ly thuyet va bai tap quanh hoc

Đề tài nghiên cứu phần quang học chơng i Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài I. Cơ sở lí luận của đề tài Để có một lời giải bằng các phép suy luận một cách hợp lý cho một bài hoặc một loại toán quang hình học cụ thể nào đó, với một lời giải ngắn. Đề tài căn cứ trên một số định luật, định lý, nguyên lý và một số hiên tợng hiển nhiên sau: 1. Nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng: Nếu AA' là một chiều truyền sáng (một tia sáng) thì trên đờng đó ánh sáng có thể đi theo chiều từ A đến A' hoặc từ A' đến A. Suy rộng cho mọi dụng cụ quang hình học: Nếu A' là ảnh cùng tính chất với vật A qua một dụng cụ quang học nào đó, thì khi đặt vật A tại vị trí ảnh A' thì ảnh A'' của A nằm ngay tại vị trí vật A lúc đầu. 2. Định luật phản xạ ánh sáng: Gọi SI là tia tới của tia phản xạ IJ trên gơng phẳng M tại điểm tới I. Gọi n là pháp tuyến của gơng tại I. Mặt phẳng chứa tia tới SI và pháp tuyến n gọi là mặt phẳng tới. Góc tạo bởi tia tới SI và pháp tuyến n gọi là góc tới i Góc tạo bởi tia phản xạ IJ và pháp tuyến n gọi là góc phản xạ i' Định luật: - Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới. - Góc phản xạ bằng góc tới: i = i' 3. Định lý gơng quay: Định lý thuận: Một tia tới SI chiếu tới gơng phẳng M tại điểm I. Khi gơng quay quanh trục vuông góc với tia tới một góc thì tia phản xạ quay góc 2. Định lý đảo: Cho tia tới SI tới gơng phẳng M tại I. Khi gơng quay góc quanh trục vuông góc với tia tới, để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2. 4. Tia không đổi: a) Cho vật sáng AB có độ cao không đổi đặt vuông góc với trục xx' sao cho B xx'. Khi AB di chuyển trên trục xx' tia sáng AI xuất phát từ điểm A và song song với trục xx' luôn không đổi (cả về phơng chiều và độ lớn) Tia sáng AI gọi là tia không đổi. b) Nếu A là một điểm sáng. AI là tia không đổi Iy là tia khúc xạ (hay phản xạ) của tia AI qua một dụng cụ quang học nào đó. Do tia tới AI không đổi nên tia Ay là tia khúc xạ (phản xạ) không đổi. A A' A' y I A i i' S J I n x' x A I B Nếu A' là ảnh của điểm sáng A qua quang cụ thì A' luôn chuyển động trên tia Ay (trên đờng thẳng chứa tia Ay). II. cơ sở thực tiễn của đề tài Để có thể vận dụng các phong pháp giải trong đề tài một cách có hiệu quả hơn, học sinh cần phải đợc trang bị một kiến thức cơ bản tơng đối vững, đồng thời yêu cầu về toán học và giải toán của học sinh phải đạt đợc một số yêu cầu cơ bản để có thể thành thạo trong các phép biến đổi, tính toán, suy luận. Toán quang hình gắn chặt với hình học phẳng nên một yêu cầu không thể thiếu là học sinh phải có kỹ năng vẽ hình tơng đối hoàn thiện, bởi các phơng pháp ngắn gọn hơn thờng thể hiện trên hình vẽ của bài toán và một bài toán có thể có nhiều hình vẽ ứng với nhiều trờng hợp khác nhau. Chơng ii Nội dung nghiên cứu i. Một số bài toán sử dụng định lý gơng quay Bài 1: Một gơng phẳng hình chữ nhật có bề rộng 1m đơc gắn vào một cửa tủ. Trên đờng vuông góc với tâm và cách gơng 1,5m có một ngọn nến S. Mở tủ để gơng quay quanh bản lề O một góc 60 0 . 