Giáo trình số thập phân ở tiểu học giúp các bạn sinh viên thuộc kho sư phạm mầm non có thêm kiến thức cơ bản, bổ sung kiến thức về văn học Việt Nam, làm nguồn tài liệu phong phú để các sinh viên sau khi ra trường có cơ sở vững chắc, kiến thức để truyền đạt cho các em học sinh ở lứa tuổi tiểu học.
CHƯƠNG I: DẠY HỌC SỐ THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC I Mục tiêu dạy học số thập phân Tiểu học Về kiến thức: Giúp học sinh: − − Học tốt có hiệu kiến thức số thập phân phép tính số thập phân Biết vận dụng kiến thức kĩ số thập phân để giải toán áp dụng − thực tiễn Biết khái niệm ban đầu số thập phân; biết đọc, viết, so sánh, thứ tự số thập phân − Ôn tập, củng cố, hệ thống hóa kiến thức số phép tính với số thập phân Về kĩ năng: Giúp học sinh: − − Biết đọc, viết, phân tích cấu tạo hàng số thập phân Biết so sánh thứ tự số thập phân,thuộc quy tắt thực thành thạo − phép tính số thập phân Biết ứng dụng số thập phân để biểu thị số đo đại lượng, tính giá trị biểu thức giải toán có liên quan Về thái độ: Giúp học sinh: − Giáo dục tính kiên trì, cẩn thận biết cách trình bày tính toán cách khoa học − Có ý thức học tập tốt − Thấy hữu ích biểu diễn xác số đo đại lượng số thập phân đời sống thực tiễn Nội dung phương pháp tiếp cận: Nội dung Số thập phân coi mảng kiến thức quan trọng toán lớp 5, sau phần ôn tập bổ sung phân số Bao gồm nội dung sau: Khái niệm số thập phân Khái niệm ban đầu số thập phân : đọc, viết số thập phân, cấu tạo hàng số thập phân Tính chất số thập phân So sánh số thập phân Các phép tính số thập phân, số tính chất phép tính số thập phân − Phép cộng phép trừ số thập phân có đến ba chữ số phần thập phân, có nhớ không lần − Phép nhân số thập phân có tích số thập phân có không ba chữ số phần thập phân, gồm: + Nhân số thập phân với số tự nhiên + Nhân số thập phân với 10, 100, 1000 + Nhân số thập phân với số thập phân − Phép chia số thập phân ,thương số tự nhiên số thập phân có không ba chữ số phần thập phân , gồm : + Chia số thập phân cho số tự nhiên + Chia số thập phân cho 10, 100, 1000 + Chia số tự nhiên cho số tự nhiên thương tìm số thập phân + Chia số tự nhiên cho số thập phân + Chia số thập phân cho số thập phân Một số tính chất phép tính số thập phân Ứng dụng số thập phân Viết chuyển số đo đại lượng dạng số thập phân bao gồm: + Viết số đo độ dài dạng số thập phân + Viết số đo khối lượng dạng số thập phân + Viết số đo diện tích dạng số thập phân − Giải toán tỉ số % Phương pháp tiếp cận − Cách tiếp cận khái niệm số thập phân dùng SGK Toán Tiểu học có cách sau: Cách 1: Tiếp cận kiểu dựa vào phân số Số thập phân xem dạng biểu diễn phân số thập phân Tiến trình nảy sinh khái niệm số thập phân theo lược đồ sau: − − Phân số dạng tổng quát → ; ; → dạng mẫu số 0,1; 0,01; 0,001 Kiểu tiếp cận thể hai tiết hình thành khái niệm số thập phân Toán lớp Ví dụ : m viết thành 0,1m m viết thành 0,01m Các phân số thập phân ; ; ;….