bất đẳng thức dạng đẳng cấp bậc hai

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN DẠNG ĐẲNG CẤP BẬC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Dạng đẳng cấp bậc (Tiếp) thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y Giải x   y Ta có:  thay vào P ta được: P    y   y  f  y  0  y  2 Xét hàm số f  y     y   y với y   0; 2 Ta có f   y    y    y   ;   2 y    y  f   y    y2    y     y  y   0;2  y   y     298 Khi f (0)  72 ; f (2)  32 ; f      25 x    298 Suy max P  f    72 đạt  ; P  f    đạt   25 y    x   y    x  xy   Bài Cho x  số thực y thỏa mãn:  2 x  y  14 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A  3x y  y x  x  x  1 Giải  x2   x2   x  y  y    y  x x   Từ giả thiết suy  x   2 x  3x   14 5 x  14 x   1  x     x Khi đó: A  3x  x  3 x   3  x  x  1  x   f  x x x 9  9  9 Xét hàm f  x   x  với x  1;  Ta có f '( x)    , x  1;  x x  5  5  9 9 Suy f hàm đồng biến liên tục 1;   4  f (1)  f ( x)  f    hay 4  A  5  5 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN Vậy giá trị nhỏ A 4 x  y  ; giá trị lớn A x  y 52 15 Bài Cho số thực không âm a, b thỏa  a  b  ab  Chứng minh  a3  b3    a  b2   a  b  Giải Đặt t  a  b  ab  Do  a  b   4ab  t   t  t t Khi đó:  a3  b3    a  b2   a  b   a  b   3ab  a  b    a  b   4ab  a  b  3t  2t  t   18  f  t  t 5t  Ta có: f   t   9t  4t    4t  4t    0, t  t t Suy ra: f  t   f    (Đpcm) Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2  y  z  Chứng minh: x3  y3  z  3xyz  2 Giải Ta có: x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z  2 2 x3  y3  z  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z     Suy ra: P   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z        2 Đặt t  a  b  c   a  b  c     t   t2   t3    3t Ta có: P  t       t3 Xét hàm số: f  t     3t , t  0;  , có f   t    t   f   t    t  2 Ta có f  2  2 ; f    ; lim f ( x)  x 0 Suy P  2 (đpcm) Bài Cho số thưc dương x, y thỏa xy  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y3 x 8 x y Giải Từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:  x y y x2   Đặt t   x y y x 8 Ta có: P  9t   f  t  , f   t   27t   0, t  t t Suy f (t ) đồng biến với t   P  f    578 Đẳng thức xảy khi: x  , y  2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN Vậy P  578  1 1 Bài Cho số thực dương a, b, c với a  b  c  1.Chứng minh rằng:  a  b  c        21 a b c Giải   1 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:  a  b  c       3 abc  3  abc   a b c   1 Suy    a b c a bc 18 1 1  6 Do đó:  a  b  c         a  b  c    3 t    f t  abc a b c  t Trong  t  a  b  c  f  t   t  t t2    0, t   0;1 nên hàm số nghịch biến t2 t  0;1  f  t   f 1  7, t   0;1 Ta có: f   t    1 1 Vậy  a  b  c        f t   3.7  21 Dấu ‘=” xảy a  b  c  (đpcm) a b c Bài Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn: a  b2  1; c  d  Chứng minh rằng: F  ac  bd  cd  96 Giải Với số a, b, c, d ta có: (ac  bd )  (a  b2 )(c2  d ) (*) Thật vậy: 2 (*)  (ad )2  2ad bc  (bc)2   (ad  bc)2  (luôn đúng) Áp dụng (*) thay c  d  ta được: F  Ta có f   d   2d  2d  6d  a  (2d  3)   2d  3  b2  c  d   cd  2d  6d   d  3d  f  d   2d  6d  2d  6d   2d  6d   Khi f '(d )   2d    d   (vì 2d  6d  Ta có lim f (d )  lim d  d    3  1 2 d    2  2d  6d   0) 2d  6d   d  3d   Do ta có bảng biến thiên: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 96  3 96 Suy f  d   f     hay F  (đpcm) 4  2 Bài Cho số thực x, y thỏa điều kiện  x  y   xy  x4  y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  xy  Giải     xy    x  y   xy   4 xy  xy   1 Ta có:     xy   xy    x  y 2  xy   xy  xy     x  y   x y 7t  2t    1 Đặt t  xy , suy t    ;  Khi P    f (t ) xy   2t  1  3 Xét hàm số f (t )  Ta có f '(t )  7t  2t   1 với t    ;   2t  1  3  t  t   2t  1  7t (t  1)  2t  1 t  ; f '(t )    t  1   ;      1 1 Khi f     ; f (0)  ; f      25   15 1 1 Khi x  x  y  P  , x  0; y  P  ;y 15 5 2 Suy giá trị nhỏ P giá trị lớn P 15 Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:  3   a  b  b  c  c  a   18 18 Giải Kí hiệu: F  a; b; c    a  b  b  c  c  a  Vì F  a; c; b    a  c  c  b  b  a    F  a; b; c  suy miền giá trị F tập đối xứng ta cần chứng minh: F  a; b; c   18 Nếu ba số a, b, c có hai số F  a; b; c    18 Nếu a, b, c đôi khác không tính tổng quát giả sử a  max a; b; c Khi b  c F  a; b; c    ta cần xét a  c  b 18 Đặt x  a  b  c   x Ta có: F  a; b; c    a  b  c  b  a  c    a  b  c  a  b  c  (ở ta dự đoán dấu “=” xảy b  ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN  x 1  x  x  1  h  x  3 Xét h  x   x 1  x  x  1 ,  x  ; h  x   6 x  x    x   3  1  Lập bảng biến thiên ta được: h  x   h  với x   ;1     18 2    Đẳng thức xảy a  3 3 , b  0, c  6 Bài 10 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 x  y  z xy  yz  zx P  x yz  xy  yz  zx  Giải Cách 1: Áp dụng chuỗi bất đẳng thức 3( x2  y  z )  ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx) (Trong tìm hiểu kĩ chuỗi bất đẳng thức hay sử dụng này) x yz Suy ra:  ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx)  x  y  z    3 xy  yz  zx x  y  z Đặt t  x yz với t  xy  yz  zx 2t  2t Khi đó: P    f  t  Ta có f '(t )      với t  t 9t t Suy f (t ) đồng biến 3;    P  f  t   f  3  Khi x  y  z  P  Vậy giá trị nhỏ nhât P Cách 2: Từ điều kiện ta có:  3( x2  y  z )  ( x  y  z )2   x  y  z   (*) Ta lại có:  x  y  z    xy  yz  zx  (2*) Khi biến đổi P , áp dụng (*), (2*) kết hợp với bất đẳng thức AM – GM, ta được: xy  yz  zx x yz x yz P   x yz  xy  yz  zx   xy  yz  zx   x  y  z xy  yz  zx x yz      1 x yz  xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  3  x  y  z  Khi x  y  z  P  Vậy giá trị nhỏ nhât P Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | -