Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 40 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
40
Dung lượng
824,74 KB
Nội dung
Chương Lôgic suy luận toán học Chương LÔGIC VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC I ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ Mệnh đề sơ cấp Các phát biểu khẳng định chia nhỏ có giá trị (1, true, yes) sai (0, false, no) gọi mệnh đề sơ cấp Giá trị mệnh đề sơ cấp gọi giá trị chân lý Kí hiệu mệnh đề sơ cấp chữ X, Y, Z, Trong giảng để biểu thị giá trị chân lý "đúng", "sai" ta dùng (true) (false) Ví dụ 1: "3 số nguyên tố" mệnh đề có giá trị chân lý "x chia hết cho 3" mệnh đề trở thành khẳng định với x cụ thể thêm lượng từ với mọi, tồn vào trước mệnh đề "Bao tháng mười" mệnh đề khẳng định Mệnh đề, công thức mệnh đề Các mệnh đề thành lập từ mệnh đề sơ cấp phép toán mệnh đề a Phép toán Các phép toán : hội (), tuyển (), phủ định (, _), kéo theo () Bảng chân trị X Y XY XY X XY 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 Các phép toán tương đương với liên từ "và", "hoặc", "không", "kéo theo" Chú ý bảng chân trị phép kéo theo qua câu sau : Vì mặt trời mọc hướng đông nên trái đất tròn Vì mặt trời mọc hướng tây nên trái đất tròn Vì mặt trời mọc hướng đông nên trái đất vuông Vì mặt trời mọc hướng tây nên trái đất vuông Về mặt thực tế khó nói tính sai khẳng định dạng Tuy nhiên áp dụng hệ toán mệnh đề thấy câu i ii câu iii sai đặc biệt câu vô nghĩa câu iv lại b Công thức mệnh đề Chương Lôgic suy luận toán học i ii Các giá trị 1, mệnh đề sơ cấp : X, Y, Z, công thức mệnh đề Nếu A, B, C công thức mệnh đề (A B), (A B), (A), (A B) công thức mệnh đề Dựa vào định nghĩa để nhận biết công thức Ví dụ : A B A không công thức Để đơn giản (nếu không nhầm lẫn) bỏ bớt dấu ngoặc bao Ví dụ 2: "Nếu cao kều, đăm chiêu lặng lẽ trời mưa" Có nhiều cách để biểu diễn câu thành công thức mệnh đề : Nếu đặt X, Y, Z, T tương ứng mệnh đề sơ cấp : "Anh ta cao kều"; "Anh ta đăm chiêu"; "Anh ta lặng lẽ", "Trời mưa" ta có công thức mệnh đề (X Y Z) T Nếu đặt A công thức : "Anh ta cao kều, đăm chiêu" ; B công thức "lặng lẽ" C công thức "Trời mưa" công thức cho câu (A B) C Đặt A = "Nếu cao kều, đăm chiêu lặng lẽ trời mưa" Công thức A Như giá trị công thức (hoặc mệnh đề) tính qua giá trị công thức thành phần, A, B, C A, B, C kết hợp phép toán cách lập bảng chân trị Vì công thức mệnh đề xem mệnh đề Tính tương đương công thức Hai công thức gọi tương đương với giá trị mệnh đề sơ cấp tham gia công thức (thực chất tương đương lôgic, nghĩa trùng mặt giá trị chân lý không trùng hoàn toàn mặt cấu trúc) Kí hiệu A B để hai công thức A B tương đương Để kiểm tra tính tương đương ta lập bảng chân trị Các phần sau cho thấy cách khác để kiểm tra tính tương đương (ví dụ dùng phép biến đổi tương đương) Ví dụ 3: Lập bảng chân trị cho công thức tương đương sau (bài tập) i A B A B ii (A B) A B iii A A Bằng cách lập bảng chân trị ta dễ dàng chứng minh cặp công thức tương đương sau : Một số công thức tương đương Tên gọi Tương đương Luật đồng A1A0A Luật nuốt A 1; A 0, A A 1; A A Luật luỹ đẳng AAAAA Luật phủ định kép A A Luật hấp thụ A (A B) A; A (A B) A Luật giao hoán A B B A; A B B B Luật kết hợp (A B) C A (B C); (A B) C A (B C) Chương Lôgic suy luận toán học Luật phân phối A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C) Luật De Morgan (A B) A B; (A B) A B Các công thức khác A B A B Từ bảng công thức tương đương (mà ta xem luật) ta sử dụng để tìm tương đương rút gọn công thức khác Ví dụ 4: Chứng minh (A (A B)) A B A (A B)) : A (A B) : (A A) (A B) : (A B) : (A B) Ví dụ : Chứng minh A (A B) = A (A 0) (A B) : A (0 B) : A (B 0) : A0 : A : De Morgan De Morgan phân phối đồng đồng phân phối giao hoán nuốt đồng (x + 0y = (x+0)(x+y)) Công thức đồng (sai, tiếp liên) c Định nghĩa Nếu hoàn toàn (đồng đúng) hoàn toàn sai (đồng sai) với giá trị mệnh đề sơ cấp Trường hợp lại gọi tiếp liên Nếu A đồng A đồng sai ngược lại Ví dụ 5: A A, A A, A, công thức đồng đúng, đồng sai, tiếp liên Để chứng minh A đồng ta chứng minh nhiều cách : Lập bảng chân trị (trong trường hợp mệnh đề sơ cấp) cột chân trị A hoàn toàn Chứng minh A biến đổi tương đương dựa bảng công thức tương đương Dùng số cách chứng minh gián tiếp khác phản chứng Khi ta giả thiết có chân trị mệnh đề sơ cấp cho A nhận giá trị 0, từ giả thiết lập luận ta dẫn khẳng định vô lý mâu thuẫn với kết biết Ví dụ 6: Chứng minh công thức (A B) (A B) đồng Lập bảng chân trị : A B AB AB (A B) (A B) 1 1 Chương Lôgic suy luận toán học 0 1 1 0 0 Biến đổi trực tiếp : (A B) (A B) (A B) (A B) A B A B Phản chứng : Giả thiết tồn giá trị A, B cho công thức nhận giá trị Từ bảng chân trị phép toán X Y (chỉ sai X Y sai) ta phải có A B A B sai Hai khẳng định mâu thuẫn A B A lẫn B A B sai A lẫn B sai Do công thức đồng d Tính chất Định lý 1: Giả sử A, B công thức A B A B B A đồng Chứng minh: tập Định lý cho thấy mối quan hệ tính tương đương tính đồng Ví dụ 7: A A A A A A đồng A (B A) công thức đồng khẳng định A B A, (B A) A tiếp liên Luật đối ngẫu Giả sử A công thức chứa phép toán , , mà không chứa phép toán Trong A đối chỗ vai trò hai phép toán , cho thay giá trị cặp 1, ta công thức A* gọi công thức đối ngẫu A Từ định nghĩa dễ dàng thấy B công thức đối ngẫu A A đối ngẫu B Ví dụ 8: Đối ngẫu công thức X (Y X) công thức X (Y X) Định lý 2: Cho A(X) B(X) công thức, X mệnh đề sơ cấp B(X) công thức đối ngẫu A(X) Khi ta có : i A(X) B(X) B(X) = A(X) ii A(X) B(X) B(X) A(X) Chứng minh: Chứng minh theo định nghĩa đệ quy công thức A dùng luật De Morgan Ví dụ 9: Cho ta có : A(X, Y, Z) = (X Y) (Y Z) A*(X, Y, Z) = (X