Toán rời rạc-Chương 7: Đồ thị và cây pps

Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University... Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University... Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University... Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical Univ

CH NG 7

TH VÀ CÂY

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@mta.edu.vn

c b n nh t c a đ th , ph ng pháp bi u di n đ th trên máy tính và m t s khái ni m liên quan

 Lý thuy t đ th đ c đ xu t t th k 18, b t đ u t bài báo

c a Euler công b n m 1736 liên quan đ n l i gi i bài toán n i

V y đ th là gì?

Có th đ nh ngh a:

 th (Graph) là m t c u trúc d li u r i r c bao g m các đ nh

và các c nh n i các c p đ nh này Chúng ta phân bi t đ th thông qua ki u và s l ng c nh n i gi a các c p đ nh c a đ

th

5

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 n đ th vô h ng G =(V,E) là đ th vô h ng mà gi a hai

đ nh ch có t i đa m t c nh

 a đ th vô h ng G=(V,E) là đ th vô h ng mà gi a hai

đ nh có th có nhi u h n m t c nh

9

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

Ví d v đa đ th vô h ng - M ng máy tính đa kênh tho i

 a đ th có h ng G = <V, A> là đ th có h ng, trong đó n u

v1 và v2 là 2 đ nh c a đ th thì có th có nhi u cung (v1,v2) Hai cung e1, e2 t ng ng v i cùng m t c p đ nh đ c g i là cung

l p

B ng phân bi t các lo i đ th

13

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Hai đ nh u và v c a đ th vô h ng G =<V, E> đ c g i

là k nhau n u (u,v) là c nh thu c đ th G

 N u e =(u, v) là c nh c a đ th G thì ta nói c nh này liên thu c v i hai đ nh u và v, ho c ta nói c nh e n i đ nh u

v i đ nh v, đ ng th i các đ nh u và v s đ c g i là đ nh

đ u c a c nh (u,v)

 nh ngh a 7.2.9:

 Ta g i b c c a đ nh v trong đ th vô h ng là s c nh liên thu c v i nó và ký hi u là deg(v)

 Gi s G = <V, E> là đ th vô h ng v i m c nh Khi đó:

 Ch ng minh:

 Rõ ràng m i c nh e=(u,v) b t k , đ c tính m t l n trong deg(u)

và m t l n trong deg(v)

 T đó suy ra s t ng t t c các b c b ng hai l n s c nh.

 Trong đ th vô h ng G=<V, E>, s các đ nh b c l là m t s

 N u e=(u,v) là cung c a đ th có h ng G thì ta nói hai đ nh u

và v là k nhau, và nói cung (u, v) n i đ nh u v i đ nh v ho c

c ng nói cung này đi ra kh i đ nh u và đi vào đ nh v nh u (v) s

đ c g i là đ nh đ u (cu i) c a cung (u,v)

 nh ngh a 7.2.11:

 Ta g i bán b c ra (bán b c vào) c a đ nh v trong đ th có h ng

G là s cung c a đ th đi ra kh i nó (đi vào nó) và ký hi u là deg+(v) và deg-(v)

 Cho đ th có h ng:

Ta có:

 deg-(a) = 1, deg-(b) = 2, deg-(c) = 2, deg-(d) = 2, deg-(e) = 2

 deg+(a) = 3, deg+(b) = 1, deg+(c) = 1, deg+(d) = 2, deg+(e) = 2

19

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 ng đi đ dài n t đ nh u đ n đ nh v trên đ th vô h ng G=<V,E> là dãy:

x0, x1, , xn-1, xntrong đó n là s nguyên d ng, x0=u, xn=v, (xi, xi+1) E, i =0, 1, 2, , n-1

 ng đi nh trên còn có th bi u di n thành dãy các c nh:

(x0, x1), (x1,x2), , (xn-1, xn)

 nh u là đ nh đ u, đ nh v là đ nh cu i c a đ ng đi

 ng đi có đ nh đ u trùng v i đ nh cu i (u=v) đ c g i là chu trình

 ng đi hay chu trình đ c g i là đ n n u nh không có c nh nào

l p l i

21

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Tìm các đ ng đi, chu trình trong đ

th vô h ng nh trong hình bên

 ng đi đ dài n t đ nh u đ n đ nh v trong đ th có h ng G=<V,A> là dãy:

x0, x1, , xntrong đó, n là s nguyên d ng, u = x0, v = xn, (xi, xi+1) A

 ng đi nh trên có th bi u di n thành dãy các cung:

 th vô h ng đ c g i là liên thông n u luôn tìm đ c

đ ng đi gi a hai đ nh b t k c a nó

 nh ngh a 7.3.4:

 th H = (W, F) đ c g i là đ th con c a đ th G = (V, E) n u

W  V, F  E

 th đ y đ n đ nh, ký hi u là Kn là m t đ n đ th ch a đúng 1 c nh n i m i c p đ nh phân bi t

27

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

Các đ th Kn,

 Chu trình Cn, n  3 là m t đ th có n đ nh v1, v2, …, vn và n

c nh (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), (vn, v1)

 Khi thêm 1 đ nh vào chu trình Cn v i n 3 và n i đ nh này

 th kh i n chi u (các kh i n chi u) ký hi u là Qn, là các đ th có 2n

đ nh m i đ nh bi u di n b ng xâu nh phân đ dài n Hai đ nh là li n k

n u và ch n u các xâu nh phân bi u di n chúng khác nhau đúng 1 bit

 M t đ th đ n G đ c g i là đ th phân đôi n u t p các đ nh V có th phân thành 2 t p con không r ng r i nhau V1 và V2 sao cho m i c nh

 th phân đôi đ y đ Km,n là đ th có t p đ nh đ c phân thành hai

t p con t ng ng có m đ nh và n đ nh và có m t c nh gi a hai đ nh khi và ch khi m t đ nh thu c t p con này và đ nh th hai thu c t p con kia

di n đ th trên máy tính, đ ng th i s d ng nh ng c u trúc d li u thích

h p đ mô t đ th Vi c ch n c u trúc d li u nào đ bi u di n đ th có tác đ ng r t l n đ n hi u qu thu t toán.

7.5.1 Ma tr n k , ma tr n tr ng s (4/6)

 Trong m t s bài toán, m i c nh e = (u, v) c a đ th đ c gán

m t giá tr c(e) (ho c vi t c(u,v)) nào đó g i là tr ng s (đ dài)

7.5.1 Ma tr n k , ma tr n tr ng s (5/6)

 Ví d v ma tr n k c a đ th vô h ng có tr ng s :

7.5.1 Ma tr n k , ma tr n tr ng s (6/6)

 M t s nh n xét:

 u đi m: ph ng pháp bi u di n đ th b ng ma tr n k

(ho c ma tr n tr ng s ) là ta d dàng tr l i đ c câu h i: Hai

đ nh u, v có k nhau trên đ th hay không và chúng ta ch m t đúng m t phép so sánh

 Nh c đi m: ph ng pháp bi u di n này không quan tâm

t i s c nh, luôn m t n2 đ n v b nh đ l u tr đ th

39

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Nh c đi m: đ nh n bi t nh ng c nh nào k v i c nh nào, c n m phép so

sánh trong khi duy t qua t t c m c nh (cung) c a đ th

 N u là đ th có tr ng s , c n thêm m đ n v b nh đ l u tr tr ng s c a các

7.5.2 Danh sách c nh (cung) (3/4)

 Ví d 2 v danh sách c nh (cung):

 Ví d v danh sách k :

45

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Ví d v danh sách k :

 Ví d v ma tr n liên thu c:

7.6.1 Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu trên đ th 7.6.2 Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng trên đ th

7.6.3 Tìm các thành ph n liên thông c a đ th

7.6.4 Tìm đ ng đi gi a hai đ nh b t kì c a đ th

7.6.5 Tìm đ ng đi và chu trình Euler

7.6.6 Tìm đ ng đi và chu trình Hamilton

49

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

Ý t ng:

 T t ng c b n c a thu t toán tìm ki m theo chi u sâu là b t đ u t i

m t đ nh v0 nào đó, ch n m t đ nh u b t k k v i v0 và l y nó làm đ nh duy t ti p theo

 Cách duy t ti p theo đ c th c hi n t ng t nh đ i v i đ nh v0 v i

đ nh b t đ u là u

51

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Th t c DFS() s th m t t c các đ nh cùng thành ph n liên thông v i v

m i đ nh đúng m t l n

 đ m b o duy t t t c các đ nh c a đ th (có th có nhi u thành ph n liên thông), chúng ta ch c n th c hi n duy t nh sau:

{

for (i=1; i ≤ n ; i++) chuaxet[i]:= TRUE; /* thi t l p giá

for (i=1; i ≤ n ; i++)

chi u sâu trên đ th (4/6)

 Ví d v tìm ki m theo chi u sâu:

/* Depth First Search */

void Init( int G[][MAX], int *n){

fscanf(fp, "%d" , n);

cout<< "\n So dinh do thi:" <<*n;

cout<< "\n Ma tran ke cua do thi:" ;

for ( int i=1; i<=*n;i++){

cout<< "\n" ; for ( int j=1; j<=*n;j++){

fscanf(fp, "%d" , &G[i][j]); cout<< " " << G[i][j];

 Ch ng trình minh h a DFS (ti p)

55

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

void DFS( int G[][MAX], int n,

int v, int chuaxet[]){

cout<< " " <<v;

chuaxet[v]=FALSE;

for ( int u=1; u<=n; u++){

if (G[v][u]==1 && chuaxet[u])

getch();

}

 Th c hi n gi i thu t:

 ghi nh n tr ng thái duy t các đ nh c a đ th , ta c ng v n s

d ng m ng chuaxet[] g m n ph n t thi t l p giá tr ban đ u là TRUE

 N u đ nh i c a đ th đã đ c duy t, giá tr chuaxet[i] s nh n giá

theo chi u r ng trên đ th

for (u V )

if (chuaxet[u] ) BFS(u);

}

 Ví d v BFS:

 Cho đ th vô h ng G = <V,E> sau, duy t đ th theo ph ng pháp BFS

 Các b c th c hi n:

61

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

K t qu duy t:

1,2,3,11,4, 6,12,13,7,

8, 9,10, 5

/*Breadth First Search */

void Init( int G[][MAX], int *n, int *chuaxet){

fscanf(fp, "%d" , n);

cout<< "\n So dinh do thi:" <<*n;

cout<< "\n Ma tran ke cua do thi:" ;

for (i=1; i<=*n;i++){

cout<<endl;

for (j=1; j<=*n;j++){

fscanf(fp, "%d" , &G[i][j]);

r ng trên đ th (8/8)

 Ch ng trình minh h a BFS (ti p)

63

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

for (i=1; i<=*n;i++)

chuaxet[i]=0;

}

void BFS( int G[][MAX], int n, int

i, int chuaxet[], int QUEUE[MAX])

} } } }

void main( void ){

int G[MAX][MAX], n, chuaxet[MAX], QUEUE[MAX], i;

Init(G, &n, chuaxet); cout<< "\n\n" ;

for (i=1; i<=n; i++) chuaxet[i]= TRUE;

for (i=1; i<=n; i++)

if (chuaxet[i]) BFS(G, n, i, chuaxet, QUEUE); getch();

}

 M t đ th có th liên thông ho c không liên thông

 N u đ th liên thông thì s thành ph n liên thông c a nó là 1 i u này

t ng đ ng v i phép duy t theo th t c DFS() ho c BFS() đ c g i

đ n đúng m t l n

 N u đ th không liên thông (s thành ph n liên thông l n h n 1) chúng

ta có th tách chúng thành nh ng đ th con liên thông i u này c ng

có ngh a là trong phép duy t đ th , s thành ph n liên thông c a nó

b ng s l n g i t i th t c DFS() ho c BFS()

 xác đ nh s các thành ph n liên thông c a đ th , chúng ta s d ng

bi n m i solt đ nghi nh n các đ nh cùng m t thành ph n liên thông trong m ng chuaxet[] nh sau:

 N u đ nh i ch a đ c duy t, chuaxet[i] có giá tr 0;

 N u đ nh i đ c duy t thu c thành ph n liên thông th j = solt , ta ghi nh n

 duy t h t t t c các thành ph n liên thông c a đ th , ta ch c n g i

t i th t c lienthong nh d i đây:

void Lien_Thong( void ){

for (i=1; i ≤ n; i++) chuaxet[i] =0;

for (i=1; i<=n; i++)

if (chuaxet[i]==0){

solt=solt+1;

BFS(i);

} }

67

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 ghi nh n t ng đ nh c a đ th thu c thành ph n liên thông nào, ta ch

c n duy t các đ nh có cùng chung giá tr trong m ng chuaxet[] nh d i đây:

void Result( int solt){

if (solt==1){

< Do thi la lien thong>;

} for( i=1; i<=solt;i++){

/* a ra thành ph n liên thông th i*/

for( j=1; j<=n;j++){

if( chuaxet[j]==i) < đ a ra đ nh j>;

}

 Ví d : cho đ th G = <V, E>, duy t các thành ph n liên thông c a G:

69

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

/*Breadth First Search */

void Init( int G[][MAX], int *n, int

*solt, int *chuaxet){

fscanf(fp, "%d" , n);

cout<< "\n So dinh do thi:" <<*n;

cout<< "\n Ma tran ke cua do thi:" ;

for (i=1; i<=*n;i++){

cout<<endl;

for (j=1; j<=*n;j++){

fscanf(fp, "%d" , &G[i][j]); cout<< " " <<G[i][j];

} }

for ( int i=1; i<=solt;i++){

cout<< "\n Thanh phan lien thong thu: " <<i;

for ( int j=1; j<=n;j++){

if ( chuaxet[j]==i) cout<< " " <<j;

} } }

void BFS( int G[][MAX], int n, int

i, int *solt, int chuaxet[], int

for (i=1; i<=n; i++)

if (chuaxet[i]==0){

solt=solt+1;

BFS(G, n, i, &solt, chuaxet, QUEUE);

} Result(chuaxet, n, solt);

Bài toán: Cho đ th G=(V, E) Trong đó V là t p đ nh, E là t p c nh c a

đ th Hãy tìm đ ng đi t đ nh s V t i đ nh t V

Phân tích bài toán:

 Th t c BFS(s) ho c DFS(s) cho phép duy t các đ nh cùng m t thành

ph n liên thông v i s

 N u trong s các đ nh liên thông v i s ch a t thì ch c ch n có đ ng

đi t s đ n t Ng c l i, không t n t i đ ng đi gi a s và t

 i u này đ c th c hi n thông qua m ng tr ng thái chuaxet[]

 N u chuaxet[t] = False thì có ngh a t cùng thành ph n liên thông v i s

 ghi nh n đ ng đi t s đ n t , s d ng m t m ng truoc[] thi t l p giá tr ban đ u là 0

 Trong quá trình duy t, thay th giá tr c a truoc[v] đ ghi nh n đ nh đi

DFS(u);

} }

}

75

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

} }

 K t qu đ ng đi đ c đ c ng c l i thông qua th t c Result() nh sau:

void Result( void ){

if (truoc[t]==0){

<Không có đ ng đi t s đ n t>;

return ; }

}

77

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

 Tìm đ ng đi t đ nh 1 đ n đ nh 7 b ng thu t toán tìm ki m theo chi u r ng v i đ

th G = <V, E> sau:

 Ta có, BFS(1) = 1,2,3,11,4,6,12,13,7,8,9,10,5 Rõ ràng chuaxet[7] = True nên có đ ng

đi t đ nh 1 đ n đ nh 7 Bây gi xác đ nh giá tr trong m ng truoc[] đ có k t qu đ ng đi

}

} cout<< " " <<s;

void main( void ){

cout<< "\n Dinh dau:" ; cin>>s; cout<< "\n Dinh cuoi:" ; cin>>t; Init();

 th đ c g i là đ th Euler n u nó có chu trình Euler

 th có đ ng đi Euler đ c g i là n a Euler

 Nh n xét:

 M i đ th Euler đ u là n a Euler nh ng đi u ng c l i không đúng

 Ví d 7.6.5.1:

 th G1 là đ th Euler: nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a

 th G3 không có chu trình Euler nh ng ch a đ ng đi Euler a, c, d, e, b, d,

 tìm m t chu trình Euler, ta th c hi n theo thu t toán sau:

 T o m t m ng CE đ ghi đ ng đi và m t stack đ x p các đ nh ta s xét

X p vào đó m t đ nh tu ý u nào đó c a đ th , ngh a là đ nh u s đ c xét

đ u tiên

 Xét đ nh trên cùng c a ng n x p, gi s đ nh đó là đ nh v , và th c hi n:

 N u v là đ nh cô l p thì l y v kh i ng n x p và đ a vào CE;

 N u v là liên thông v i đ nh x thì x p x vào ng n x p sau đó xoá b c nh

(v, x) ;

 Quay l i b c 2 cho t i khi ng n x p r ng

 Gi mã tìm chu trình Euler:

87

@Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

void Euler_Cycle( void ){

 Ví d :

Cho đ th G = <V, E> trên, tìm chu trình Euler

int G[MAX][MAX], n, u=1;

void Init( void ){

cout<< "\n Ma tran ke:" ;

for (i=1; i<=n;i++){

cout<< "\n" ;

for (j=1; j<=n;j++){

fscanf(fp, "%d" , &G[i][j]); cout<< " " <<G[i][j];

} } fclose(fp);

Ch ng trình tìm chu trình Euler (ti p):

void Tim( void ){

int v, x, top, dCE;

int stack[MAX], CE[MAX];

else cout<< "\n Khong co chu trinh Euler" ;

getch();

}