được viết thành 0,1 ; 0,01 ; 0,001;… Mọi phân số thập phân viết dạng số thập phân Ví dụ : = 0,7 ; = 0,32 ; = 5,5; Những phân số chuyển thành phân số thập phân viết dạng số thập phân Ví dụ : = = 0,4 ; = = 0,75 Những phân số chuyển thành phân số thập phân viết dạng số thập phân Nhưng số thập phân vô hạn tuần hoàn vô hạn không tuần hoàn biểu diễn gần đúng.Và trường hợp không nằm phạm vi toán tiểu học Cách 2: Mã hoá lại số đo phức hợp − Cách tiếp cận dựa vào kiến thức đo đại lượng quan hệ đơn vị đo mà học sinh có Học sinh sử dụng vốn kiến thức kĩ có, dễ dàng nhận thức ; ; mét (hay kilôgam) trước hiểu ; ; đơn vị trừu tượng Trên sở nhận thức ban đầu trừu tượng hoá, khái quát hoá hình thành khái niệm số thập phân − Cách thể tiết thứ hình thành khái niệm số thập phân Toán lớp Ví dụ: Với hoạt động thực tiễn tạo số đo phức hợp 2m7dm5cm, đặt nhu cầu cần mã hoá lại số đo phức hợp ta đưa đơn vị đo mét: 2mmm dùng dấu phẩy tách phần đơn vị với phần nhỏ đơn vị ta có 2,75 xuất → 2,75 gọi số thập phân Cách 3: Mã hoá lại số nguyên Cách tiếp cận dựa kiến thức khái niệm có hệ ghi thập phân dựa vào quan hệ đơn vị đo số đại lượng (có quan hệ hai đơn vị liền kề 10 lần) Ví dụ: 6g = 0,006kg → 0,006 gọi số thập phân Ví dụ: Với hoạt động thực tiễn tạo số đo phức hợp 2m7dm5cm, đặt nhu cầu cần mã hoá lại số đo phức hợp ta đưa đơn vị đo mét: 2mmm dùng dấu phẩy tách phần đơn vị với phần nhỏ đơn vị ta có 2,75 xuất → 2,75 gọi số thập phân 3.3 Phương pháp dạy học số thập phân: 3.3.1 Dạy học khái niệm số thập phân: Số thập phân Phân số thập phânsố thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn Số thập phân vô hạn tuần hoàn Số thập phân vô hạn không tuần hoàn * Cách dạy học tiến hành theo cách: - Cách 1: Giới thiệu đơn vị - Cách 2: Giới thiệu số thập phân dạng đầy đủ - Cách 3: Phân biệt phân số thập phân số thập phân - Cách 4: Nhận biết hàng số thập phân, đọc, viết số thập phân Cách 1:Giới thiệu đơn vị mới:Mã hóa lại phân số thập phân có tử số Ví dụ: Bài 32 Khái niệm số thập phân (Sgk Toán 5) * Mục tiêu: - Nhận biết khái niệm ban đầu số thập phân (dạng đơn giản) - Biết đọc, viết số thập phân (dạng đơn giản) * Hoạt động dạy học: (1) Hướng dẫn học sinh nhận xét hàng bảng sau: m d C m m m m 0 0 + Có 0m1dm, tức có 1dm, GV viết lên bảng: 1dm = m -> GV giới thiệu 1dm hay m, viết thành 0,1m -> GV viết 0,1m lên bảng hàng với m 1dm = m = 0,1m +Làm tương tự với 0,01m 0,001m (2) GV nêu: Các phân số thập phân (dùng thước khoanh vào phân số bảng) viết thành 0,1; 0,01; 0,001 (chỉ khoanh vào số bảng) + GV vừa viết lên bảng vừa giới thiệu: 0,1 đọc là: không phẩy + Gọi vài em học sinh vào 0,1 đọc lại + GV giúp HS tự nêu viết lên bảng: 0,1 = + Giới thiệu tương tự với 0,01; 0,001 + GV vào số: 0,1; 0,01; 0,001đọc giới thiệu số: 0,1; 0,01; 0,001 gọi số thập phân (3) Rèn luyện thêm cho HS bảng sau: m D C m m m m 0 0 + Làm tương tự bảng để HS nhận số: 0,5; 0,07; 0,009 số thập phân Cách 2: Giới thiệu số thập phân dạng đầy đủ: - Mã hóa lại danh số phức* Bài 33 Khái niệm số thập phân (Sgk Toán 5) * Mục tiêu: - Nhận biết khái niệm ban đầu số thập phân (dạng thường gặp) cấu tạo sô