Phương pháp chung để giải quyết bài toán hình học giải tích phẳng gồm các bước sau: 1. Vẽ hình, xác định các yếu tố đã biết lên hình 2. Khám phá các tính chất khác của hình (nếu cần). Chú ý tìm các đường vuông góc, song song, đồng quy; các đoạn bằng nhau, góc bằng nhau; các góc đặc biệt; quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng, đường tròn .... 3. Xác định các điểm, đường thẳng (theo các kĩ thuật đã học) để thực hiện yêu cầu bài toán.
Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ TUYỂN CHỌN BÀI TOÁN OXY BÁM SÁT KÌ THI THPT QG 2016 - TOANMATH.COM A Phương pháp chung để giải tốn hình học giải tích phẳng gồm bước sau: Vẽ hình, xác định yếu tố biết lên hình Khám phá tính chất khác hình (nếu cần) Chú ý tìm đường vng góc, song song, đồng quy; đoạn nhau, góc nhau; góc đặc biệt; quan hệ thuộc điểm đường thẳng, đường tròn,… Xác định điểm, đường thẳng (theo kĩ thuật học) để thực yêu cầu toán B Một số hướng khai thác giả thiết Dưới số hướng khai thác giả thiết đề Dĩ nhiên, tùy vào cụ thể, ta cịn có hướng sử dụng khác Phương trình đường thẳng d : Tham số hóa tọa độ điểm thuộc d Xét vị trí tương đối, tìm giao điểm d đường tròn đường thẳng khác Viết phương trình đường thẳng: - Song song vng góc với d - Cách d khoảng cho trước - Tạo với d góc cho trước Lấy đối xứng qua d Tìm hình chiếu điểm lên d Xét vị trí tương đối hai điểm A, B so với d Phương trình đường trịn C Tìm tâm bán kính Xét vị trí tương đối, tìm giao điểm C đường thẳng đường tròn khác Điểm G trọng tâm tam giác ABC Áp dụng cơng thức tính tọa độ trọng tâm AG AM G với trực tâm H , tâm ngoại tiếp I thẳng hàng GH 2GI Điểm H trực tâm tam giác ABC AH BC AH IM , với I tâm đường tròn ngoại tiếp M trung điểm BC Điểm đối xứng H qua AB , AC , BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tứ giác BHCA ' hình bình hành, với A ' đối xứng A qua tâm đường tròn ngoại tiếp H với trọng tâm G , tâm ngoại tiếp I thẳng hàng GH 2GI Điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA IB IC R I nằm đường trung trưch cạnh I với trọng tâm G , trực tâm H thẳng hàng GH 2GI Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC J cách cạnh tam giác Tìm bán kính nội tiếp tam giác: r d J , AB AJ , BJ , CJ đường phân giác góc tam giác d đường phân giác góc BAC A, J , K d Trong J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC bang tiếp cạnh BC Lấy đối xứng điểm M AB qua d ta M ' AC d M , AB d M , AC , M d d cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm cung BC Tứ giác nội tiếp Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp Sử dụng tính chất: góc nội tiếp chắn cung Chứng minh điểm cách điểm khác Các cách chứng minh tứ giác ABC D nội tiếp: (a) Bốn đỉnh cách điểm (b) Có hai góc đối diện bù (tổng góc đối = 1800) (c) Hai đỉnh nhìn đoạn thẳng (tạo hai đỉnh cịn lại) hai góc (d) MA.MB MC MD, đó: M AB CD; NA.ND NC NB, với N AD BC (e) IA.IC ID.IB với I giao điểm hai đường chéo (f) Tứ giác hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng, C Ví dụ minh họa Ví dụ (THPT-2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vng góc C đường AD Giả sử H 5; , K 9; 3 trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x y 10 Tìm tọa độ điểm A Hướng dẫn Gọi N trung điểm AC Ta có điểm N d : x y 10 N n; n 10 A Ta có điểm N theo biến số, mà đề có cho điểm H 5; , K 9; tường minh, ta nghĩ đến liệu có N mối liên hệ điểm N, H, K hay không? Xét tam giác vuông AHC vuông H N trung điểm AC nên HN AC Tương tự giác vuông AKC vuông K N trung điểm AC nên KN AC B H (d):x - y+10=0 C D (-5;-5) K (9:-3) Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Từ ta có HN KN 5 n n 10 n n 10 n N 0;10 Vậy tìm điểm N, câu hỏi là: “Mình tìm điểm ?” Do có tọa độ đỉnh N, H, K, nên dễ dàng viết phương trình đường trịn (T) ngoại tiếp tứ giác AHKC (có tâm N bán hình NK) Tiếp tục theo dõi vào hình điểm chưa biết là: A, B, C , D Trong đó, B D khơng có kiện gì, cịn A C nằm đường trịn (T) Vậy ưu tiên tìm A C Chọn hai điểm A C để tìm Giả sử em chọn A Khi cố gắng liên kết điểm A với điểm biết (H, K , N) Nối đỉnh lại vs ta tứ giác, xem tứ giác có đặc biệt hay khơng ? hay có mối liên hệ đỉnh hày khơng? Khi em nhận tứ giác có đường chéo vng góc với nhau, AK HN Nếu em khơng thích chọn A, chọn C Tương tự, xét tứ giác CNHK có đặc biệt hay khơng? Khi em nhận tứ giác hình thang có HN CK Dù chọn tìm điểm A hay điểm C em cần phải chứng minh tính chất - AK HN HN CK (2 1) để làm tiếp tốn Chứng minh có nhiều cách làm, em tham khảo cách chứng minh sau: Xét ABD cân A có H chân đường cao hạ từ đỉnh A, B đối xứng với D qua H ABD cân A BAH (đường cao hạ từ đỉnh cân đường phân giác) HAK sdAH (góc tạo tiếp tuyến dây cung = 1/2 số đo cung) BAH sdAH AKH AHK cân BAH H điểm cung AK, HN AK Vậy dựa vào ý ta tìm điểm A (theo AK HN ) điểm C (theo HN CK ) tam giác ABC Tiếp theo ta viết phương trình AB AB qua A AB vng góc với AC, Tương tự viết phương trình CH biết tọa độ C H phương trình BC Từ đây, B AB BC ta tìm tọa độ điểm B Lời giải chi tiết em tự làm :) Ví dụ 2(Sở GD&ĐT Hà Nội – 2016).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A Gọi H (5;5) hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh BC , đường phân giác góc A tam giác ABC nằm đường thẳng x y 20 Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC qua điểm K ( 10; 5) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Cách tư suy làm A E I yB > B C H (5:5) D M x - 7y + 20 = K(-10;5) Với câu hỏi đặt trên, nên tìm điểm trước ? A? B? hay C? Nhìn vào toán ta thấy: +) A thuộc đường thẳng biết phương trình; +) B có kiện yB , kiện không tham gia vào q trình tính tốn, mà tham gia vào q trình loại nghiệm mà thơi +) C hồn tồn khơng biết Vậy chắn điều ta nên tìm điểm A trước Vì điểm A thuộc phương trình AD: x y 20 (D giao phân giác góc A với BC), nên ta cần tìm phương trình liên quan đến điểm A Vì điểm H K có tọa độ rõ ràng, nên tìm điểm A ta thử kết hợp điểm A với điểm H K xem không ? Biết đâu tạo tam giác đều, cân, vng, có thêm phương trình liên quan đến A Nhưng tam giác AHK khơng có đặc biệt Bắt đầu bí @@ Nhìn lại hình thêm chút Trong toán, cho điểm K “bất kỳ” thuộc đường thẳng trung tuyến hạ từ A ABC Dữ kiện điểm K “bất kỳ” mà lại có tọa độ rõ ràng gợi ý cho viết phương trình đường thẳng chứa điểm K Mà cần tìm phương trình liên quan đến A, phải viết phương trình AK hay AM Vậy viết phương trình AK nào? Để viết phương trình đường thẳng AK ta cần biết điểm qua (cái có điểm K rồi) vector pháp tuyến vector phương (cái chưa biết) trường hợp đơn giản cần biết điểm qua Tiếp theo, nhìn vào kiện đề cho, phương trình đường thẳng (d) điểm H K, ta nên thử kẻ phương trình đường thẳng qua H, K song song với (d) Thì ta thấy, có phương trình đường thẳng qua H vng góc với (d) cắt AM AD I E Điểm I hồn tồn tìm Giờ ta cần tìm E xong Nhưng vấn đề ta tìm E ? Ta thấy, có I – H – E thẳng hàng mà I H biết E có mối liên hệ với I H hay khơng? Đến vẽ hình chuẩn xác hồn tồn em đốn I trung điểm HE Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Nếu I trung điểm HE AHE cân A Giờ cần CM điều tốn giải Khi tìm A ta viết phương trình BC qua H vng góc với AH Từ tìm điểm M Viết phương trình đường tâm (M) bán kính MA cho giao với BC tìm điểm B C, ý điều kiện yB để xác định B C Trên hướng suy nghĩ tư để làm toán Tuy dài dịng lời giải tốn ngắn gọn sau, em tham khảo: Lời giải chi tiết A C AM trung tuyến tam giác ABC nên ta có: MA MB MC , suy C (cùng phụ với góc B ) Mặt khác: A ), AD phân giác góc HAM A1 A4 A A3 (do AD phân giác góc BAC Suy Gọi E đối xứng với H qua AD E AM , HE AD nên phương trình HE : x y 40 26 x x y 20 26 18 Suy tọa độ giao điểm I AD HE là: I ; 5 7 x y 40 y 18 27 11 27 11 Do I trung điểm HE , suy E ; AM qua E ; K ( 10; 5) nên có phương 5 5 trình: x 11 y 35 2 x 11y 35 x A(1;3) Khi BC qua H (5;5) Vậy tọa độ điểm A nghiệm hệ : x y 20 y vng góc với AH AH (4; 2) 2(2;1) nên có phương trình: x y 15 13 2 x y 15 x 13 Tọa độ điểm M nghiệm hệ: M ;2 2 2 x 11y 35 y Gọi B (t ;15 2t ) BC , : 2 13 11 MB MA t (2t 13)2 12 5t 65t 180 2 t B(9; 3) yB B(4; 7) t B(4;7) 2 Do M trung điểm BC C (9; 3) Vậy A(1;3), B (4;7), C (9; 3) Bài tập luyện tập thêm Bài (THPT Anh Sơn II Nghệ An) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A với B ( 2;1), C (2; 1) , gọi P điểm cạnh BC Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB D , Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ đường thẳng qua P song song với AB cắt AC điểm E Gọi Q điểm đối xứng với P qua DE Tìm tọa độ điểm A biết Q ( 2; 1) Hướng dẫn Do ABC cân A nên A thuộc đường trung trực d BC Khi d qua trung điểm O (0; 0) BC vng góc với BC với BC (4; 2) 2(2; 1) nên d có phương trình: A Q(-2,-1) D 1 2x y E Ta chứng minh A thuộc đường tròn ngoại tiếp tam BCQ 1800 giác BCQ hay chứng minh BAQ Thật vậy: Ta có PEAD hình bình hành, suy DP AE EP AD (1) Do DE trung trực PQ , B(-2,1) C(2,-1) P suy DP DQ EP EQ (2) Từ (1) (2), suy AE DQ AD EQ ADQ QEA (c – c – c) QEH (*) (vì bù với DEQ ) E , suy ADEQ nội tiếp đường tròn hay DAQ D 1 ECP (cùng góc B ), suy Mặt khác, ta có: EPC Q EP EC EQ EC C 1 Q C P , suy EHCP nội tiếp đường trịn Lại có E , H thuộc trung trực BC P 1 1 1800 HEP 1800 HEP 1800 QEH 1800 DAQ Khi HCP DAQ 1800 hay BAQ BCQ 1800 HCP (theo (*)), suy Vậy ABCQ nội tiếp đường trịn có phương trình (phương trình qua điểm B , C , Q ) là: x y Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ: 2x y x 1; y 2 A( 1; 2) x y x 1; y A(1; 2) Kiểm tra điều kiện A, Q nằm phía với đường thẳng BC cho ta đáp số A( 1; 2) Bài 2.Cho hình chữ nhật ABCD tâm I Gọi K trung điểm cạnh DC, E hình chiếu C AK Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết A B 1 5 3 I ; , E ; , điểm B có