Toán rời rạc Quan Hệ Tương Đương

Chứng minh các tính chất phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu của các quan hệ sau trên tập số thực nguyên: a.. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương.. Chứng minh rằng R là mộ

Chương 2 Quan hệ

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

PHẦN BẮT BUỘC

1 Chứng minh các tính chất phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu của các quan hệ sau trên tập số thực nguyên:

a Là quan hệ khác nhau ()

b Là quan hệ đồng dư modulo 5 ((mod 7))

c xy  1

d x = y + 1 hay x = y – 1

e x là bội số của y

f x và y cùng âm hoặc cùng không âm

g x = y2

h x  y2

2 Có bao nhiêu quan hệ từ tập m phần tử vào tập n phần tử ?

3 Có bao nhiêu quan hệ trên tập n phần tử là :

a Phản xạ

b Đối xứng

c Phản đối xứng

d Phản xạ và đối xứng

4 Để chứng minh khẳng định “nếu R là đối xứng và bắc cầu thì R có tính chất phản xạ”, một sinh viên đã chứng minh : a  A, lấy (a,b)  R Vì R đối xứng nên (b,a)  R Do R bắc cầu  (a,a)  R, vậy R phản xạ Hãy chỉ ra sai lầm trong chứng minh trên

5 Cho R là quan hệ trên tập Z x Z sao cho ((a,b), (c,d))  R nếu và chỉ nếu a + d = b + c Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương

6 Cho R là quan hệ trên tập Z x Z sao cho ((a,b), (c,d))  R nếu và chỉ nếu ad = bc Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương

7 Trong số các tập hợp của các tập con sau, tập hợp nào là phân hoạch của tập các số nguyên ? Hãy xác định quan hệ tương đương trên phân hoạch đó ?

a Tập con các số chẵn và tập con các số lẻ

b Tập con các số nguyên dương và tập con các số nguyên âm

c Tập con các số nguyên chia hết cho 3, tập con các số nguyên chia hết cho 3 còn dư 1, tập con các số nguyên chia hết cho 3 còn dư 2

d Tập con các số nhỏ hơn -100, tập con các số nguyên có trị tuyệt đối không vượt quá 100

và tập con các số nguyên lớn hơn 100

8 Chứng minh rằng {(x, y)  R2 | x – y  Q} là một quan hệ tương đương (Q là tập số hữu tỷ) trên R Tìm [1], [1/2] và [] Hãy chỉ ra các lớp tương đương của tập R (tập số thực)

Chương 2 Quan hệ

2

PHẦN TỰ CHỌN

9 Chứng minh rằng {(x, y)  R2 | x * y  Q} là một quan hệ tương đương (Q là tập số hữu tỷ) trên R Tìm [1], [1/2] và [3] Hãy chỉ ra các lớp tương đương của tập R (tập số thực)

10 R được gọi là quan hệ vòng quanh nếu aRb và bRc kéo theo cRa Chứng minh R là quan hệ

phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu nó là một quan hệ tương đương

11 Giả sử A là tập không rỗng và f là một hàm có A là miền xác định của nó Giả sử R là một

quan hệ trên A gồm tất cả các cặp (x, y) với f(x) = f(y) Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên A Tìm phân hoạch xác định bởi R ?

12 Cho R là một quan hệ tương đương, kí hiệu [a] là lớp tương đương chứa phần tử a Hãy

chứng minh các khẳng định sau là tương đương :

a [a]  [b] 

b [a] = [b]

c aRb

13 Giả sử R1, R2 là các quan hệ tương đương trên tập A Cho P1, P2 là 2 phân hoạch tương ứng với R1, R2 Chứng minh rằng R1 R2 nếu và chỉ nếu P1 là cái mịn của P2 (mỗi tập con của

P1 chứa trong tập con nào đó của P2)