thập phân - Biết đọc, viết số thập phân (dạng đơn giản thường gặp) * Hoạt động dạy học: - Ở này, GV tiếp tục giới thiệu khái niệm số thập phân -GV hướng dẫn HS tự nêunhận xét hàng bảng để nhận số thập phân, chẳng hạn: m d c m m m m 2m 7dm hay m viết thành 2,7m, đọc là: hai phẩy bảy mét -Ta làm tương tự với số lại - GV giới thiệu số: 2,7; 8,56; 0,195 số thập phân, sau cho vài HS nhắc lại - GV giới thiệu, hướng dẫn HS tự nêu nhận xét, với hỗ trợ GV để HS nhận ra: “Mỗi số thập phân gồm phần: phần nguyên phần thập phân; chữ số bên trái dấu phẩy thuộc phần nguyên, chữ số bên phải dấu phẩy thuộc phần thập phân -GV viết vd SGK lên bảng, gọi HS vào phần nguyên, phần thập phân số thập phân đọc số Ví dụ: 8,56 Phần nguyên Phần thập phân Cách 3: Phân biệt phân số thập phân số thập phân: -Số thập phân chương trình Tiểu học hình thành sở phân số thập phân Các phân số có mẫu số 10, 100, 1000 gọi 12 phân số thập phân Ví dụ: 10 , 100 , 1000 , Một phân số viết 15 = , = thành phân số thập phân Ví dụ: 10 20 100 - Ở Tiểu học ta phân biệt phân số thập phân số thập phân dạng thức biểu hiện, áp dụng học: 40, 42, 43 (Toán 5) - Các số có dạng: gọi phân số thập phân - Các số có dạng: 3,1; 0,19; 3,525, gọi số thập phân Ví dụ: Bài 40 Viết số đo độ dài dạng số thập phân (Toán 5) * Mục tiêu: - Luyện viết số đo độ dài dạng số thập phân theo đơn vị đo khác * Hoạt động chủ yếu: - HS nêu quan hệ đơn vị đo độ dài liền kề, vd: 1km = 10hm 10hm = km = 0,1 km 1m = 10dm 1dm = m = 0,1m -GV yêu cầu HS phát biểu nhận xét chung quan hệ đơn vị đo liền kề - GV chốt lại: “ Mỗi đơn vị đo độ dài gấp 10 lần đơn vị liền sau nó; Mỗi đơn vị đo độ dài (tức 0,1) đơn vị trước -GV cho HS nêu quan hệ số đơn vị đo độ dài như: 1km = 1000m 1m = km = 0,001km 1m = 100 cm 1m = 1000 mm 1cm = m = 0,01 m 1mm = m = 0,001m 1dm hay 10 m viết thành 0,1m 1cm hay 100 m viết thành 0,01m 1mm hay 1000 m viết thành 0,001m 1 -Các phân số thập phân 10 , 100 , 1000 viết thành 0,1 ; 0,01 ; 0,001 -Các số 0,1 ; 0,01 ; 0,001 gọi số thập phân -Tương tự số 0,5 ; 0,07 ; 0,009 số thập phân Theo cách phân số có mẫu số 10, 100, 1000, viết dạng số thập phân có phần nguyên phần thập phân tử phân số phân số bé • Căn vào mẫu số phân số để viết phần thập phân số thập phân (mẫu số có chữ số phần thập phân phải có đủ nhiêu chữ số Nếu chữ số tử số chưa đủ phải thêm chữ số - vào bên trái chữ số tử số SGK đưa trường hợp số đo dạng hỗn hợp Theo cách số thập phân hiểu cách viết lại số tự nhiên theo đơn vị đo khác (các đơn vị 10 lần) đơn vị đo Trong trường hợp này, số đo viết lại dạng hỗn số Phần nguyên hỗn số phần nguyên số thập phân, phần thập phân tử số phân số thập phân hỗn số Cụ thể: 2m 7dm hay 10 m viết thành 2,7m 56 8m 56cm hay 100 m viết thành 8,56m 195 0m 195mm hay 0m 1000 m viết thành 0,195m Các số 2,7 ; 8,56 ; 0,195 số thập phân • Căn vào thứ tự đơn vị bảng đơn vị đo đại lượng, đơn vị thiếu cần bổ sung chữ số (nếu đơn vị 10 lần), hai chữ số (nếu đơn vị 100 lần) Có thể thêm chữ số vào phần nguyên phần thập phân số thập phân