hoành độ dương AB 2BC 2 2 2 Hướng dẫn 1 Từ giả thiết ta có IE AC BD nên I tâm đường tròn 2 D ngoại tiếp ngũ giác ABCED EBD ; Tam giác ADK vuông cân D nên Tam giác IBE cân I nên IEB EBD EAD 450 Từđó suy tam giác IBE vng cân I IEB I( ,0) C K AB=2BC E( , - ) 2 Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ 1 2 BD qua điểm I ; có véc tơ pháp tuyến 3 IE 2; hay n 4; 3 nên BD có phương trình : 2 1 x y hay 4x 3y 2 3; nên có phương trình tham số BD qua điểm K 1; 2 có véc tơ phương u x 1 3t BD : y 2 4t Gọi B 3t 1; 4t thuộc BD, điều kiện t ta có l n 2 t 3 3 IB IE 3t 4t 25t 25t 2 2 t Từđó ta có B 2; Vì I trung điểm BD nên D 1; 2 Ta có BD 16 , AB AD BD 25 5.AD 25 AD , AB Gọi A x, y ta có 2 x x 2 12 AD x y 5 A1 2; ,A ; ; 2 5 y y 12 AB x y 20 Kiểm tra A E khác phía so với đường thẳng BD, ta có 5 3 A 2; ,E ; 2 3.0 2 2 25 3. 23 nên A ; E khác phía so với đường thẳng BD 6 12 3 12 A1 2; ,A ; nên A ; E khác phía so với 2 5 5 đường thẳng BD Vậy điểm A cần tìm A 2; Vì I trung điểm AC nên C 3; Vậy A 2; , B 2; , D 1; 2 , C 3; Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A 1;4 , trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M , đường thẳng CH cắt cạnh AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I 2;0 , đường thẳng BC qua điểm P 1; 2 Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Hướng dẫn A Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp N Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Suy I trung điểm BH ; B d B 2t ; t Suy ra: H 2t; t AH 2t; t , BP 2t 1; t Do H trực tâm tam giác ABC AH BP 2t 3 2t 1 t t 5t 10t t 1 Suy H 0;1 ,B 4; 1 , AH 1; 3 , đường thẳng BC : x y Đường thẳng AC : x y Tìm tọa độ C 5; Bài 4.(Chuyên Sư Phạm lần 2).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn K Gọi M trung điểm AC ; G, E trọng tâm tam giác ABC 23 53 ABM Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết E ;11 , G 2; , K 2; 3 23 53 Hướng dẫn G(2; ) K(2; ) E( ;11) Ta có tam giác ABC cân A, AG trung A tuyến hạ từ đỉnh A AG BC E trọng tâm ABM nên EM BC từ ta viết E trọng tâm K tâm ngoại tiếp phương trình EM G trọng tâm Đi qua E nhận GK làm vector pháp tuyến Suy phương trình EM : y 11 1 F L Gọi I giao điểm AG với ME I có tọa độ I 2,11 Ví I trung điểm ML nên L 0,11 G B Mà G trọng tâm ABC nên BG 2GM B 2;1 L trung điểm AB nên A 2; 21 M trung điểm AC nên C 6;1 M K Gọi L trung điểm AB Xét ML có: +) E trọng tâm ABM ME ML +) I trung điểm ML nên MI ML Suy ME IE (do I nằm E M) Hay ME IE M 4,11 I E ABM C ABC ABC Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Câu 5.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H 5;5 hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh BC, đường phân giác góc A tam giác ABC nằm đường thẳng x y 20 Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC qua điểm K 10;5 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương Hướng dẫn: A (do phụ với ACB BAH ABC ) Ta có Hơn nữa, MA MB MC MAC BAH nên MCA MAC nên Suy đường phân giác A D góc A phân giác góc HAM K K' I B H M C Gọi K ' điểm đối xứng với K qua AD K ' thuộc AH Viết phương trình KK ' : 7x y 65 19 KK ' AD I I ; K ' 9; 2 2 AH : x y 0, AH AD A A 1;3 BC : 2x y 15 13 Đường thẳng AM qua A K nên AM : 2x 11y 35 Vậy M ; 2 Vid B thuộc đường thẳng BC nên B b;15 2b b Do MA MB 5b 65b 180 b Vậy B 4;7 , C 9; 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm cạnh A D 11 3 6 H ; hình chiếu vng góc B cạnh CE; M ; trung điểm cạnh BH Tìm 5 5 5 tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có hồnh độ âm Hướng dẫn: Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Vì M trung điểm BH nên M 1; 2 F Gọi F đối xứng với E qua A Khi đó: BF EC BFEH hình đường trung bình nên AM BH thang, có AM A B Ta có: BH : x y CE : 2x y 0, AM : 2x y M E cos ECD CD cos BAM CE H Gọi A a; 2a , a AB a 1; 2a D C N AB.u AM 2 Ta có cos BAM 5 AM u AM a 1 5a 6a 11 A 1; a 11 l AD : y 0, E CE AD E 1; Vì E trung điểm AD nên D 3; Vì BC AD C 3; 2 Kết luận Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A 1;4 , trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M , đường thẳng CH cắt cạnh AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I 2;0 , đường thẳng BC qua điểm P 1; 2 Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác A biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Hướng dẫn: N Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp H Suy I trung điểm BH ;B d B 2t ; t Suy H 2t ; t AH 2t ; t , BP 2t 1; t Do H trực tâm tam giác ABC x + 2y - = I(2,0) B AH BP 2t 2t 1 t t 5t 10t t 1 M P(1, - 2) C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Suy H 0;1 , B 4; 1 , AH 1; 3 , đường thẳng BC : x y Đường thẳng AC : x y Tìm tọa độ C 5; 4 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình 3x y 10 đường phân giác BE có phương trình x y Điểm M 0; thuộc đường thẳng AB cách đỉnh C khoảng Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn: A Gọi N điểm đối xứng M qua phân giác BE N thuộc BC Tính N 1;1 Đường thẳng BC qua N vng góc với AH nên có phương trình x y B giao điểm BC BE suy tọa độ B nghiệm hệ 4x y B 4;5 phương trình: x y 1 B M E I N H C Đường thẳng AB qua B M nên có phương trình: 2x y A giao điểm AB AH, suy tọa độ A nghiệm hệ phương trình: 3x y 3x y 10 1 A 3; 4 Điểm C thuộc BC MC suy tọa độ C nghiệm hệ phương trình: C 1;1 x 1; y 4x y 31 33 2 x 31 ; y 33 ; C 2 x y 25 25 25 25 Thế tọa độ A C 1;1 vào phương trình BE hai giá trị trái dấu, suy A, C khác phía BE, BE phân giác tam giác ABC 31 33 Tương tự A C ; A, C phía với BE nên BE phân giác ngồi tam giác ABC 25 25 BC 5, AH d A, BC 49 49 (đvdt) S ABC 20 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 18 Gọi E trung điểm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường chéo AC G , ( G không trùng với Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ 2 4 C ) Biết E 1; 1 , G ; điểm D thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa độ điểm 5 A, B, C , D Hướng dẫn: A Do tứ giác CDGE nội tiếp DG GE, Do D d D t ;6 t B G 26 Ta có EG ; ; DG t ; t EG.DG t D 4; 5 5 E Suy DE 2, DE : x y Gọi C a; b , S ABCD 18 SCDE D 9 d C ; DE DE a b 2 C 1 Mà DC a 4; b , EC a 1; b 1 ; CD CE DC EC a a 1 b b 1 2 a b a 4; b 1 C 4; 1 Từ (1) (2) ta có: a 1; b a 5a b b C 1; Do C G nằm khác phía với bờ đường thẳng DE C 1; không thỏa mãn Suy C 4; 1 thỏa mãn Vì M trung điểm BC nên B 2; 1 Do AD BC A 2; Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I 3; 1 , điểm M cạnh CD cho MC 2MD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đường thẳng AM có phương trình 2x y đỉnh A có tung độ dương B A Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu I AM IH d I ; AM I H Giả sử AM BD N P trung điểm N D M C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ MC IP AM NM IP Từ M trung điểm DP suy N trung điểm DI Gọi cạnh hình vng a AI Từ a a , IN IN 2 1 a3 2 IH IA IN a a A thuộc AM nên A t ; 2t IA t 3 2t 3 5t 18t t A 3; 14 A có tung độ dương nên A 3; t A ; 5 5 Suy C 3; 4 Đường thẳng BD qua điểm I có vtpt AI 0; 3 có phương trình y 3 N AM BD N ; 1 N trung điểm DI D 0; 1 B 6; 1 2 Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 3, đỉnh D thuộc đường thẳng d : x y 0, ABD ACB 30 Giao điểm đường phân giác góc đường cao tam giác BCD kẻ từ C điểm H B D nhỏ 3;3 Tìm tọa độ đỉnh B, D biết hoành độ Hướng dẫn: H Gọi I AC BD Đặt AB x BC x có S AB.BC 3 nên x D A Ta có DBC ACB 30 ABD 60 HB D 30 BD phân đường cao nên BD trung trực giác góc HBC HC I HD CD 3; BH D BC D 90 BH BC (T/M) t 3 D D d D t ; 3t ; HD ; 2 3 (loai) t B C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Đường thẳng HB qua H 3 ; nên có phương trình: 3;3 , có vecto pháp tuyến DH 2 3 x y 3 x y 2 b B HD B b; b 3 b b HB b 1 3 b 2 Loai 9 ; B 2 T / M 9 3 Vậy tọa độ điểm B, D là: B ; , D ; 2 2 Bài 12.(THPT – Quỳnh Lưu – Nghệ An) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB điểm D , E , F Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết D 3;1 , trung điểm BC M 4; , phương trình EF : 3x y B có hồnh độ bé A Hướng dẫn Phương trình đường thẳng BC : x y 3x - y - = E Gọi H giao điểm EF BC ta có tọa độ H nghiệm F 3x y x , H 0; x y y 2 Từ giả thiết, ta thấy H nằm tia đối tia BC hệ: I M(4,2) H B D(3,1) Ta chứng minh MD.MH MB Thật vậy, qua B kẻ đường thẳng song song với CA cắt HE G Khi ta có BG BF BD đồng HB GB DB thời HB.DC DB.HC Vì M trung điểm đoạn BC nên ta HC CE DC MH MB MB MD MB MD MH MB MH MD MB 2 Gọi B t ; t , t ta có t t 2 t 2, B 2; C 6; C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Phương trình đường trịn tâm B bán kính BD T : x y Đường thẳng EF cắt T G F có tọa độ nghiệm hệ x x 2 y x 3 1 Vì G nằm H F nên F 1;1 , G ; Khi phương 5 5 y 1 y 3x y trình AB : x y 0, AC qua C song song với BG nên có phương trình: x y 22 Tọa độ x y x 1 , A 1;3 điểm A nghiệm hệ x y 22 y Vậy A 1;3 , B 2; , C 6; Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp điểm 1 K ; , đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình 3x y 2 2x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Hướng dẫn: A Từ giả thiết, tọa độ A nghiệm hệ 3x y x A 1; 2x y y Gọi M trung điểm BC K B KM d1 1 Đường thẳng KM qua K ; có vec tơ phương u 4;3 có 2 x 4t trình t y 3t x 4t x 1 Tọa độ M nghiệm hệ y 3t M ;1 2 y 2 x y C M d1 d2 phương Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ 1 Đường thẳng BC qua điểm M ;1 vng góc với d1 : 3x y có phương trình 2 1 B 3m;1 4m 2 x 3m m 2 3 1 25 1 3 y 4m KB 3M 1 4m 3m 4m 25m 2 2 2 2 Từ giả thiết, ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2 1 50 3 AK 2 2 Mà BK AK CK 25m Với m 25 50 1 m2 m 4 x ta có điểm 2; 1 y 1 x 1 Với m ta có điểm 1;3 y Vậy tọa độ đỉnh cịn lại B C có tọa độ 2; 1 , 1;3 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, AB AD CD Giao điểm AC BD E 3; 3 , điểm F 5; 9 thuộc cạnh AB cho AF FB Tìm tọa độ đỉnh D, biết đỉnh A có tung độ âm Hướng dẫn: E A Gọi I EF CD Ta chứng minh tam giác EAI vuông cân E AB a , A D b Đặt Khi AC AD DC b 3a a b a.b Ta F có D FE AE AF AC AB b 3a a 3b a 6 12 1 45 Từ (1) suy tứ giác ADIE nội tiếp suy I1 D 2 Từ (1) (2) suy tam giác EAI vuông cân E I 2 2 Suy AC EF b a Do AC EF 12 B C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Ta có n AC EF 2; 6 nên AC : x y 12 A 3a 12; a Theo định lý Talet ta có EI EC CD EI FE I 3;15 EF EA AB a 2 Khi EA EI 3a a 3 360 a 9 Vì A có tung độ âm nên A 15; 9 Ta có n AD AF 20; nên AD : x 15 CD : y 15 Do D 15;15 Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình x y 0, x y Đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng BC vắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D 4; 2 Viết phương trình đường thẳng AB, AC, biết hoành độ điểm B không lớn Hướng dẫn: Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm E giao điểm BH AC Ta kí hiệu nd , ud vtpt, vtcp BC AD, A đường thẳng d Do M giao điểm AM BC nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: H x x y 7 1 M ; 2 2 3x y y B AD vng góc với BC nên nAD u BC 1;1 , mà AD qua điểm D suy K D M C phương trình AD :1 x 1 y 2 x y Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm A 3x y x A 1;1 nghiệm hệ phương trình: x y y 1 x y x K 3; 1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x y y 1 KCE , mà KCE B Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK AB ) Suy DA (nội tiếp chắn cung B BHK DK, K trung điểm HD nên H 2; Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Do B thuộc BC B t; t , kết hợp với M trung điểm BC suy C t;3 t HB t 2; t ; AC t ; t Do H trực tâm tam giác ABC nên t HB AC t t t t t 14 2t t Do t t B 2; 2 , C 5;1 Ta có AB 1; 3 , AC 4;0 nAB 3;1 , nAC 0;1 Suy AB : 3x y 0; AC : y Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;4 , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác ADB có phương trình x y 0, điểm M 4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn: Gọi AI phân giác BAC Ta có: AID ABC BAI A IA D CA D CAI E K CAI , ABC CA D nên Mà BAI AID IA D M B I C D DAI cân D DE AI PT đường thẳng AI là: x y Gọi M ' điểm đối xứng M qua AI PT đường thẳng MM ' : x y Gọi K AI MM ' K 0;5 M ' 4;9 VTCP đường thẳng AB AM ' 3;5 VTPT đường thẳng AB n 5; 3 Vậy PT đường thẳng AB là: x 1 y 5x y Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vng ABCD, M trung điểm đoạn AD, N thuộc đoạn DC cho NC ND Đường tròn tâm N qua M cắt AC J 3;1 , J I AC BD, đường thẳng qua M, N có phương trình x y Tìm tọa độ điểm B Hướng dẫn: Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ MN cắt đường tròn tâm N K Ta chứng minh tứ giác MIJK nội tiếp 90 NKJ AIM 45 JNK P NJ MN nên có phương trình: x y 1 3 Suy N ; 2 2 A M 3; 4 JMN vuông cân N nên MJ PN M 2;1 M B I J Với M 2;1 gọi P MN JA ta có NP NM P 7;6 D C N PA PJ tìm A 3;4 , A trung điểm IP nên I 1; Ta có AB MI B 3; K Tương tự với M 3; 4 ta tìm A 6; 5 , I 4; 1 B 8;1 Vậy tọa độ điểm B 3;6 B 8;1 Câu 18 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BG, G trọng tâm tam giác ABM, điểm D 7; 2 điểm nằm đoạn MC cho GA GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hoành độ điểm A nhỏ AG có ohương trình 3x y 13 Hướng dẫn: B Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng AG d D, AG 3.7 13 1 10 N M G D Xác định hình chiếu D AG Ta có tam giác ABC vng cân đỉnh A nên tam giác ABM vuông cân đỉnh M A Suy GB GA Theo giả thiết GA GD nên tam giác ABD nội tiếp đường tâm G bán kính GA Ta có: AGD AB D 90 suy DG AG suy G D 10 Suy tam giác AGD vuông cân đỉnh G suy AD 10 Tìm điểm A nằm đường thẳng AG cho AD 10 C Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ Giả sử A t;3t 13 2 AD 10 t 3t 11 20 t 14t 49 9t 66t 121 20 t 10t 80t 150 t 8t 15 t Với t suy A 3; 4 Tìm số đo góc tạo AB AG cos NAG NA NM 3NG AG AG AG 3NG AN NG 3NG NG NG 10 Giả sử đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến n a; b ta có: 3a b 2 a b 1 b 4b 3a 9a b 6ab 9a 9b 8b 6ab 10 TH1: b chọn a suy n 1;0 suy AB : x d D, AB 73 10 d D, AG TH2: 4b 3a chọn n 4; 3 suy AB : x 3 y 4 4x y 24 d D, AB 4.7 3.2 24 16 10 10 Trong hai trường hợp xét thấy d D, AB d A, AG nên AB : x Vậy: A 3; 4 , AB : x A N Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn T có phương trình x y 6x y Gọi H hình chiếu A BC E M B Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN H I C có Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ phương trình 20x 10 y điểm H có hồnh độ nhỏ tung độ Hướng dẫn: T có tâm I 3;1 , bán kính R IC Do IA IC IAC A 1 Đường tròn đường kính AH cắt BC M MH AB MH AC (cùng vng góc AB) IC MHB A 2 Ta có: ANM AHM (chắn cung AM) (3) Từ (1),(2),(3) ta có: IAC ANM IC A AHM MHB AHM 90 Suy ra: AI vng góc MN phương trình đường thẳng IA là: x y Giả sử A 2a; a IA a Mà A T 2a a 2a 2a 5a 10a a Với a A 1;2 (thỏa mãn A, I khác phía MN) Với a A 5;0 (loại A, I phía MN) 9 Gọi E tâm đường trịn đường kính AH E MN E t ; 2t 10 38 Do E trung điểm AH H 2t 1; 4t 10 58 48 AH 2t 2; 4t , IH 2t 4; 4t 10 10 t 272 869 Vì AH HI AH IH 20t t 0 28 25 t 25 11 13 H ; (TM ) 5 5 31 17 H ; (loai) 25 25 Thầy LÊ ANH TUẤN( Thầy Tuấn hocmai): 0915412183 Cộng tác viên: CV HÀ 11 13 Với t H ; (thỏa mãn) 5 5 Ta có: AH ; BC nhận n 2;1 VTPT phương trình BC 2x y 5 Câu 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Đỉnh B thuộc đường thẳng có phương trình x y Các điểm E F hình chiếu vng góc D B lên AC Tìm tọa độ đỉnh B, D biết CE A 4;3 , C 0; 5 Hướng dẫn: A Gọi H trực tâm tam giác ACD, suy CH AD nên CH AB 1 B Mặt khác AH BC (cùng vng góc với CD) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCH hình bình hành nên CH AB BAF (so le trong) Ta có: HCE F (2) L (3) (4) D H E C Từ (3) (4) suy ra: HCE BAF (cạnh huyền góc nhọn) CE AF DCB 90 nên E, F nằm đoạn AC Vì DAB Phương trình đường thẳng AC : 2x y a Vì F AC nên F a;2a 5 Vì AF CE a Với a F 5;5 (không thỏa mãn F nằm ngồi đoạn AC) Với a F 3;1 (thỏa mãn) Vì AF EC E 1; 3 BF qua F nhận EF 2; làm vectơ pháp tuyến, BF có phương trình x y B giao điểm BF nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: x y x B 5;0 x y y Đường thẳng DE qua E nhận EF 2; làm vectơ pháp tuyến, DE có phương trình x 2y Đường thẳng DA qua A nhận AB 1; 3 làm vectơ pháp tuyến, DA có phương trình x 3y D giao điểm DA DE nên tọa độ D nghiệm hệ phương trình: x y x 5 D 5;0 Kết luận: B 5;0 , D 5;0 y y x 0