De thi thu Quoc gia mon toan truong My quy

TRƯỜNG THPT MỸ QÚY TỔ TOÁN KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x −1 x +1 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − x + x − đoạn [0;3] Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn (1 + 2i) z − + i = x2 + x = b) Giải phương trình (2 + 3) 2− e2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = dx ∫ x ln e x Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A(1; 2;1) Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm mặt cầu (S) với mặt phẳng (P) Câu (1.0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P = sin α − cos α , biết cos α = b) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 600 Gọi M trung điểm DC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM khoảng cách hai đường thẳng SA BM Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu 1 vuông góc A BC, điểm M(2;-1) trung điểm HB, N trung điểm HC, K (− ; ) trực 2 tâm tam giác AMN Tìm tọa độ điểm C, biết điểm A có tung độ âm thuộc đường thẳng d : x + 2y + = 6 x + x + y = y + xy (3 x − 2) Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình  tập số thực  x − y − + x − = y − Câu 10 (1.0 điểm) Cho số thực a, b ∈ (0;1) thỏa mãn (a + b3 )(a + b) = ab(1 − a )(1 − b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ a + 1+ b + 3ab − a − b Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu (1,0 đ) Đáp án D = R \{ − 1} +Tập xác định +Sự biến thiên > 0, ∀x ∈ D -Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) -Tiệm cận lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ Điểm 0.25 0.25 lim y = +∞ lim + y = −∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng x →( −1) x →( −1)− -Bảng biến thiên x −∞ y' (1,0 đ) (1,0 đ) + +∞ y (1,0 đ) +∞ -1 + 0.25 −∞ +Đồ thị 0.25 Ta có f ( x) xác định liên tục đoạn [0;3] ; f '( x ) = x − x + Với x ∈ [0;3], f '( x) = ⇔ x = Ta có f (0) = −1, f (1) = − , f (3) = 2; Giá trị lớn giá trị nhỏ f ( x) đoạn [0;3] -1 a) Ta có (1 + 2i) z − + i = ⇔ z = − i 5 Do số phức z = + i 5 (2 + 3) x + x = ⇔ x2 + x − = 2−  x = −1 ⇔ Vậy nghiệm phương trình x = −1; x = x =  Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đổi cận: 0.25 x = e2 ⇒ t = x = e ⇒ t =1 dt Khi I = ∫ t 0.25 0.25 (1,0 đ) −1 = = t Ta có r = d ( A, ( P)) = Mặt cầu (S) có phương trình ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1) = 0.25 0.25 0.25  x = + 2t  Đường thẳng d qua A vuông góc với (P) có phương trình  y = + 2t z = 1− t  (1,0 đ) Gọi H tiếp điểm, H giao điểm d (P) Do H thuộc d nên H (1 + 2t ; + 2t;1 − t ) H thuộc (P) nên 2(1 + 2t ) + 2(2 + 2t ) − (1 − t ) + = , suy t = − Do H (− ; ; ) 3 a) Ta có cos 2α = cos α − = 25 P = − cos 2α = − 25 b) Số phần tử không gian mẫu A6 = 120 Số kết thuận lợi cho biến cố “số chọn có tổng chữ số 8” 12 = 3!+ 3! = 12 Xác suất cần tính P = 120 10 (1,0 đ) 0.25 0.25 0.25 B A K E 0.25 0,25 S I 0.25 H D M C + Tính thể tích a2 Diện tích tam giác ABM S ∆ABM = SH ⊥ ( ABCD) Gọi H trung điểm AD, ta có · nên (·SB, ( ABCD)) = SBH = 600 Trong tam giác vuông SBH, ta có SH = BH tan 600 = a 15 VS ABM = SH S ∆ABM = 12 a 15 0.25 + Tính khoảng cách Dựng hình bình hành ABME Vì BM / /( SAE ) nên d ( BM , SA) = d ( BM , ( SAE )) = d ( M , ( SAE )) = 2d ( D, ( SAE )) = 4d ( H , ( SAE )) Kẻ HI ⊥ AE ; HK ⊥ SI Từ HI ⊥ AE , SH ⊥ AE ⇒ HK ⊥ AE Do HK ⊥ ( SAE ) Vậy d ( H , ( SAE )) = HK DE AH a = Do ∆AHI ∆AED đồng dạng nên HI = AE Trong tam giác vuông SIH có Vậy d ( BM , SA) = (1,0 đ) 0,25 0,25 1 a 15 = + ⇒ HK = 2 HK HI SH 19 a 15 19 0,25 C N H K I M B A Gọi I trung điểm AH, ta có MI / / AM ⇒ MI ⊥ AB Suy I trực tâm tam giác AMC ⇒ CI ⊥ AM Mà NK ⊥ AM ⇒ NK / /CI ⇒ K trung điểm HI uuur uuur 2a + 2 − a ; ) Do A ∈ d : x + y + = ⇒ A(−2a − 4; a ) , từ AK = 3KH ⇒ H ( 3 uuur uuuur 2a − − a ; ) Suy AK = ( + 2a; − a), MH = ( 2 3  a = −1 uuur uuuur ⇒ A(−2; −1) Từ AK MH = ⇔ 10a − 13a − 23 = ⇔   a = 23 10  Suy H (0;1), B (4; −3) AB : x + y + = 0, BC : x + y − =  x + y = −5  x = ⇒ ⇒ C (4; −3) Tọa độ C nghiệm hệ phương trình   x + y = −1  y = −3 (1,0 đ) x −1 ≥ Điều kiện  4 x − y − ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25  y = −3 x Ta có x + 3x + y = y + xy (3x − 2) ⇔ ( y + 3x )( y − x − 1) = ⇔   y = 2x +1 Từ x − y − + x − = y − ta có y ≥ , y = −3 x không thỏa mãn 0,25 Thay y = x + vào 0,25 2 x − y − + x − = y − ta x − x − + x − = x , x ≥ nên ta x − x − x + = x + ⇔ 16 x3 − 25 x − 12 x − = ⇔ x = Với x = ⇒ y = So lại điều kiện ta nghiệm phương trình (2;5) 0,25 10 (1,0 đ) Đặt t = ab , từ a, b ∈ (0;1) (a + b3 )(a + b) = ab(1 − a )(1 − b) tìm < t ≤ 1 + ≤ Chứng minh với a, b ∈ (0;1) 2 + a + b + ab Dấu xảy a = b +t Đánh giá P ≤ 1+ t + t với < t ≤ Xét hàm số f (t ) = 1+ t + Chứng minh f (t ) ≤ f ( ) = 10 1 + Kết luận: Giá trị lớn P đạt a = b = 10 -Hết - 0,25 0,25 0,25 0,25