Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chương Tập hợp phép đếm Chương TẬP HỢP VÀ PHÉP ĐẾM I TẬP HỢP Khái niệm tập hợp a Khái niệm Là nhóm đối tượng hiểu theo nghĩa chung (không kể đến chất đối tượng – không cần đặc tính chung đối tượng) Tuy nhiên nói tập hợp ta thường xét nhóm đối tượng có đặc tính liên quan đến nhau, thoả tính chất Ví dụ: tập hợp sinh viên lớp, tập hợp sách thư viện, tập hợp đường tròn mặt phẳng, tập hợp kí tự bảng mã ASCII … Các đối tượng thuộc tập hợp cho trước gọi phần tử tập hợp Một phần tử x thuộc tập hợp X kí hiệu: x X, nhiều phần tử (ví dụ x, y, z) thuộc tập hợp viết gọn: x, y, z X Kí hiệu x X để x phần tử X Lý thuyết tập hợp dựa khái niệm trực giác nhà bác học Đức George Cantor đưa năm 1895 đặt tảng sở cho nhiều môn toán học khác Tuy nhiên tính không chặt chẽ “định nghĩa” nên dẫn đến nhiều nghịch lý Một nghịch lý tiếng nhà triết học Anh Bertrand Russell năm 1902 (xem phần tập) Từ lý thuyết tập hợp xây dựng chặt chẽ dựa hệ tiên đề Người xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết tập hợp E Zemelo (1904) Mọi chứng minh tập hợp suy dẫn chặt chẽ từ hệ tiên đề thay cho lập luận trực giác mang chất cảm tính, thường thiếu tin cậy trường hợp cần tính toán phức tạp Tuy nhiên, tập giảng khái niệm trực giác tập hợp Cantor đủ để trình bày chứng minh kiến thức sở lý thuyết tập hợp dùng ứng dụng tin học b Biểu diễn tập hợp Phương pháp liệt kê: A = { 1, 3, 5, 7, } B = { Xuan, Ha, Thu, Dong } C = { 2, 3, 5, …} Mô tả tính chất: X = { x | P(x) } (X tập hợp chứa phần tử x có tính chất P) A = { n | n = 2k + 1, k } B = { x | x tên mùa năm } C = { fn | fn số hạng dãy số fibonaci với n > } C = { n | n số nguyên tố } Giản đồ Venn: Thường sử dụng để mô tả mối tương quan tập hợp, không ý đến số lượng tính chất phần tử c Lực lượng tập hợp Đối với tập hữu hạn : Là số lượng phần tử tập hợp Chương Tập hợp phép đếm A = { 1, 3, 5, 7, }, |A| = B = { Xuan, Ha, Thu, Dong }, |B| = C = { x | x nghiệm phương trình (x - 1)(x + 2)(x - 5) = }, |C| = Đối với tập vô hạn : Phân biệt vô hạn đếm vô hạn không đếm (continum) A = { 2, 3, 5, …}, |A|, N, Z, Q vô hạn đếm B = { x | x [0, 1] }, |B|, R, C vô hạn không đếm Tập rỗng: tập phần tử ký hiệu A = { x | nghiệm phương trình x2 + x + = }, B = { n| n loài dở biết bơi}, C = { } A = B = C = Tập con, tập tích a Tập con: A B x A x B Ví dụ: A = { 2, }, B = { x | (x - 2)(x - 5) = }, C = { x | x số nguyên tố } A B C Với tập A bất kỳ: A, A A b Tập tích: A x B = { (a, b) | a A, b B } Ví dụ: A = { 1, }, B = { a, b, c } A x B = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) } c Tập tập hợp, tập luỹ thừa Các phần từ tập hợp tập hợp Tập tập tập A gọi tập lũy thừa A ký hiệu: (A) 2A Nếu A có n phần tử (A) có 2n phần tử |(A)| = 2|A| Ví dụ: A = {1, 2} (A) = { , {1}, {2}, {1,2} } B = { , 1, {2} } 2B ={ , {}, {1}, {{2}}, {,1}, {,{2}}, {1,{2}}, {,1,{2}} Các phép toán tập hợp a Các phép toán: Hợp, giao, hiệu, phần bù Hợp: A B = { x | x A x B } Giao: A B = { x | x A x B } Hiệu: A \ B = { x | x A x B } Phần bù: A = X \ A (X qui ước cho tập “mẹ” tất tập A, B, C ) Ví dụ: A = { 1, 2, 3, 4, }, B = { x | số chẵn không 10 } A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 }, A B = { 2, }, A \ B = { 1, 3, } Giả sử X = tập số nguyên từ đến 10 A = { 6, 7, 8, 9, 10 }, B = { 1, 3, 5, 7, } b Các đẳng thức Tên gọi Luật đồng Luật nuốt Tương đương A A A A A X A A A A X X; A ; A A X; A A Chương Tập hợp phép đếm Luật hấp thụ Luật giao hoán Luật kết hợp Luật phân phối Luật De Morgan A (A B) A; A (A B) A A B B A; A B B A (A B) C A (B C); (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C) (A B) A B; (A B) A B c Phép toán nhiều tập hợp Một công thức tập hợp tạo thành từ tập hợp, phép toán dấu () theo qui tắc kết hợp tính toán định Công thức cho tập hợp Ví dụ: A (B \ C) tập hợp tính từ A, B, C phép toán , \ d Tập nhau, cách chứng minh tập A = B A B B A Ví dụ: A = { 2, }, B = { x | (x - 2)(x - 5) = }, C = { x | x số nguyên tố } A=BC Chứng minh tập nhau: Bằng định nghĩa: Ví dụ: A = {1, 2, 3} B = { x R: x3 + 11x = 6x2 + } Để chứng minh A = B cần chứng minh A B (thử phần tử) ngược lại B A (B tập nghiệm phương trình (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0) Hoặc chứng minh đẳng thức phân phối: A (B C) = (A B) (A C) Ký hiệu VT, VP vế trái, vế phải đẳng thức Cần chứng minh: VT