Đề thi học sinh giỏi toán Nam ĐỊnh từ 2000-2005

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2000 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 11 Năm học 2000 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (5 điểm). Cho hàm số Giải các phương trình sau: 1) 2) Câu II (5 điểm) Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn: Tìm các góc của tam giác đó. Câu III (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = 1. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H. 1) Chứng minh DEFH là hình chữ nhật. 2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất. Câu IV (3 điểm). a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: -------------------------------------------------------- Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2001 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 11 Năm học 2001 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (6 điểm). 1) Cho biểu thức: Chứng minh 2) Giải phương trình: Câu II (5 điểm) Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh: Câu III (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a và BC = b. Các đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt tại C và D.Trên các đường thẳng và ta lấy lần lượt các điểm M, N bất kỳ sao cho 1) Chứng minh các điểm M, N ở 2 phía khác nhau đối với mặt phẳng (ABCD). 2) Chứng minh tứ diện ABMN có 4 mặt là các tam giác vuông. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng Câu IV (2 điểm). Cho hàm số . Chứng minh phương trình: không có nghiệm. Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2002 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 11 Năm học 2002 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (5 điểm). 1) Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có: 2) Giải phương trình: Câu II (5 điểm) Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn: Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam giác ABC đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB. Câu III (7 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố định trên đường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong đường tròng (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. Nối S với A, B, C, D. 1) Chứng minh 2) Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S. 3) Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Câu IV (3 điểm). Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho: và . Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2004 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 11 Năm học 2004 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (6 điểm). Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình khi . 2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm Câu II (4 điểm) Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a. 1) Nếu biết Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo a. 2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD. Câu III (7 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. 1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính để O cách đều tất cả các mặt của SABC. 2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a. Câu IV (3 điểm). Cho phương trình: Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 . Giả sử x 1 < x 2 < x 3 , chứng minh rằng: và Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2005 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 11 Năm học 2005 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (6 điểm). Cho phương trình sau: với m là tham số. 1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Câu II (3 điểm) Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC. 1) Tính độ dài đoạn OG theo R. 2) Biêt R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số sau dấu phảy). Câu III (3 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn: Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC. Câu IV (8 điểm). Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi A 1 , B 1 , C 1 thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. 1) Chứng minh tam giác A 1 B 1 C 1 là tam giác nhọn. 2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi là số đo của góc nhị diện , tìm theo B và C. 3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng: . Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2000 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học. -------------------------------------------------------- Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2001 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học