4) Từ (1) , (2) , (3) (4) suy x03 x3n x13 +3 < < +3+ n n n 2 + n 9n Chuyển qua giới hạn n → +∞, theo SLT ta lim x3n xn = ⇒ lim = n n 3 Bài toán 2.18 (T9/405 THTT) Cho k ∈ N∗ , α ∈ R Xét dãy số 1k α + 2k α + + n k α (a n ) : a n = n k+1 , ∀ n = 1, 2, Trong [ x] kí hiệu phần nguyên x Tìm lim a n Lời giải Ta có x − < [ x] x nên α 1k + 2k + + n k n k+1 − nk < an α 1k + 2k + + n k n k+1 Lại có 1k + 2k + + n k n k+1 = n i n i=1 n k = n i f n i=1 n với f ( x) = x k Theo định nghĩa tích phân xác định lim 1k + 2k + + n k n k+1 Do theo SLT lim a n = Nguyễn Tất Thu α k+1 i n = lim f = n i=1 n 1 x k dx = f ( x) dx = 0 k+1 Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 56 Bài toán 2.19 Cho dãy số ( xn ) : x0 = −2, xn = − − xn−1 , ∀n yn = + x02 + x12 + x2n , ∀ n Đặt Chứng minh ( yn ) có giới hạn hữu hạn Lời giải Từ phương trình truy hồi dãy suy − xn−1 = − xn ⇒ x2n = xn − xn−1 Do x02 + x12 + + x2n = x02 + x1 − x0 + x2 − x1 + + xn − xn−1 = x02 − x0 = Dễ thấy ( yn ) dãy tăng Áp dụng bất đẳng thức ln (1 + x) < x, ∀ x > 0, ta có ln yn = ln + x02 + x12 + x2n = ln + x02 + ln + x12 + + ln + x2n < x02 + x12 + + x2n = Vậy ( yn ) bị chặn, ( yn ) hội tụ 2.3.4 Xây dựng dãy phụ Bài toán 2.20 Cho a, b ∈ (0; 1) Dãy số (u n ) xác định u = a, u = b, u n+2 = 2013 u4n+1 + 2014 2014 u n , n = 0, 1, Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn tính giới hạn Lời giải Xét (vn ) : v0 = (a, b) , vn+1 = 2013 v + 2014 n 2014 , n Ta chứng minh lim = Ta chứng minh (u2n , u2n+1 ) , ∀n ∈ N qui nạp (*) Thật , (*) n = theo định nghĩa dãy (vn ) Giả sử (u2n , u2n+1 ), ta chứng minh vn+1 ( u 2n+2 ; u 2n+3 ) Ta có: 2013 u42n+1 + 2014 2014 2013 u 2n+3 = u4 + 2014 2n+2 2014 u 2n+2 = u 2n u 2n+1 2013 v + = vn+1 2014 n 2014 2013 2013 vn+1 + > v + 2014 2014 2014 n 2014 vn+1 = vn+1 ( vn+1 > ) Suy vn+1 (u2n+2 , u2n+3 ) Vậy (*) với n ⇒ u2n < 1, u2n+1 < 1, ∀n Mà lim = ⇒ lim u n = Nguyễn Tất Thu 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 57 Bài toán 2.21 Cho dãy số không âm (u n ) thỏa mãn u n+2 1 1 + + + u n+1 + + un n+1 n+2 n+n n+n n + 3n Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Ta có 1 n 1 2n + + + + < < 1, + < n+1 n+2 n+n n+1 n+n n + 3n 2n Suy u n+2 < u n+1 + u n Xét dãy (vn ) thỏa mãn v1 = u , v2 = u , vn+2 = vn+1 + , n Giải PT đặc trưng ta = c n + c2 − n ⇒ lim = Tiếp theo ta chứng minh u n theo qui nạp Giả sử khẳng định đến k + suy vk+2 = vk+1 + vk u k+1 + u k = u k+2 Từ suy lim u n = Bài toán 2.22 Cho dãy (u n ) thỏa mãn u = 1, u = , u n+2 < u2n+1 + u n , n = 1, 2, 4 Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Xét dãy hai (vn ) ( z n ) xác định v1 = 1, v2 = , vn+2 = v2n+1 + , n 4 31 z1 = , z n+1 = z n + z n , n 36 4 Ta chứng minh z n max (v2n , v2n+1 ) , ∀ n ( *) 31 31 = Ta có max (v2 , v3 ) = max , = z1 nên (*) n = 36 36 Giả sử z n max (v2n , v2n+1 ) Ta có 3 v2n+2 = v2n z + z n = z n+1 +1 + v2n 4 n 3 z n+1 + z n < z2n + z n = z n+1 v2n+3 = v2n +2 + v2n+1 4 4 4 Nguyễn Tất Thu Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 58 ( z n+1 < z n ) Vậy z n+1 max (v2n+2 , v2n+3 ) ⇒ < v2n z n , < v2n+1 zn , ∀n Ta chứng minh lim z n = Thật , ( z n+1 − z n ) = z n ( z n − 1) < ⇒ ( z n ) giảm bị chặn nên có giới hạn L=0 hưũ hạn lim z n = L ∈ [0; 1) ⇒ L = L2 + L ⇔ L = 1(L) Từ lim z n = ⇒ lim = Tiếp theo ta chứng minh < u n , ∀n ( 2) Hiển nhiên (2) theo cách định nghĩa dãy (vn ) 3 Giả sử (2) đến n + ⇒ u n+2 < u2n+1 + u n v2 + = vn+2 4 n+1 Theo qui nạp suy (2) với n Từ < u n , ∀n, lim = ⇒ lim u n = Bài toán 2.23 Cho dãy số (u n ) thỏa: u n + u n+1 2u n+2 dãy (u n ) bị chặn Chứng minh dãy (u n ) tồn giới hạn hữu tìm giới hạn Lời giải Xét dãy (vn ) : = max {u n , u n+1 }, ta có dãy (vn ) bị chặn Từ giả thiết ta suy ra: max { u n , u n+1 } u n+2 ⇒ max { u n , u n+1 } max { u n+1 , u n+2 } Do dãy (vn ) dãy số giảm, từ suy tồn lim = l Ta chứng minh: lim u n = l Vì lim = l nên với ε > nhỏ tùy ý, tồn n0 ∈ N∗ cho: |vn − l | < Với k > n0 + ta có: ε ⇔l− ε ε < < l + , ∀ n > n 3 ε vk−1 = max { u k−1 , u k } < l + ε Suy u k−1 < l + (*) Ta xét trường hợp sau: • uk Khi đó: ε ε ε vk < l + ⇒ | u k − l | < 3 3 ε ε l − , suy u k+1 > l − 3 • uk > l − ⇒l− ε < uk uk u k+1 − u k−1 > l − Dẫn tới: l − ε < uk vk < l + ε ε − l+ ε = l − ε < l + ε ⇒ | u k − l | < ε Vậy lim u n = l 2.3.5 Giới hạn dãy u n = f (u n ) Với dãy số (u n ) : u n+1 = f (u n ) ta thường dựa vào tính chất sau Nguyễn Tất Thu 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 59 Định nghĩa 2.5 Cho hàm f : I → R Nếu hàm số f co I , tồn số thực k, < k < cho | f ( x) − f ( y)| k| x − y| ∀ x ∈ I Định lí 2.8 Nếu hàm f : I → R hàm co I Khi đó, dãy (u n ) : u n+1 = f (u n ) hội tụ đến x với x nghiệm phương trình f ( x) = x Từ định lí trên, kết hợp với định lí Lagrang ta có kết sau Định lí 2.9 Cho dãy (u n ) : u n+1 = f (u n ), với f hàm xác định I Nếu | f ( x)| < ∀ x ∈ I dãy (u n ) hội tụ Bài toán 2.24 Dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện < x1 < xn+1 = + xn − x2n , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm lim xn Lời giải Xét hàm số f ( x) = + x − x2 , với x ∈ (1; 2) Ta có f ( x) = − x < ∀ x ∈ (1; 2) ⇒ f ( x) ∈ (1; 2) ∀ x ∈ (1; 2) Từ đó, ta có | f ( x)| < ∀ x ∈ (1; 2) Mà dãy (u n ) : u n+1 = f (u n ) nên dãy (u n ) hội tụ Đặt lim xn = x, xlà nghiệm phương trình x = + x − x2 ⇔ x = Bài toán 2.25 Cho ( xn ) : x1 = 2014, xn+1 = π x ∈ (1; 2) cos xn + cos xn cos xn + Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn Lời giải Xét hàm số f ( x) = Ta có π cos x + cos x cos x π + , x ∈ R có f ( x) = (sin x + sin x + sin x) (sin x + sin x + sin x)2 = (2 sin x cos x + sin x)2 = 4(sin x cos x + cos x sin x)2 sin2 x + cos2 x 25 25 =4 − cos x − 16 4 π ⇒ f ( x) = |sin x + sin x + sin x| π 5π = 0, g =− + 6 + c ( c − c+ c) 2(2 − + 2) > Suy | f ( x)| q < ∀ x ∈ (0; c) Do dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn Vậy c giá trị cần tìm Ngoài để xét tính hội tụ dãy (u n ) ta dựa vào tính đơn điệu hàm số f Cụ thể: Định lí 2.10 Cho hàm f : D → D dãy (u n ) : u n+1 = f (u n ) Khi • Nếu f hàm đồng biến D dãy ( u n ) dãy tăng u > u dãy giảm u1 < u0 • Nếu f hàm nghịch biến D hai dãy ( u 2n ) ( u 2n+1 ) hai dãy đơn điệu ngược chiều Khi đó dãy (u n ) bị chặn tồn lim u2n = x, lim u2n+1 = y với x, y nghiệm hệ x = f ( y) y = f ( x) Dãy (u n ) hội tụ x = y Bài toán 2.27 (Vũng Tàu 2013) Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 2013 x2n + , n ∈ N∗ xn+1 = ( xn − 1) Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn Nguyễn Tất Thu 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 61 Lời giải Trước hết chứng minh xn > 4, ∀n ∈ N∗ Ta có x1 = 2013 > 4, x2 = 1007 + > 4024 Giả sử xn > 4, ta chứng minh x2n + xn+1 > ⇔ > ⇔ x2n − xn + 16 > ⇔ ( xn − 4)2 > ( xn − 1) Điều Từ ta có xn > 4, ∀n ∈ N∗ Xét hàm số f ( x) = x2 + với x > 4, ta có 2( x − 1) f ( x) = x2 − x − 2( x − 1)2 > 0, ∀ x > Mặt khác xn+1 = f ( xn ) x1 > x2 nên suy dãy ( xn ) dãy giảm bị chặn Do đó, dãy ( xn ) tồn giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = x 4, ta có x= x2 + ⇔ x − x − = ⇔ x = ( x − 1) Vậy lim xn = Bài toán 2.28 (VMO 2013)Cho dãy (a n ) xác định a = a n+1 = − an + ∀n 2a n Chứng minh dãy (a n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Xét hàm số f ( x) = − x+2 với x ∈ (1; 2), ta có 2x f ( x) = ( x + 2) ln − > 0, ∀ x ∈ (1; 2) 2x Suy f hàm đồng biến (1; 2) 1< = f (1) < f ( x) < f (2) = ∀ x ∈ (1; 2) Ta có a = ∈ (1; 2) a > a , suy dãy (a n ) dãy tăng a n ∈ (1; 2) ∀n (a n ) hội tụ Đặt lim a n = x, x ∈ [1; 2] x nghiệm phương trình x = 3− Xét hàm số g ( x) = x + x+2 x+2 ⇔ x + x − = x 2 x+2 − 3, x ∈ [1; 2] ta có 2x g ( x) = x + − ( x + 2) ln , x ∈ [1; 2] 2x Hàm số h ( x) = x − x − 1, x ∈ [1; 2] có h ( x) = x ln − > ∈ [1; 2] Nguyễn Tất Thu Nên dãy Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 62 nên h (1) = ⇒ x + h ( x) x + ∀ x ∈ [1; 2] Mà ln < nên 2x + x + > ( x + 2) ln ∀ x ∈ [1; 2] hay g ( x) > ∀ x ∈ [1; 2] Suy phương trình h ( x) = có nghiệm x = [1; 2] Vậy lim a n = Bài toán 2.29 Cho ( xn ) xác định x1 = 1, xn+1 = x2n + xn + x2n + xn + ;n Chứng minh ( xn ) có gới hạn hữu hạn tính giới hạn Lời giải Dễ thấy xn > 0, ∀n, xn xn+1 = + Xét f ( x) = x2n + xn + = 2− ( xn − 1)2 x2n + xn + ⇒ xn ∈ [1; 2], ∀ n x2 + x + ; x ∈ [1; 2], ta có x2 + x + f ( x) = − x2 x2 + x + 0; ∀ x ∈ [1; 2] ( f ( x) = ⇔ x = 1) nên hàm số nghịch biến [1; 2] Ta thấy x1 < x3 nên ( x2n+1 ) tăng bị chặn , ( x2n ) giảm bị chặn Do chúng có giới hạn hữu hạn Giả sử lim x2n = a, lim x2n+1 = b; a, b ∈ [1; 2] ; ta có hệ a = f ( b) b = f ( a) ⇒ (a − b) − 3(ab − 1) a2 + a + b2 + b + =0⇔ a=b 2 a + a + b + b + = (ab − 1) (2) Do a, b ∈ [1; 2] ⇒ (ab − 1) a2 + a + b + b + nên (2) ⇔ a = b = 1( loại) Do ( x2n+1 ) tăng nghiêm ngặt