Ví dụ: - 12dm 2mm = 12,02 dm ; 2m 5mm = 20,05 Tùy vào đơn vị muốn biểu diễn mà thêm vào chữ số đánh dấu phẩy sau chữ số thể đơn vị cho thích hợp Đây sở cho • việc so sánh đổi dơn vị đo đại lượng Lưu ý: “ Mỗi đơn vị đo diên tích liền kề nhau 100 lần Cách 4: Nhận biết hàng số thập phân, đọc, viết số thập phân: Bài 34 Hàng số thập phân Đọc, viết số thập phân (Toán 5) 10 Nhân với số 10, 100, 1000, nhân với 0,1; 0,01; 0,001; giúp em làm tốt tập tính nhanh, tính nhẩm e Tính chất phép nhân số thập phân - Tính chất giao hoán: Khi ta đổi chỗ thừa số tích không thay đổi a b=b a Ví dụ: 4,34 3,6 = 3,6 9,04 16 = 16 4,34 = 15,624 9,04 = 144,64 - Tính chất kết hợp: Khi ta nhân tích hai số với số thứ ba ta nhân số thứ với tích hai số lại (a b) c=a Ví dụ: Vậy: (28,7 (b c) (28,7 2,4) 2,4) 1,2 = 68,88 28,7 (2,4 1,2) = 28,7 1,2 = 28,7 (2,4 1,2) - Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng: (a + b) c = a c + b c Ví dụ: (6,7 + 2,2) 1,5 = 8,9 1,5 = 13,35 29 1,2 = 82,656 2,88 = 82,656 Mà (6,7 + 2,2) 1,5 = 6,7 1,5 + 2,2 1,5 = 10,05 + 3,3 = 13,35 Vậy (6,7 +2,2) 1,5 = 6,7 1,5 + 2,2 1,5 3.4 Phép chia số thập phân Có nhiều cách để thực phép chia số thập phân như: Đưa số nguyên, dịch chuyển dấu phẩy, để nguyên để chia, đưa phân số, Trong cách chia thường tồn nhiều trường hợp khác Cách 1:Đưa về số nguyên *Trường hợp 1: Phép tính có số liệu liên quan đến đại lượng Mà đại lượng đổi đại lượng khác nhỏ trở thành số tự nhiên Ví dụ:9, 6m: 3=? Ví dụ: 25,6 m2 : = ? m2 25,6 m2 Ta có: = 2560 dm2 m Nên 25,6 m2 : = 2560 dm2 : = 320 dm2 Ta có: Mà 320 dm2 = 3,2 m2 9,6 m Vậy 25,6 m2 : = 3,2 m2 = 96 dm Nên 9,6 m: = 96 dm : 3= 30 32 dm Mà 32 dm = 3,2 m Vậy 9,6 m:3 = 3,2 m * Trường hợp 2: Cả hai số thập phân có số chữ số phần thập phân, triệt tiêu dấu phẩy để trở số tự nhiên Ví dụ: 82,55 : 1,27 = ? Ví dụ: 19,72 : 5,8 = ? 82,55 19,72 1,27 5,80 635 2320 65 3,4 0 Ta có: 19,72 : 5,8 = 19,72 : 5,80 * Trường hợp 3: Số bị chia số tự nhiên, số chia số thập phân, bỏ dấu phẩy, phần thập phân có chữ số thêm vào 31 bên phải số bị chia nhiêu chữ số để đưa về phép chia số tự nhiên Ví Ví dụ:387 : 8,6 = ? dụ:2137 : 534,25 3870 8,6 =? 430 21 45 3700 534,25 Cách sử dụng thường xuyên chương trình toán Tiểu học Cách 2:Dịch chuyển dấu phẩy Ví Ví dụ: 39,36 : 3,2 = ? dụ:148,71 : 3,24 39,3,6 3,2 =? 73 148 12,3 ,71,6 96 3,24 19 11 45,9 32 91 Cách thường dùng cho trường hợp số chữ số thập phân số bị chia nhiều số chia.Dịch chuyển dấu phẩy nhằm biến số chia thành số tự nhiên để có dạng số thập phân chia cho số tự nhiên phép chia số thập phân Cách 3:Để nguyên chia Ví dụ: Ví dụ: 95,2 : 68 = ? 12,36 : =? 