ĐỀ THI OLYMPIC SINH VIÊN TOÁN TOÀN QUỐC
MÔN ĐẠI SỐ NĂM 2007 Bài 1:
Cho A=( )aij là ma trận vuông cấp n có các tính chất sau
2007, {4, 20}, , , 1, ,
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ax=0
Bài 2:
Giả sử A B là các ma trận vuông cấp (, n n≥2) thỏa mãn điều kiện
AB aA+ +bB=0 vớia b, ∈R ab, ≠0.Chứng minh rằng AB=BA
Bài 3:
Biết rằng ma trận A cấp n có dạng A=( )aij trong đó aij= +i j, i, j 1, , n=
Tính hạng của ma trận A
Bài 4:
Tìm tất cả các đa thức P x với hệ số thực sao cho ( ) 1 ( ) 1( ( 1) ( 1))
2
Bài 5:
Cho ma trận
1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0
2
0 2
A
−
−
Tìm tất cả các ma trận vuông X cấp 4 sao cho AX=XA
Bài 6:
Giả sử A
d
a b
c
là ma trận vuông cấp 2 khả nghịch.Chứng minh rằng nếu B là ma trận
vuông cấp 2 khả nghịch thì ma trận D cấp 4 được xác định bởi hệ thức
aA bB
D
cA dB
cũng khả nghịch