Y) (Y Z) A*((X, Y, Z)) ((X Y) (Y Z) (X Y) (Y Z) (De Morgan) (X Y) (Y Z) Chương Lôgic suy luận toán học A Vậy A(X, Y, Z) A*((X, Y, Z)) Định lý 3: Đối ngẫu công thức tương đương công thức tương đương Chứng minh: Qui nạp theo định nghĩa công thức Ví dụ 10: A (A B) A Luật hấp thụ A (A B) A hấp thụ (đối ngẫu A (A B) A (A B), đối ngẫu A A) công thức khác công thức De Morgan, công thức phân phối, kết hợp Luật thay Giả sử A công thức mệnh đề chứa kí hiệu mệnh đề sơ cấp X Khi thay vị trí X A công thức mệnh đề B ta nhận công thức mệnh đề kí hiệu A(X|B) Định lý 4: Nếu A(X) đồng A(X|B) đồng với công thức B Chứng minh: chứng minh theo định nghĩa công thức đồng Ví dụ 11: (A B) A đồng Do thay A (B A) ta nhận công thức ((B A) B) (B A) đồng Luật kết luận Định lý 5: Nếu A A B công thức đồng B công thức đồng Chứng minh: Phản chứng II BÀI TOÁN THOẢ ĐƯỢC Một công thức mệnh đề A gọi thoả tồn giá trị mệnh đề sơ cấp cho công thức có giá trị (1) Như công thức A không thoả đồng sai tức A đồng Do để giải toán thoả ta đưa xét toán đồng Nếu A không đồng A thoả Dễ thấy có tồn thuật toán tìm đồng Ví dụ lập bảng chân trị Tuy nhiên phương pháp có độ phức tạp lớn (O(2n)) Do ta đưa cách khác kiểm tra tính đồng với độ phức tạp bé Giả thiết cần kiểm tra công thức A đồng ? Giả sử A chứa 64 biến mệnh đề sơ cấp Nếu làm theo phương pháp liệt kê bảng chân trị ta thu bảng Chương Lôgic suy luận toán học với 264 dòng Giả thiết máy tính kiểm tra giá trị công thức với tốc độ tỷ dòng/giây tỷ = 103x3 210x3 Khi để kiểm tra hết bảng chân trị máy tính phải 264 / 230 = 234 giây Mỗi năm có 365 x 24 x 3600 giây < 512 x 32 x 4096 = 29 x 25 x 214 = 228 giây Do thời gian cần 26 năm = 64 năm Tuyển (hội) sơ cấp Định nghĩa : Tuyển (hội) mệnh đề phủ định gọi tuyển (hội) sơ cấp Định lý 6: Điều kiện cần đủ để TSC đồng tuyển có chứa mệnh đề đồng thời với phủ định để HSC đồng sai hội có chứa mệnh đề đồng thời với phủ định Chứng minh: tập Dạng chuẩn tắc tuyển (hội) Định nghĩa Giả sử A công thức A' công thức tương đương A Nếu A' tuyển HSC A' gọi dạng chuẩn tắc tuyển A Giả sử A'' công thức tương đương A Nếu A' hội TSC A' gọi dạng chuẩn tắc hội A Định lý 7: Điều kiện cần đủ để A đồng dạng chuẩn tắc hội TSC phải chứa mệnh đề sơ cấp với phủ định Điều kiện cần đủ để A đồng sai dạng chuẩn tắc tuyển HSC phải chứa mệnh đề sơ cấp với phủ định Chứng minh: tập Thuật toán kiểm tra Để xây dựng dạng chuẩn tắc tuyển ta theo bước : Khử Dùng De Morgan phân phối đưa phép toán , , Đưa công thức dạng chuẩn tắc Ví dụ 12: X (Y X) = X Y X dạng chuẩn tắc tuyển với ba HSC X, Y, X dạng chuẩn tắc hội với TSC X Y X nên đồng III VỊ NGỮ VÀ LƯỢNG TỪ Vị ngữ i Xét câu có liên quan đến biến : P(x) := x > Chương Lôgic suy luận toán học ii Q(x,y) := x = y + iii R(x,y,z) := x + y + z = Các câu có giá trị (1, 0, 1, 0) x, y, z nhận giá trị cụ thể P, Q, R gọi hàm mệnh đề, x, y, z biến "tính chất", "ràng buộc" x, y, z vị ngữ Ví dụ hàm mệnh đề P(x), x biến "lớn 3" vị ngữ Với giá trị cụ thể x, y, z P, Q, R có giá trị chân lý Ví dụ P(1) = 0, P(4) = Lượng từ Đề hàm mệnh đề nhận giá trị ta cần xét giá trị cụ thể biến Tuy nhiên hàm mệnh đề lượng từ hoá để nhận giá trị a Lượng từ "với mọi" xP(x) = P(x) với x không gian Ví dụ 13: x x mệnh đề Hàm mệnh đề P(x) x2 Trong trường hợp không gian hữu hạn P(x) P(x1) P(x2) P(xn) b Lượng từ "tồn tại" xP(x) = P(x) với x không gian Ví dụ 14: x x2 = mệnh đề Hàm mệnh đề P(x) x2 = Trong trường hợp không gian hữu hạn P(x) P(x1) P(x2) P(xn) c Biến ràng buộc tự Ràng buộc lượng từ hoá tự ngược lại Như để hàm mệnh đề trở thành mệnh đề tất biến phải ràng buộc Chú ý : Thứ tự lượng từ quan trọng Ví dụ 15: xy xy = (x R\{0}) có giá trị yx xy = có giá trị d Biểu thức logic với lượng từ Một biểu thức lôgic (công thức) biến tự thành mệnh đề thông thường Từ ta áp dụng phép toán lôgic xét tính đồng tính tương đương công thức lôgic đại số mệnh đề Có thể kết hợp lượng từ thành biểu thức lôgic : Ví dụ để định nghĩa L giới hạn hàm f(x) : x (0 < |x - a| < |f(x) - L| < ) Hoặc dễ dàng chứng minh (bài tập cho sinh viên) xP(x) xP(x) xP(x) xP(x) Dịch câu sang biểu thức lôgic Cũng giống dịch câu nói thông thường sang mệnh đề tiết trước, ta cần tách câu thành hàm mệnh đề liên quan phép toán lôgic Biểu diễn hàm mệnh đề nối lại phép toán Chương Lôgic suy luận toán học Ví dụ 16: "Mọi người có người bạn tốt nhất" Có thể tách thành hàm mệnh đề : “mọi người có người bạn tốt nhất” “mọi người có người bạn tốt nhất” Đây hàm mệnh đề có liên quan đến biểu diễn hàm mệnh đề : B(x,y) = "y bạn tốt x" x y (B(x,y) z(z y B(x,z)) Ví dụ 17: tập "Tất sư tử dữ" "Một số sư tử không uống cà phê" "Một số sinh vật không uống càfê " x(P(x) Q(x)) x(P(x) R(x)) x(Q(x) R(x)) P(x) = "x sư tử", Q(x) = "x dữ", R(x) = "x uống cà phê Cần phân biệt x(P(x) R(x)) x(P(x) R(x)) (bài tập) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Các qui tắc suy diễn Định lý mệnh đề chứng minh đắn Để chứng minh tính mệnh đề ta xuất phát từ mệnh đề chấp nhận ban đầu gọi tiên đề từ nhiều phương pháp nhiều qui tắc suy luận toán học ta rút mệnh đề kéo thành dãy kết thúc thành mệnh đề cần chứng minh Trong thực tế ta thường xuất phát từ mệnh đề trung gian (hoặc bổ đê) chứng minh đắn Bảng sau số qui tắc suy luận quan trọng thường đặt sở đồng lôgic mệnh đề lôgic vị từ Chúng ta xây dựng nhiều qui tắc suy diễn dựa đồng nhiên ta xét suy diễn tương đối đơn giản dễ nhớ dễ áp dụng Tên gọi Đồng Qui tắc suy diễn Cộng p (p q) ppq Rút gọn (p q) p pqp Kết luận (modus ponens) ((p q) p) q pq,pq Kết luận phủ định (modus tollens) ((p q) q) p p q , q p Tam đoạn luận ((p q)(q r))(p r) pq,qrpr Tam