95,2 68 27 2,36 1,4 03 3,09 36 Cách 4: Đưa về phân số Với cách này, thành phần phép chia đưa dạng phân số thập phân (rồi rút gọn có thể) thực chia phân số bình thường 33 Ví dụ: 19,72 : 5,8 = : = : = = = 3,4 Tuy nhiên, cách phức tạp, tốn nhiều thời gian nên sử dụng không đưa vào chương trình toán Tiểu học Để hình thành kiến thức phép chia số thập phân SGK lớp theo trình tự bước phép tính lại Những cách chia số thập phân tùy theo đặc điểm thích hợp mà đưa vào trường hợp cụ thể Phép chia số thập phân dựa vào đặc điểm số chia số bị chia mà có trường hợp sau: * Chia một số thập phân cho một số tự nhiên Cũng giống ba phép tính trước, phép chia số thập phân cho số tự nhiên hình thành từ ví dụ thực tế Ví dụ: Một sợi dây dài 8,4m chia thành đoạn Hỏi đoạn dài mét? ?m 8,4 m Để giải yêu cầu toán ta thực phép tính chia: 8,4 : = ? (m) Đưa 8,4m = 84dm ta đưa phép tính phép chia số tự nhiên quen thuộc: 84 : = 21 (dm) mà 21 dm = 2,1 m nên 8,4 : = 2,1 (m) Trong nhiều trường hợp, ta đưa dạng phép chia số tự nhiên Vì ta phải xây dựng kĩ thuật tính để chia số thập phân cho số tự nhiên 34 Thông thường, ta đặt tính làm sau: 8,4 0,4 2,1 - Chia phần nguyên: chia viết 2, nhân 8 trừ 0, viết - Viết dấu phẩy thương: Viết dấu phẩy vào bên phải - Chia phần thập phân: hạ 4, chia 1, viết 1; nhân 4; trừ 0, viết Từ ví dụ, ta thực gợi ý để HS bước nhận trình chia, lưu ý vị trí dấu phẩy 8,4 chia ví dụ đơn giản 8,4 có phần nguyên phần thập phân chia hết cho Vậy phần nguyên số bị chia không chia hết cho số chia nào? Để giải vấn đề này, ta chuyển sang ví dụ: 72,58 : 19 = ? T a có 72,58 19 15 3,82 38 : Ta thấy chia hết lượt chữ số phần nguyên, ta đánh dấu phẩy thương sau hạ chữ số phần thập phân tiếp tục chia 35 Từ hai ví dụ trên, GV hướng dẫn để HS rút quy tắc: "Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm sau: - Chia phần nguyên số bị chia cho số chia - Viết dấu phẩy vào bên phải thương tìm trước lấy chữ số đầu tiên phần thập phân số bị chia để tiếp tục thực phép chia - Tiếp tục chia với chữ số phần thập phân số bị chia." Trong phép chia số thập phân, SGK lớp giới thiệu cách chia đơn giản là: đưa phép chia số tự nhiên dựa đơn vị đo lường giữ nguyên để chia Việc giúp HS bước đầu dễ dàng tiếp cận với phép chia số thập phân rắc rối, phức tạp.Đồng thời, tảng để giúp em lĩnh hội tốt kiến thức khó với mức độ trừu tượng cao học sau * Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,… Tương tự hình thành kiến thức nhân số thập phân với 10, 100, 1000, chia số thập phân cho 10, 100, 1000, xây dựng sở chia số thập phân cho số tự nhiên quan sát nhận xét chuyển dịch dấu phẩy với số lượng chữ số D số chia từ rút quy tắc: "Muốn chia một số thập phân cho 10, 100, 1000, ta việc chuyển dấu phẩy số lần lượt sang bên trái một, hai, ba, chữ số." Ví dụ: 4230,3 : 100 = 42,303 27,53 : 10 = 2,753 36 Khi lấy số thập phân đem nhân với 0,1; 0,01; 0,001; đem chia cho 10, 100, 1000, cho kết giống Vì thực chất: 0,1 = ; 0,01 = ; 0,001 = Nên nhân với 0,1; 0,01; 0,001; chia cho 10, 100,1000, Ví dụ: 12,9 : 10 = 1,29 = 12,9 0,1 123,4 : 100 = 1,234 = 123,4 0,01 537,27 : 1000 = 0,53727 = 537,27 0,001 * Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm một số thập phân Ví dụ:27 : = ? - Nếu xét chúng số 27 Hay 27 : = (dư 3) tự nhiên, ta có: - Nếu xét 27 số thập phân có phần nguyên 27, phần thập phân 0, ta có: 37 27 + 27 chia 30 6,75 6, viết 20 +6 nhân 24, 27 trừ 24 3, viết + Viết dấu phẩy vào bên phải viết vào bên phải 30 + 30 chia 7, viết +7 nhân 38 28, 30 trừ 28 2, viết + Viết thêm chữ số vào bên phải 20 + 20 chia 5, viết +5 nhân 20; 20 trừ 20 0, viết Với phép chia có số bị chia bé số chia ta làm sau: Ví 43 dụ : 43 430 0,82 : 39 52 52 140 =? 