Khái quát về tập hợp và phép đếm
Trang 1Bài tập chơng 1 Tập hợp và phép đếm
I Tập hợp
1. Viết lại các tập hợp sau dới dạng liệt kê :
a {x | x ∈ R ∧ x2 = 1}
b {x | x ∈ N ∧ x2 = 2}
c {x ∈ N : x - 1 chia hết cho 3 và 1 < x2 < 50 }
2. Định nghĩa bằng thuộc tính các tập hợp sau :
a {0, 3, 6, 9, 12}
b {m, n, o, p, q}
c {tháng giêng, tháng hai, tháng năm, tháng bảy}
d {- 6, - 5, -4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
e {3, 6, 9, 12, 15 }
f {a, aba, ababa, abababa, }
g { , 1/8, 1/4, 1/2, 4, 8, }
3. Các khẳng định sau đúng hay sai ?
a x ∈ {x}
b {x} ∈ {x}
c {x} ∈ {{x}}
e {x} ⊆ {x}
4. Xác định tập nào trong các tập hợp sau là bằng nhau, hữu hạn, vô hạn
a { x ∈ R : 1 < x < 2 }
b { x ∈ Z : x2 + 2 < 30}
c { n ∈ N : 2n = n2 }
d { x : x = 1 hoặc x = 2}
e { x ∈ R : (x - 3/2) < 1/2}
f {z ∈ C : z2 + 8 = 6z}
g { x ∈ R : x3 < 8} ∩ { x ∈ R : x5 > 1}
5. Nếu X, Y, Z rời nhau từng đôi một và A ⊆ X ∪ Y và B ⊆ X ∪ Z, chứng minh A ∩ B ⊆ X
6. Biểu thức nào đúng đối với mọi tập hợp A, B và C Chứng minh hoặc cho phản ví dụ
a (A − B) ∩ C = (A ∩ C) − B
Trang 2b A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C)
c A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C)
d A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
e A − (B − C) = (A − B) − C
f (A − B) − C = (A − C) − B
7. Chứng minh sự tơng đơng của 3 mệnh đề sau đây :
a X ⊆ A ∪ B
b (X − A) ∩ (X − B) = ∅
c (X − A) ⊆ B
8. Tìm A x B và |A x B| với :
a A = {0}, B = {a, b, c}
b A = {∅}, B = ∅
c A = {∅}, B = {{∅}}
9. Cho A = {a, {b}} và B = {a, b, {a, b}}
Hãy xác định các tập sau : A ∩ B, A ∪ B, P(A), B ∩P(A), A x B và (A x B) ∩ (B x A)
10 Chứng minh qui tắc kết hợp của phép toán hiệu đối xứng : (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)
11 Các câu sau đúng hay sai ? Cho phản ví dụ
a A ∆ A = A
b A ∆ (B ∩ C ) = (A ∆ B) ∩ (A ∆ C)
c A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B ) ∆ (A ∩ C )
d A ∆ (A ∆ A) = A
12 Các tập con của đờng thẳng thực R gọi là các khoảng đợc định nghĩa bởi
• [a, b] = {x ∈ R : a < x < b}
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
• [a, b) = {x ∈ R : a < x < b }
Chứng minh các tập hợp sau đây là hợp của các khoảng :
a R − (1, 2)
b [1, 3] ∩ (2, 4)
c { x ∈ R : x4 - x2 < 0}
e (1, 100) − ([2, 4) ∪ (16, 18])
f R − Z
13 Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc định nghĩa bởi (x, y) = {{x}, {x, y}} thì
(x1, x2) = (y1, y2) kéo theo x1 = y1 và x2 = y2
14 Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc xác định bởi (x,y) = {{x,0},{ y,1}} thì tính chất
trong câu 13 vẫn đúng Hãy đa ra một tổng quát hoá để định nghĩa bộ n
Trang 315 Chỉ ra bằng phản ví dụ các “định nghĩa” sau về cặp có thứ tự là không đúng
a (x,y) = x ∪ {x, y}
b (x,y) = {{x}, x ∪ y}
16 Một bệnh viện giữ các bản ghi về 1000 bệnh nhân đợc tiếp nhận trong một năm Dữ liệu đợc
lu trữ gồm có tên, địa chỉ, ngày sinh, ngày nhập và ngày ra viện, điều kiện chẩn đoán và chữa trị và việc chữa bệnh có thành công hay không Hãy mô tả tích Cartesian của các tập hợp trong đó mỗi bản ghi là một thành phần Dùng ui(r) để biểu thị thành phần thứ i của bản ghi r, viết các điều sau đây bằng ký hiệu tập hợp
a Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện
b Tập hợp các bệnh nhân đã nhập viện hơn một lần trong năm
c Tập hợp các bệnh nhân ở trong bệnh viện ít nhất hai tuần
d Tập hợp các bệnh đã đợc chẩn đoán
e Tập hợp các bệnh đã chữa khỏi
17 Nghịch lý Russel : Chỉ ra sự mâu thuẫn trong định nghĩa tập X sau đây : X là tập hợp chứa
các phần tử là tập hợp không thuộc chính nó (X = {A | A ∉ A})
18 Xây dựng các tập hợp dựa trên các ý tởng sau và tìm ra nghịch lý của nó :
a Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt tóc cho ngời nào không tự cắt
b Tồn tại một thực tế là có những tỉnh trởng không sống trong tỉnh của mình Vì vậy chính phủ quyết định thành lập một tỉnh mới và buộc mọi tỉnh trởng không sống trong tỉnh của mình phải về sống trong tỉnh đó !
II nguyên lý cộng nhân và bù trừ
19 Có bao nhiêu ngời có tên họ viết tắt bằng 3 chữ cái khác nhau.
20 Tính số xâu nhị phân đối xứng gơng (tức viết xuôi hoặc ngợc đều nh nhau) có độ dài n.
21 Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi bit 1 và kết thúc bởi bit 0.
22 Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài không vợt quá n (n ∈ N), bắt đầu và kết thúc bởi bit 1
23 Trong các số nguyên dơng ≤ 1000, có bao nhiêu số :
a Chia hết cho 3 hoặc cho 4 ?
b Không chia hết cho 3 hoặc cho 4 ?
c Chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 4 ?
d Chia hết cho 3 và cho 4 ?
24 Có bao nhiêu xâu gồm 3 chữ số thập phân
a Không chứa cùng một chữ số 2 lần ?
b Kết thức bằng chữ số chẵn ?
c Có đúng 2 chữ số 9 ?
25 Có bao nhiêu ánh xạ từ tập {1, 2, , n} (n … ∈ N) tới tập {0, 1} và
a đó là các hàm đơn ánh ?
b gán 0 cho cả hai số 1 và n ?
c gán 1 cho đúng một trong các số nguyên dơng nhỏ hơn n ?
Trang 426 10 ngời cả cô dâu và chú rể cùng chụp ảnh Mỗi kiểu ảnh gồm có 6 ngời Tính số phơng án
chụp để :
a mọi kiểu ảnh đều có cô dâu
b có cô dâu và chú rể
c hoặc có cô dâu, hoặc có chú rể (không loại trừ)
27 *Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 có hoặc 5 số 0 hoặc 5 số 1 liền nhau
28 *Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 có hoặc 3 số 0 liền nhau hoặc 4 số 1 liền nhau
29 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1000 :
a Có đúng 3 chữ số thập phân ?
b Có một số lẻ các chữ số thập phân
c Có ít nhất một chữ số bằng 9
d Không có các chữ số lẻ
e Là thuận nghịch
30 Trong dãy các số từ 1 đến 1000 có bao nhiêu chữ số sau đợc dùng
31 Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái a, b, c, d sao cho chữ b không đi liền sau chữ a.
32 Tính số đờng chéo của một đa giác lồi n đỉnh (n ∈ N)
III nguyên lý dirichllet
33 Trong bao nhiêu ngời thì chắc chắn có ít nhất 6 ngời trùng con giáp ngày sinh.
34 Cần lấy ít nhất bao nhiêu chiếc tất trong 10 chiếc tất trắng và 10 chiếc tất đen, để chắc chắn
có đợc một đôi cùng màu ?
35 Cần bao nhiêu ngời để chắc chắn có 2 ngời sinh trùng thứ và trùng tháng (có thể khác năm
sinh)
36 Chứng minh trong k+1 số nguyên chắc chắn có 2 số khi chia cho k sẽ có cùng số d.
37 Cho 5 điểm toạ độ nguyên Chứng minh có ít nhất một điểm giữa của một cặp đỉnh nào đó có
toạ độ nguyên
38 Chỉ ra rằng nếu có 5 điểm phân biệt trong một hinh vuông cạnh bằng 2 thì có ít nhất hai điểm
có khoảng cách bé hơn hoặc bằng 2
39 Trong một mạng n máy tính, mỗi máy nối với ít nhất một máy khác Chứng minh rằng có ít
nhất 2 máy mà số các máy khác nối với chúng là bằng nhau
40 Trong dãy n số liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho n.
41 Một bữa tiệc có ít nhất 2 ngời Chứng minh rằng có hai ngời có số ngời quen bằng nhau.
42 *Trong n+1 số nguyên dơng bất kỳ không vợt quá 2n có ít nhất 2 số nguyên tố cùng nhau
43 *Chỉ ra rằng trong dãy m số nguyên bất kỳ tồn tại dãy con liên tiếp có tổng chia hết cho m.
44 Chứng minh trong 11 số nguyên dơng bất kỳ có ít nhất hai số có cùng chữ số cuối cùng
Trong 91 số có ít nhất 10 số có cùng chữ số cuối cùng
Trang 545 Chứng minh rằng biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ là tuần hoàn.
46 Viết chơng trình liệt kê tất cả dãy con không tăng (không giảm) của một dãy bất kỳ.
IV hoán vị và tổ hợp không lặp
47 8 ngời cùng dự thi, chiếm 3 giải nhất, nhì, ba Hỏi có bao nhiêu khả năng chiếm giải ?
48 8 ngời cùng dự thi, chọn ra 3 ngời Hỏi có bao nhiêu khả năng chọn ?
49 Có n sinh viên nam và n sinh viên nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho nam nữ đứng
xen kẽ nhau ?
50 Một tập hợp 10 phần tử, có bao nhiêu tập con với số phần tử lẻ
51 Có thể tạo đợc bao nhiêu đề thi trắc nghiệm (mỗi đề 20 câu hỏi) từ một tập 40 câu hỏi
52 Có bao nhiêu đa giác đều n cạnh khác nhau nội tiếp trong vòng tròn (Hai đa giác gọi là nh
nhau nếu nó có thể nhận đợc từ nhau bằng cách quay một góc nào đó)
53 Trong một lớp có 10 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm
6 ngời trong đó số sinh viên nam ít hơn nữ
54 Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 ngời chơi (mỗi ngời 13 quân) ?
55 Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con 4 phần tử của X có tính chất
a Các tập con rời nhau từng đôi một
b Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử
56 *Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số phần tử của họ tập các tập con 4 phần tử của X
có tính chất :
a Các tập con rời nhau từng đôi một
b Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử
57 Cho p là số nguyên tố và k là số nguyên sao cho 1 ≤ k ≤ p-1 Chứng minh C(p, k) chia hết cho p
58 Có bao nhiêu hạng thức trong khai triển của (x + y)100
59 Tính hệ số của hạng thức x100y49 trong khai triển (2x – 3y)150
60 *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x + 1/x)100
61 *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x2 - 1/x)100
62 *Cho n là số nguyên dơng Tìm hệ số nhị thức lớn nhất C(n, r), trong đó r là số nguyên không
âm nhỏ hơn hoặc bằng n
63 Dùng lý thuyết tổ hợp chứng minh : C(n, k) = C(n, n-k).
64 Chứng minh : C(n, k-1) = C(n+2, k+1) – 2C(n+1, k+1) + C(n, k+1) bằng :
a Biến đổi số học
b Lý thuyết tổ hợp
65 Cho n ≥ k ≥ r ≥ 0 Chứng minh công thức C(n,k)*C(k,r) = C(n,r)*C(n-r, k-r) bằng :
a Biến đổi số học
b Lý thuyết tổ hợp
Trang 666 *Cho n, k là các số nguyên dơng Chứng minh rằng k C(n i,i) C(n k ,k)
i
1
0
+ +
= +
∑
=
a Bằng lý thuyết tổ hợp
b Bằng hằng đẳng thức Pascal
67 Cho n nguyên dơng Chứng minh công thức C(2n, 2) = 2C(n, 2) + n2 bằng :
a Biến đổi số học
b Lý thuyết tổ hợp
68 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh rằng 1
1
=
=
k
n ) k , n ( C
số phơng án chọn hội đồng và thêm vào chọn một chủ tịch cho hội đồng đó)
69 *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : n kC(n,k) nC( n ,n )
k
1 1 2
1
∑
=
(Gợi ý : Tính bằng 2 cách số phơng án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo s toán học và n giáo s tin học và thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó là giáo s toán)
70 Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có
số phần tử chẫn
71 Trong mặt phẳng Oxy, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn
vị theo chiều dơng của trục x hoặc trục y Chứng minh rằng số cách của con bọ có thể di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (m, n) bằng C(m+n, n) (Gợi ý : Mỗi đờng đi có thể đợc biểu diễn bởi một xâu nhị phân 0,1, trong đó 0: đi theo truc x, 1: theo trục y)
72 áp dụng hằng đẳng thức VanDermonde tính : C(20,10)
V Hoán vị và tổ hợp có lặp
73 Có bao nhiêu phơng án chọn có hoàn lại lần lợt 5 phần tử từ tập hợp có 3 phần tử ?
74 Có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ cái ?
75 Hàng ngày một sinh viên chọn một chiếc bánh để ăn từ một gói có 6 loại bánh Hỏi có bao
nhiêu cách anh sinh viên chọn bánh trong 7 ngày của một tuần, nếu có kể tới thứ tự của những chiếc bánh đợc chọn ?
76 Có bao nhiêu cách chọn 8 đồng xu từ một hộp chứa 100 đồng 1 xu giống nhau và 80 đồng 5
xu giống nhau ?
77 Có bao nhiêu cách cất 300 bản sách giống nhau vào 3 giá sách ?
78 Phơng trình x + y + z + t = 20 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ?
79 Phơng trình x + y + z = 19 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x ≥ 3, y ≥ 4
?
80 Phơng trình x + y + z + u + v = 18 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x ≤
3, y ≤ 4, u, v ≥ 6 ?
81 Bất đẳng thức x + y + z ≤ 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ?
(Gợi ý : đa thêm biến t sao cho x + y + z + t = 11)
Trang 782 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 19 ?
83 Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 13 và chứa đúng
một chữ số 9 ?
84 Tìm giá trị k sau khi đoạn chơng trình sau đợc thực hiện :
k := 0;
for i 1 := 1 to n
for i 2 := 1 to i 1
for i m := 1 to i m-1 k := k + 1;
85 Trong không gian Oxyz, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn
vị theo chiều dơng của 1 trong 3 trục x, y hoặc z Tính số cách để con bọ có thể di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (2, 3, 4) (Gợi ý : Biểu diễn đờng đi của con bọ bằng 3 hộp chứa số bớc theo 3 trục)
86 Có bao nhiêu cách chia cỗ bài 52 quân cho 4 ngời chơi, mỗi ngời 9 quân ? (Gợi ý : Chỗ bài
còn thừa là ngời chơi thứ 5)
87 Có bao nhiêu cách xếp 300 cuốn sách khác nhau lên 3 kệ sách theo :
a Không cố định số lợng trên từng kệ, không tính đến vị trí của từng cuốn sách
b Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, không tính đến vị trí của từng cuốn sách
c Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, tính đến vị trí của từng cuốn sách
d Không cố định số lợng trên từng kệ, tính đến vị trí của từng cuốn sách
88 Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong khai triển của (x1 + x2 + + xm)n sau khi cộng các số hạng đồng dạng với nhau ?
89 Tìm khai triển (x + y + z)4
90 Tìm hệ số của x3y2z5 trong khai triển (x + y + z)10
91 Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của (x + y + z)100 ?
92 Nêu chứng minh hoàn chỉnh về công thức tính số tổ hợp lặp chập k.
VI Sinh hoán vị và tổ hợp
93 Chứng minh đối với mỗi hoán vị bất kỳ có duy nhất 1 hoán vị liền sau.
94 Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm hoán vị liền sau.
95 Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển của các hoán vị sau :
a 45231
b 6714235
c 12453
d 31528764
96 Sắp xếp dãy các hoán vị sau theo thứ tự từ điển : 234561, 231456, 165432, 156423, 543216,
541236, 231465, 314562, 654321, 654312
97 Chứng minh đối với mỗi tổ hợp bất kỳ có duy nhất 1 tổ hợp liền sau.
98 Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm tổ hợp liền sau.
Trang 899 Tìm tổ hợp chập 4 liền sau của 6 phần tử theo thứ tự từ điển của các tổ hợp sau :
a 4231
b 1423
c 1253
d 5264
100 Sắp xếp dãy các tổ hợp chập 4 sau theo thứ tự từ điển : 4561, 2314, 3145, 6543, 6543, 4356,
2314, 1654, 1564, 5432, 5412
101 Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau
của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0 Thay s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0 áp dụng cách tìm xâu liền sau của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử
102 Hãy xây dựng thuật toán dựa trên thứ tự từ điển và viết chơng trình sinh ra chỉnh hợp chập k
từ tập n phần tử (Gợi ý : kết hợp 2 thuật toán hoán vị và sinh tổ hợp chập k)
103 Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh hoán vị bằng một NNLT nào đó.
104 Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh tổ hợp chập k bằng một NNLT nào đó
105 áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử.
106 Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n Xâu liền sau
của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0 Thay s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0 áp dụng cách tìm xâu liền sau của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử