Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toàn quốc môn toán 2020

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC 2020 MƠN TỐN THPT TẬP MỞ ĐẦU Chỉ có mục đích sưu tầm đề thi học sinh giỏi toàn quốc thành tài liệu chuẩn mực để dùng cho việc giảng dạy, cho em học sinh tham khảo Tôi tổng hợp thành tài liệu Tài liệu có tập, tập khoảng 130 – 150 trang, việc chia thành tập nhỏ nhằm làm cho tài liệu gọn gàng hơn, dễ tham khảo mà thôi! Vì tránh để đụng chạm quyền lợi cá nhân tập thể nên định sau SƯU TẦM không để tên cá nhân tập thể đó, bù lại chia sẻ cơng khai tài liệu để tiện cho thầy cô em học sinh tham khảo NGUYỄN CÔNG ĐỊNH TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƢỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2019 - 2020 THỜI GIAN : 150 PHÚT ĐỀ BÀI 3x  có đồ thị (C) 3x  Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân Câu Cho hàm số y  biệt A B cho tam giác OAB (với O gốc tọa độ) Câu Cho phương trình  x   x  x  m  Tìm giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thực 2   xy  x  y  x  y Giải hệ phương trình    x 1  y    x, y   Câu3 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Cho điểm I nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng AI , BI , CI , DI cắt AI BI CI DI     12 Gọi A' I B ' I C ' I D ' I V , V1 thể tích tứ diện ABCD, IBCD Chứng minh V  4V1  BCD  ,  ACD  ,  ABD  ,  ABC  Câu A ', B ', C ', D ' thoả mãn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn T  : x2  y  4x  y  đường phân giác góc A có phương trình  d  : x  y  Biết diện tích tam giác ABC lần diện tích tam giác IBC ( với ABC tâm đường tròn T  : x2  y  x  y  ) điểm ABC có tung độ dương Viết phương trình BC Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b2  ac c  ab Tìm giá trị nhỏ biểu a b 3c   thức P  ab bc a c NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT 3x  có đồ thị (C) 3x  Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân Câu Cho hàm số y  biệt A B cho tam giác OAB (với O gốc tọa độ) Lời giải Hoành độ giao điểm đường thẳng d : y  x  m đồ thị (C) nghiệm phương trình 3x   xm 3x   3x    x  m  3x  3 (do x  1 khơng nghiệm phương trình)  3x  3mx  3m   Ta có   9m  12  3m     m    12  ,  m  Vậy với m   đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A  x A  xB   m  B Theo định lý Viet ta có:  3m  x A xB    (*) Khi A  xA ; xA  m  B  xB ; xB  m  Ta có OA  OB  x A2   x A  m   xB2   xB  m  2  xA2  2mxA  m2  xB2  2mxB  m2   x A2  xB2   2m  x A  xB     xA  xB  xA  xB  m    xA  xB  m  (do xA  xB ) (luôn theo (*)) AB   xB  xA  Tam giác OAB  OAB  60o  d  O, AB    m  AB 2  xB  x A  2  m2   xB  xA   xB xA    (**) Thay (*) vào (**), ta 3m     m2   m      m  3m  12m  16 m   2m  12m  16    m  Vậy giá trị m thỏa mãn điều kiện đề m  2, m  NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Câu Cho phương trình  x   x  x  m  Tìm giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thực 2   xy  x  y  x  y Giải hệ phương trình    x 1  y    x, y   Lời giải 1  x   x  x  m  (1) 1 Điều kiện:   x   * 2 Khi 1   x   x  x   m  2  1 Xét hàm số y   x   x  x , x    ;   2 Ta có y     2x    x2  1 1 2x  1 2x   2x   2x  1 2x 1 2x  x2  4x2   4 x 1 2x  1 2x   2x   1  1 , x    ;    2 1 2x  1 2x  2  x  Khi y      x   1 2x  1 2x   3 Đặt t   x   x , t  Suy t    x   x  Do  3 trở thành t2  t2  t   t  2t    t  (tm) Với t    x   x  (nghiệm kép)  1 Nên y   x     ;  (nghiệm bội 3) y đổi dấu từ dương sang âm qua x   2 Từ ta có bảng biến thiên sau: 1 Khi 1 có nghiệm    có nghiệm     m   2  m  2  xy  x  y  x  y 2   x   y   1  2 NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 x   Điều kiện:   * y    x   y Khi 1  x  1  y  x  y  y    x  y 1 +) Với x   y khơng thỏa mãn * +) Với x  y   y  x  thay vào   ta phương trình: x   x    x   x2  5x    x2  5x    x 7  x    x 5 y  2  x  x   49  14 x  x  tm *  Vậy hệ cho có cặp nghiệm  x ; y    5;  Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Cho điểm I nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng AI , BI , CI , DI cắt AI BI CI DI     12 Gọi A' I B ' I C ' I D ' I V , V1 thể tích tứ diện ABCD, IBCD Chứng minh V  4V1  BCD  ,  ACD  ,  ABD  ,  ABC  A ', B ', C ', D ' thoả mãn Lời giải Gọi I trung điểm BC , G trọng tâm tam giác ABC 3 Ta có AI  a ; AG  AI  a 3 Trong tam giác A ' AI kẻ GK  AA ' K , kẻ IH  AA ' H (1) NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Ta có A ' G  mp  ABC   A ' G  BC Mặt khác AI  BC Suy BC  mp  A ' AI   IH  BC (2) Từ (1) (2) suy HI đoạn vng góc chung a  d  AA ', BC   IH GK AG 2 a a Xét tam giác AHI có    GK  IH   IH AI 3 AA ' BC Xét tam giác vuông A ' AG có: 1 1 1 a       A 'G  2 2 2 GK AG A 'G A 'G a 3 a 3         a a a3 Suy VA ' B 'C ' ABC  A ' G.SABC   12 NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 VIBCD h1 A ' I   với hA , h1 chiều cao hạ từ A, I xuống mặt phẳng  BCD  VABCD hA AA ' V V V V A' I B ' I C ' I D ' I    1 Ta có IBCD  IACD  IABC  IABD   VABCD VABCD VABCD VABCD AA ' BB ' CC ' DD ' AI BI CI DI AA ' BB ' CC ' DD '     12      16 Mà A' I B ' I C ' I D ' I A' I B ' I C 'I D 'I  A' I B ' I C ' I D ' I A' I B 'I C 'I D 'I     44  AA ' BB ' CC ' DD '  AA ' BB ' CC ' DD ' Theo bất đẳng thức Cơ-si có:   AA '  BB '  CC '  DD '  4 AA ' BB ' CC ' DD '  A ' I B ' I C ' I D ' I A' I B 'I C 'I D 'I Suy :  A ' I B ' I C ' I D ' I  AA ' BB ' CC ' DD '            16  AA ' BB ' CC ' DD '  A ' I B ' I C ' I D ' I  AA ' BB ' CC ' DD '      16 A' I B ' I C ' I D ' I AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' Vậy     16     4 A' I B ' I C ' I D ' I A' I B ' I C ' I D ' I Nên AA '  A ' I  V  4V1 Ta có Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn T  : x2  y  4x  y  đường phân giác góc A có phương trình  d  : x  y  Biết diện tích tam giác ABC lần diện tích tam giác IBC ( với ABC tâm đường tròn T  : x2  y  x  y  ) điểm ABC có tung độ dương Viết phương trình BC Lời giải Vì T  : x2  y  x  y  nên có tâm I  2;1 , bán kính R  Mà A  T  , A   d  nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  x  y  x  y   x  3, y    x  y   x  0, y   Vì y A   A  3;3 , D  0;0    Ta có tứ giác ABDC nội tiếp nên DAB  DCB   DBC  DCB  BDC cân D  BAD  DAC  gt    DBC  DAC NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Mà BIC cân I nên ID đường trung trực BC hay DI  2;1 vectơ pháp tuyến BC Phương trình  BC  :2 x  y  m   m  3 Vì S ABC  3S IBC nên d ( A , ( BC ))  3d  I ,  BC     m   m    m  6 Vậy phương trình  BC  :2 x  y    BC  :2 x  y   Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b2  ac c  ab Tìm giá trị nhỏ biểu a b 3c   thức P  ab bc a c Lời giải b c Đặt x  ; y  ta có giả thiết x  0; y  0; x  y; y  x Từ ta có x  y  x nên x  a a Với x  y  P  x 3y Ta có P  Trước hết coi P hàm ẩn y với tham số x  , ta xét tính   x 1 x  y 1 y biến thiên hàm P  x ; x  với x   x  y  x y  3x  x g  y  x Ta có P '     2 2 2  x  y   y  1  x  y   y  1  x  y   y  1 Với x  P '  Với x  12 y  24  y   x ; x  nên P đồng biến  x ; x   x  y   y  1 g  y  có '  x  x  1  2 x  nên g  y  ln có hai nghiệm phân biệt y1 ; y2 3  x    Nếu x   g x    x  x  x x  3x  x  x  nên   g  x     x  x  x.x  x  x  g  y   y   x ; x  hay P '  y   x ; x  nên P đồng biến  x ; x  4 x   y1  y2   x  x  1;3 nên y1  y2   x  x nên Nếu  x    y y  3x  x  3 x  g  y   y   x ; x  hay P '  y   x ; x  nên P đồng biến  x ; x  Vậy với x  ta ln có P đồng biến  x ; x  , x x 4x Đặt x  t ta P  P x      x 1 x  x 1 x x 1 x  x 4t 4t P  u  t     Khảo sát u  t   1;   ta có t 1 t 1 t 1 t 1 2t 4t  2t  4t  2t  u ' t      x  1;   2 2  t  1  t  1 t  t         NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TOÁN THPT 2019 u  t  đồng biến 1;  , mà u 1  Vậy P  5 nên u  t   2 t  1;   tức P  x  1;   x  y   a  b  c NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 ĐỀ HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUN NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (4.0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị C  , đường thẳng  d  qua A 1;2 có hệ số góc m Tìm m để  d  cắt C  ba điểm phân biệt A , B , C cho BC   Câu (4 điểm) Giải phương trình x3  x  x  12   x  3 x   x  u1   Câu (4.0 điểm) Cho dãy số  un n 1 thỏa mãn  u1  u2    x  1  un 1  un  n 2un , n  Tìm giới hạn lim  n 2un  Câu (4.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn BI  3IH góc hai mặt phẳng  SAB  ;  SBC  600 Tính thể tích khối chóp S ABC cho tính khoảng cách hai đường thẳng AB , SI theo a Bài ( 4.0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y   x  xy  y NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 110 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (4.0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị C  , đường thẳng  d  qua A 1;2 có hệ số góc m Tìm m để  d  cắt C  ba điểm phân biệt A , B , C cho BC  Lời giải Phương trình đường thẳng  d  qua điểm A có hệ số góc m y  m  x  1  Phương trình hồnh độ giao điểm  d  C  x  3x   m  x  1   x  3x  mx  m   x    x  1  x  x  m      g  x  x  2x  m   Giả sử g  x   có hai nghiệm x1 , x2 , x1 , x2 hoành độ điểm B C Theo định lí Vi-et ta có  x1  x2    x1 x2   m  Vì hai điểm B C thuộc đường thẳng  d  nên B  x1 ; m  x1  1   , C  x2 ; m  x2  1   Khi BC   x2  x1    y2  y1    x2  x1   m  x2  1  m  x1  1  2 2 2 2   x2  x1   m  x2  x1     x2  x1   m  1   m  1  x1  x2   x1 x2      m  1     m      m  1  4m  12   4m  12m  4m  12  32  m  Thử lại, thay m  vào g  x   x  x    x1  1; x2  (thỏa mãn) Vậy m   Câu (4 điểm) Giải phương trình x3  x  x  12   x  3 x   x  Điều kiện x    x  Phương trình cho tương đương với  x    x  x  3   x  3  x     x  1 Lời giải  x   1  x  1 x   1  x  3x  3   x  3  x   x   x3  x  1  x      x 3 1 x    x    x  x  3   x  3 x   x  *  Dễ thấy x  khơng nghiệm phương trình cho    Với x  , giải phương trình * ta  x  4   x  3x  x   x   x 3 x  1   x  4  x   x    f  x  4  f  x  1 x  1   x3 NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 111 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 t  5t   0, t  1 Xét hàm số f  t    1;   , có f   t    t 1  t  1 Suy f  t  hàm số đồng biến  1;   mà f  x    f   x3  x   x  9  x Do x   x     2  x    x   x  x  19  Vậy phương trình cho có nghiệm x  ; x  u1   Câu (4.0 điểm) Cho dãy số  un n 1 thỏa mãn  u1  u2  9  un 1  un  n 2un , n  Tìm giới hạn lim  n 2un  Lời giải Theo giả thiết ta có :  n  1 un 1   u1  u2   un   un 1  n 2un  un 1   n  2n  un 1  n 2un   n   un 1  nun n n n 1 n n 1 n  un  un 1  un  n2 n  n 1 n  n 1 n n n 1 n   u1  n  n 1 n  n   n  1  un 1    un  4n  4n   n un   lim n2un  lim  4 n  n  1 n 1  n 1  Câu (4.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB  a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn BI  3IH góc hai mặt phẳng  SAB  ;  SBC  600 Tính thể tích khối chóp S ABC cho tính khoảng cách hai đường thẳng AB , SI theo a Lời giải Cách 1: NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 112 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019  BH  AC a) Từ giả thiết toán ta có   AC   SBH   AC  SB SH  AC   AJ  SB Kẻ IJ  SB    góc hai mặt phẳng  SAB   SCB  góc hai CJ  SB đường thẳng AJ CJ Dễ thấy AIJ tam giác cân J , kết hợp với giả thiết góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  600 ta có hai trường hợp sau : TH1: AJC  600  AJI  300 Ta có IJ  AI tan 600  a a  BIJ vng J có BI   IJ ( Loại ) 2 TH2: AJC  1200  AJI  600 Ta có IJ  AI tan 300  BIJ BSH  SH  a a  BIJ vng J có BJ  BI  IJ  IJ BH a 2a Mặt khác IB  AC   BH  BJ 2 2a a3  VS ABC  SH S ABC  Ta có SH  (đvtt) 3 b) Gọi E trung điểm BC  IE AB Do ta có d  AB , SI   d  AB ,  SIE    d  B ,  SIE   Do BI  3IH  d  B ,  SIE    3d  H ,  SIE   Kẻ HK  IE , K  IE Mặt khác ta lại có SH   ABC   SH  IE  IE   SHK    SIE    SHK  Kẻ HF  SK  HF   SIE   d  H ,  SIE    HF  d  AB , SI   3HF Xét tam giác vuông SHK ta có : Mặt khác 1    HF  2 HF HK HS SH HK SH  HK HK IH 1 a 2a 17    HK  BE   HF  BE IB 3 51 Vậy d  AB , SI   3HF  2a 17 17 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Bxyz với A  Bx , C  By, Bz // SH Khơng tính tổng quát ta chọn a  1  Ta có : B  0;0;0  , A 1;0;0  , C  0;1;0   I  ; ;0  2  2  2  Do BI  3IH  H  ; ;0  Gọi S  ; ; h  với h  3  3  2  BA  1;0;0  , BS   ; ; h  , BC   0;1;0  3  NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 113 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 2 2   n1   BA , BS    0;  h ;  , n2   BC , BS    h ;0;   3 3   Do góc  SAB   SBC  600 nên cos 600  n1 n2 2 2 h  S  ; ;  3 3 n1 n2 a3 1 1 ( đvtt ) VS ABC  SH S ABC   Do chọn a  nên VS ABC  3 9 1  1   1  Ta có : BA  1;0;0  , SI    ;  ;0  ,  BA , SI    0;0;   , BI   ; ;0  6  6   2  d  AB , SI    BA , SI  BI 17 2a 17    Do chọn a  nên d  AB , SI   17 17  BA , SI    Bài ( 4.0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y   x  xy  y Lời giải Ta có: x  xy  y  16 x  32 xy  128 y   x  y    3x  10 y   3x  10 y (1) 2 Suy P   x  y   x  xy  y   x  y    3x  10 y    x  y     1 y   1    x  y    P  4.2  (2) Mặt khác: x  y  1.x   2     7  x  y     x  x 2y   Dấu đẳng thức xảy (1) (2)   y       x2  y2    x   Vậy GTLN P  đạt  y   NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 114 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH CẦN THƠ NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu Cho hàm số y  x4  mx2 16 m2  m 1  m   có đồ thị (C ) điểm H (0;1) Tìm tất giá trị m để đồ thị (C ) có cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Câu Một xe khách chất lượng cao từ Cần Thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành khách chuyến Theo tính toán nhà xe, xe chở k khách giá 3k   tiền mà khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số   hành khách chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền Câu Giải phương trình sau: a) log x  x   log (1  x)  x   x  x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x Câu a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn chạy tiếp qng đường dài mét b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai loại ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Câu Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy hình thoi cạnh a , góc BAD  120 Biết đường thẳng AA , AB , AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm cạnh BB , CC  a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng  DMN  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 115 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường 5 5 thẳng AC có phương trình x  y   Câu Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích dm3 Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì Câu Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phịng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: ‚ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ‛ - Nghĩa: ‚ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ‛ - Tuấn: ‚ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ‛ - Phú: ‚ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ‛ - Thuận: ‚ Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt‛ Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y  x4  mx2 16 m2  m 1  m   có đồ thị (C ) điểm H (0;1) Tìm tất giá trị m để đồ thị (C ) có cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Lời giải x  , y  x  16mx  x( x  4m), y      x  4m Để đồ thị (C ) có điểm cực trị m  Khơng tính tổng quát, giả sử điểm cực trị đồ thị hàm số là: TXĐ: D      Ta có : AH   0; m  16m  ; BC   4 m ;0  ; CH   A  0;16m2  m  1 , B m ;1  m , C 2 m ;1  m       AH BC  0  4 m    m  16m   Điểm H trực tâm tam giác ABC  m ; m ; AB  m ; 16m 2  CH AB     2 m m  m  16m   m  Kết hợp với điều kiện m  tìm m   4m  16m    m    NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 116 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 giá trị cần tìm Một xe khách chất lượng cao từ Cần Thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành Vậy m  Câu khách chuyến Theo tính tốn nhà xe, xe chở k khách giá 3k   tiền mà khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số   hành khách chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền Lời giải Cách 3k   Số tiền thu chuyến xe T  k   k 180   với k    ,  k  50 3k   Xét hàm số T  k   k 180   với k  0;50    Dễ thấy T  k  liên tục 0;50 3k  3k    3k  9k    Ta có T   k   180    2k 180      180  180            k  120   0;50 3k  9k   T   k    180  180          k  40   0;50 Ta tính T    , T  50  551250 , T  40  576000 Do max T  k   T  40   576000 0;50 Vậy số tiền thu nhiều xe chở 40 hành khách số tiền 57600000 đồng Cách 3k   Với k  0;50  k 180   không âm nên   Câu  3k   3k    3k  180    180    2  3k  3k        T  k   k 180     3k 180      576000   3        3k Đẳng thức xảy 3k  180   k  40 Vậy số tiền thu nhiều xe chở 40 hành khách số tiền 57600000 đồng Giải phương trình sau: a) log x  x   log (1  x)  x   x  x  Lời giải Điều kiện: x  Ta có log x  x   log (1  x)  x   x  x   log x  x   log (1  x)  x   x  x  NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 117 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019  log x  x   x  x   log (1  x)   x (*) Xét hàm số f (t )  log t  t , t  Dễ thấy f (t )  với t  Ta có f    t  Suy hàm số đồng biến t ln  1  x  x  x   f (1  x)  x  x    x  x2  x    x    x  x   (1  x)  x    x  x2  x   Vậy nghiệm phương trình x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x Lời giải cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x 2  cos2 x  cos x  6sin x.cos x   2sin x.cos x  sin x  sin x Câu    cos x  sin x  4sin x cos x  cos x  sin x  2sin x  sin   x   sin x 3    2    x   x  k 2 x   k   k    x      x  k 2  x  2  k 2   3  2 2 ;x   k 2 ,  k   Vậy phương trình có nghiệm x   k 3 a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn chạy tiếp qng đường dài mét Lời giải Ơ tơ dừng hẳn v  t    t  v0 v0 Khi tơ quảng đường: s    4t  v0  dt   2t  v0t  Theo u cầu tốn, tơ chạy thêm quãng đường  m  , nên ta có phương trình: v0 v02  m v0  v02 8  v0  8 Vì ban đầu vận chuyển động có vận tốc, sau hãm phanh, ta chọn v0   m/s  b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai loại ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 118 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Lời giải Cách 1: Sử dụng biểu đồ ven hình vẽ bên Như lớp đại học cho có 10 sinh viên không học ngoại ngữ Ta xét phép thử : Chọn sinh viên số 60 sinh viên lớp học Số khả xảy phép thử n     C602 Xét biến cố A : Chọn sinh viên không học ngoại ngữ Như điều kiện thuận lợi biến cố A chọn sinh viên 10 sinh viên khơng học ngoại ngữ Do n  A  C102 Suy xác suất để chọn sinh viên không học ngoại ngữ n  A C102   P  A  n    C60 118 Cách : Gọi A , P , K tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp khơng học ngoại ngữ Khi n  A  P  K   60 , n  A  40 , n  P   30 , n  P   20 Ta có n  A  P  K   n  A  n  P   n  K   n  A  P   n  A  K   n  P  K   n  A  P  K  Nên 60  40  30  n  K   20     n  K   10 Gọi X biến cố ‚ sinh viên chọn khơng học ngoại ngữ‛ Ta có n     C602 ; n  X   C102 Do Câu P X   n  X  C102   n    C60 118 Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy hình thoi cạnh a , góc BAD  120 Biết đường thẳng AA , AB , AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm cạnh BB , CC  a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng  DMN  Lời giải a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 119 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Gọi H hình chiếu A mặt phẳng  ABC  ,do đường thẳng AA , AB , AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 nên H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, ABCD hình thoi với góc BAD  120 nên tam giác ABC Do H đồng thời trực tâm, trọng tâm a a tam giác ABC  AH   3 Vì AH   ABCD  nên AA có hình chiếu mặt phẳng  ABCD  AH  Góc AA mặt phẳng  ABCD  góc AAH Theo ta có AAH  60 Trong tam giác AAH có AH  AH tan 60  a a Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là: a2 3a a  b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng  DMN  V  S ABCD AH  Cách 1: Gọi E  AM  AB , F  DN  DC  EF // BC // AD B, C trung điểm đoạn AE , DF Ta có d  AD,  DMN    d  A,  AEF    d  H ,  AEF   Vì AH  BC nên AH  EF hay HF  EF  d  H ,  AEF   chiều cao h tam giác AHF  2a  2a a 21 Trong AH  a, HF  HA  , AF  AH  HF  a     3   HA.HF 2a  Xét tam giác AHF vuông H  h  AF 3 2a 3a  Vậy d  AD,  DMN    d  A,  AEF    d  H ,  AEF    2 7 Cách 2:  a   a  a  ;0  , Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I  O  0;0;0 , B   ;0;0  , C  ;0;0  , H  0;   2     a   a  A  0; ;0  , A  0; ;a  2      a a  a a  ; a  , C  ;  ;a  Do AA  BB  CC   B   ;  3   2  NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 120 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019  a  BC  AD  D  a; ;a     3a a a  a a ;   9;2 3;3  m MN   a;0;0   a 1;0;0   , MD   ;  2     Vecto pháp tuyến  DMN  n  i; m   0; 3;2 3a  Vì AD song song với MN nên AD song song với  DMN  Mặt phẳng  DMN  có phương trình y  3z  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường 5 5 thẳng AC có phương trình x  y   Lời giải a) Ta có BFA  BDA  90 , suy tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn tâm E , đường kính AB Mặt khác IEB  IDB  IMB  90 , suy ngũ giác BEIDM nội tiếp đường trịn đường kính BC Từ ta có DEM  DBM  DFB (cùng chắn cung DM ) Mà DBF  D  90 (số đo góc tâm nửa cung bị chắn) NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 121 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Suy DEM  DBM  DBF  DEF , suy EM tia phân giác góc DEF AB cung nắm đường trịn tâm E , đường kính AB Suy ME đường trung trực đoạn thẳng DF 3a Ta có d  AD,  DMN    d  A,  DMN    b) Mà DE  FE  Ta có ME AC  ME : x  y   Do D F đối xứng qua ME (theo câu 6a) nên DF : x  y  17   11   13  Gọi I trung điểm DF nên I  ;   (do I  DF  ME ) Do F  ;    5  5 x2 y 1 Mà F , M  BC nên phương trình đường thẳng BC :   x  3y   13   1 5 Do C  BC  AC  C  5;0  nên B  1; 2  (vì M trung điểm BC ) Mặt khác: AD  BD nên phương trình đường thẳng AD : 9  8   x     y     x  y  11  5  5  Suy A 1;  (do A  AD  AC ) Vậy tọa độ đỉnh ABC là: A 1;  , B  1; 2  , C  5;0  Câu Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích dm3 Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì Lời giải NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 122 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng, có độ dài cạnh đáy x  dm  , chiều cao h  dm  x, h  0 Khi thể tích hộp sữa V1  x h   h  x2  x2 x 2 Stp   x    x  3.2  ,dấu ‘=’ xảy  x  x  x x x x Nếu hộp sữa có dạng hình trụ có đáy đường trịn có bán kính R  dm  , chiều cao Suy diện tích tồn phần hộp sữa Stp1  xh  x  k  dm  ,  R, k    R2 Suy diện tích tồn phần hộp sữa là: 1 Stp  2 Rk  2 R2   2 R    2 R  3 2 , dấu ‘=’ xày khi: R R R 1  2 R  R   dm  Vật liệu sử dụng làm bao bì diện tích R 2 toàn phần hộp sữa đạt giá trị nhỏ nhất, nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ 1 có đáy đường trịn bán kính  dm  chiều cao 2  dm   2 Khi thể tích hộp V2   R k   k    NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 123 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 Câu Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: ‚ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ‛ - Nghĩa: ‚ Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ‛ - Tuấn: ‚ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ‛ - Phú: ‚ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ‛ - Thuận: ‚ Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt‛ Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh Lời giải - Tính: ‚ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ‛ (1) - Nghĩa: ‚ Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ‛ (2) - Tuấn: ‚ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ‛ (3) - Phú: ‚ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ‛ (4) - Thuận: ‚ Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt‛ (5) Xét phát biểu (3) xảy hai trường hợp sau: Trƣờng hợp 1: Nếu ý đầu (3) có nghĩa nhà Tuấn Cờ Đỏ Khi từ ý (2) nhà Tuấn Ơ Mơn sai nhà Nghĩa Cờ Đỏ Mâu thuẫn có hai bạn Tuấn Nghĩa Cờ Đỏ nên trường hợp loại Trƣờng hợp 2: Nếu ý đầu (3) sai nhà bạn Phú Thốt Nốt dẫn đến ý đầu (5) nhà Thuận Ninh Kiều Khi ý đầu (4), nhà Phú Thới Lai sai Từ (1) có nhà Tính Cờ Đỏ từ (2) nhà Tuấn Ơ Mơn Vậy lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Trường hợp thỏa mãn giả thiết toán Kết luận: Nhà Phú Thốt Nốt, nhà Thuận Ninh Kiều, nhà Tính Cờ Đỏ, nhà Tuấn Ô Môn nhà Nghĩa Thới Lai HẾT NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 124 ... cho thầy em học sinh tham khảo NGUYỄN CƠNG ĐỊNH TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƢỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2019 - 2020 THỜI GIAN... có 1  y  x  log 2019  x  2020   log 2019  y  2020   y  log 2019  y  2020   x  log 2019  x  2020  Xét hàm số: f  t   t  log 2019  t  2020  với t  f ' t     với... NGUYỄN CÔNG ĐỊNH SƯU TẦM | 15 TUYỂN CHỌN CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỒN QUỐC – MƠN TỐN THPT 2019 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƢỚC NĂM HỌC 2019 - 2020 THỜI GIAN : 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu Cho hàm số