36 Ta thấy số thập phân giải tính đóng kín phép chia, chia ta thương số thập phân vô hạn Kiến thức hình thành sở tính chất số tự nhiên số thập phân có phần thập phân 0, 00, 000, ; số thập phân phép chia số thập phân cho số tự nhiên Quy tắc: "Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà dư, ta tiếp tục chia sau: - Viết dấu phẩy vào bên phải số thương - Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số chia tiếp - Nếu dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư một chữ số tiếp tục chia làm mãi" V 75 81 í 12 01 30 d 20,25 10 20 6,25 ụ 60 : * Chia một số tự nhiên cho một số thập phân Dựa quy tắc: "Khi nhân số bị chia số chia với một số khác thương không thay đổi" Ví dụ:25 : = = (25 3) : (5 3) = 75 : 15 Gặp phép chia số tự nhiên cho số thập phân, ta nhân số bị chia số chia với 10, 100, 1000, để đưa phép chia phép chia số tự nhiên Ví dụ: 20 125 40 2: 12,5 = ? 200 0,16 750 (2 10 = 20; 12,5 10 = 125) 18: 0,25 = ? (18 1800 25 50 72 100 = 1800; 0,25 100 = 25) Để dễ nhớ, ta có quy tắc: "Muốn chia một số tự nhiên cho một số thập phân ta làm sau: - Đếm xem có chữ số phần thập phân số chia viết vào bên phải số bị chia nhiêu chữ số - Bỏ dấu phẩy số chia thực phép chia chia số tự nhiên" * Chia một số thập phân cho một số thập phân 41 Ta sử dụng cách chia dịch chuyển dấu phẩy (biến số chia thành số tự nhiên) để chuyển phép chia số thập phân cho số thập phân phép chia số thập phân cho số tự nhiên học Ví dụ: 19,72 : 5,8 = ? 197,2 Ví dụ: 12,58 : 0,25 = ? 1258 025 08 58 23 50,32 80 50 3,4 Quy tắc: "Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm sau: - Đếm xem có chữ số phần thập phân số chia chuyển dấu phẩy số bị chia sang bên phải nhiêu chữ số - Bỏ dấu phẩy số chia thực phép chia chia cho số tự nhiên.” Khi dạy học phép tính số thập phân GV cần: - Đặt câu hỏi gợi mở cho HS → Làm cho HS hiểu rõ ý nghĩa phép tính → GV chốt lại quy tắc chung để thực phép tính số thập phân HS cần đạt điều sau - Nắm yêu cầu thực phép tính → Hiểu tính chất phép tính → Nắm vấn đề GV gợi mở thực phép tính Để HS tiếp cận mảng kiến thức cần theocon đường quy nạp cho ví dụ trước sau rút quy tắc thực phép tính số thập phân Từ đó, HS áp dụng quy tắc để giải phép tính 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Quốc Chung (chủ biên) - Đào Thái Lai - Đỗ Tiến Đạt - Trần Ngọc Lan - Nguyễn Hùng Quang - Lê Ngọc Sơn (2007), Phương pháp dạy học Toán Tiểu học, NXB Đại học Sư phạm, NBX Giáo dục Hà Sĩ Hồ (chủ biên) - Đỗ Đình Hoan - Đỗ Trung Hiệu (1998), Phương pháp dạy học Toán tập 1, NBX Giáo dục SGK, SGV Toán 1, 2, 3, 4, 5 http://thuvien.hpu2.edu.vn:81/index.php?language=vi&nv=tapchi&op=Tap-chikhoa-hoc-so-32-Thang-8-2014/Yeu-to-thong-ke-trong-chuong-trinh-Toan-o-tieu-hoc7848 43