Kế hoạch học tập hợp lý :sẽ giúp bạn tiết kiệm được thời gian, công sức và có kết quả học tập tốt nhất. Sau khi nghe giảng, bạn cần thu xếp học bài trong thời gian sớm nhất có thể. Bạn cần đọc, tìm hiểu kỹ sách giáo khoa, sau đó làm bài tập áp dụng. Khi đã hiểu rõ vấn đề mới làm phần bài tập nâng cao. Việc thu xếp thời gian học bài sớm sau khi nghe giảng sẽ giúp tri nhớ bạn mau chóng tiếp thu bài, đỡ tốn nhiều thời gian hơn là bỏ bẵng 1 thời gian sau đó bạn mới học lại. Như vậy bạn rất dễ quên, kiến thức được khôi phục lại khó khăn hơn.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Chuyên đề lưu hành nội dành cho lớp dạy :10 toán chuyên) I DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG, ĐẲNG CẤP Đối Xứng Loại x y xy 30 3 x y 35 Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đặt S x y, P xy , điều kiện S P Hệ phương trình trở thành: 30 P SP 30 S x y x x S P xy y y S(S 3P) 35 S2 90 35 S S x y xy m 2 x y xy 3m Bài Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm tham số m để hệ có nghiệm x y xy m (x y) xy m 2 x y xy 3m xy(x y) 3m Lời giải, Câu b S P m Đặt S = x + y, P = xy, S2 4P Hệ phương trình trở thành: SP 3m Suy S P nghiệm phương trình t2 mt 3m S S m P m P 32 4(m 3) 21 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm m m (m 3) 12 3 x y xy x y 15 Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x y m Lời giải Đặt S x y, P xy , với S P 3S S P 15 Hệ trở thành S P m Từ 3S S P 15 3S S 15 P S S S 15 3 S Từ hệ suy S S 15 4m Vậy để hệ có nghiệm phương trình S 2S 15 4m có nghiệm 3 S 25 Tiếp tục giải , ta có m ; 2 xy x y x y xy 2 x y xy m x y xy x y m 33 Bài Tìm m để hệ phương trình Lời giải Đặt S x y, P xy , với S P SP 3S P S P m S SP m 33 Hệ viết lại Nhận thấy S Lại có 3S S2 S S 12 S P S (0;1) 4; S 1 4 S 1 3S P S ( ;0) (1; ) S 1 Do để hệ có nghiệm phương trình m S 2S 33 có nghiệm S 1 S 4; Tiếp tục giải ta có m 16; x Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: y m2 y x m2 Lời giải Nhận thấy ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ x0 y0 , hay x0 nghiệm phương trình x x m2 (1) Vì vế trái (1) hàm số đồng biến nhận giá trị 2; , nên (1) có nghiệm m2 m Xét m thỏa m 1 1 Trừ hai phương trình hệ ta có: x y2 Khi hệ trở thành: y x2 x x y y2 x2 0 x( y 2) y(x 2) x y x m2 Vì phương trình có nghiệm nên hệ cho có nghiệm Vậy m giá trị cần tìm x + y + z = xy + yz + zx = 27 1 1 + + =1 y z x Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK: x, y, z ≠ Từ (3) (1) (2) (3) xy + yz + zx =1 xyz x + y + z = Do (2) xyz = 27 Vậy hệ xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do (x; y; z) nghiệm phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = (X - 3)3 = 0 X = Vậy hệ có nghiệm (3; 3; 3) Bài tập tương tự x Bài Cho hệ phương trình y 1 x x y y 3m a) Giải hệ phương trình m b) Định tham số m để hệ có nghiệm x y 1 x