đoạn luận tuyển ((p q) p) q p q , p q Các ví dụ : Mặt trời mọc hướng đông đất vuông định lý Tam giác đa giác có cạnh góc Do tam giác đa giác có cạnh Ta biết định lý : số lẻ n số lẻ n+1 chia hết cho Vậy = 3+1 chia hết cho số lẻ n số lẻ n+1 chia hết cho 8+1 không chia hết cho số lẻ Chương Lôgic suy luận toán học Đã biết : năm chia chẵn cho năm nhuận năm nhuận tháng có 29 ngày Vậy tháng năm 2000 có 29 ngày Hiện trời mưa có nhiều mây Nếu trời không mưa có nhiều mây Suy luận có sở : Các suy luận dùng qui tắc suy diễn dựa công thức đồng Nguỵ biện : Các suy luận dùng qui tắc suy diễn dựa đồng sai tiếp liên Một suy luận có sở dẫn đến kết sai tuỳ thuộc vào giả thiết sai Một nguỵ biện luôn dẫn đến kết không chấp nhận (luôn sai) Ví dụ suy luận có sở : Cắt chân cào cào, hô nhảy cào cào không nhảy tai cào cào nằm chân Nếu a = b a2 = ab a2 - b2 = ab - b2 = b(a - b) Mặt khác a2 - b2 = (a - b)*(a + b) Đơn giản a - b ta a + b = b = suy luận có sở dẫn đến kết sai sử dụng nhầm giả thiết Ví dụ nguỵ biện : Nếu có tiền mua ô tô, mua ô tô nên có tiền Sử dụng sai công thức : ((p q) q) p) Nếu n số nguyên tố n2 số lẻ Vì 81 số lẻ nên số nguyên tố Sử dụng sai công thức : ((p q) q) p) Sữa có màu trắng, cò có màu trắng, sữa cò Sử dụng sai công thức : ((p q) (r q)) (p r) Dựa qui tắc suy diễn ta có phương pháp chứng minh sau Các phương pháp chứng minh a Cần chứng minh p Dùng phản chứng Giả thiết p Vì p p sai Ví dụ : vô tỷ b Cần chứng minh p q rỗng : Chỉ p sai tầm thường : Chỉ q trực tiếp : Dùng trung gian từ p đến q Ví dụ : n lẻ n2 lẻ gián tiếp : Dựa công thức p q q p Ta chứng minh q p trực tiếp cách Từ suy p q Ví dụ : 3n + lẻ n lẻ Cách chứng minh quan niệm chứng minh phản chứng, chứng minh mâu thuẫn phụ thuộc vào cách trình bày Chứng minh phản chứng ta quan niệm mệnh đề p q mệnh đề p không cần phân chia Chứng minh mâu thuẫn (hoặc gọi phản chứng) ta giả thiết p q suy p, tức dẫn đến mâu thuẫn có p p Minh hoạ cho nhận xét chứng minh A (B A) : Phản chứng : giả thiết A (B A) = A = B A = B = A = 0, ta có A = A = => mâu thuẫn Gián tiếp : xem p = A q = B A, giả thiết q tức B A = B = 1, A = tức p Chương Lôgic suy luận toán học p q Mâu thuẫn : Giả thiết có p tức A = 1, q tức B A = tức A = dãn đến mâu thuẫn c Cần chứng minh (p1 p2 pn) q Chứng minh trường hợp : (p1 q) (p2 q) (pn q) Ví dụ : Nếu n không chia hết cho n2 (mod 3) 1ách n thành trường hợp chia dư chia dư d Cần chứng minh p q Chứng minh p q q p Ví dụ : Cho R quan hệ tương đương Các điều sau tương đương i aRb ii [a]R = [b]R iii [a] [b] e Cần chứng minh xP(x) Chứng minh kiến thiết : Chỉ x Ví dụ : với n, tồn n số nguyên liên tiếp hợp số Tức nx (x + i) hợp số (i=1 n) Lấy x = (n + 1)! + Trực tiếp phản chứng : Ví dụ x3 - 3x + = có nghiệm [0, 1] Áp dụng định lý đổi dấu Hoặc cần chứng minh với dãy số liên tiếp tồn số chia hết cho f Cần chứng minh xP(x) Chứng minh trực tiếp qui nạp x N Ví dụ 18: n.1+2+ + n = n(n+1)/2 Có n/2 cặp n+1 (n chẵn) (n+1)/2 cặp n (n lẻ, thêm 0) g Cần chứng minh xP(x) sai Chứng minh xP(x) đúng, tức phản ví dụ để P(x) sai Ví dụ 19: chứng minh với x nguyên tố x + nguyên tố V PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP Phương pháp qui nạp a Phương pháp Quy nạp toán học phương pháp quan trọng, thường dùng để chứng minh mệnh đề dạng nP(n) n số nguyên dương tùy ý Quá trình chứng minh P(n) với số nguyên dương n bao gồm hai bước: i Bước sở Chỉ mệnh đề P(1) ii Bước quy nạp Chứng minh phép kéo theo P(n) P(n+1) với số nguyên dương n, P(n) gọi giả thiết quy nạp Theo cách viết quy tắc lôgic chứng minh có dạng sau: (P(1) n(P(n) P(n+1)) nP(n) 10 Chương Lôgic suy luận toán học số phương e Nếu n số thực n > 2, n2 > Giả sử n Khi n2 Chứng minh: a Nguỵ biện, áp dụng sai qui tắc rút gọn b Nguỵ biện, dùng câu hỏi làm câu trả lời c Có sơ sở theo qui tắc kết luận phủ định d Có sơ sở theo qui tắc tam đoạn luận tuyển e Nguỵ biện áp dụng sai qui tắc kết luận 29 Suy luận sau chứng minh không xác định lý ”Nếu n không chia hết cho n không chia hết cho 3” Nguyên nhân dùng suy luận vòng tròn Sai lầm đâu ? Nếu n2 không chia hết cho 3, n2 không 3k với k số nguyên Vì n không 3l với số nguyên l Kết luận n không chia hết cho Chứng minh: Dùng điều cần chứng minh để làm kết luận 30 Hãy chứng minh mệnh đề P(0), P(n) mệnh đề “Nếu n số nguyên dương lớn 1, n2 > n” Bạn dùng kiểu chứng minh nào? Chứ3fng minh Chứng minh rỗng, giả thiết sai nên mệnh đề luôn 31 Hãy chứng minh mệnh đề P(1), P(n) mệnh đề “Nếu n số nguyên dương, n2 n” Bạn dùng kiểu chứng minh nào? Chứng minh: Chứng minh tầm thường, kết luận nên mệnh đề luôn đú 32 Giả sử P(n) mệnh đề “nếu a b số thực dương, (a + b) n an + bn” Chứng minh P(1) Bạn dùng kiểu chứng minh ? Chứng minh: Trực tiếp 33 Chứng minh bình phương số chẵn số chẵn a Chứng minh trực tiếp b Chứng minh gián tiếp c Chứng minh mâu thuẫn Chứng minh: a Chứng minh trực tiếp : n = 2k n2 = 4k2 : chẵn b Chứng minh gián tiếp : Giả thiết n2 số lẻ n2 = 2k + Đặt n = m+1 2k + = m2 + 2m + 2k = m2 + m m2 + m chẵn Có trường hợp xảy : i m2 lẻ m lẻ n2 = (2l+1)2 + 2(2l+1) + = 4l2 + 4l + + 4l + + = 4l2 + 8l + số chẵn dẫn đến mâu thuẫn, trường hợp không xảy ii m2 chẵn m chẵn n = m + nên n lẻ c Chứng minh mâu thuẫn : giả thiết n chẵn n2 lẻ n = 2k n2 = 4k2 = 2m + 2m = (2k+1)(2k-1) 2k+1 2k-1 chẵn vô lý Cách chứng minh b c „dài dòng‟ không hợp lý, nhiên mục đích chứng minh để minh hoạ cho phương pháp chứng minh khác 34 Hãy chứng minh tổng hai số nguyên lẻ số chẵn Chứng minh: m = 2k+1, n = 2l+1 m+n = 2k + 2l + đfcm (chứng minh trực tiếp) 26 Chương Lôgic suy luận toán học 35 Chứng minh tổng hai số hữu tỷ số hữu tỷ Chứng minh: Hoá đồng mẫu số (chứng minh trực tiếp) 36 Chứng minh tổng số hữu tỷ với số vô tỷ số vô tỷ nhờ chứng minh mâu thuẫn Chứng minh: Giả thiết tổng x + y = z số hữu tỷ y = x – z số hữu tỷ (hoá đồng mẫu số), mâu thuẫn với giả thiết y số vô tỷ 37 Chứng minh tích hai số hữu tỷ số hữu tỷ Chứng minh: 1ương tự 38 Chứng minh bác bỏ tích hai số vô tỷ số vô tỷ Chứng minh: Sai sqrt(2) * sqrt(2) = 39 Chứng minh bác bỏ tích số hữu tỷ khác không số vô tỷ số vô tỷ Chứng minh: Dùng phản chứng : z = x * y, gỉa thiết x hữu tỷ (0), y vô tỷ z hữu tỷ, y = z/x hữu tỷ, mâu thuẫn với y vô tỷ 40 *Chứng minh bác bỏ n2 - n + 41 nguyên tố n số nguyên dương Chứng minh: Sai n = 41 n*n – n + 41 = 41 * 41 – 41 + 41 hợp số 41 Chứng minh bác bỏ 2n + nguyên tố với n nguyên không âm Chứng minh: Sai với n = 42 Chỉ 3 vô tỷ Chứng minh: Phản chứng, gỉa thiết hữu tỷ a/b a3 = 3b3 mod(a3, 3) = a = 3k b3 = a3 = 9k3 b = 3k mâu thuẫn với a/b tối giản 43 *Chỉ n vô tỷ n số nguyên dương không phương Chứng minh: Để chứng minh điều trên, trước hết ta chứng minh số bổ đề sau : a Mọi số nguyên phân tích thành tích thừa số nguyên tố Thật vậy, n không nguyên tố viết dạng : n = n1.n2…nk, xét thừa số hợp số Giả sử n1 hợp số, tiếp tục biểu diễn n1 thành tích thừa số nguyên tố tiếp tục trình ta dãy thưà số nguyên tố để biểu diễn n1 1ương tự cho n2 đến nk, cuối ta dãy thừa số nguyên tố biểu diễn n b Tích số nguyên với số vô tỉ vô tỉ Giả sử n = mv, v số vô tỉ Giả sử ngược lại n hữu tỉ tức mv = a/b v = a/bm số hữu tỉ Vậy n phải vô tỉ Như sau phân tích n thành tích thừa số nguyên tố, lấy bậc thừa số có số mũ chẵn biểu diễn n dạng n = m p p p k , m nguyên n không phương nên p1, p2, …pk 0, số nguyên tố khác Theo b) để chứng minh n vô tỉ ta cần chứng minh p p p k vô tỉ Giả sử ngược lại p p p k = b/a p1p2…pk = b2/a2 b2 = a2p1p2…pk b2 | pi b | pi b2 = lipi2 (li nguyên) a2 = l1l2…lk.p1p2…pk Từ ta có a | pi a b không nguyên tố đfcm 44 Chứng minh x y hai số thực max(x,y) + min(x,y) = x + y (Gợi ý: Sử dụng 27 Chương Lôgic suy luận toán học chứng minh trường hợp, với hai trường hợp tương ứng x y x < y) Chứng minh: Xét x y max(x,y) + min(x,y) = x + y Với x < y, ta có max(x,y) + min(x,y) = y +x 45 Chứng minh số nguyên không chia hết cho 5, bình phương chia cho dư Chứng minh: Xét với trường hợp có số dư r = 1, 2, 3, n = 5k + n2 = 25k2 + 10k + 1, chia dư n = 5k + n2 = 25k2 + 20k + 4, chia dư n = 5k + n2 = 25k2 + 30k + 9, chia dư n = 5k + n2 = 25k2 + 40k + 16, chia dư 46 Chứng minh x y hai số thực |x| + |y| |x+y| (trong |x| giá trị tuyệt đối |x|) Chứng minh: Tương tự chứng minh cho trường hợp 47 Chứng minh n số nguyên dương n chẵn 7n+6 chẵn Chứng minh: trường hợp : n chẵn n = 2k 7n + = 14k + chẵn n lẻ n = 2k + 7n + = 14k + lẻ 48 Chứng minh n số nguyên dương n lẻ 5n+6 lẻ Chứng minh: trường hợp : n lẻ n = 2k + 5n + = 10k + 11 lẻ n chẵn n = 2k 5n + = 10k + chẵn 49 Chứng minh m = n m = n m = -n Chứng minh: trường hợp : m = n2 m = n m2 = (-n)2 m = -n 50 Cho p số nguyên tố Chứng minh a2 b2 (mod p) a b (mod p) a - b (mod p) Chứng minh: Trực tiếp : a2 b2 (mod p) a2 - b2 | p (a + b) (a – b) | p a + b | p a – b | p (vì p nguyên tố) a -b (mod p) a b (mod p) 51 Hãy chứng minh bác bỏ n2 - hợp số với n nguyên dương lớn Chứng minh: n = n2 – = không hợp số 52 Hãy chứng minh bác bỏ m n số nguyên cho mn = m = n = m = -1 n = -1 Chứng minh: Đặt a = mn Giả thiết m 1 a có nhân tử có trị tuyệt đối >1, mâu thuẫn với a = nhân tử lớn Từ suy m = (do n = 1/m = 1) m = -1 (n = -1) 53 Hãy chứng minh bác bỏ a mod m + b mod m = (a+b) mod m, với m số nguyên 28 Chương Lôgic suy luận toán học dương Chứng minh: Mệnh đề sai Vì mod + mod = + = 12 mod = 54 Hãy chứng minh bác bỏ số nguyên dương viết dạng tổng bình phương hai số nguyên Chứng minh: Mệnh đề sai 2, 3, 6, 7, 11, 14, 15 biểu diễn dạng tổng bình phương hai số nguyên 55 Chứng minh n số nguyên dương cho tổng ước n + 1, n số nguyên tố Bạn dùng kiểu chứng minh nào? Chứng minh: Xem n ước số n Do tổng ước luôn n + Dấu xảy n nguyên tố (có thể trình bày chứng minh trực tiếp gián tiếp) 56 Chứng minh số thực a1, a2, , an lớn hay trung bình cộng số Bạn dùng kiểu chứng minh nào? Chứng minh: Phản chứng : Gọi a trung bình cộng Giả thiết < a a1 + a2 + + an < na a < a mâu thuẫn 57 *Dùng tập 31 10 số nguyên dương đặt xung quanh vòng tròn, theo thứ tự bất kỳ, tồn số nguyên đứng liền có tổng lớn hay 17 Chứng minh: Gọi tổng 10 số A = 55 đánh số xếp a1, a2, , a10 Ta có : (a1 + a2 + a3) + (a2 + a3 + a4) + … + (an + a1 + a2) = 3A = 165 trung bình cộng 10 số 16,5 Vì nguyên nên tồn > 16.5 17 58 Chứng minh n số nguyên, bốn mệnh đề sau tương đương: a n chẵn b n+1 lẻ c 3n+1 lẻ d 3n chẵn Chứng minh: n chẵn n + lẻ 3n + = 2n + (n + 1) lẻ 3n chẵn n chẵn 59 Chứng minh n số nguyên, ba mệnh đề sau tương đương: a n chia hết cho b n2 chia hết cho c n2 (mod 5) Chứng minh: n | n = 5k n2 = 25k2 n2 | n2 1 (mod 5) n2 5k Giả thiết n không chia hết cho n2 = 5k (thử với số dư 1, 2, 3, 4) mâu thuẫn với giả thiết n2 5k n | 60 Chứng minh bác bỏ có ba số nguyên dương lẻ liên tiếp số nguyên tố, tức số nguyên tố lẻ dạng p, p+2 p+4 (còn gọi số sinh ba) Chứng minh: p = (3, 5, số nguyên tố) Liên quan đến tập số nguyên ta có nhiều giả thuyết chưa chứng minh : a Mọi số chẵn tổng số nguyên tố (giả thuyết Holdbax) ? 29 Chương Lôgic suy luận toán học b Một giả thuyết hệ số lẻ (>5) tổng số nguyên tố c Giữa n 2n luôn tồn cặp số sinh đôi ? d Có vô hạn số nguyên tố Maxcell (dạng 2n – 1) ? (n = 4, 8, … hợp số) e Có vô hạn số nguyên tố Pherma (dạng 2 hợp số) f Bộ ba (3, 5, 7) sinh ba ? n 1) ? (n = 0, 1, 2, 3, nguyên tố, 61 Chứng minh bác bỏ với n số nguyên dương có n số nguyên dương lẻ liên tiếp số nguyên tố Chứng minh: Mệnh đề sai số nguyên dương lẻ liên tiếp phải có tồn số chia chẵn cho 62 Quy tắc suy luận dùng để khẳng định kết luận lý lẽ Lewis Carroll ví dụ 14 1.3 ? 63 Quy tắc suy luận dùng để khẳng định kết luận lý lẽ Lewis Carroll ví dụ 15 1.3 ? 64 Hãy đưa chứng minh kiến thiết mệnh đề “Với số nguyên dương n có số nguyên chia hết cho nhiều n số nguyên tố" Chứng minh: Gọi p1, p2, …, pn+1 số nguyên tố từ đến n+1, số m = p1p2…pn+1 chia hết cho n+1 số nguyên tố (Chú ý : cần chứng minh bổ đề "có vô hạn số nguyên tố" Giả sử có hữu hạn số, A = p1p2…pn+1 +1 số nguyên tố biểu diễn dạng tích thừa số nguyên tố Các thừa số phải khác pi A không chia chẵn cho pi, điều chứng tỏ có vô hạn số nguyên tố) 65 Tìm phản ví dụ cho mệnh đề “ với số nguyên tố n, n+2 số nguyên tố” Chứng minh: 7, 66 *Chứng minh có vô hạn số nguyên tố đồng dư theo modun Chứng minh bạn thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết (Gợi ý : Một phương pháp giả sử có số hữu hạn số nguyên tố p1, p2, , pn đồng dư (mod 4) Gọi q = p1 p2 pn + Chứng tỏ q có ước nguyên tố đồng dư theo môdun không nằm số nguyên tố p1, p2, , pn) Chứng minh: Giả sử có n số nguyên tố p1, p2, …, pn số nguyên tố đồng dư theo modulo Khi q = 4p1p2…pn+1 + số đồng dư module q không số nguyên tố dẫn đến mâu thuẫn với có n số Do q hợp số phân tích thành tích thừa số nguyên tố Các thừa số phải khác pi 3, q không chia chẵn cho pi (với giả thiết pi 3) Ngoài q (mod 4) nên thừa số nguyên tố phải (mod 4) (có thể chứng minh điều tích đồng dư 0, 1, không cho đồng dư (mod 4)), mâu thuẫn với có n số 67 Chứng minh bác bỏ p1, p2, , pn số nguyên tố nhỏ p1p2 pn+1 số nguyên tố Chứng minh: 2*3*5*7*11*13+1 = 30030 68 Chứng minh mệnh đề p1, p2,p3, p4 p5 tương đương chứng minh mệnh đề kéo theo p1 p4, p3 p1, p4 p2, p2 p5 p5 p3 Chứng minh: Áp dụng phép tam đoạn luận 30 Chương Lôgic suy luận toán học 69 Chứng minh hay bác bỏ a b số hữu tỷ ab hữu tỷ Chứng minh: Mệnh đề sai 21/2 số vô tỷ b 70 Chứng minh có số vô tỷ a b cho a hữu tỷ Chứng minh bạn thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết? (Gợi ý: Cho a= b = Chỉ ab (ab)b hữu tỷ) Chứng minh: Giả thiết ab vô tỷ, (ab)b = a2 = hữu tỷ Chứng minh không kiến thiết không rõ ab hay (ab)b hữu tỷ 71 Chứng minh bàn cờ 8x8 phủ hoàn toàn quân domino (1x2 ô) Chứng minh: Vì chiều ngang, dọc chia hết cho 72 *Chứng minh phủ hoàn toàn bàn cờ 8x8 quân domino hai ô góc đối diện bị cắt bỏ Chứng minh: Một quân domino đặt lên bàn cờ luôn phủ ô trắng ô đen Do số ô trắng đen phủ mộ số quân domino luôn Nếu bàn cờ bị cắt góc đối diện (hoặc ô trắng ô đen) số ô không phủ số quân cờ domino 73 *Bài toán Lô-gic, lấy từ WFF‟N PROOF, trò chơi Lôgic, có hai giả thiết: “Môn lôgic khó nhiều sinh viên thích môn lôgic” “Nếu môn toán dễ lôgic không khó” Bằng cách chuyển gỉả thiết thành mệnh đề chứa biến toán tử lôgic Hãy xác định xem khẳng định sau có kết luận có sở giả thiết cho không: a Môn toán không dễ nhiều sinh viên thích môn lôgic b Không có nhiều sinh viên thích môn lôgic môn toán không dễ c Môn toán không dễ môn lôgic khó d Môn lôgic không khó môn toán không dễ e Nếu nhiều sinh viên thích môn lôgic môn toán không dễ lôgic không khó Chứng minh: Đặt : A = “ Môn lôgic khó"; B = "không có nhiều sinh viên thích môn lôgic”; C = "Môn toán dễ" Các giả thiết viết lại : “ Môn lôgic khó nhiều sinh viên thích môn lôgic” A B “Nếu môn toán dễ lôgic không khó" C A Khi câu diễn đạt a Môn toán không dễ nhiều sinh viên thích môn lôgic B C : có sở B A (1, tam đoạn luận tuyển) C (2, modus tollen) b Không có nhiều sinh viên thích môn lôgic môn toán không dễ C B nguỵ biện từ 2) 1) áp dụng modus tollen ta có : C A B nên C B, không xảy C B c Môn toán không dễ môn lôgic khó C A 31 Chương Lôgic suy luận toán học nguỵ biện từ 2) C A, có C A d Môn lôgic không khó môn toán không dễ A C có sở tương đương với 2) e Nếu nhiều sinh viên thích môn lôgic môn toán không dễ lôgic không khó B (C A) có sở (C A) (C A) (tính tương đương) (*) (*) 2) kết luận cho (C A) (**) B (C A) (cộng) B (C A) 74 *Hãy xác định xem suy luận sau có sở hay không: “Nếu siêu nhân có khả muốn ngăn cản tội ác làm điều Nếu siêu nhân khả ngăn cản tội ác người bất lực Nếu không muốn ngăn cản tội ác người xấu bụng Một siêu nhân không ngăn cản tội ác Nếu siêu nhân tồn không bất lực không xấu bụng Do siêu nhân không tồn tại” Chứng minh: Có sở Đặt A = "Siêu nhân người có khả năng"; B = "Siêu nhân người muốn ngăn cản tội ác "; C = "Anh ta làm điều đó"; D = "Anh ta người bất lực"; E = "Anh ta người xấu bụng"; = "Siêu nhân không tồn tại"; Ta có giả thiết : (A B) C A D B E C 0 (D E) (1) (2) (3) (4) (5) cần dẫn xuất (Siêu nhân không tồn tại) Kết dẫn xuất C A B Qui tắc 1, tương đương Số hiệu (6) A B A B 4, 6, kết luận (7) D A 2, tương đương (8) D B 8, 7, tam đoạn luận (9) D E D E 9, 3, tam đoạn luận (10) DE0 5, tương đương (11) 10, 11, kết luận IV QUI NẠP TOÁN HỌC 75 Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn 76 Dùng quy nạp toán học chứng minh công thức tìm Bài tập 77 Dùng quy nạp toán học chứng minh 3.5 + 3.52 + + 3.5n = 3.(5n+1 -1)/4, với n số nguyên không âm 32 Chương Lôgic suy luận toán học 78 Dùng quy nạp toán học chứng minh + 2.72- + 2(-7)n = (1 - (-7)n+1)/4, với n số nguyên không âm 79 Tìm công thức tính tổng : n cách quan sát giá trị biểu thức với giá trị nhỏ n Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết bạn 80 Tìm công thức tính tổng 1.2 n ( n 1) cách quan sát giá trị biểu thức với giá trị nhỏ n Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết bạn 81 Chỉ 12 + 22 + + n2 = n(n+1)(2n+1)/6, với n nguyên dương 82 Chỉ 13 + 23 + + n3 = [n(n+1)/2]2, với n nguyên dương 83 Chỉ 12 + 32 + + (2n+1)2 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3, với n nguyên không âm 84 Chứng minh 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n+1)! - với n nguyên dương 85 *Bằng quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức Bernoulli : “Nếu h > -1 + nh (1+h)n, với n nguyên không âm” 86 Chứng minh 3n n! với n nguyên lớn 87 Chứng minh 2n n2 với n nguyên lớn 88 Chứng minh quy nạp n! nn với n nguyên lớn 89 Chứng minh quy nạp 1.2 + 2.3 + + n(n+1) = n(n+1)(n+2) /3, với n nguyên dương 90 Chứng minh quy nạp : 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4, với n nguyên dương 91 Chứng minh 12 - 22 + 32 - +(-1)n-1n2 = (-1)n-1 n(n+1)/2, với n nguyên dương 92 Chứng minh rằng: 1 n , với n nguyên lớn n 93 Chỉ với bưu phí số nguyên lớn xu tạo hai loại tem xu xu 94 Chứng minh quy nạp n3+2n chia hết cho với n nguyên không âm 95 Chứng minh quy nạp n5- n chia hết cho với n nguyên không âm 96 Chứng minh quy nạp n3- n chia hết cho với n nguyên không âm 97 *Chứng minh quy nạp n2- n chia hết cho với n nguyên dương lẻ 98 Chứng minh quy nạp n2- 7n + 12 không âm với n nguyên lớn 99 Chứng minh quy nạp tập hợp n phần tử có n(n-1)/2 tập chứa phần tử 33 Chương Lôgic suy luận toán học n số nguyên lớn hay 100 *Chứng minh quy nạp tập hợp n phần tử có n(n-1)(n-2)/6 tập chứa phần tử n số nguyên lớn hay 101 Sử dụng quy nạp toán học chứng minh: n j n ( n )( n )( n với n nguyên dương n ) / 30 j1 102 Với giá trị n nguyên không âm ta có n2 n! ? Hãy chứng minh điều khảng định bạn quy nạp toán học 103 Với giá trị n nguyên không âm ta có 2n+3 2n ? Hãy chứng minh điều khẳng định bạn quy nạp toán học 104 Sử dụng quy nạp toán học chứng minh: 1/(2n) = (1.3.5 (2n-1)) / (2.4 2n), với n nguyên dương 105 a Với tem loại xu xu tạo bưu phí nào? b Chứng minh câu trả lời bạn phần a) quy nạp toán học c Chứng minh câu trả lời bạn phần a) nguyên lý thứ hai quy nạp toán học 106 Chỉ dùng đồng 10 xu đồng 25 xu tạo khoản tiền bao nhiêu? Hãy chứng minh câu trả lời bạn quy nạp toán học 107 Máy trả tiền tự động ngân hàng có loại tiền 20$ loại 50$ Máy trả khoản tiền bao nhiêu, số lượng tờ tiền thuộc hai loại không hạn chế Hãy chứng minh câu trả lời bạn quy nạp toán học 108 Giả sử An = A= a 0 n a 0 n b 0 b , a b số thực Chứng minh , với n số nguyên dương tùy ý 109 Giả sử A B ma trận vuông có tính chất AB = BA Chỉ ABn = BnA, với n số nguyên dương tùy ý 110 Giả sử m số nguyên dương Dùng quy nạp toán học chứng minh a b hai số nguyên cho a b (mod m), ak = bk (mod m) với k nguyên không âm 111 Dùng quy nạp toán học chứng minh A1, A2, , An B tập hợp (A1 A2 An ) B = (A1B) (A2B) (AnB) 112 Dùng quy nạp toán học chứng minh A1, A2, , An B1, B2, , Bn tập hợp cho : Ai Bi (i =1, 2, , n) : n a) i 1 n A i i 1 n B i b) i 1 n A i B i i 1 34 Chương Lôgic suy luận toán học 113 Dùng quy nạp toán học chứng minh A1, A2, , An tập tập phổ dụng n n U : A k = A k k 1 k 1 114 Dùng quy nạp toán học chứng minh : (p1 p2 pn) tương đương với p1 p2 pn, p1, p2, pn mệnh đề 115 *Chứng minh : [(p1 p2) (p2 p3) (pn-1 pn)] [(p1 p2 pn-1) pn)] với p1, p2, pn mệnh đề 116 Dùng công thức cho tổng số hạng cấp số nhân tính tổng sau: a + 4.3 + 4.32 + + 4.38 b + 3.22 + 3.24 + + 3.210 c – + 22 - 23 + + (-1)n2n 117 Sai lầm đâu “chứng minh” tất ngựa màu sau: Cho P(n) mệnh đề tất ngựa tập n ngựa màu Rõ ràng P(1) Bây gỉa sử P(n) đúng, tức ngựa tập có n màu Xét n+1 ngựa tùy ý, đặt tên 1, 2, , n, n+1 Dễ thấy n ngựa n ngựa cuối phải màu Vì tập n ngựa tập n ngựa cuối gối lên nhau, nên tất n+1 ngựa màu Điều chứng tỏ P(n+1) hoàn tất chứng minh quy nạp 118 *Tìm sai lầm “chứng minh” an = với n nguyên không âm, số thực khác không Bước sở : a0 = đúng, theo định nghĩa hàm mũ Bước quy nạp : Giả sử ak = với nguyên không âm nhỏ n Khi đó: an+1 = an an / an-1= 1.1/1 =1 119 *Chứng minh dạng tổng quát quy nạp toán học phương pháp có sở cách suy từ tính tốt 120 Chứng minh biến thể sau quy nạp toán học phương pháp có sở để chứng minh P(n) với n nguyên dương Bước sở : P(1) P(2) Bước quy nạp : Với số nguyên dương n, P(n) P(n+1) hai P(n+2) 121 *Dùng quy nạp toán học chứng minh điều hoà thứ n) H n 1 n với n nguyên không âm (Hn số 122 *Dùng quy nạp toán học chứng minh (với Hn số điều hoà thứ n) H1 + H2 + + Hn = (n+1) Hn – n 123 *Chứng minh : 1 2( n ) n 124 *Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng thành (n2 + n + 2)/2 miền 35 Chương Lôgic suy luận toán học hai đường thẳng song song đường có chung điểm 125 **Giả sử a1, a2, , an số thực dương Hãy chứng minh quy nạp : (a1 + a2 + + an) / n (a1 a2 an)1/n 126 *Dùng quy nạp toán học chứng minh 4n+1 + dương 2n-1 chia hết cho 21 với n nguyên 127 Dùng quy nạp toán học chứng minh : p số nguyên tố p | a1a2 an số nguyên (i = 1, 2, , n) p | với i nguyên 128 *Tính chất tốt dùng để chứng minh hai số nguyên dương a b có ước chung lớn Gọi S tập số nguyên dương dạng as + bt, s, t số nguyên a Chỉ S không rỗng b Dùng tính chất tốt để chứng minh S có phần tử nhỏ c c Chỉ d ước chung a b d ước c d Chỉ c|a c|b (Gợi ý: Trước tiên giả sử c không ước a Khi a = qc+r < r < c Chỉ r S, mâu thuẫn với cách chọn c e Từ c) d) kết luận tồn ước chung lớn a b Cuối cần ước chung lớn nhất 129 *Chứng minh a1a2 an n số thực phân biệt, cần (n-1) phép nhân để tính tích n số dấu ngoặc đơn chèn vào tích 130 Bằng miếng hình chữ L lát bàn cờ x khuyết ô vuông góc bên trái 131 Bằng miếng lát hình chữ L lát bàn cờ x có ô vuông góc bên trái bị cắt bỏ 132 Chứng minh bác bỏ tất bàn cờ có dạng phủ hoàn