PT BPT CAN THUC lop 10 ( luyen thi dai hoc )

Học kỹ từng bài: bạn phải bám sát nội dung sách giáo khoa. Trước hết, nắm chắc kiến thức cơ bản, chú trọng đọc và học kỹ phần lý thuyết, sau đó mới làm bài tập từ dễ đến khó. Nên làm thuần thục các bài tập trong sách giáo khoa rồi hãy đến phần bài tập nâng cao. Khi bạn đã làm bài tập một cách thành thạo vả chủ động thì cũng có nghĩa bạn đã nắm chắc lý thuyết rồi. Khi làm các bài tập nâng cao hãy cố gắng suy nghĩ, tìm ra cách giải, nếu đã cố gắng hết cách mà chưa giải được thì bạn mới nên xem sách giải tham khảo, hoặc tìm hỏi thầy cô giáo, bạn bè...

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ, CĂN THỨC (( TTààii lliiệệuu ddàànnhh cchhoo llớớpp 1100 cchhuuyyêênn TToốánn)) A) PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I DẠNG CƠ BẢN Chú ý: Để tồn A A  ; A  Khi giải lưu ý ba bước sau: Biểu thức Biểu thức Làm để giải 1) Dạng Phương trình  A  (hay B  0)  A B  A  B B   AB A  B 3 A  B  A  B3 Dạng Bất phương trình có bảncơ A   A  B  B   A  B A   B  A  B  B      A  B2 II) MỘT SỐ VÍ DỤ: Giải phương trình Bài  x  x  x  x   x    2 4  x  x  ( x  2)  x  3x  x    x3 x   x  Bài x    x   2x 1    4  x   4  x  2    x    x  (1  x)(1  x )   x  (1  x)(1  x )  x      4  x      x    2  x    x0  x   x   (1  x )(1  x)  x  x     Bài 3.Giải bất phương trình sau 1) 2( x  1)  x  ( x  1   x  ) 2) x  6x   x   3) x3 – x 1 < x2  7; x  ) 2 21 ) (x  (x  BÀI TẬP: Giải phương trình bất phương trình sau : Bài 1:Giải phương trình 1) x  x   x   DS : x  1 11 ;x  3) x   x   x   DS : x  2) x    x  3x  DS : x  4) x    x  x  x   DS : x  Bài 2: Giải bất phương trình 1) ( x  1)(4  x)  x  (1  x; x  ) 2) x   3x  18  x  ( x  9) 3) 5x   x   x  4) 51  x  x  ( x  5; x  1  13; x  1; x  1  13) 1 x ( x  10  x  2)   4x2 1 5)  (x   ; x   ;0  x  ) x 2 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp sau Dạng ax  bx  m ax  bx  c  n Đặt t  ax  bx  c kèm theo điều kiện Ví Dụ 1: Giải phương trình – (4  x)(  x ) = x – 2x – (1) HD: Đặt t = (4  x)(  x ) (t  0) t  (1) trở thành: – 4t = – t   t  Ví dụ 2:Giải bất phương trình 1) (x + 5)(2 – x)  = x  3x 2) ( x  1)( x  4)  x  x  28 Dạng (– 9< x< 4) a  cx  b  cx  d a  cxb  cx   n Phương pháp.Đặt t= a  cx  b  cx ; ĐK: a  b  t  2(a  b) HD: Đặt t   x   x Đưa phương trình:t2 – 2t – = Ví dụ Cho phương trình: x    x  ( x  1)(3  x )  m a) Giải p/t m= -2 ĐS: x=-1 x=3 b) Tìm m để p/t có nghiệm Đs 2   m  Ví dụ 2: Giải phương trình x  +  x + ( x  1)(  x ) = (1) HD: Đặt t = x 1 + (1) trở thành: t + 4x  ( x  1)(  x ) = t2  t2  = Ví dụ Giải bất phương trình 3x   x   x   x  x  Ví dụ :Giải phương trình sau : 3x   x   x   3x  5x  Dạng :  (ax  b)(a ' x  b' )   ( ax  b) a ' x  b'  m ax  b a ' x  b'  t  (ax  b)(a ' x  b' ) ax  b Phương trình cho trở thành: t  t  m  Phương pháp :Đặt t  (ax  b) Ví dụ: Cho phương trình: ( x  3)( x  1)  4( x  3) x 1  m x3 Giải phương trình m = -3 Định tham số m để phương trình có nghiệm x 1  X  ( x  3)( x  1) nên pt (1) đưa :t2+4t-m=0 (2) x3 t  1 a) Với m = -3 phương trình (2) trở thành t  4t     t  3 HD: Đặt t  ( x  3) Đs x   , x   13 b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm      m   m  4 Giả sử nghiệm t0 ( x  3) x 1  t0 x 3 + Nếu t0 = x = – x  + Nếu t0 >   x    X 02 ( x  3)( x  1)  t x  + Nếu t0 <   x    t02 ( x  3)( x  1)  t0 Vậy với m  4 phương trình (2) có nghiệm tức phương trình (1) có nghiệm x  a  x  a (a  1) Dạng :  x  t  a x  a  t (t  0) Đưa phương trình hệ  t  x  a Phương pháp : Đặt Trừ hai vế theo vế ta đưa dạng (t+x)(x – t + 1) = Ví dụ: Giải phương trình : x  x  2007  2007  x  t  2007  ( x  t )( x  t  1)  x  2007 Phương trình trở thành  t  x  2007 HD Đặt t2 = Chú ý : Có thể giải cách khác sau: 2 1 1 1   Phương trình  x  x   x  2007  x  2007    x     x  2007   4 2 2   x n  b  a.n ax  b (n  N ) Dạng :  x n  b  at n t  b  ax Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x   23 x  ; x   53 x   x   2t HD Đặt t  x    t   x Ví dụ 2: Giải phương trình x   x  1   x   y Hướng dẫn: Đặt y  x   y   x   Đáp số: x=1; x   y   x Phương pháp :Đặt t  n ax  b , ta có hệ Dạng Biến Đổi Đưa Về Ẩn Phụ   Ví dụ: Giải phương trình x  x   x  x   x  x   50 Giải: Điều kiện x         x  x   x    x  x   50  x  x   x  x   48  Giải phương trình  x  x   Giải phương trình : x  x    x  ĐUA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Giải phương trình : 25  x  10  x  HD.TXĐ :  10  x  10 Đặt 25  x = a 10  x = b (a,b  0) a  b  Việc giải phương trình,chuyển giải hệ PT hữu tỉ sau :  2 a  b  15 Ví dụ Giải phương trình :  x   x  HD.TXĐ : x  Đặt  x = a  x = b a  b  Việc giải PT (3) chuyển giải hệ PT  3 a  b  Giải hệ phương trình a = b = Từ dó suy x =  x = Ví dụ Giải phương trình x  – x = (1) HD +Cách 1: Đặt t = x (t  0) (1) trở thành t  = t +  t + = t + t + 3t + (ĐS x=1)  (t – 1)( t + 3t + 6) = (Bạn đọc tự giải) u  x  u  v  có hệ  v  x u  v  +Cách 2: Đặt  Ví dụ Giải phương trình x  – x = (1) HD+ Cách 1: Đặt t = t3 1 = t + x , (1) trở thành: u  x  có hệ v  x + Cách 2: Đặt  u  v   u  v  x2  x + Ví dụ 5: Giải phương trình (ĐS x  1; x  2) x2  x  = + (1) u  x  x Giải Đặt  v  x  x  u  v   2 v  u  (1) trở thành: u + v = + Ta có hệ phương trình  Ví dụ 6: Giải phương trình x + 4x = x  (1) HD  Ta dự kiến đặt x  = at + b để đưa hệ phương trình đối xứng: x  4x  at  b 2 a t  2abt  x   b Ta có hệ phương trình:  a   2ab  hệ đối xứng   a  b   b  Như ta đặt t + = x  (t  a   b  – 2) x  4x  t  t  4t  x  Khi có hệ pt đối xứng:  (ĐS x  3  17 5  13 ; ) 2 +ĐẶT ẲN MỚI , ẨN CŨ CÒN LẠI XEM NHƯ THAM SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình: x  3x  1  3x  x  HD: Đặt t  x  PT trở thành: t  3 x  1t  x2 x  1  t  x Giải phương trinh bậc ẩn t, ta có:  t  2x  Ví dụ :Giải phương trình: 4 x  1 x   2x  1  x  (HD: Đặt t  x  ) Thí dụ 3:Giải phương trình : x  10 x   (4 x  1) x  x   Ví dụ 4: Giải phương trình (4x – 1) x  = x + 2x + (1) HD : Đặt t = x  (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x – 1  x 1  (4x  1)  (4 x  3)   = (4x  3)  t =    x   2x  Ví dụ 5: Giải phương trình x – 3x + = x 3x  (1) HD : Đặt t = 3x  (t  0) (1) trở thành t + xt – x =  Cách 1:  = x (chính phương)  t =  3x   x  x  3x    3x   2x  Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty: t + y t – y t =  t (1 + y – y ) = A  B  *ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG: A  B    Ví dụ Giải phương trình x  y  z   x   y   z   HD: Phương trình tương đương   x  1    y 3 2   z 5 3  Ví dụ 2.Giải phương trình 13 x   x   16 x 1 2   3 2   HD:Phương trình tương đương 13 x     3 x     *PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ: A  M A = B B  M Nếu  A  M  B  M Ví dụ 1:Giải phương rình sau đây: 3x  x   x  10 x  14   x  x HD: VT = 3x  12   5( x  1)   ; VP =   x  12   pt có nghiệm x = -1 Ví dụ Giải phương trình : x    x  x  x  ;  x  x    x  x  HD: VT = x    x  1  1x    x   ;VP = x  x   x  12   Thí dụ Giải bất phương trình : x  x   x  x   x  x  HD.Đièu kiện  x ; x  Khi x  ,bất phương  x  ( x   x  )  ( x   x  )  Đúng Khi x  ,bất phương   x (  x   x )  (  x   x )   x     Ví dụ 4: Giải phương trình x +  = x (1) x Giải MXĐ: x > x Có x = x x x x x x 1  x x  x (2)  x > (BĐT Côsi)  x = x 1   Ví dụ Giải bất phương trình tập số thực 2 x 1 3x  x  1 1   Lời giải +) Đặt t = x2 – 2, bpt trở thành: ĐK: t  với đk trên, bpt t 3 3t  t 1 1  )  Theo Cơ-si ta có: tương đương ( t  1)( t 3 3t  Vậy (1)  dấu “=” (2) xảy  t t 3  t t 1  t t 1      t 1 t   t 1 t   1 11       t 3 2 t 3 t 3 x = t 2t 11 2t       3t   3t   3t  1 t 1  t 1       t  3t   t  3t   3t   VT  2t  +) Thay ẩn x x2   x  (;  2]  [ 2; )  T  (;  2]  [ 2; ) VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : Ví dụ 1:Giải phương trình bất phương trình sau : x   x   23  x ;  x  x  10  10  x HD:phương trình tương đương x   x   x  23 Vế trái hàm số f ( x )  x   x   x đồng biến [6;) Mặt khác vế phải 23 = f(10) Phương trình tương đương f(x) = f(10)  x  10 nghiệm Ví dụ Giải phương trình (2 x  1)(2  x  x  )  3x(2  x  )  HD.Phương trình tương đương (2 x  1)(2  (2 x  1)  )  3 x (2  (3 x )  )  f (2 x  1)  f (3 x ) Trong f (t )  t(2  t  ) ,là hàm đồng biến liên tục R,phương trình trở thành nghiệm Ví dụ (HSG bảng A 1995) Giải phương trình x  x  8x  40  84 x   HD.Đặt f ( x )  x  x  x  40  mìn( x )  f (3)  13 f(2x+1) = f(-3x)  x   3 x  x   g( x )  84 x   max g( x )  g(3)  13 Ví dụ Giải phương trình: x   x  x  2x  2x   Lời giải Điều kiện: x  1, x  13 x2  x  ( x  2)( x   2) 1 ( x=3 không nghiệm) 3 2x   2x 1   (2 x  1)  x   ( x  1) x   x  Pt  x    Hàm số f (t )  t  t đồng biến  phương trình  x   x    Ví dụ Giải phương trình x  x  x  x    x  x  x Lời giải Điều kiện x       Phương trình tương đương x  x   x  x   x  x  x  x (1) Xét hàm số f  t   t3  2t , t   *PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG LIÊN HỢP Ví dụ Giải phương trình bất phương trình sau :   4x 9x  1; x   3x    4x 4x 1   4x    4x x x(1   x ) 12x  Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2x   2  x  (1) 9x  16 HD.phương trình    x  12 Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương 6x  2(6x  4)   (3x  2)  9x  16  2  2x   2  x 9x  16   2x   2  x    (2) Lại thực phép nhân liên hợp   (2)  (3x  2) 9x  16  12  2x   2x       (3x  2)  x    (3x  2) 9x  8x  32  16  2x   2x  x    2x  (3) x3 x3 x3   ( x  3)( x   x   5)  x   3x  Ví dụ Giải phương trình : x   3x   HD Phương trình tương đương Ví dụ 4.Giải phương trình: x   x   HD: Nhận thấy pt có nghiệm x = Pt  x  x 9 5   7 3 0  x  16 x  16  x 9 5 Thí dụ Giải bất phương trình 0 x 7 3 x  2x   x  4x   x  5x   Thí dụ Giải phương trình  x    x  1  x   x       Lời giải  x    x  1  x   x    x  1  3x  6x    x   x      10  x  1  10 2   x  1 3  x  1      x  1 3  x  1     x 1  x2   x   x2        10  x  1  10 2   x  1 3  x  1      x  1 3  x  1     x 1  x2   x   x2      x   0,  x  1 x2 1   Chú ý: Ta đưa phương trình dạng hàm số ( lớp 12 hay sử dụng)    x    x  1  x   x    x    x  1    x  3  x 30  x  1 x   x2      x   x   10  x   x    x3  3x  4x   3 x    x  1  x  Xét hàm số f (t )  t  t 5x  13  57  10x  3x  x   x  2x  Ví dụ Giải bất phương trình sau tập  : x   19  3x  19 3  x  Lời giải Điều kiện  x   Bất phương trình tương đương  x   19  3x 2 x   x   19  3x 19  3x  2 x   x  2x   x   19  3x  x  2x   x  5  13  x   4 x      19  3x   x x 2      x  x     x  x   x2  x   13  x   19  3x      x  5 9 x           0  x x 2     x  5 13  x   9  x     19  3x          Vì   x  5 9 x       *  19   với x   3;  \ 3  13  x    19  3x      Do *   x  x    2  x  (thoả mãn) Vậy tập nghiệm bất phương trình S   2;1 Ví dụ Giải bất pt x  x  x   x   x   3x  9x    x  x   x   x  2 x   3x  9x  Lời giải   x  x    x   1   x    x     2x x  x  6 x    x  x    2x  10x  12  2 2  10x  12 2  x 1 1 x  5x  x    x 1 2 x  5x  2 x  x 1 2  5x  x 1 1  x 2   x  5x     2  x 1 2  x 1 1     x 1 1   x  5x    0 x   x        x  1;2   3;           PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA:  Ví dụ 1:Giải phương trình:   x  x   x     Giải: Điều kiện: 1  x  Đặt x  sin t , t    ;  Ta có phương trình:  2 t t 3t  cos sin 2    t  x t 3t     Vì t    ;   cos  ,ta được:  sin     2  2 t   x    cos t  sin t (1  cos t )  sin t  sin 2t  cos Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1  x   x5  Giải: Điều kiện:  x  Đặt x=cost với  t   Ta có sin t  cos t  5   Do sin t  sin t ;cos t  cos2 t nên sin t  cos t  sin t  cos t  1.t   0;  nên bất phương trình  2 có nghiệm x   0;1     Ví dụ 3: Giải phương trình : (1  x )  x  x   x  HD: Đặt x = cos  (  x   ).Phương trình trở thành  5 sin 3  cos 3   x  cos ; x  cos 12 12 Ví dụ 4.(THTT1/2007).Giải phương trình x  3x  x  HD.Đk x  2 Khi x < ta có x3 -3x = x+x(x2 -4) > x x  x  Vậy để phương trình có nghiệm ta xét   x  Đặt x  cos ,     Khi phương trình viết lại  2(4 cos   cos  )  cos    cos 3  cos 4 4 Giải phương trình có nghiệm x  cos , x  cos CÓ CHỨA THAM SỐ Bài 1: Giải biện luận bất phương trình sau: 1) x  m  x 2) x  < x – m 3) x  m – x  2m > x  3m x  x  m  x  có nghiệm m   có nghiệm thực Bài 3: Tìm điều kiện m để phương trình 16  x  16  x Bài 2:Tìm điều kiện m để phương trình B) PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1) Dạng Phương Trìnhcó  A  B  A  B B   A B A  B 2) Dạng Bất Phương Trình  A  B  A2  B  ( A  B)( A  B)   A  B  B  A  B  A  B  A B A  B Ví dụ 1: Giải phương trình: bất phương trình sau: x  x   1, x  x  2x   1 1 x2 1  x (x  , ) x2  2x  x  3x  x  5 , x  x   3x , x    x   x ( x   x  2) ,  4x  2x 1 x  3x  3 x2  x  Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau 1) x  m  x  2) x  x  x  m   m  Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x  x  m x   m  1 có nghiệm Giải:Đặt t  x   ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2) Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t   Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0  P   m    m  1  Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm t1   t2  P   m    1  m   Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm  2 3 m   3m       m   t1 , t2    P   m       1 m  S  m    m  1   m    Đáp số: 1  m  Ví dụ 2: Cho phương trình : x  x  m  x  a) Giải phương trình với m=0 b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải: Đặt t = x – 1, phương trình cho trở thành t  m   t (*)  3 t  x   t  t  1      1   t   a) Với m = ta có  2  1 t   t t  t   t   x   b) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm t  t  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  t  m    t t  t  m   phân biệt (*)   phương trình t2 – t + m – = t2 + t + m – = có hai nghiệm khơng âm phân biệt Nhưng phương trình t2 + t + m – = khơng thể có hai nghiệm khơng âm (vì S= –1=0) ví dụ : Giải phương trình a ) x  x  12  b)(1  x )(1  x )   c) x  x   D) PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:  x  a  x  b  x  c  x  d   k Với a + b = c + d Đặt t =  x  a  x  b  Ví dụ 1: Giải phương trình  x  1 x   x   x    m a) Giải phương trình m = 112 b) Định m để phương trình có nghiệm Ví dụ 2:Giải bất phương trình x  x  x  x  20  , x  x  x  15    E) PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:  x  ax  c  x Chia caû hai vế cho x2 đặt t     bx  c   mx   xc x Ví dụ: Giải phương trình bất phương trình a )  x  x  1 x  x  1  3 x b)4  x   x   x  10  x  12   x 10 x F) PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax  bx3  cx  bx  a  0;(a  0)   1  Đưa dạng a  x    b  x    c  x   x  Đặt t  x  x c)  x  1 x   x   x    Ví dụ : Giải phương trình bất phương trình a) x  x3  x2  x   b) x  x  x  x   c) x3  1   3 x   x x  Biên Soạn: GV Nguyễn Lái THPT chuyên Lương Văn Chánh