y 3m Bài Cho hệ phương trình 1) Giải hệ phương trình m = 2) Định m để hệ có nghiệm Bài Giải hệ phương trình x + y + z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = x + y + z = Bài Giải hệ phương trình xy + yz + zx = 27 1 1 + + =1 y z x (1) (2) (3) Đối Xứng Loại x y y m Bài Cho hệ phương trình y x x m (I) a Giải hệ m = b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x - y = y - y - x + x x = ± y 2 x = y - y + m x = y - y + m Lời giải (I) x = y x = y 2 x = y - y + m x - 2x + m = x=-y x=-y x = y - y + m y + m = Δ x ' 1 - m m m0 a) Hệ phương trình có nghiệm ' Δ y - m m Δ x ' ' Δ y b) Hệ phương trình có nghiệm Δ x ' ' Δ y x + 2yz = x Bài Giải hệ phương trình y2 + 2zx = y z + 2xy = z =0 1 - m = 0 Do : xy Hệ cho 1 xy 3x 7y 1 2 3x 7y x y 2 1 x y 1 2 Nhân (1) với (2) theo vế ta : 1 21xy x y y x y x y x y x ( x >0, y>0) x y 3x 7y Thay vào (2) giải ta : x 11 22 , y 21 Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu toán Phương Pháp Thay Thế x xy x y x y y (1) Bài Giải hệ phương trình sau x x y y (2) Lờigiải (1) ( x y )(2 x y 1) x y Thay vào (2) ta có phương trình x x x x (3) x x (1 x) x x 1 x 1 x x 1 2x x x 1 x x x x (4) 2 x x Kết hợp (3) (4) ta x x 2 4 x2 x x y x y (1) Bài (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: x y x y 7 x y , từ (2) ta suy x y Lời giải: ĐK: (2) x y y x , vào (1) ta x y x y Do ta có hệ 3 x y 3 x y x y 1 2 7 x y x y x xy y x y x 19; y 10 2 2 x y y x y x xy y 11 y 10 Dễ thấy nghiệm x y thỏa mãn hệ nghiệm không 7 x y x 1 Bài Giải hệ phương trình x 1 y y x 13 x 12 Lời giải Điều kiện: x 1, x, y PT 1 y x y x y (Do y 7 y không nghiệm phương trình) Thay x 1 y 1 2 vào (2) ta y y 1 y y 1 y 13 y 1 y 7 y phương trình: 2 y 1 y 1 y 1 y 13 y y y y 33 y 36 7 y 7 y 7 y y 1 y 1 y 3 y y 12 y 3 (1) x 3xy 49 Bài (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình: 2 x xy y y 17 x (2) Lời giải : Từ (2) suy y x xy y 17 x , vào (1) ta có x3 x ( x xy y 17 x) 49 24 xy ( x 1) x3 x 49 x 49 (3) -Nếu x=0 (1) vô lí -Nếu x=-1 hệ trở thành y 16 y 4 -Nếu x 1& x từ (3) suy y x 49 x 49 Thế lại phương trình (2) ta 24 x 2 x 49 x 49 x 49 x 49 x 49 x 49 x x 17 x 24 x 24 x 3x 2 x x 49 x 49 49 192 x4 (2 x 49 x 49) 49.192 x 24 x 3x 196 x 196 x3 2205 x2 4606 x 2401 196 x3 2205 x 2401 196 x3 196 2205 x 2205 196 x 196 x 2401 Phương trình cuối vô nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ x y xy y (1) y ( x y) x y (2) Bài Giải hệ phương trình: 2 Lời giải.: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế (1) (2) x2 x y4 a x y y cho y ta được: Đặt x ta b ( x y ) x y y a 5, b a b b a b a a 2b a 2(4 a) a 2a-15=0 a 3, b Từ ta tìm x y Bài Giải hệ phương trình x 3y 1 2xy 2y y 3x 4y 3 x 2y x x x 2y x 1 Lời giải điều kiện y x2 x y Đặt a x 1 ; b y ; a, b , thay vào pt (1) hpt ta a 2b a ab 4b2 a 2b y x thay vào pt (2) ta x x 1 x x2 x x x2 2x x x t t 2(l ) Đặt t x x 1; t ta có pt t 2t Tiếp tục giải 2 y xy x (1) Bài Giải hệ phương trình: 2 1 x y x (2) Lời giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ Chia hai vế (1) (2) cho x ta hệ y1 y y2 x x y x x Đến ta đặt 1 y y 5 y 2 5 x x x S x y P.S y S P P x Giải hệ ta tìm S P, từ ta tìm x y ( x y )1 xy Bài Giải hệ phương trình: ( x y )1 49 x2 y2 Lời giải : Hệ tương đương 1 x y 5 y x , đặt 1 2 x y 49 y2 x x x a ta y b y a b 2 a b 53 Đến ta có hệ quen thuộc x 1 y2 (1) Bài Giải hệ phương trình y x4 10 x 15 y xy 46 (2) Lời giải Đ/K x 4; y 3; x 1 y2 0; Từ phương trình y3 x4 xy x y 4( xy 3x y 12) (x 1)(y 2) 4(x 4)(y 3) x 1 y2 3 x4 y3 Ta được: x y (2) y x Đặt u (1) x 1 x 1 u2 ; (u 0); v y3 y3 u v Hệ pt cho trở thành: uv Tiếp tục giải… y2 y2 v2 ; (v 0) x4 x4 x 1 y 4 y3 x4 x y x y xy xy Bài Giải hệ phương trình: x y xy (1 x ) x y a HD Đặt xy b Phương Pháp Dùng Bất Đẳng Thức Để Đánh Giá 698 x y 81 x y xy x y Bài Giải hệ phương trình : (1) (2) Lời giải : Giả sử phương trình có nghiệm Phương trình (2) viết lại : x y 3 x y 2 Để phương trình có nghiệm ẩn x ta có : y y y Phương trình (3) viết lại : (3) y2 x y x 3x Để phương trình có nghiệm ta có : x x x x Từ (3) (4) ta có : x y (4) 256 49 697 698 , không thỏa mãn (1) 81 81 81 Vậy hệ phương trình vô nghiệm x 2( x 3) ( x 1)( y 1) 3 x Bài Giải hệ phương trình 2 2 x x y y x xy y Lời giải Điều kiện x Áp dụng bất đẳng thức vectơ, ta có y y x xy y 2 2 y 2 1 y 1 ( x y ) ( x y ) x x 2 Đẳng thức xảy xy x y x Khi thay vào phương trình đầu hệ ta x 2( x 3) 3x Suy x x 2( x 3) ( x 1) 3x 0 x (2 x x 1) 0 x 2( x 3) 1 x 3x x 0, x 3) x 2( x 3) 1 x 3x 2 (2 x 1)3 2( x 1)3 x x3 x (do Với x y 1 1 Đáp số: ( x; y ) 1 ; x x y 2 Bài Giải hệ phương trình x x 2 y Giải Điều kiện x , cộng hai vế phương trình hệ biến đổi ta 2x x 2x x y 63 63 Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho hai hai số dương ta có 2x x 1 x 12 x 36 2x x Đẳng thức xảy x = 2x x 1 x x 18 2x x Đẳng thức xảy x = Từ suy 2x x 2x x Do hệ có nghiệm x 2, y xy x y xy x y y Bài Giải hệ phương trình x 1 y xy x 1 x x, y xy x y Lời giải ĐK xy Ta có phương trình đầu tương đương xy 2 y x y x y y xy x y 0 x y xy ( x y ) xy y y xy 2 x y x xy ( x y ) xy y xy ( x y ) 0 y Ta chứng minh ngoặc dương , xét từ phương trình thứ hai ta có x 1 y xy x 1 x y xy x x 1 x 1 2 y xy x x 1 x 1 Suy dấu ngowacj dương phương trình có nghiệm x = y Thế vào phương trình ta có x x x x 1 x x Phương Pháp Tính Đơn Điệu Hàm Số (4 x 1) x ( y 3) y Bài1 (KA-2010) Giải hệ phương trình: 2 4 x y x Lời giải ĐK : x Đặt u = 2x; v y Phương trình (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = u = v 0 x 25 Nghĩa : x y Thế vào (2) ta được: x x x (*) y 4x 25 Xét hàm số f ( x) x x x 0; , f '( x) x(4 x 3) 0 (1; ) nên f(t) đồng biến [1;+ ) (3) tương đương với x=y Thế vào (1) ta x x x Giải MTCT ta x=2 Do ta biến đổi sau 2 x x 1 x x 2( x 2) x x2 x2 x2 ( x 2)( x 2) x 1 1 2 x (4) x 1 1 Phương trình (4) có VP>3, VT[...]... x5 ( y 3 x) y 2 Bài 5 Giải hệ phương trình: 9 x 2 16 2 2 y 8 4 2 x 0 x 2 y 2 Lời giải Đk: (* ) Với đk( *) ta có (1 ) x 1 ( x 1) ( y 3) y 2 ( x 1) x 0 ( y 3) y 2 ( x 1) x Với x = 1 thay vào (2 ) ta được: 2 2 y 8 1 y Ta có: (3 ) (3 ) 31 (loai) 8 3 y 2 y 2 ( x )3 x (4 ) Xét hàm số f (t ) t 3 t f '(t ) 3t... Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó: 4) f ( y 2) f ( x ) y 2 x y x 2 thay vào pt( 2) ta được: 4 2 x 2 2 x 4 9 x 2 16 32 8 x 16 2(4 x 2 ) 9 x 2 8(4 x 2 ) 16 2(4 x 2 ) ( x 2 8 x ) 0 Đặt: t 2(4 x 2 ) x t 2 (t 0) ; PT trở thành: 4t 2 16t ( x 2 8 x) 0 t x 4 0(loai ) 2 Tiếp tục giải… 4 x 8 z 3 2 z 1 Bài 6 ( Bài của... Số (4 x 2 1) x ( y 3) 5 2 y 0 Bài1 (KA-2 01 0) Giải hệ phương trình: 2 2 4 x y 2 3 4 x 7 3 4 Lời giải ĐK : x Đặt u = 2x; v 5 2 y Phương trình (1 ) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 + 1) (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 u = v 3 0 x 4 25 Nghĩa là : 2 x 5 2 y Thế vào (2 ) ta được: 6 x 2 4 x 4 2 3 4 x 7 (* ) 2 4 y 5 4x 2 4 3 25 Xét hàm số f ( x) 4... (3 ) Xét hàm số f (t ) 2 t 2 5 2 t 1 t 2 trên [1;+ ) , dễ thấy f’(t)>0 trên (1 ; ) nên f(t) đồng biến trên [1;+ ) và do đó (3 ) tương đương với x=y Thế vào (1 ) ta được 2 x 2 5 2 x 1 x 2 Giải bằng MTCT ta được x=2 Do đó ta biến đổi như sau 2 2 2 x 5 6 2 x 1 2 x 4 2 x 2 2( x 2) x 2 5 3 x2 4 x2 5 3 x2 ( x 2 )( x 2) x 1 1 2 2 x 2 (4 ). .. 3 4 y 2 0 1 y Phương trình (3 ) viết lại : 7 3 (3 ) y2 x 4 y x 2 3x 4 0 2 Để phương trình có nghiệm ta có : x 4 4 x 2 3 x 4 0 0 x Từ (3 ) và (4 ) ta có : x 4 y 2 4 3 (4 ) 256 49 697 698 , không thỏa mãn (1 ) 81 9 81 81 Vậy hệ phương trình vô nghiệm 2 1 x 2( x 3) ( x 1 )( y 1) 3 3 x 2 Bài 2 Giải hệ phương trình 2... 1 ( x y ) ( x y ) x 2 x 1 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi xy x y 0 và x 0 Khi đó thay vào phương trình đầu của hệ ta được x 2 2( x 3) 3 3x 1 1 2 Suy ra x x 2( x 3) 1 ( x 1) 3 3x 1 0 2 x 1 3 2 (2 x 6 x 1) 0 x 2( x 3) 1 1 2 x 1 3 3x 2 x 1 0, x 3) x 2( x 3) 1 1... Laisac) Giải hệ phương trình 4 y 8 x 3 2 x 1 3 4 z 8 y 2 y 1 4 x 4 z 8 z 3 2 z 1 f ( z ) Lời giải Hệ phương trình tương đương 4 y 4 x 8x 3 2 x 1 f ( x) 3 4 z 4 y 8 y 2 y 1 f ( y) Xét f (t ) 8t 3 2t 1 , t R f '(t ) 24t 2 2 0, t R , nên hàm số f(t) luôn luôn đồng biến trong R Giả sử x Max x,y,z Nếu x z f ( x) f ( z ) ... x Lời giải Từ các phương trình của hệ , suy ra : x, y, z 1 Do đó ta có : 2x y 1 x 2 2y z 1 y2 2z x 1 z2 (1 ) (2 ) (3 ) Đặt Đặt x tg với ; (4 ) và sao cho tg , tg2 , tg4 1 (5 ) 2 2 Tiếp tục thay vào (2 ), (3 ) ta giải phương trình tg tg8 Từ đó suy ra hệ phương trình có 7 nghiệm k 2 k 4 k x tg 7 , y tg 7 , z tg 7 , k 0, ... 2 4 3 25 Xét hàm số f ( x) 4 x 4 6 x 2 2 3 4 x trên 0; , f '( x) 4 x(4 x 2 3) 3, VT