1) Xác định quỹ đạo chuyển động của vật khi gơng quay. 2) Tính chiều dài quỹ đạo trên. Giải 1) Gọi S 1 là ảnh của S qua gơng trớc khi gơng quay. Do S và S 1 đối xứng nhau qua gơng nên: SO = S 1 O = m58,15,05,1OHSH 2222 =+=+ = const Mặt khác khi gơng quay góc quanh bản lề O thì tia tới gơng SO không thay đổi nên phản xạ của nó quay góc = 2 = 120 0 . Vậy ảnh của qua gơng chuyển động trên cung tròn tâm O bán kính R = SO = 1,58m có góc ở tâm là = 120 0 . 2) Chiều dài của quỹ đạo: l = rad .R = 3 2 .1,58 = 3,31m Bài 2: Từ một điểm O trên cửa sổ, cách mặt đất một độ cao OA = h có một quan sát viên nhìn thấy ảnh P' của một ngọn cây P do sự phản xạ trên một vũng nớc nhỏ I trên mặt đất, cách chân tờng một đoạn IA = d. Đặt nằm ngang tại O một tấm kính L, quan sát viên phải quay tấm kính một góc quanh một trục nằm ngang đi qua A thì mới thấy ảnh P'' của đỉnh ngọn cây P cho bởi sự phản xạ trên tấm kính, ở trên cùng một phơng với P'. 1) Tính chiều cao H của cây theo h, d, và với tg = h d . 2) Tính H khi d = h = 12m và = 3 0 . Giải Tấm kính đặt trên cửa sổ có tác dụng nh một gơng phẳng. H S 2 S S 1 A K O Do quan sát viên nhìn thấy ảnh P''của ngọn cây P qua tấm kính và ảnh P' qua vũng nớc trên cùng một phơng nên tia sáng từ đỉnh ngọn cây P tới tấm kính và vũng nớc phản xạ theo cùng một phơng. Khi đó nếu coi vũng nớc và tấm kính là hai vị trí của một gơng thì ánh sáng từ P tới hai vị trí đặt gơng cho tia phản xạ không đổi. Theo định lý gơng quay (định lý đảo): Tia tới gơng phải quay góc 2. Vì vậy: = 2IP O Trong OPI ta có: = 22180IO P 0 = 180 0 - 2( + ) Từ đó: IP Osin OI IO Psin PI = hay: = + 2sin OI ))(2180sin( PI 0 = + 2sin OI )(2sin PI OI. 2sin )(2sin PI + = Trong PHI ta có: PH = PI.cos = OI. 2sin )(2sin + .cos = OA. 2sin )(2sin + Vậy chiều cao H của cây: H = h. 2sin )(2sin + 2) Ta có: tg = h d = 12 12 = 1 = 45 0 Chiều cao H của ngọn cây: H = m16,11412. )3.2sin( )453(2sin 0 = + II. Một số bài toán sử dụng nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng A. Một số ví dụ Bài toán1: Chứng minh định lý gơng quay Chứng minh: 1) Định lý thuận: Xét IJM: i 2 + i' 2 = + i 1 + i' 1 (định lý về góc ngoài của tam giác) Mà i 1 = i' 1 , i 2 = i' 2 (định luật phản xạ ánh sáng) nên: 2i 2 = + 2i 1 = 2(i 2 - i 1 ) (1) Xét IJK: i 2 = + i 1 (định lý về góc ngoài của tam giác) P' I H 2 P O A h d = i 2 - i 1 (2) Từ (1) và (2) ta có: = 2 Vậy khi gơng quay góc thì tia phản xạ quay góc 2. 2) Định lý đảo: Cách 1: Xét SIJ: i 1 + i' 1 = + i 2 + i' 2 Mà i 1 = i' 1 , i 2 = i' 2 (định luật phản xạ ánh sáng) nên: 2i 1 = + 2i 2 = 2(i 1 - i 2 ) (3) Xét KIJ: i' 1 = + i' 2 (định lý về góc ngoài của tam giác) i 1 = + i 2 = i 1 - i 2 (4) Từ (3) và (4) ta có: = 2 Vậy khi gơng quay góc , để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2. Cách 2: Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu tia S'I là tia tới thì IS và JS là hai tia phản xạ ứng với hai vị trí của gơng, hai tia này trùng nhau tức là cho tia phản xạ không đổi. Theo định lý thuận: = 2. Vậy khi gơng quay góc , để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2. Bài toán 2: Đo tiêu cự của thấu kính (bằng phơng pháp Bessel) Một vật sáng AB đợc đặt song song và cách một màn hứng ảnh một khoảng L. Di chuyển một thấu kính đặt song song với màn trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta thấy có hai vị trí của thấu kính cách nhau khoảng l cho ảnh rõ nét của vật trên màn. Tìm tiêu cự của thấu kính. áp dụng: L = 72cm, l = 48cm. Giải Cách 1: Sơ đồ tạo ảnh của vật AB ứng với hai vị trí của thấu kính: ' 2 ' 1 2 1 d d f d d 'B'AAB Khi thấu kính di chuyển, khoảng cách vật ảnh không thay đổi nên: d 1 + d' 1 = L (1) Theo công thức thấu kính: 1 d 1 + ' 1 d 1 = f 1 Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu AB ở vị trí ảnh A'B' thì ảnh A'B' khi đó ở vị trí vật AB. Do đó: d 2 = d' 1 d' 2 = d 1 Vậy vị trí thứ hai của thấu kính cách vật AB khoảng d' 1 : Do hai vị trí của thấu kính cách nhau l nên: d' 1 - d 1 = l (2) Từ (1) và (2) ta có: d 1 = 2 L l ; d' 1 = 2 L l+ Tiêu cự của thấu kính: f 1 = 22' 1 1 L L4 L 2 L 2 d 1 d 1 l ll = + + =+ f = L4 L 2 2 l Bài toán có thể giải bằng hai cách khác nh sau: Cách 2: Sơ đồ tạo ảnh: 'd f d 'B'AAB Do ảnh thật của vật thu đợc trên màn nên: d + d' = L d + fd df = L d 2 - Ld +Lf = 0 = L 2 - 4Lf Khi > 0 (L > 4f) phơng trình cho hai nghiệm ứng với hai vị trí của thấu kính: d 1 = 2 Lf4LL 2 + ; d 2 = 2 Lf4LL 2 Mặt khác hai vị trí của thấu kính cách nhau khoảng l nên: d 1 - d 2 = l 2 Lf4LL 2 + - 2 Lf4LL 2 = l f = L4 L 2 2 l Cách 3: Dựa vào tính đối xứng của công thức thấu kính. Do tính đối xứng của hệ thức: 1 d 1 + ' 1 d 1 = f 1 Nên nếu đặt d 2 = d' 1 thì vị trí ảnh đợc xác định bởi d' 2 thoã mãn: 2 d 1 + ' 2 d 1 = f 1 Từ đó: d' 2 = d 1 Do thấu kính tạo ảnh thật của vật trên màn nên: d 1 + d' 1 = L d' 1 - d 1 = l Giải hệ phơng trình này có thể xác định đợc tiêu cự của thấu kính. áp dụng: f = cm10 72.4 4872 22 = Bài toán 3: Đặt một vật sáng AB trớc và vuông góc với một màn hứng ảnh L. Di chuyển một thấu kính hội tụ trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta thấy trong khoảng giữa vật và màn có hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét của vật trên màn, ảnh có độ cao lần lợt là 9cm và 4cm. Tìm độ cao vật AB. Giải Sơ đồ tạo ảnh: ' 2 ' 1 2 1 d d f d d 'B'AAB Do vị trí của vật và ảnh không thay đổi nên theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng: d 1 = d' 2 d' 1 = d 2 Độ phóng đại ảnh trong hai trờng hợp: k 1 = 1 ' 1 d d ; k 2 = 2 ' 2 d d Vậy: k 1 = 2 k 1 hay 22 11 BA AB AB BA = AB = cm64.9BA.BA 2211 == Bài toán 4: Cho hệ quang học nh hình vẽ. Vật AB cách thấu kính L 1 khoảng 10cm. Sau thấu kính L 1 đặt đồng trục thấu kính hội tụ L 2 tiêu cự f 2 = 20cm. Sau thấu kính L 2 đặt màn hứng ảnh M vuông góc với quang trục của hai thấu kính và cách thấu kính L 2 khoảng 60cm. Hệ cho ảnh rõ nét của màn vật AB trên màn M. 1) Tính tiêu cự f 1 của thấu kính L 1 . 2) Giữ nguyên vật AB, thấu kính L 1 và màn. Phải di chyển thấu kính L 2 nh thế nào để vẫn thu đợc ảnh rõ nét của vật trên màn M. Giải Sơ đồ tạo ảnh: ' 2 2 2 ' 1 1 1 d f dd f d 2211 BABAAB Trong đó: d' 2 = 60cm 22 22 ' 2 fd fd d = = cm30 2060 20.60 = d' 1 = l 0 - d' 2 = 25 - 30 = - 5cm d 1 = 10cm Tiêu cự của thấu kính L 1 : f 1 = ' 11 ' 11 dd dd + = cm10 510 )5.(10 = 2) Gọi l là khoảng cách giữa hái thấu kính. Sơ đồ tạo ảnh: ' 3 2 3 ' 1 1 1 d f dd f d 3311 BABAAB Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh d 1 = 10cm d' 1 = - 5cm d 3 = l - d' 1 = l + 5 d' 3 = 15 )5(20 205 )5(20 fd fd 23 23 + = + + = l l l l Để ảnh A 3 B 3 của AB hiện rõ trên màn thì: d' 3 + l = l 0 + d' 2 15 )5(20 + l l + l = 25 + 60 l 2 - 80l + 1375 = 0 Phơng trình có hai nghiệm: l 1 = 25cm và l 2 = 55cm. Vậy vị trí thứ hai của thấu kính cách thấu kính L 1 khoảng l = 55cm hay phải dịch chuyển thấu kính L 2 một khoảng l = 55 - 25 = 30cm ra xa thấu kính L 1 . Cách 2: áp dụng nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng. Do vật AB và thấu kính L 1 không thay đổi vị trí nên ảnh A 1 B 1 không thay đổi. Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng ta có: d 3 = d' 2 = 60cm Vậy thấu kính L 2 dịch đi một đoạn l = d 3 - d 2 = 60 - 30 = 30cm ra xa thấu kính L 1 (về phía màn). Bài 5: Cho hệ hai thấu kính đồng trục L 1 có tiêu cự f 1 = 20cm và L 2 có tiêu cự f 2 = - 30cm đặt cách nhau khoảng l = 40cm. Xác định vị trí của vật sáng AB trớc hệ sao cho khi giữ vật cố định, hoán vị hai thấu kính cho nhau thì hệ luôn cho ảnh thật tại cùng một vị trí. Giải Sơ đồ tạo ảnh cho vật AB trớc và sau khi hoán vị hai thấu kính: ' 2 2 2 ' 1 1 1 d f dd f d 2211 BABAAB ' 4 1 3 ' 3 2 3 d f dd f d 4433 BABAAB Trong đó: 11 11 ' 1 fd fd d = = 20d d20 1 1 d 2 = l - ' 1 d - 40 - 20d d20 1 1 = 20d 800d20 1 1 22 22 ' 2 fd fd d = = 1400d50 )800d20(30 1 1 Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh d 3 = d 1 23 23 ' 3 fd fd d = = 30d d30 1 1 + d 4 = l - d' 3 = 30d 1200d70 1 1 + + 600d50 )1200d70(20 d 1 1 ' 4 + + = Do hai ảnh của vật nằm tại cùng một vị trí nên: ' 4 ' 2 dd = 1400d50 )800d20(30 1 1 = 600d50 )1200d70(20 1 1 + + 0480d16d 1 2 1 = Phơng trình có hai nghiệm: d 1 = 31,3cm và d 1 = - 15,3cm. Vì vật AB là vật thật nên khoảng cách từ vật tới thấu kính L 1 là d 1 = 31,3cm. Cách 2: Vì sau khi hoán vị hai thấu kính, vị trí ảnh không thay đổi nên theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, ta có: d 1 = d' 2 d 1 = 1400d50 )800d20(30 1 1 0480d16d 1 2 1 = Phơng trình trên cho nghiệm d 1 = 31,3cm thoã mãn bài toán. Bài 6: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một gơng cầu lõm tiêu cự f 2 = f, cách gơng đoạn 3f. Trong khoảng giữa vật và gơng ngời ta đặt một thấu kính hội tụ có tiêu cự f 1 = 5f/12 cùng trục chính với gơng. Xác định vị trí của thấu kính để ảnh cuối cùng của vật AB qua hệ ở cùng vị trí của vật. Xác định độ phóng đại ảnh khi thấu kính ở vị trí này. Giải Sơ đồ tạo ảnh: ' 3 1 3 ' 2 2 2 ' 1 1 1 d f dd f dd f d 332211 BABABAAB Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh: HD: Tính ' 3 d theo d 1 (chú ý khoảng cách thấu kính - gơng l = 3f - d 1 ) Cho d 1 = ' 3 d Giải phơng trình tìm d 1 : d 1 = 0,5f và d 1 = 2,5f Cách 2: Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng: vì ảnh A 3 B 3 của vật AB vị trí vật AB nên: d 1 = ' 3 d ' 1 d = d 3 và ' 2 d = d 2 Hay nếu A 3 B 3 là vật thì A 2 B 2 là ảnh của A 3 B 3 qua thấu kính. Do đó khi A 3 B 3 ở vị trí của vật Ab thì A 2 B 2 sẽ ở vị trí của A 1 B 1 . Nói cách khác A 1 B 1 ở cùng vị trí với A 2 B 2 . Mặt khác A 2 B 2 là ảnh của A 1 B 1 qua gơng, gơng cầu lõm chỉ cho ảnh ở vị trí vật khi: * Vật ở tâm gơng * Vật ở sát gơng * Trờng hợp 1: Nếu A 1 B 1 ở sát gơng: d 2 = 0 ' 1 d = 3f - d 1 Mà: 1 d 1 + ' 1 d 1 = 1 f 1 1 d 1 + 1 df3 1 = f5 12 = = f5,0d f5,2d 1 1 (thoã mãn vì 0 < d 1 < 3f) Trờng hợp 2: Nếu A 1 B 1 ở tâm gơng: d 2 = 2f 2 = 2f ' 1 d = 3f - d 2 - d 1 = f - d 1 Mà: 1 d 1 + ' 1 d 1 = 1 f 1 1 d 1 + f5 12 df 1 1 = 12 2 1 d - 12fd 1 + 5f 2 = 0 Phơng trình vô nghiệm. Vậy có hai vị trí của thấu kính cách vật các khoảng d 1 = 0,5f và d 1 = 2,5f cho ảnh ở vị trí vật. Độ phóng đại ảnh trong hai trờng hợp: k = 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 d d . d d . d d = - 1 Nh vậy, các bài toán kiên quan đến nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng thờng gắn với các bài toán mà vật và ảnh có vị trí không đổi khi dịch chuyển dụng cụ quang học (thờng là thấu kính và gơng). Các vị trí cố định của ảnh thờng là vị trí cố định của màn hứng ảnh hoặc ảnh của vật qua hệ ở vị trí vật. Trong trờng hợp đó, vật và ảnh bao giờ cũng có thể hoán vị vị trí cho nhau, và lẽ dĩ nhiên sau khi hoán vị thì độ phóng đại ảnh có giá trị bằng nghịch đảo độ phóng đại ảnh trớc khi dịch chuyển. B. Bài tập tơng tự Bài 1: Vật sáng AB cách màn một khảng L = 50cm. Trong khoảng giữa vật và màn, thấu kính có thể đặt ở hai vị trí để trên màn thu đợc ảnh rõ nét. Tính tiêu cự của thấu kính, biết ảnh này cao gấp 16 lần ảnh kia. Đáp số: f = 8cm. Bài 2: Hai nguồn sáng cao bằng nhau và cách nhau một đoạn L = 72cm. Một thấu kính hội tụ đặt trong khoảng giữa hai nguồn ở vị trí thích hợp sao cho ảnh của nguồn này nằm ở vị trí của nguồn kia và ngợc lại. Biết ảnh này cao gấp 25 lần ảnh kia. Tính tiêu cự f của thấu kính. Đáp số: f = 10cm. Bài 3: Vật sáng AB và màn hứng ảnh cố định. Thấu kính đặt trong khoảng giữa vật và màn. ở vị trí 1, thấu kính cho ảnh có kích thớc a 1 . ở vị trí 2, thấu kính cho ảnh có kích thớc a 2 . Hai vị trí của thấu kính cách nhau đoạn l. Tính tiêu cự của thấu kính. áp dụng: a 1 = 4cm ; a 2 = 1cm ; l = 30cm. Đáp số: f = 20cm. Bài 4: Một vật ság và một màn M đợc đặt cố định, khoảng cách từ vật đến màn là 60cm. Trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta đặt hai thấu kính hội tụ L 1 và L 2 sao cho khi hoán vị hai thấu kính cho nhau thì ảnh của vật vẫn hiện rõ nét trên màn. Hai vị trí này cách nhau 20cm. Khi vật AB ở trớc thấu kính L 1 , ngời ta thấy ảnh trên màn ngợc chiều vật có độ cao bằng 3/4 vật. Xác định tiêu cự f 1 và f 2 của thấu kính L 1 và L 2 . Đáp số: f 1 = 30cm ; f 2 = 16cm. Bài 5: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính phân kỳ L 1 và cách quang tâm O 1 của thấu kính một khoảng 60cm. Sau L 1 ngời ta đặt một màn vuông góc với trục chính của L 1 và cách L 1 70cm. Trong khoảng giữa L 1 và màn ngời ta đặt một thấu kính hội tụ L 2 có tiêu cự 20cm cùng trục chính với L 1 và tịnh tiến L 1 trong phạm vi này thì thấy có hai vị trí của L 2 cho ảnh rõ nét của vật trên màn, hai vị trí này cách nhau 30cm. 1) Tính tiêu cự của L 1 . 2) Tính độ phóng đại ảnh ứng với mỗi vị trí của L 2 . Đáp số: 1) f 1 = - 28cm. 2) k = - 0,14 và k = - 0,57. Bài 6: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một gơng cầu lõm G, cách gơng 90cm. Trong khoẩng giữa vật và gơng đặt một thấu kính hội tụ L đồng trục. Giữ vật và g- ơng cố định, di chuyển thấu kính trong khoảng giữa vật và gơng ngời ta nhận thấy có hai vị trí của thấu kính cho ảnh cuối cùng qua hệ trùng với vật, lần lợt cách vật 30cm và 60cm và một vị trí của thấu kính cho ảnh ảnh cuối cùng ở vị trí vật, bằng và ngợc chiều vật, vị trí này cách vật 40cm. Xác định tiêu cự thấu kính và gơng. Đáp số: f L = 20cm ; f G = 5cm. . tại điểm I. Khi gơng quay quanh trục vuông góc với tia tới một góc thì tia phản xạ quay góc 2. Định lý đảo: Cho tia tới SI tới gơng phẳng M tại I. Khi gơng quay góc quanh trục vuông góc với. một cửa tủ. Trên đờng vuông góc với tâm và cách gơng 1,5m có một ngọn nến S. Mở tủ để gơng quay quanh bản lề O một góc 60 0 . 1) Xác định quỹ đạo chuyển động của vật khi gơng quay. 2) Tính chiều. nhau qua gơng nên: SO = S 1 O = m58,15,05,1OHSH 2222 =+=+ = const Mặt khác khi gơng quay góc quanh bản lề O thì tia tới gơng SO không thay đổi nên phản xạ của nó quay góc = 2 = 120 0 . Vậy