x1 = ⇒ b > 1) Vậy a=b=t⇒t= π t2 + t + ⇔ t − t = t + t+1 Từ tìm lim xn = cos Bài toán 2.30 (Bắc Ninh 2013) Cho dãy số (u n ) xác định u1 = 1; u n+1 = n Chứng minh dãy số ( xn ) giới hạn hữu hạn Nguyễn Tất Thu + 2, un un 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Lời giải Xét hàm số f ( x) = 63 + , x > Ta có u n+1 = f ( u n ) với u = có x x f ( x) = − 2 − < 0, ∀ x > x2 x Mặt khác u2 = + 3, u3 = −8 + nên u3 < u1 < u2 ⇒ u4 = f (u3 ) > f (u1 ) = u2 u5 = f (u4 ) < f (u2 ) = u3 Bằng quy nạp ta chứng minh dãy {u2n } tăng {u2n+1 } dãy giảm với n Do = u1 > u3 > u5 > + = u2 < u4 < u6 < Giả sử dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn lim u n = x Suy lim u2n = lim u2n+1 = x Theo đánh giá ta có lim u 2n = x < lim u 2n+1 = x > + (vô lí) Vậy dãy (u n ) giới hạn hữu hạn 2.3.6 Giới hạn tổng Bài toán 2.31 Cho dãy số (u n ) xác định sau u1 = u n+1 = Đặt = u n ( u n + 1)( u n + 2)( u n + 3) + 1; n = 1, 2, n Tìm lim i =1 u i + Lời giải Ta có u n+1 = = ( u2n + u n )( u2n + u n + 2) + ( u2n + u n + 1) = u2n + u n + Suy u n+1 + = ( u n + 1)( u n + 2) ⇒ u n+1 + = 1 − un + un + Suy 1 = − u n + u n + u n+1 + Do đó, suy n = i =1 1 1 1 − = − = − u i + u i+1 + u + u n+1 + u n+1 + Mặt khác, từ u n+1 = u2n + 3u n + ta suy u n+1 > 3n Nên lim Vậy lim = Nguyễn Tất Thu u n+1 + = Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 64 Bài toán 2.32 Cho ( xn ) xác định x1 = 5, xn+1 = x2n − 2, ∀n Tính 1 + + + x1 x1 x2 x1 x2 xn A = lim Lời giải Ta có dãy ( xn ) dãy tăng không bị chặn nên lim xn = +∞ Mặt khác: x2n+1 − = x2n x2n − = x2n x12 x12 − = 21 x2n x12 xn+1 ⇒ x1 x2 xn = 21 + Suy lim ( x1 x2 xn )2 xn+1 = x1 x2 xn 21 Lại có x2 − xk+1 xk xk+1 = k = − x1 x2 xk x1 x2 xk x1 x2 xk−1 x1 x2 xk 1 xn+1 + + + = x1 − ⇒ x1 x1 x2 x1 x2 xn x1 x2 xn Do lim 1 − 21 + + + = x1 x1 x2 x1 x2 xn Bài toán 2.33 (VMO 2009) Cho dãy ( xn ) : x1 = xn = 2 x2n−1 + xn−1 + xn−1 , ∀ n Chứng minh dãy ( yn ) xác định yn = n i =1 x2i có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Ta có xn > ∀n nên xn − xn−1 = x2n−1 + xn−1 − xn−1 = x2n−1 + xn−1 x2n−1 + xn−1 + xn−1 > Nên dãy ( xn ) dãy tăng Giả sử dãy ( xn ) bị chặn trên, suy tồn lim xn = x > Ta có phương trình x = x2 + x + x ⇔ x = (vô lí) Do vậy, ta có lim xn = +∞ Từ công thức truy hồi, ta có (2 xn − xn−1 )2 = x2n−1 + xn−1 ⇔ x2n = ( xn + 1) xn−1 Dẫn tới xn−1 = xn + x2n = x2n + 1 1 ⇒ = − ∀n xn xn xn−1 xn Suy yn = + x1 1 1 1 − + − + + − = 6− x1 x2 x2 x3 xn−1 xn xn Mà lim xn = +∞ ⇒ lim Vậy lim yn = Nguyễn Tất Thu = xn 2.4 Dãy số sinh phương trình 2.4 65 Dãy số sinh phương trình Ví dụ 2.15 Ký hiệu xn nghiệm phương trình: 1 + + + =0 x x−1 x−n thuộc khoảng (0, 1) Chứng minh dãy xn hội tụ Hãy tìm giới hạn Lời giải Rõ ràng xn xác định cách nhất, < xn < Ta có f n+1 ( xn ) = f n ( xn ) + 1 = < 0, xn − n − xn − n − f n+1 0+ > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0, xn ) có nghiệm f n+1 ( x) Nghiệm xn+1 Như ta chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số xn giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: 1+ 1 + + + > ln ( n) n (Có thể chứng minh dễ dàng cách sử dụng đánh giá ln + lim xn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có xn Do lim + nên tồn N cho với n a với n 1 + + = +∞ n N ta có 1+ Khi với n 1 < ) Thật vậy, giả sử n n 1 + + > n a N ta có : 0= 1 1 1 1 + + + < + + + + < − = xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = Ví dụ 2.16 ( VMO-2007) Cho số thực a > Đặt f n ( x) = a10 x n+10 + x n + + x2 + x + với n = 1, 2, Chứng minh với n, phương trình f n ( x) = a có Nguyễn Tất Thu Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 66 nghiệm xn ∈ (0; +∞) dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → ∞ Lời giải Đặt g n ( x) = f n ( x) − a, n = 1, 2, g n ( x) liên tục tăng [0; +∞) g n (0) = − a < 0, g n (1) = a10 + n + − a > nên g n ( x) = có nghiệm (0; +∞) Ta có gn − 1 = a10 − a a a = a 1− a 1− 1− n+10 n+1 = a 1− n−1 + a n+1 a a9 − a −a −1 (a − 1)9 − > ⇒ xn < − a Mặt khác g n+1 ( xn ) = xn g n ( xn ) + + axn − a = + axn − a < ( xn < − ) a Mà g n+1 ( x) hàm tăng g n+1 ( xn ) < = g n+1 ( xn+1 ) ⇒ xn < xn+1 Vậy dãy ( xn ) tăng bị chặn nên có giới hạn Chú ý 13 Có thể tính lim xn = − 1− sử dụng đánh giá a 1 − a (a − 1)9 − 1 − a a n+1 < xn < − a Hoặc sử dụng định lí Lagrange Ví dụ 2.17 (Bến Tre 2013) Cho phương trình: x2n+1 = x + (1) (với n ∈ N∗) Chứng minh với giá trị nguyên dương n, phương trình (1) có nghiệm dương Xét dãy số ( xn ) xác định sau xn nghiệm dương của: x2n+1 = x + Tính lim xn n→∞ Lời giải Phương trình tương đương với x( x2n − 1) = Từ suy x < nghiệm phương trình Đặt f ( x) = x2n+1 − x − Ta có f ( x) = (2 n + 1) x2n − > với x > Nguyễn Tất Thu 2.4 Dãy số sinh phương trình 67 Lại có f (1) = −1 < nên phương trình có nghiệm lớn Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có xn = n+1 xn + n + xn + ⇔ xn 2n + 2n + 1 = 1+ ⇒1 2n 2n xn 1+ 2n Theo nguyên lí kẹp ta có limn→+∞ xn = Ví dụ 2.18 (Ninh Bình 2013) Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương) x + x2 + x3 + + nx n − = Chứng minh với số nguyên dương n phương trình có nghiệm dương nhất, kí hiệu nghiệm xn Chứng minh lim xn = n→∞ Lời giải 1) Đặt f n ( x) = x + x2 + x3 + + nx n − liên tục toàn trục số Ta có f ( x) = + x + x2 + + n2 x n−1 > 0∀ x ∈ (0; +∞) Ta suy f ( x) đồng biến (0; +∞) Mặt khác f ( x) liên tục (0; +∞) f (0) = −3 < 0, f (1) = + + + + n > 4 Từ ta suy f (0) f (1) < Từ điều kiện ta suy tồn xn ∈ (0; +∞) cho f n ( x) = hay nói cách khác f n ( x) có nghiệm dương xn với n 2) Ta dễ thấy xn dãy giảm bị chặn Thật xn + x2n + + nxnn = Do xn nguyên dương < nên n → +∞ xn giảm Vậy xn tồn giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = L (0 L < 1) ⇒ lim xnn = Từ công thức truy hồi ta có: xn + x2n + + nxnn = xn ( xn > 0) 3 ⇒ xn + x2n + + xnn − nxnn+1 = − xn 4 xn (1 − xnn ) n 3 ⇒ − n+1 = − xn (a > 1, x n+1 = n+1 ) − xn 4 a a ⇒ x2n + x3n + + nxnn+1 = Nguyễn Tất Thu Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ 68 Vì với a > 1, n ∈ N lim n = nên ta có an L = (1 − L) ⇒ L = (0 1−L L < 1) Vậy lim xn = Ví dụ 2.19 Cho n > số nguyên dương Chứng minh phương trình x n = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh lim xn = tìm lim n( xn − 1) Lời giải Rõ ràng xn > ∀n Đặt f n ( x) = xn x1, f n+1 (1) = −1 < f n+1 ( xn ) = xnn+1 xn > xnn xn = f n ( xn ) = Từ ta suy < xn+1 < xn Suy dãy tồn lim xn = a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn a ∀n ta tìm n đủ lớn cho: xnn a n > xn + < 3, mâu thuẫn ví f n ( xn ) = Để giải phần cuối toán, ta đặt xn = + yn với lim yn = Thay vào phương trình f n ( xn ) = 0, ta (1 + yn )n = + yn Lấy logarith hai vế, ta n ln (1 + yn ) = ln (2 + yn ) Từ suy : lim n ln (1 + yn ) = ln Nhưng lim ln (1 + yn ) = 1, yn nên từ ta suy lim (n yn ) = ln 2, tức : lim n( xn − 1) = ln Ví dụ 2.20 (VMO 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình 1 1 + + + = x − 4x − n x−1 có nghiệm xn > Chứng minh lim xn = Nguyễn Tất Thu Lời giải Đặt f n ( x) = 1 1 + + + − x − 4x − n x−1 gọi xn > nghiệm phương trình f n ( x) = Ta có 1 1 − + + + − 16 − 4n − 1 1 + + + − = 1.3 3.5 (2 n − 1)(2 n + 1) 1 1 1 1 = − + − + + − − =− 3 2n − 2n 4n f n (4) = Áp dụng định lý Lagrange, ta có : = | f n ( xn )– f (4)| = | f ( c)|| xn − 4| với c ∈ ( xn , 4) Nhưng 4n | f n ( c)| = Nên từ | xn –4| < ( c − 1) , suy lim xn = 4n + + > (4 c − 1) [...]... của dãy số Chúng ta đã biết công thức xác định công thức tổng quát ( CTTQ) của một cấp số cộng (CSC) khi biết số hạng đầu với công sai d và một cấp số nhân (CSN) khi biết số hạng đầu với công bội q Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày với các bạn một số cách xác định CTTQ của một số dãy số có công thức truy hồi dạng đặc biệt Phương pháp giải quyết là chúng ta đưa vào một số dãy phụ để chuyển dãy. .. p+ r a ⇒ b p b = c Do p + t + r = 0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm Giải sử r > 0, t < 0 Đặt b = q r ⇒ b = a.q r kết hợp với (*) ta có a a a.q r Nguyễn Tất Thu p = a.q r c r ⇒ c = a.q r+ p r (∗) 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 15 Vậy ba số a, b, c là ba số hạng của cấp số nhân với a là số hạng đầu, b là số hạng thứ r + 1; c là số hạng thứ r + p + 1 Ví dụ 1.18 Chứng minh rằng nếu ba cạnh... hoặc một CSN hoặc những dãy số quen thuộc đã biết Ví dụ 1.21 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác định bởi u 1 = 1, u n = u n−1 − 2, ∀ n 2 Lời giải Ta thấy dãy (u n ) là một CSC có công sai d = −2 Nên ta có: u n = 1 − 2( n − 1) = −2 n + 3 Ví dụ 1.22 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác định bởi u 1 = 3, u n = 2 u n−1 ∀ n 2 Lời giải Ta thấy dãy (u n ) là một CSN có... = 3.2n−1 Ví dụ 1.23 Xác định số hạng tổng quát của dãy (u n ) được xác định bởi: u 1 = −2, u n = 3 u n−1 − 1 ∀ n Nguyễn Tất Thu 2 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 17 Lời giải Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (u n ) không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (u n ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số −1 ở vế trái Ta tìm cách làm mất −1 đi và chuyển dãy số về CSN Để thực hiện ý đồ này... 2014) Cho 2 k số thực a 1 , a 2 , , a k , b1 , b2 , , b k Xác định dãy số ( X n ) như sau k Xn = [a i n + b i ], n = 1, 2, i =1 k Chứng minh rằng nếu ( X n ) là một cấp số cộng thì a i là số nguyên i =1 Nguyễn Tất Thu 1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 13 Lời giải Đặt k A= k ak, B = i =1 bk i =1 Ta có ai n + bi − 1 [a i n + b i ] < a i n + b i Suy ra An + B − k X n < An + B Giả sử { X n } là cấp số cộng với... | < Cho n tiến ra vô cùng, ta có | A − d | = 0 ⇒ A = d Mặt khác { X n } là dãy số nguyên nên A = d = X n+1 − X n là số nguyên (đpcm) 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.6 Dãy số (u n ) được xác định bởi u1 = a u n+1 = u n q , n ∈ N∗ gọi là cấp số nhân; q gọi là công bội 1.2.2.2 Tính chất Định lí 1.4 Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q Khi đó u n = u 1 q n−1 (2) Chứng minh Ta chứng...1.2 Cấp số cộng - Cấp số nhân 11 Ví dụ 1.11 Chứng minh ba số a, b, c > 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số a2 + ab + b2 ; c2 + ca + a2 ; b2 + bc + c2 cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Lời giải Ta có a2 + ab + b2 ; c2 + ca + a2 ; b2 + bc + c2 lập thành CSC khi và chỉ khi a2... dường vô cực, kí hiệu lim u n = +∞ nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho u n > M với mọi n > n0 Định nghĩa 2.3 Dãy số (u n ) được gọi là có giới hạn dần về âm vô cực, kí hiệu lim u n = −∞, nếu lim(−u n ) = +∞ Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng 1 lim n2 + 1 = +∞ n 2 lim 35 2−n n = −∞ Chương 2 GIỚI HẠN DÃY SỐ 36 Lời giải 1) Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có: M + M2 −... tổng quát sau: Dạng 1: Dãy số (u n ) : u1 = x0 , u n = au n−1 + b, ∀n 2 ( a, b = 0 là các hằng số) có CTTQ là: u 1 + ( n − 1) b khi a = 1 un = u 1 a n−1 + b a −1 khi a = 1 a−1 n−1 Ví dụ 1.24 Xác định CTTQ của dãy (u n ) được xác định bởi : u 1 = 2; u n+1 = 2 u n + 3 n + 2 Lời giải Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả trên được vì hệ số tự do ở đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc... công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n) thỏa: ng( n) − ( n − 1) g( n − 1) = f ( n) ta có được dãy (vn ) là CSN với công bội q = 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (vn ) suy ra ta có CTTQ của dãy (u n ) • Nếu a = 1, ta đặt u n = vn + h( n) với h( n) là một đa thức theo n bậc k Thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n) thỏa: h( n) − ah( n − 1) = f ( n) ta có được dãy (vn ) là CSN với công