ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đơn vị đề: THPT Long Khánh A Câu (2,0 điểm) x + x − 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho a) Cho hàm số y = b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) = Câu (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: P = x2 − ln(1 − x ) −3; 2sinx - cosx biết tan x = sinx - cos3 x b) Giải phương trình: 3x −1 + 31− x = e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln x x ln x + dx Câu (1,0 điểm) a) Tìm môđun số phức z biết rằng: z + z = + 2i b) Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = SM Biết AB = a , BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;0; −1), B(1; −2;3), C (0;1; 2) , D(1;-1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) phương trình mặt cầu (S) có tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d : x + y − = Điểm E ( 9; ) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F ( −2; −5 ) nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm 8 x + 3x − 13x − 15 = − y y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y + = 5y (x + 2x + 2) Câu (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= − a+b+c a + a.b + abc HẾT ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (x, y ∈ ¡ ) Câu (2,0 điểm) Đáp án a.(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho ♥ Tập xác định: D = ¡ ♥ Sự biến thiên: ￚ Chiều biến thiên: y ' = x + x − ; y ' = ⇔ x = −2 x = + Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;1) ; Điểm 0.25 0.25 + Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 1; +∞ ) ￚ Cực trị: 28 + Hàm số đạt cực đại ; yCĐ 29 + Hàm số đạt cực tiểu x = ; yCT = ￚ Giới hạn: lim y = −∞ lim y = +∞ = x = −2 x →−∞ x →+∞ ￚ Bảng biến thiên: x y' y 0.25 - ¥ + - - +¥ + 28 +¥ 29 - ¥ ♥ Đồ thị: 0.25 b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) = x2 − ln(1 − x ) −3; ♥ Hàm số f ( x ) = y' = 2x + − 2x x2 − ln(1 − x ) xác định liên tục đoạn −3; x = −1 ∈ [−3;0] 2x + =0⇔ ♥ y' = ⇔ x = ∉ [−3;0] − 2x ♥ Mặt khác f (−3) = − ln 7; f (−1) = − ln3; f (0) = y = f (−3) = − ln , y = f (−1) = − ln3 ♥ Vậy: max [ −3;0] [ −3;0] 0.25 0.25 0.25 0.25 (1,0 điểm) a).(0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: P = ♥ Ta có tanx = ⇒ cos x = 2sinx - cosx biết tan x = sinx - cos3 x 0.25 2tanx-1 = tanx - cos x b.(0,5 điểm) Giải phương trình: 3x −1 + 31− x = 3x ♥ 3x −1 + 31− x = ⇔ + x = ( 1) 3 x Đặt t = ( t > ) ( 1) ⇔ t − 6t + = 0.25 ⇔ t = ⇔ 3x = ⇔ x = ♥ Vậy nghiệm phương trình x = e ln x dx Tính tích phân I = ∫ x ln x + 1 ♥ Đặt ln x + = t ⇒ ln x = t − ⇒ dx = 2tdt x x =e t= Þ Đổi cận: x =1 t =1 0.25 ♥ Vậy P = (1,0 điểm) 2 t −1 2tdt = ∫ (t − 1)dt ♥ Suy ra: I = ∫ t 1 t3 = 2( − t ) 0.25 0.25 0.25 4−2 a).(0,5 điểm) Tìm môđun số phức z biết rằng: z + z = + 2i Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ) ta có: a = z + z = + 2i ⇔ 3a − bi = + 2i ⇔ b = −2 Suy z = − 2i Vậy môđun số phức z z = 2 = (1,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 b).(0,5 điểm) Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng 0.25 ♥ Số phần tử không gian mẫu Ω = C16 = 1820 ♥ Gọi biến cố “ lấy có cầu màu đỏ không hai 0.25 B màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C4C5 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C5 C7 1 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C5C7 1 2 Khi Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất biến cố B P ( B ) = (1,0 điểm) ΩB Ω = 740 37 = 1820 91 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = SM Biết AB = a , BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM 0.25 ♥ Gọi H trung điểm AB suy SH ⊥ AB Do ( SAB) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ ( ABC ) Do SAB tam giác cạnh a nên SH = a Xét tam giác ABC vuông A ta có AC = BC − AB = a (1,0 điểm) 0.25 1 a3 ♥ Thể tích khối chóp S.ABC VS ABC = SH S ABC = SH AB AC = 12 0.25 Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N ⇒ AC // MN ⇒ AC //( BMN ) Ta có AC ⊥ ( SAB ) mà MN // AC ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SAB) ⊥ ( BMN ) Từ A kẻ AK ⊥ BN ( K ∈ BN ) ⇒ AK ⊥ ( BMN ) ⇒ AK = d ( A, ( BMN )) = d ( AC , BM ) MC AN = ⇒ = Do SC SA 2 a2 a2 ⇒ S ABN = S SAB = = 3 0.25 7a a Ta có BN = AN + AB − AN AB cos 600 = ⇒ BN = 2S a 21 Suy AK = ABN = BN a 21 Vậy d ( AC , BM ) = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;0; −1), B(1; −2;3), C (0;1; 2) , D(1;-1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) phương trình mặt cầu (S) có tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) 0.25 ♥ Mặt phẳng (ABC) qua A ( 2;0; −1) có vectơ pháp tuyến r uuuv uuur n = AB, AC = ( −10; −5; −5 ) 0.25 ♥ Phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) x + y + z − = 0.25 ♥ Mặt cầu (S) có tâm D ( 1; −1;0 ) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính R = d ( D, ( ABC ) ) = 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d : x + y − = Điểm E ( 9; ) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F ( −2; −5 ) nằm ♥ Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 1) + ( y + 1) + z = (1,0 điểm) đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm 0.25 · ♥ Gọi E’ điểm đối xứng với E qua AC, AC phân giác góc BAD nên E’ thuộc AD Đường thẳng EE’ vuông góc với AC qua điểm E ( 9; ) nên có phương trình x − y − = x − y − = x = ⇔ ⇒ I ( 3; ) Gọi I giao AC EE’, tọa độ I nghiệm hệ x + y −1 = y = −2 Vì I trung điểm EE’ nên E '(−3; −8) uuuur 0.25 ♥ Đường thẳng AD qua E '(−3; −8) F (−2; −5) có VTCP E ' F (1;3) nên phương trình là: 3( x + 3) − ( y + 8) = ⇔ 3x − y + = 0.25 ♥ Điểm A = AC ∩ AD ⇒ A(0;1) Giả sử C (c;1 − c ) Theo giả thiết ta có AC = 2 ⇔ c = ⇔ c = 2; c = −2 Do hoành độ điểm C âm nên C (−2;3) ♥ Gọi J trung điểm AC suy J (−1; 2) , đường thẳng BD qua J vuông góc với AC 0.25 có phương trình x − y + = Do D = AD ∩ BD ⇒ D (1; 4) ⇒ B (−3;0) Vậy A(0;1) , B (−3;0), C (−2;3), D(1; 4) (1,0 điểm) 8 x + 3x − 13x − 15 = y3 − y Giải hệ phương trình: 2 y + = 5y (x + 2x + 2) (x, y ∈ ¡ ) ♥ Điều kiện: y ≠ Khi đó: 2 (x + 1)(x + 2x − 15) = − ÷ ÷ yy (I) ⇔ 1 + = 5[(x + 1) + 1] y2 ♥ Đặt a = x + , b = (b ≠ 0), hệ trở thành: y ( a(a − 16) = b b − 1 + b = 5(a + 1) (I) 0.25 0.25 ) a − b3 = 16a − 4b ⇔ 2 b − 5a = (1) ⇒ a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b) ⇔ 21a3 – 5a2b – 4ab2 = ⇔ a = a = − b 4b a = ♥ Với a = ta có b2 = tìm hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1) 2 b Với a = − ta có b2 = tìm hai nghiệm (–2 ; ), (0 ; – ) 3 0.25 ♥ Với a = Vậy hệ phương trình có nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1), (–2 ; (1,0 điểm) 0.25 31 4b ta có − b = (vô nghiệm) 49 2 ), (0 ; – ) 3 Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= − a+b+c a + a.b + abc a + 4b a + 4b + 16c + ♥ Theo BĐT Cô-si ta có: a + ab + abc ≤ a + = (a + b + c) 2 3 Dấu đẳng thức xảy a = 4b = 16c 3 − ♥ Suy P ≥ Đặt t = a + b + c , với t > 2(a + b + c) a+b+c 3 3 3 Khi P ≥ − Xét hàm f (t ) = − , f '(t ) = − + , f’(t) = ⇔ t = t t 2t 2t t t ♥ Lập bảng biến thiên hàm số f(t) 16 a = 21 a + b + c = ⇔ b = ♥ Từ BBT ta suy Pmin = − đạt 21 a = 4b = 16c c = 21 0.25 0.25 0.25 0.25