toàn sử dụng miếng lát hình chữ L, với n số nguyên dương a x 2n b x 2n c 3n x 3n d 6n x 6n 133 *Chứng minh bàn cờ ba chiều 2n x 2n x 2n có khối lập phương x x bị cắt bỏ lấp đầy khối lập phương x x bị khuyết khối lập phương x x 134 *Chỉ bàn cờ n x n khuyết hình vuông phủ hoàn toàn dùng miếng lát hình chữ L n>5, n lẻ không chia hết cho 135 Cho a số nguyên b số nguyên dương Chỉ số nguyên q r cho a = dq + r r < d, tồn 136 Dùng nguyên lý quy nạp toán học P(n) với n = k+1, k+2, , với k nguyên, P(k) mệnh đề kéo theo P(n) P(n+1) với n nguyên dương n k V ĐỆ QUI 137 Hãy tìm f(1), f(2), f(3), f(4) f(n) định nghĩa đệ quy với f(0) = với n = 0, 1, 2, a f(n+1) = f(n) +2 36 Chương Lôgic suy luận toán học b f(n+1) = 3.f(n) c f(n+1) = 2f(n) d f(n+1) = (f(n))2 + f(n)+2 138 Hãy tìm f(1), f(2), f(3), f(4) f(5) f(n) định nghĩa đệ quy với f(0) = với n = 0,1,2, a f(n+1) = -2f(n) b f(n+1) = 3.f(n)+ c f(n+1) = (f(n))2 -2f(n)- d f(n+1) = 3f(n)/3 139 Hãy tìm f(2), f(3), f(4) f(5) f(n) định nghĩa đệ quy với f(0) = -1, f(1) = n=1, 2, a f(n+1) = f(n) + f(n-1) b f(n+1) = (f(n))2 f(n-1) c f(n+1) = (f(n))2 -4(f(n-1))2 d f(n+1) = f(n-1)/f(n) 140 Hãy tìm f(2), f(3), f(4) f(5) f(n) định nghĩa đệ quy với f(0) = f(1) = n = 0, 1, 2, a f(n+1) = f(n) - f(n-1) b f(n+1) = f(n) f(n-1) c f(n+1) = (f(n))2 -(f(n-1))3 d f(n+1) = f(n)/f(n-1) 141 Hãy định nghĩa đệ quy dãy {an}, n = 1, 2, a an = 6n b an =2n + c an = 10n d an = 142 Hãy định nghĩa đệ quy dãy {an}, n = 1, 2, a an = 4n - b an =1 + (-1)n c an = n(n+1) d an = n2 143 Cho hàm cho 0(n) tổng n số nguyên dương Hãy đưa định nghĩa đệ quy 0(n) 144 Hãy đưa định nghĩa đệ quy Sm(n), tổng m số nguyên n số nguyên không âm 145 Hãy đưa định nghĩa đệ quy Pm(n) tích m số nguyên n số nguyên không âm Trong Bài tập từ 146-153 fn số Fibonacci thứ n 146 Chứng minh f12 + f22 + + fn2 = fn fn+1, với n nguyên dương 147 Chứng minh f1 + f3 + + f2n-1 = f2n, với n nguyên dương 148 *Chứng minh fn+1 fn-1 - fn2 = (-1)n, với n nguyên dương 149 *Chỉ f0 f1 + f1f2 + + f2n-1f2n = (f2n)2, với n nguyên dương 150 *Chỉ f0 - f1 + f2 - - f2n-1 + f2n = f2n-1 - 1, với n nguyên dương 151 Xác định số phép chia cần dùng thuật toán Euclid tìm UCLN số Fibonaci f n fn+1 với n nguyên dương Dùng quy nạp kiểm tra kết bạn 37 Chương Lôgic suy luận toán học 152 Cho A = 1 1 1 0 An = f n 1 fn fn f n 1 với n nguyên dương 153 Bằng cách tính định thức hai vế phương trình 16, chứng minh đẳng thức 12 154 Hãy đưa định nghĩa đệ qui hàm max n số a1, a2, …, an 155 Cho a1, a2, …, an b1, b2, …, bn số thực Dùng định nghĩa đệ qui tập 18 chứng minh : a max(-a1, -a2, …, -an) = - min(a1, a2, …, an) b max(a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn) max(a1, a2, …, an) + max(b1, b2, …, bn) c min(a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn) min(a1, a2, …, an) + max(b1, b2, …, bn) 156 Gọi S tập định nghĩa sau : S, s + t S s S t S Chứng minh S tập số nguyên dương 157 Cho định nghĩa đệ qui tập số nguyên dương bội 158 Cho định nghĩa đệ qui : a tập số nguyên lẻ b tập luỹ thừa nguyên dương c tập đa thức với hệ số nguyên 159 Cho định nghĩa đệ qui : a tập số nguyên ldương chẵn b tập luỹ thừa nguyên dương đồng dư với theo modulo c tập số nguyên dương không chia hết cho 160 Chứng tỏ biểu thức qui tắc gồm số, biến toán tử {+, -, x, /, } chứa số dấu mở ngoặc dấu đóng ngoặc 161 Hãy định nghĩa biểu thức qui tắc tập hợp, biến biểu diễn tập hợp, toán tử {, , } 162 Kí hiệu xâu đảo w w-1 (là xâu w viết với thứ tự ngược kí tự) Tìm xâu đảo xâu : a 0101 b 11011 c 11011 0010 001 163 Cho định nghĩa đệ qui xâu đảo 164 Chứng minh đệ qui đẳng thức (w1w2)-1 = w2-1w1-1 165 Cho định nghĩa đệ qui xâu wi với i số nguyên không âm (ghép i lần xâu w) 166 Cho định nghĩa đệ qui xâu nhị phân thuận nghịch (đối xứng gương) 167 Xác định tập A gồm xâu nhị phân định nghĩa : A, 0x1 A x A, xâu rỗng 168 Cho định nghĩa đệ qui tập hợp xâu nhị phân chứa bit nhiều bit 169 Bằng qui nạp toán học tập 29 l(wi) = i.l(w), w xâu i nguyên không âm 170 Chứng minh (w-1)i = (wi)-1 38 Chương Lôgic suy luận toán học 171 *Một phân hoạch số nguyên dương m cách viết m tổng số nguyên dương Ví dụ = + = + + Gọi P(m) số phân hoạch khác m (không kể thứ tự) P(m, n) số phân hoạch có hạng thức tổng không vượt n Chứng minh : a P(m, m) = P(m) b Chỉ định nghĩa đệ qui sau cho P(m, n) P (m , n ) nÕu m hoÆc P (n, m ) nÕu m n P ( n , n 1) nÕu m n P ( m , n 1) P ( m n , n ) nÕu m n n c Tìm số phân hoạch cách sử dụng định nghĩa đệ qui 172 Định nghĩa hàm Ackermann sau : A (m , n ) 2n nÕu m 0 nÕu m vµ n nÕu m vµ n A ( m 1, A ( m , n )) nÕu m vµ n Hãy tính giá trị : a A(1, 0) b A(0, 1) c A(1, 1) d A(2, 2) 173 Chỉ A(1, n) = với m 174 Chỉ A(1, n) = 2n với n 175 Tính : a A(2, 3) b A(3, 3) 176 *Tìm A(3, 4) 177 **Chứng minh A(m, n+1) > A(m, n) với m, n nguyên không âm 178 *Chứng minh A(m+1, n) A(m, n) với m, n nguyên không âm 179 Chứng minh A(i, j) j với i, j nguyên không âm 180 Giả sử hàm định nghĩa cách cho 0(0) qui tắc để tính 0(n+1) từ 0(n) Dùng qui nạp toán học chứng minh hàm định nghĩa tốt 181 Giả sử hàm định nghĩa cách cho 0(0) qui tắc để tính 0(n+1) từ giá trị 0(k) với k = 0, 1, 2, …, n Dùng qui nạp toán học chứng minh hàm định nghĩa tốt VI THUẬT TOÁN ĐỆ QUI 182 Hãy cho thuật toán đệ qui tính nx với n nguyên dương x nguyên 183 Hãy cho thuật toán đệ qui tìm tổng n số nguyên dương 184 Hãy cho thuật toán đệ qui tìm tổng n số nguyên dương lẻ 185 Hãy cho thuật toán đệ qui tìm số cực đại tập hữu hạn số nguyên 186 Hãy cho thuật toán đệ qui tìm số cực tiểu tập hữu hạn số nguyên 39 Chương Lôgic suy luận toán học 187 Mô tả thuật toán đệ qui tìm xn mod m