VP ngược lại VP VT Lấy x VT x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x A B x A C x (A B) (A C) x VP VT VP Ngược lại, tương tự ta chứng minh được: VP VT Từ suy VT = VP Bằng biểu đồ Venn Ví dụ chứng minh (A B) (A B) = (A B) (B A) Dùng đẳng thức Ví dụ chứng minh A (B C ) A (B C ) Biểu diễn tập hợp máy tính Vectơ bit Thường dùng với tập hợp có phần tử Giả sử tập hợp A, B, C, D, … chứa tập không gian X = { x1, x2, x3, …, xn } Khi đó, tập A biểu diễn vecto bit có độ dài n, giá trị vị trí thứ k vecto xk A ngược lại Ví dụ lấy X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { phần tử chẵn X }, B = { phần tử lẻ X }, C = { phần tử nguyên tố X } Khi tập A, B, C biểu diễn vecto: A: 0101010101 B: 1010101010 C: 0110101000 Hầu hết ngôn ngữ lập trình có phép toán làm việc với bit, việc làm toán tập hợp thông qua vecto bit thuận lợi Ví dụ trên: AB=0000000000= Chương Tập hợp phép đếm A B = 1 1 1 1 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } AC=0100000000={2} B C = 1 1 1 = { 1, 2, 3, 5, 7, } II PHÉP ĐẾM Các qui tắc đếm a Qui tắc cộng Giả sử có công việc làm theo cách Hai cách không cần phải làm đồng thời, không phụ thuộc vào Cách làm theo m phương án cách làm theo n phương án Khi số phương án để thực công việc m + n Ví dụ 1: Cần chọn đại biểu sinh viên nam 86 nam sinh viên nữ 34 sinh viên nữ số phương án chọn 86 + 34 = 120 Có thể mở rộng qui tắc cho trường hợp công việc thực theo k cách, tương ứng với số phương án n1, n2, , nk (không có cách phải tiến hành đồng thời), số phương án để thực công việc m = n1 + n2 + + nk Ví dụ 2: Một sinh viên chọn câu hỏi thi theo chủ đề khác b Qui tắc nhân Giả sử công việc thực theo giai đoạn tương ứng với m n phương án chọn Khi số phương án để chọn m*n Tương tự ta có qui tắc nhân mở rộng : m = n1 * n2 * * nk Ví dụ 3: Cần chọn đại biểu sinh viên nam 86 nam sinh viên nữ 34 sinh viên nữ số phương án chọn 86 * 34 = 3224 Số biển số xe máy gồm chữ chữ số : 26.26.10.10.10 = 676000 Một từ máy byte ghi số lớn 216 - = 65535 Đếm số hàm từ tập m phần tử vào tập n phần tử : nm Số hàm đơn ánh = n(n-1)(n-2) (n-m+1) (nếu m > n số hàm = 0) Số tập tập hữu hạn A = 2|A| (được suy từ tập biểu diễn dãy nhị phân độ dài |A|) Có thể phát biểu qui tắc dạng tập hợp : A1, , An tập hữu hạn, rời đôi Khi : |A1 A2 An| = |A1| + |A2| + + |An| A1, , An tập hữu hạn Khi : |A1 A2 An| = |A1| * |A2| * * |An| c Kết hợp qui tắc cộng nhân Ví dụ 4: Số tên gọi NNLT C không kí tự gồm: S1 + S2 + S3 = 27 + (27*37) + (27*37*37) = 38089 Chương Tập hợp phép đếm Trong cỗ từ 10 đến át, có phương án rút quân gồm đôi ba giống Gọi B2 B3 số phương án đôi ba S = B2 * B3 Với loại (10, J, Q, K, ÁT) có quân nên số đôi rút theo qui tắc nhân x = 12 Tuy nhiên, yêu cầu đề đôi không tính thứ tự nên số 12/2 = Do có loại nên B2 = 5*6 = 30 Tương tự, số từ quân (rutts từ quân tương đương bỏ quân từ quân) với loại lại (sau rút từ bộ) có B3 = x = 16 phương án S = 30 *1 = 480 cách chọn Số dãy nhị phân có độ dài n 2n Số tập tập n phần tử 2n (Tương ứng 1-1 với dãy 0,1 độ dài n) Nguyên lý bù trừ Giả sử có công việc làm theo cách : cách chọn m phương án, cách chọn n phương án Nếu cách trùng theo k phương án số phương án chọn m + n – k Phát biểu dạng tập hợp : A B = A + B - A B Từ qui luật xây dựng qui luật bù trừ tập hợp A, B, C (bài tập): A B C = A + B + C - (A B + B C + C A) + A B C) Và qui nạp mở rộng qui luật với n tập hợp (bài tập): A1 A2 … An = 1 i n A i Ai A 1 i j n j Ai Aj A k ( ) n 1 A1 A A n i i j k n Ví dụ 5: : Đếm số số nguyên bé 100 chẵn chia hết cho Số chẵn = 100/2 = 50, số chia hết cho = 100/3 = 33 Số đồng thời chẵn chia hết cho chia hết cho = 100/6 = 16 S = 50 + 33 - 16 = 67 số Ví dụ 6: : Số xâu không dài có chữ đầu kết thúc 00 = 27 + 26 - 25 Nguyên lý lồng chim bồ câu (nguyên lý Dirichlet) Định lý 1: Nếu nhốt k+1 chim bồ câu vào k chuồng có chuồng chứa nhiều chim bồ câu Chứng minh: Phản chứng Ví dụ 7: Nếu sinh viên phải học môn/tuần (5 ngày) có ngày phải học môn khác Chương Tập hợp phép đếm Định lý 2: (Nguyên lý Dirichlet tổng quát) : Nếu có N vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa N/k vật Chứng minh: Phản chứng Ví dụ 8: Sẽ có tháng bạn phải dự sinh nhật người bạn khác lớp (100 sinh viên) Ví dụ 9: Trong khoá học với 400 học viên, có người trùng ngày sinh Ví dụ 10: Một sinh viên học 40 từ tiếng Anh tháng 30 ngày, ngày