với n, x, m số nguyên dương 188 Đưa thuật toán đệ qui tìm n! mod m với n, m số nguyên dương 189 Tìm thuật toán đệ qui tìm UCLN số nguyên không âm a, b (a < b) dùng đẳng thức UCLN(a, b) = UCLN(b, b-a) 190 Tìm thuật toán đệ qui tính a a số thực n số nguyên dương (gợi ý : dùng đẳng thức a ( a ) ) n n 1 n 191 *Dùng thuật toán tập 10 để nghĩ thuật toán tính an với n nguyên không âm (gợi ý : sử dụng biểu diễn nhị phân n) 192 Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n dãy định nghĩa : a0 = 1, a1 = an = an-1.an-2 với n = 2, 3, 4, … 193 Tìm thuật toán lặp tìm số hạng thứ n dãy tập 15 194 So sánh tính hiệu thuật toán tập 15 16 195 Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n dãy định nghĩa : a0 = 1, a1 = 2, a2 = an = an-1 + an-2 + an-3 với n = 3, 4, 5, … 196 Tìm thuật toán lặp tìm số hạng thứ n dãy tập 18 197 So sánh tính hiệu thuật toán tập 17 18 198 Hãy đưa thuật toán đệ qui thuật toán lặp tìm số hạng thứ n dãy định nghĩa : a0 = 1, a1 = 3, a2 = an = an-1 (an-2)2 (an-3)3 với n = 4, 5, … So sánh thuật toán 199 Tìm thuật toán đệ qui tìm số phân hoạch số dương theo định nghĩa đệ qui 200 Tìm thuật toán đệ qui tìm xâu nghịch đảo xâu nhị phân 201 Cho định nghĩa đệ qui tìm xâu wi với i số nguyên, w xâu nhị phân 202 Cho thuật toán đệ qui tìm giá trị hàm Ackermann 40 [...]... khoá học này cần và đủ là phải học giải được các bài tập của toán học rời rạc b Nếu đọc báo mỗi ngày bạn sẽ thạo tin tức và ngược lại c Trời mưa nếu là ngày cuối tuần và là ngày cuối tuần nếu trời mưa d Bạn có thể nhìn thấy lão phù thuỷ nếu lão không ở trong đó và lão không ở trong đó nếu bạn nhìn thấy lão Chứng minh: a Bạn nhận được điểm giỏi trong khoá học này nếu và chỉ nếu bạn học giải được các bài. .. tương đương (11) 0 10, 11, kết luận IV QUI NẠP TOÁN HỌC 75 Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn đầu tiên 76 Dùng quy nạp toán học chứng minh công thức tìm được trong Bài tập trên 77 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 3.5 + 3.52 + + 3.5n = 3.(5n+1 -1)/4, với n là số nguyên không âm 32 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học 78 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 7 + 2.72- + 2(-7)n = (1 -... 111 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng nếu A1, A2, , An và B là các tập hợp thì (A1 A2 An ) B = (A1B) (A2B) (AnB) 112 Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng nếu A1, A2, , An và B1, B2, , Bn là các tập hợp sao cho : Ai Bi (i =1, 2, , n) thì : n a) i 1 n A i i 1 n B i b) i 1 n A i B i i 1 34 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học 113 Dùng quy nạp toán học chứng minh... + l(y) +1 = l(x) + l(yc) 2 Thuật toán đệ qui Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài toán bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán cũng như vậy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn Ví dụ 10: Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị n! Định nghĩa đệ quy hàm UCLN của hai số nguyên a, b không âm cũng cho luôn thuật toán thuật toán tính UCLN 3 Đệ quy và lặp Định nghĩa đệ quy biểu diễn... lượng từ tồn tại () và các phép toán lôgic Chứng minh: !x P(x) xP(x) (yP(y) y = x) 24 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học III QUI TẮC SUY LUẬN 26 Quy tắc suy luận nào được dùng trong mỗi một lập luận sau: a Alice là giỏi môn toán Do đó Alice là giỏi môn toán hoặc môn tin b Jerry là giỏi môn toán và môn tin Do vậy Jerry giỏi môn toán c Nếu trời mưa thì bể bơi sẽ đóng cửa.Trời mưa do đó bể bơi... của kí túc xá Chứng minh: 22 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học a xL(x,‟THRR‟) với x {sinh viên tin học} và L(x, y) := x học môn y b xH(x, „vi tính‟) với x {sinh viên lớp này} và H(x, y) := x có y c x y L(x, y) với x {sinh viên lớp này}, y {các môn tin học{ , L(x, y) := x học môn y d x y L(x, y) với x {sinh viên lớp này}, y {các môn tin học{ , L(x, y) := x học môn y e x y L(x, y) với... đã học môn y”, với không gian của x là tập hợp sinh viên trong lớp, không gian của y là tập hợp các môn học Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành câu thông thường a xy P(x,y) b xy P(x,y) c xy P(x,y) d yx P(x,y) e yx P(x,y) f xy P(x,y) 21 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học Chứng minh: a Có ít nhất một sinh viên đã học ít nhất một môn học nào đó trong trường b Có ít nhất một sinh viên đã học. .. đắm ở bể bơi d Steve sẽ làm việc ở một công ty tin học vào mùa hè này Do dó mùa hè này anh ta sẽ làm việc ở một công ty tin học hoặc là một kẻ lang thang ngoài bãi biển e Nếu tôi cả đêm làm bài tập này, thì tôi có thể trả lời được tất cả các bài tập Nếu tôi trả lời được tất cả các bài tập thì tôi sẽ hiểu được tài liệu này Do đó nếu tôi cả đêm làm bài tập này thì tôi sẽ hiểu được tài liệu này Chứng minh:... xy (x y L(x, y)) vẫn thiếu L(x, x) 17 Dùng lượng từ diễn đạt các câu sau a Tất cả sinh viên tin học đều phải học môn toán học rời rạc b Có một sinh viên lớp này đã có máy vi tính c Tất cả sinh viên lớp này đã học ít nhất một môn tin học d Có một sinh viên lớp này đã học ít nhất một môn tin học e Mỗi sinh viên trong lớp này ở một nhà trong ký túc xá f Có một sinh viên lớp này đã ở tất cả các... số nguyên tố lẻ dạng p, p+2 và p+4 (còn gọi là bộ số sinh ba) Chứng minh: p = 3 (3, 5, 7 là các số nguyên tố) Liên quan đến tập các số nguyên ta có nhiều giả thuyết chưa được chứng minh như : a Mọi số chẵn là tổng của 2 số nguyên tố (giả thuyết Holdbax) ? 29 Chương 3 Lôgic và suy luận toán học b Một giả thuyết hệ quả là mỗi số lẻ (>5) là tổng của 3 số nguyên tố c Giữa n và 2n luôn luôn tồn tại cặp