từ Chỉ có dãy ngày liên tiếp sinh viên học 19 từ tiếng Anh Chứng minh: Gọi số từ sv học từ đầu tháng đến ngày thứ i, dãy a1, a2, …, a30 khác tăng dần, 40 Đặt bi = + 19 20 bi 59 tạo thành dãy phân biệt tăng dần Dãy 60 số a1, a2, …, a30, b1, b2, …, b30 có số bé 59 nên tồn số : bj Như từ ngày i đến ngày j sv học 19 từ tiếng Anh bj = aj + 19 = Ví dụ 11: : Chứng minh n + số nguyên dương không vượt 2n tồn số chia hết cho số khác Chứng minh: Có thể biểu diễn số nguyên dương dạng tích v.2u v số lẻ, ứng với dãy a1, a2, …, an+1 ta có n+1 số lẻ v1, v2, …, vn+1 , số không vượt 2n Do từ đến 2n có n số lẻ nên phải có số vi vj Từ ui uj chia hết aj ngược lại Ví dụ 12: : Mọi dãy n2+1 số thực phân biệt có dãy n+1 số thực tăng giảm Chứng minh: Xét dãy a1, a2, …, an2+1 số thực khác Gọi ik, dk độ dài dãy tăng, giảm dài ak, với ak ta có cặp (ik, dk) Giả thiết dãy tăng giảm có độ dài n+1, tức ik, dk không vượt n Theo qui tắc nhân có tất n2 cặp ik, dk (k=1, …, n2+1) có hai cặp (ik, dk) Tức tồn số as at cho is = it ds = dt Điều mâu thuẫn as at khác nên độ dài dãy (tăng giảm) xuất phát từ chúng đến cuối dãy phải chênh Ví dụ 13: : Chứng tỏ nhóm người với cặp bạn thù có tồn người bạn thù lẫn Chứng minh: Lấy A Còn lại người với khả : bạn thù A Do vậy, có người B, C, D bạn thù A Giả sử bạn A Nếu B, C, D có cặp bạn hợp A tạo thành ba bạn Ngược lại B, C, D ba thù III HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP KHÔNG LẶP Định nghĩa a Hoán vị Hoán vị tập n đối tượng cách xếp có thứ tự n đối tượng Số hoán vị tập hợp n phần tử kí hiệu P(n) Ví dụ 14: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Khi cách xếp 12345, 23541, 31425 … Chương Tập hợp phép đếm hoán vị tập A b Chỉnh hợp Một cách xếp k đối tượng có kể thứ tự gọi chỉnh hợp chập k tập hợp n đối tượng Số chỉnh hợp chập k n đối tượng kí hiệu A(n,k) Ví dụ 15: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Khi cách xếp 123, 235, 314, 321 … chỉnh hợp chập tập A c Tổ hợp Một cách xếp k đối tượng không kể thứ tự gọi tổ hợp chập k tập hợp n đối tượng Số tổ hợp chập k n đối tượng kí hiệu C(n,k) Ví dụ 16: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Khi cách xếp 123, 235, 314, … tổ hợp chập tập A Công thức tính Định lý 3: P(n) = n! A(n, k) = n!/(n-k)! C(n, k) = n!/(n-k)!k! Chứng minh: Lần lượt lấy phần tử thứ n vật, thứ hai n-1, …, cuối phần tử thứ k lấy (n-k+1) vật, theo qui tắc nhân ta có số chỉnh hợp A(n, k) = n(n-1)(n-2) (n-k-1) = n!/(n-k)! Khi P(n) trường hợp riêng A(n,k) k = n Từ P(n) = n!/(n-n)! = n! Ta có A(n,k) = k!C(n,k) dãy có thứ tự có k! hoán vị khác để tạo thành tập dãy không thứ tự Từ suy C(n,k) = A(n,k)/k! = n!/k!(n-k)! Từ định lý ta có hệ : C(n, k) = C(n, n-k) Ví dụ C(10,3) = C(10, 7) Ví dụ Số cách lấy quân từ tập 13 quân (có thứ tự) A(13, 5) Số tập phần tử tập {1, 2, 3, , 13} C(13,5) Số dãy đối tượng tạo từ tập 13 đối tượng A(13,5) Số lượng số có chữ số khác A(10,3) Số lượng người mã hoá chữ số, cho chữ số không lặp lại P(7) Số đường qua thành phố thành phố qua lần P(6) Một số tính chất n Định lý 4: (Hệ số nhị thức) : (x + y)n = k C (n, k )x y nk k0 Chương Tập hợp phép đếm Đại lượng C(n, k) gọi hệ số nhị thức, hệ số thừa số xkyn-k khai triển nhị thức (x + y)n Chứng minh: Có C(n,k) cách chọn k số hạng x từ n tổng (x + y) phép nhân, y chọn từ n-k tổng lại (và nhất) Cho k chạy từ đến n suy đpcm n Định lý 5: C (n, k ) n k0 Chứng minh: Số tập tập có n phần tử 2n Gồm số tập có phần tử (C(n,0)), phần tử (C(n,1), , n phần tử (C(n,n)) n Cách khác (dùng định lý nhị thức): (1+1)n = C (n, k ) k0 n Định lý 6: k (-1) C(n,k) = k0 n Chứng minh: Dùng định lý nhị thức: (1-1)n = (-1)kC(n,k) k0 Định lý 7: (Hằng đẳng thức Pascal) : C(n+1,k) = C(n,k) + C(n,k-1) Chứng minh: Xét tập S có n+1 phần tử S = T\{a} có n phần tử Lấy k phần tử từ T gồm : có C(n,k) cách lấy a (trong S) C(n,k-1) cách lấy có a S\{a} Đây sở tạo thành tam giác Pascal k Định lý 8: (Hằng đẳng thức Vandermonde) : C(n+m, k) = C(n, j)*C(m, k-j) j Chứng minh: Cho tập S có n phần tử tập T có m phần tử C(n+m,k) số cách chọn k phần tử từ tập Mỗi cách chọn sinh từ j phần tử S k-j T Theo qui tắc nhân ta kết IV HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP CÓ LẶP Định nghĩa a Hoán vị có lặp Hoán vị tập n đối tượng, có số đối tượng lặp lại cách xếp có thứ tự n đối tượng Số hoán vị lặp lại tập hợp n phần tử kí hiệu P‟(n/n 1, n2, …, nk) ngắn gọn P‟(n/ni), ni số lần lặp lại đối tượng thứ i Trường Chương Tập hợp phép đếm hợp không gây nhầm lẫn ta ký hiệu P‟(n) Chú ý đối tượng có lặp lại nên số hoán vị bị trùng nhau, việc đếm phải trừ phương án nên số hoán vị có lặp không lặp Ví dụ 17: Một xếp lại từ NGHIENG hoán vị có lặp chữ có chữ N G lặp lại với số lần lặp 2, b Chỉnh hợp có lặp Một cách xếp k đối tượng có kể thứ tự, đối tượng phép lặp lại gọi chỉnh hợp chập k tập hợp n đối tượng Số chỉnh hợp chập k n đối tượng kí hiệu A‟(n,k) Ví dụ 18: Cho tập A = {1, 2, 3} Khi cách xếp 11, 12, 13, 21, 22, 23 … chỉnh hợp có lặp chập tập A c Tổ hợp Một cách xếp k đối tượng không kể thứ tự, đối tượng lặp lại gọi tổ hợp có lặp chập k tập hợp n đối tượng Số tổ hợp chập k n đối tượng kí hiệu C‟(n,k) Ví dụ 19: Cho tập A = {1, 2, 3} Khi cách xếp 11, 12, 13, 22, 23, 31, … tổ hợp có lặp chập tập A Ví dụ 20: Cho hộp gồm bóng Vàng, Xanh, Đỏ Giả thiết lần lấy bóng bỏ trở lại hộp Một cách lấy bóng qua lần từ hộp tổ hợp có lặp chập bóng (chẳng hạn 4V, 3V+1X, 2Đ+2X, … phương án) Ví dụ 21: Giả thiết cần chọn sinh viên từ khối lớp A, B, C, D (mỗi lớp có không sinh viên) Mỗi phương án chọn tổ hợp có lặp chập đối tượng Công thức tính Định lý 9: P‟(n/ n1, n2, …, nk) = n!/n1! nk! A‟(n, k) = nk C‟(n,k) = C(n+k-1, k) Chứng minh: A'(n, k): lần chọn đối tượng (trong n khả năng) k lần chọn nk khả Ví dụ 22: Số dãy nhị phân độ dài n số chỉnh hợp chập n đối tượng tức A‟(2, n) = 2n Số chỉnh hợp có lặp chập từ đối tượng 1,2,3 A‟(3,4) = 34 = 81 P'(n) : Đầu tiên đặt n1 đối tượng (giống nhau) vào n vị trí C(n, n1) phương án Tiếp tục đặt n2 đối tượng vào n-n1 vị trí lại C(n-n1, n2) phương án Áp dụng qui tắc nhân lấy tích thừa số cho kết cần tìm Ví dụ 23: Số phương án xếp lại từ „NGHIÊNG‟ tính : Đầu tiên đặt chữ N vào vị trí cho C(7, 2) = 21 phương án Tiếp theo việc xếp từ G vào vị trí cho C(5, 2) = 10 phương án Việc xếp H vị trí cho phương án, I cho Ê cho phương án Tích số ta : 21 * 10 * * * = 1260 phương án Đó Chương Tập hợp phép đếm số P‟(n) = 7!/2!2! = 1.2.3.5.6.7 = 1260 Để chứng minh số tổ hợp ta xem cách tính cho ví dụ : Giả thiết cần chọn sinh viên từ khối lớp A, B, C, D (mỗi lớp có không sinh viên) Để biểu diễn phương án chọn ta kí hiệu sinh viên dấu * lớp khoang cách vách ngăn Hình vẽ phương án chọn gồm sinh viên lớp A, lớp C lớp D A B ** C D * ** Các phương án khác đạt từ phương án cách dịch chuyển vách ngăn cách thích hợp Nói cách khác phương án cách xếp vách ngăn (hoặc sinh viên) số vị trí có thể, hay số phương án C(8,5) = C(4+5-1,5) Tổng quát hoá ví dụ ta đpcm Các ví dụ Số tổ hợp màu (có tính thứ tự) từ sắc cầu vồng : A'(7,5) = 75 Có tổ hợp tờ bạc từ loại giấy bạc khác : C‟(7,5) = C(11,5) Cần mua lít gồm số lít xăng dầu từ cửa hàng xăng dầu Có phương án ? C‟(2,5) = C(6,5) = C(6,1) Phương trình x + y + z = 11 có nghiệm tự nhiên Một nghiệm tương ứng cách chọn 11 phần tử loại đối tượng x, y, z không phân biệt thứ tự Do tổ hợp chập 11 từ đối tượng C(11+3-1,11) = C(13,11) Có phương án xếp 32 quân bàn cờ quốc tế ? Đây toán hoán vị có lặp với n = 32 có số quân trắng, đen lặp theo thứ tự : tốt, xe, mã, tượng = 8, 8, 2, 2, 2, 2, 2, Do số phương án : 32!/(8!.2!.2!.2!)2 Có phương án chia cỗ 52 quân cho người chơi : Xét toán theo dạng quân đánh dấu người nhận nó, gồm đối tượng, đối tượng lặp lại 13 lần Mỗi phương án chia hoán vị có lặp đối tượng Số phương án 52!/(13!)4 Định lý phân chia đồ vật vào hộp Định lý 10: Số phương án phân chia n đối tượng khác vào k hộp khác cho hộp thứ i có ni đối tượng số hoán vị n đối tượng với số lặp lại ni (1 i k) Sau bảng tóm tắt công thức tổ hợp: Kí hiệu Không lặp Có lặp Hoán vị P(n) n! n!/n1!…nk! Chỉnh hợp chập k A(n, k) n!/k! nk Tổ hợp chập k C(n, k) n!/k!(n-k)! (n+k-1)!/k!(n-1)! 10 Chương Tập hợp phép đếm V SINH HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP Sinh hoán vị Có nhiều phương pháp khác để sinh hoán vị từ tập n phần tử Trong phần ta trình bày phương pháp sinh theo thứ tự từ điển Để đơn giản phần tử tập hợp đánh số từ đến n a Định nghĩa Hoán vị trước : hoán vị a1a2 … an gọi trước (hoặc nhỏ hơn) hoán vị b1b2 … bn với k (1 k n) ta có : = bi (1 i k-1) ak < bk Ví dụ : 12345 < 12354, 135642 < 145362 Hoán vị liền sau : Hoán vị b1b2 … bn gọi hoán vị liền sau hoán vị a1a2 … an không tồn hoán vị c1c2 … cn cho a1a2 … an < c1c2 … cn < b1b2 … bn Ví dụ : hoán vị 123456 có hoán vị liền sau 123465, 124356 liền sau 123654 b Cách tạo hoán vị liền sau Tìm từ phải qua trái hoán vị xuất phát cặp số nguyên aj, aj+1 có aj < aj+1 Chọn số nhỏ số nguyên lớn aj từ aj+1 đến an đặt vào vị trí thứ j Các số lại đặt liên tiếp từ nhỏ đến lớn từ vị trí j+1 đến hết Ví dụ : Từ hoán vị 123654 tìm cặp (3,6), số bé lớn Đặt vào vị trí ta xâu 124, số lại (3,6,5) đặt từ nhỏ đến lớn ta : 124356 hoán vị liền sau hoán vị ban đầu c Thuật toán Program Sinh_hoan_vi_theo_thu_tu_tu_dien; Begin s := ‘123 … n’; i := Vitricap; { i vị trí từ phải sang cho s[i] < s[i+1] } While i Begin j := Min(i); { j vị trí s[k] bé từ i+1 đến cuối xâu s[k] > s[i] } Swap(i,j); { Đổi s[i] với s[j] } Sapxep(i+1, n); { Sắp xếp tăng dần dãy s từ i+1 đến cuối xâu } Write(s); i := Vitricap; End; End; Thuật toán cần dùng hàm Vitricap, Min(i), Swap(i,j) Sapxep(i,j) Minh hoạ với ví dụ xâu s = „123‟ Sinh tổ hợp chập k a Sinh tổ hợp liền sau Lùi từ phải sang trái i thoả mãn : n – k + i, tăng lên đơn vị thay số số sau số trước đơn vị b Thuật toán Program Sinh_to_hop_chap_k_theo_thu_tu_tu_dien; 11 Chương Tập hợp phép đếm Begin s := ‘123 … k’; i := Vitri; { i vị trí từ phải sang trái cho s[i] n-k+i } While i Begin s[i] := s[i] + 1; For j:=i+1 to k s[j] := s[j-1] + 1; Write(s); i := Vitri; End; End; Để sinh chỉnh hợp sinh tổ hợp sau lấy hoán vị tổ hợp Ngoài thuật toán sinh theo thứ tự từ điển ta số thuật toán khác : dựa khai triển Cantor số nguyên, quay lui … BÀI TẬP I TẬP HỢP Viết lại tập hợp sau dạng liệt kê : a {x | x R x2 = 1} b {x | x N x2 = 2} c {x N : x - chia hết cho < x2 < 50 } Định nghĩa thuộc tính tập hợp sau : a {0, 3, 6, 9, 12} b {m, n, o, p, q} c {tháng giêng, tháng hai, tháng năm, tháng bảy} d {- 6, - 5, -4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e {3, 6, 9, 12, 15 } f {a, aba, ababa, abababa, } g { , 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, } Các khẳng định sau hay sai ? a x {x} b {x} {x} c {x} {{x}} d {x} e {x} {x} f {x} Xác định tập tập hợp sau nhau, hữu hạn, vô hạn a { x R : < x < } b { x Z : x2 + < 30} c { n N : 2n = n2 } d { x : x = x = 2} 12 Chương Tập hợp phép đếm e { x R : (x - 3/2) < 1/2} f {z C : z2 + = 6z} g { x R : x3 < 8} { x R : x5 > 1} Nếu X, Y, Z rời đôi A X Y B X Z, chứng minh A B X Biểu thức tập hợp A, B C Chứng minh cho phản ví dụ a (A B) C = (A C) B b A (B C) = (A B) (A C) c A (B C) = (A B ) (A C) d A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) C f (A B) C = (A C) B Chứng minh tương đương mệnh đề sau : a X A B b (X A) (X B) = c (X A) B Tìm A x B A x B với : a A = {0}, B = {a, b, c} b A = {}, B = c A = {}, B = {{}} Cho A = {a, {b}} B = {a, b, {a, b}} Hãy xác định tập sau : A B, A B, P(A), B P(A), A x B (A x B) (B x A) 10 Chứng minh qui tắc kết hợp phép toán hiệu đối xứng : (A B) C = A (B C) 11 Các câu sau hay sai ? Cho phản ví dụ a A A = A b A (B C ) = (A B) (A C) c A (B C) = (A B ) (A C ) d A (A A) = A 12 Các tập đường thẳng thực R gọi khoảng định nghĩa [a, b] = {x R : a < x < b} (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b) = {x R : a < x < b } Chứng minh tập hợp sau hợp khoảng : a R (1, 2) b [1, 3] (2, 4) c { x R : x4 - x2 < 0} d e (1, 100) ([2, 4) (16, 18]) f R Z 13 Chương Tập hợp phép đếm 13 Chứng minh "cặp có thứ tự" (,) định nghĩa (x, y) = {{x}, {x, y}} (x1, x2) = (y1, y2) kéo theo x1 = y1 x2 = y2 14 Chứng minh "cặp có thứ tự" (,) xác định (x,y) = {{x,0},{ y,1}} tính chất câu 13 Hãy đưa tổng quát hoá để định nghĩa n 15 Chỉ phản ví dụ “định nghĩa” sau cặp có thứ tự không a (x,y) = x {x, y} b (x,y) = {{x}, x y} 16 Một bệnh viện giữ ghi 1000 bệnh nhân tiếp nhận năm Dữ liệu lưu trữ gồm có tên, địa chỉ, ngày sinh, ngày nhập ngày viện, điều kiện chẩn đoán chữa trị việc chữa bệnh có thành công hay không Hãy mô tả tích Cartesian tập hợp ghi thành phần Dùng ui(r) để biểu thị thành phần thứ i ghi r, viết điều sau ký hiệu tập hợp a Tập hợp bệnh nhân 50 tuổi nhập viện b Tập hợp bệnh nhân nhập viện lần năm c Tập hợp bệnh nhân bệnh viện hai tuần d Tập hợp bệnh chẩn đoán e Tập hợp bệnh chữa khỏi 17 Nghịch lý Russel : Chỉ mâu thuẫn định nghĩa tập X sau : X tập hợp chứa phần tử tập hợp không thuộc (X = {A | A A}) 18 Xây dựng tập hợp dựa ý tưởng sau tìm nghịch lý : a Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt tóc cho người không tự cắt b Tồn thực tế có tỉnh trưởng không sống tỉnh Vì phủ định thành lập tỉnh buộc tỉnh trưởng không sống tỉnh phải sống tỉnh ! II NGUYÊN LÝ CỘNG NHÂN VÀ BÙ TRỪ Có người có tên họ viết tắt chữ khác Tính số xâu nhị phân đối xứng gương (tức viết xuôi ngược nhau) có độ dài n Có xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bit kết thúc bit Có xâu nhị phân độ dài không vượt n (n N), bắt đầu kết thúc bit Trong số nguyên dương 1000, có số : a Chia hết cho cho ? b Không chia hết cho cho ? c Chia hết cho không chia hết cho ? d Chia hết cho cho ? 24 Có xâu gồm chữ số thập phân a Không chứa chữ số lần ? b Kết thức chữ số chẵn ? c Có chữ số ? 25 Có ánh xạ từ tập {1, 2, …, n} (n N) tới tập {0, 1} a hàm đơn ánh ? b gán cho hai số n ? 19 20 21 22 23 14 Chương Tập hợp phép đếm 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 c gán cho số nguyên dương nhỏ n ? 10 người cô dâu rể chụp ảnh Mỗi kiểu ảnh gồm có người Tính số phương án chụp để : a kiểu ảnh có cô dâu b có cô dâu rể c có cô dâu, có rể (không loại trừ) *Có xâu nhị phân độ dài 10 có số số liền *Có xâu nhị phân độ dài có số liền số liền Từ qui luật bù trừ tập hợp, mở rộng cho tập A, B, C Bằng giản đồ Venn, chứng minh qui luật bù trừ tập A, B, C Trong đề thi có câu hỏi Mỗi câu cho điểm theo bốn mức A, B, C, D Hỏi với thí sinh chắn có người trùng điểm thi theo câu Có số nguyên dương nhỏ 1000 : a Có chữ số thập phân ? b Có số lẻ chữ số thập phân c Có chữ số d Không có chữ số lẻ e Là thuận nghịch Trong dãy số từ đến 1000 có chữ số sau dùng a b c d Có cách xếp chữ a, b, c, d cho chữ b không liền sau chữ a Tính số đường chéo đa giác lồi n đỉnh (n N) III NGUYÊN LÝ DIRICHLLET 36 Chứng minh nguyên lý Dirichllet 37 Trong người chắn có người trùng giáp ngày sinh 38 Cần lấy tất 10 tất trắng 10 tất đen, để chắn có đôi màu ? 39 Cần người để chắn có người sinh trùng thứ trùng tháng (có thể khác năm sinh) 40 Chứng minh k+1 số nguyên chắn có số chia cho k có số dư 41 Cho điểm toạ độ nguyên Chứng minh có điểm cặp đỉnh có toạ độ nguyên 42 Chỉ có điểm phân biệt hinh vuông cạnh có hai điểm có khoảng cách bé 43 Trong mạng n máy tính, máy nối với máy khác Chứng minh có máy mà số máy khác nối với chúng 44 Trong dãy n số liên tiếp có số chia hết cho n 45 Một bữa tiệc có người Chứng minh có hai người có số người quen 46 *Trong n+1 số nguyên dương không vượt 2n có số nguyên tố 47 *Chỉ dãy m số nguyên tồn dãy liên tiếp có tổng chia hết cho m 15 Chương Tập hợp phép đếm 48 Chứng minh 11 số nguyên dương có hai số có chữ số cuối Trong 91 số có 10 số có chữ số cuối 49 Chứng minh biểu diễn thập phân số hữu tỉ tuần hoàn 50 Viết chương trình liệt kê tất dãy không tăng (không giảm) dãy IV HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP KHÔNG LẶP 51 người dự thi, chiếm giải nhất, nhì, ba Hỏi có khả chiếm giải ? 52 người dự thi, chọn người Hỏi có khả chọn ? 53 Có n sinh viên nam n sinh viên nữ Hỏi có cách xếp hàng cho nam nữ đứng xen kẽ ? 54 Một tập hợp 10 phần tử, có tập với số phần tử lẻ 55 Có thể tạo đề thi trắc nghiệm (mỗi đề 20 câu hỏi) từ tập 40 câu hỏi 56 Có đa giác n cạnh khác nội tiếp vòng tròn (Hai đa giác gọi nhận từ cách quay góc đó) 57 Trong lớp có 10 sinh viên nam 20 sinh viên nữ Có cách chọn nhóm người số sinh viên nam nữ 58 Có cách chia 52 quân cho người chơi (mỗi người 13 quân) ? 59 Nếu X tập hợp có 10 phần tử, tìm số lớn tập phần tử X có tính chất a Các tập rời đôi b Không có hai tập chung phần tử 60 *Nếu X tập hợp có 10 phần tử, tìm số phần tử họ tập tập phần tử X có tính chất : a Các tập rời đôi b Không có hai tập chung phần tử 61 Cho p số nguyên tố k số nguyên cho k p-1 Chứng minh C(p, k) chia hết cho p 62 Có hạng thức khai triển (x + y)100 63 Tính hệ số hạng thức x100y49 khai triển (2x – 3y)150 64 *Tìm công thức tính hệ số xk khai triển (x + 1/x)100 65 *Tìm công thức tính hệ số xk khai triển (x2 - 1/x)100 66 *Cho n số nguyên dương Tìm hệ số nhị thức lớn C(n, r), r số nguyên không âm nhỏ n 67 Dùng lý thuyết tổ hợp chứng minh : C(n, k) = C(n, n-k) 68 Chứng minh : C(n, k-1) = C(n+2, k+1) – 2C(n+1, k+1) + C(n, k+1) : a Biến đổi số học b Lý thuyết tổ hợp 69 Cho n k r Chứng minh công thức C(n,k)*C(k,r) = C(n,r)*C(n-r, k-r) : a Biến đổi số học b Lý thuyết tổ hợp k 70 *Cho n, k số nguyên dương Chứng minh C ( n i , i ) C ( n k 1, k ) i0 16 Chương Tập hợp phép đếm a Bằng lý thuyết tổ hợp b Bằng đẳng thức Pascal 71 Cho n nguyên dương Chứng minh công thức C(2n, 2) = 2C(n, 2) + n2 : a Biến đổi số học b Lý thuyết tổ hợp 72 Dùng công cụ tổ hợp chứng minh kC(n, k) = nC(n-1, k-1) (gợi ý: tính số phương án bầu đoàn chủ tịch chủ tịch hội nghị cách) n 73 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh k C (n, k ) n n 1 (Gợi ý : Tính cách số k 1 phương án chọn hội đồng thêm vào chọn chủ tịch cho hội đồng đó) n 74 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : k C (n, k ) n C ( n 1, n ) (Gợi ý : Tính k 1 cách số phương án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo sư toán học n giáo sư tin học thêm vào chọn chủ tịch hội đồng giáo sư toán) 75 Chứng minh số tập có số phần tử lẻ tập hợp số tập có số phần tử chẫn 76 Trong mặt phẳng Oxy, bọ di chuyển cách nhảy bước với độ dài đơn vị theo chiều dương trục x trục y Chứng minh số cách bọ di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (m, n) C(m+n, n) (Gợi ý : Mỗi đường biểu diễn xâu nhị phân 0,1, 0: theo trục x, 1: theo trục y) 77 Áp dụng đẳng thức VanDermonde tính : C(20,10) V HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP CÓ LẶP 78 Có phương án chọn có hoàn lại phần tử từ tập hợp có phần tử ? 79 Có xâu gồm chữ ? 80 Hàng ngày sinh viên chọn bánh để ăn từ gói có loại bánh Hỏi có cách anh sinh viên chọn bánh ngày tuần, có kể tới thứ tự bánh chọn ? 81 Có cách chọn đồng xu từ hộp chứa 100 đồng xu giống 80 đồng xu giống ? 82 Có cách cất 300 sách giống vào giá sách ? 83 Phương trình x + y + z + t = 20 có nghiệm nguyên không âm ? 84 Phương trình x + y + z = 19 có nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x 3, y 4? 85 Phương trình x + y + z + u + v = 18 có nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x 3, y 4, u, v ? 86 Bất đẳng thức x + y + z 11 có nghiệm nguyên không âm ? (Gợi ý : đưa thêm biến t cho x + y + z + t = 11) 87 Có số nguyên dương nhỏ 1.000.000 có tổng chữ số 19 ? 88 Có số nguyên dương nhỏ 1.000.000 có tổng chữ số 13 chứa chữ số ? 89 Tìm giá trị k sau đoạn chương trình sau thực : 17 Chương Tập hợp phép đếm k := 0; for i1 := to n for i2 := to i1 for im := to im-1 k := k + 1; 90 Trong không gian Oxyz, bọ di chuyển cách nhảy bước với độ dài đơn vị theo chiều dương trục x, y z Tính số cách để bọ di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (2, 3, 4) (Gợi ý : Biểu diễn đường bọ hộp chứa số bước theo trục) 91 Có cách chia cỗ 52 quân cho người chơi, người quân ? (Gợi ý : Chỗ thừa người chơi thứ 5) 92 Có cách xếp 300 sách khác lên kệ sách theo : a Không cố định số lượng kệ, không tính đến vị trí sách b Chia kệ 100 sách, không tính đến vị trí sách c Chia kệ 100 sách, tính đến vị trí sách d Không cố định số lượng kệ, tính đến vị trí sách 93 Có số hạng khác khai triển (x1 + x2 + + xm)n sau cộng số hạng đồng dạng với ? 94 Tìm khai triển (x + y + z)4 95 Tìm hệ số x3y2z5 khai triển (x + y + z)10 96 Có số hạng khai triển (x + y + z)100 ? 97 Nêu chứng minh hoàn chỉnh công thức tính số tổ hợp lặp chập k VI SINH HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP 98 Chứng minh hoán vị có hoán vị liền sau 99 Chứng minh tính đắn cách tìm hoán vị liền sau 100 Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển hoán vị sau : a 45231 b 6714235 c 12453 d 31528764 101 Sắp xếp dãy hoán vị sau theo thứ tự từ điển : 234561, 231456, 165432, 156423, 543216, 541236, 231465, 314562, 654321, 654312 102 Chứng minh tổ hợp có tổ hợp liền sau 103 Chứng minh tính đắn cách tìm tổ hợp liền sau 104 Tìm tổ hợp chập liền sau phần tử theo thứ tự từ điển tổ hợp sau : a 4231 b 1423 c 1253 d 5264 105 Sắp xếp dãy tổ hợp chập sau theo thứ tự từ điển : 4561, 2314, 3145, 6543, 6543, 4356, 2314, 1654, 1564, 5432, 5412 106 Có thể ánh xạ tập tập hợp n phần tử xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau 18 Chương Tập hợp phép đếm xâu s tìm cách : tìm vị trí i từ phải sang trái cho s[i] = Thay s[i] tất vị trí lại (từ i+1 đến n) Áp dụng cách tìm xâu liền sau xâu nhị phân để liệt kê tất tập tập A có n phần tử 107 Hãy xây dựng thuật toán dựa thứ tự từ điển viết chương trình sinh chỉnh hợp chập k từ tập n phần tử (Gợi ý : kết hợp thuật toán hoán vị sinh tổ hợp chập k) 108 Viết hoàn chỉnh chương trình sinh hoán vị NNLT 109 Viết hoàn chỉnh chương trình sinh tổ hợp chập k NNLT 110 Áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất tập tập A có n phần tử 111 Có thể ánh xạ tập tập hợp n phần tử xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau xâu s tìm cách : tìm vị trí i từ phải sang trái cho s[i] = Thay s[i] tất vị trí lại (từ i+1 đến n) Áp dụng cách tìm xâu liền sau xâu nhị phân để liệt kê tất tập tập A có n phần tử 19 [...]... liền sau 18 Chương 1 Tập hợp và phép đếm của xâu s được tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0 Thay s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0 Áp dụng cách tìm xâu liền sau của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử 107 Hãy xây dựng thuật toán dựa trên thứ tự từ điển và viết chương trình sinh ra chỉnh hợp chập k từ tập n phần... chỉnh hợp chập k từ tập n phần tử (Gợi ý : kết hợp 2 thuật toán hoán vị và sinh tổ hợp chập k) 108 Viết hoàn chỉnh chương trình sinh hoán vị bằng một NNLT nào đó 109 Viết hoàn chỉnh chương trình sinh tổ hợp chập k bằng một NNLT nào đó 110 Áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử 111 Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n... chỉnh hợp có thể sinh tổ hợp sau đó lấy hoán vị của từng tổ hợp này Ngoài thuật toán sinh theo thứ tự từ điển ta còn một số thuật toán khác như : dựa trên khai triển Cantor của một số nguyên, quay lui … BÀI TẬP I TẬP HỢP 1 Viết lại các tập hợp sau dưới dạng liệt kê : a {x | x R x2 = 1} b {x | x N x2 = 2} 2 3 4 c {x N : x - 1 chia hết cho 3 và 1 < x2 < 50 } Định nghĩa bằng thuộc tính các tập hợp. .. ngày nhập và ngày ra viện, điều kiện chẩn đoán và chữa trị và việc chữa bệnh có thành công hay không Hãy mô tả tích Cartesian của các tập hợp trong đó mỗi bản ghi là một thành phần Dùng ui(r) để biểu thị thành phần thứ i của bản ghi r, viết các điều sau đây bằng ký hiệu tập hợp a Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện b Tập hợp các bệnh nhân đã nhập viện hơn một lần trong năm c Tập hợp các... năm c Tập hợp các bệnh nhân ở trong bệnh viện ít nhất hai tuần d Tập hợp các bệnh đã được chẩn đoán e Tập hợp các bệnh đã chữa khỏi 17 Nghịch lý Russel : Chỉ ra sự mâu thuẫn trong định nghĩa tập X sau đây : X là tập hợp chứa các phần tử là tập hợp không thuộc chính nó (X = {A | A A}) 18 Xây dựng các tập hợp dựa trên các ý tưởng sau và tìm ra nghịch lý của nó : a Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt... chọn hội đồng và thêm vào chọn một chủ tịch cho hội đồng đó) n 74 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : k C (n, k ) 2 n C ( 2 n 1, n 1 ) (Gợi ý : Tính bằng 2 k 1 cách số phương án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo sư toán học và n giáo sư tin học và thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó là giáo sư toán) 75 Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có số... e {x} {x} f {x} Xác định tập nào trong các tập hợp sau là bằng nhau, hữu hạn, vô hạn a { x R : 1 < x < 2 } b { x Z : x2 + 2 < 30} c { n N : 2n = n2 } d { x : x = 1 hoặc x = 2} 12 Chương 1 Tập hợp và phép đếm e { x R : (x - 3/2) < 1/2} f {z C : z2 + 8 = 6z} g { x R : x3 < 8} { x R : x5 > 1} 5 6 7 8 9 Nếu X, Y, Z rời nhau từng đôi một và A X Y và B X Z, chứng minh A B... End; End; Thuật toán này cần dùng 4 hàm Vitricap, Min(i), Swap(i,j) và Sapxep(i,j) Minh hoạ với ví dụ xâu s = „123‟ 2 Sinh tổ hợp chập k a Sinh tổ hợp liền sau Lùi từ phải sang trái cho đến i đầu tiên thoả mãn : ai n – k + i, tăng ai lên 1 đơn vị và thay các số tiếp theo số sau hơn số trước 1 đơn vị b Thuật toán Program Sinh_to_hop_chap_k_theo_thu_tu_tu_dien; 11 Chương 1 Tập hợp và phép đếm Begin s :=... tập {1, 2, …, n} (n N) tới tập {0, 1} và a đó là các hàm đơn ánh ? b gán 0 cho cả hai số 1 và n ? 19 20 21 22 23 14 Chương 1 Tập hợp và phép đếm 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 c gán 1 cho đúng một trong các số nguyên dương nhỏ hơn n ? 10 người cả cô dâu và chú rể cùng chụp ảnh Mỗi kiểu ảnh gồm có 6 người Tính số phương án chụp để : a mọi kiểu ảnh đều có cô dâu b có cô dâu và chú rể c hoặc có cô dâu,.. .Chương 1 Tập hợp và phép đếm V SINH HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP 1 Sinh hoán vị Có nhiều phương pháp khác nhau để sinh hoán vị từ tập n phần tử Trong phần này ta chỉ trình bày phương pháp sinh theo thứ tự từ điển Để đơn giản các phần tử của tập hợp được đánh số từ 1 đến n a Định nghĩa Hoán vị đi trước : hoán vị a1a2 … an được