Bài giảng tối ưu hóa

Tiết Mở đầu Tối ƣu hóa gì? a) Định nghĩa Tối ưu hóa tác động lên trình, việc làm cho trình, việc diễn theo cách tốt (không có phương án tốt hơn) theo ý nghĩa - Là trình tìm kiếm điều kiện tốt (điều kiện tối ưu) hàm số nghiên cứu - Là trình xác định cực trị hàm hay tìm điều kiện tối ưu tương ứng để thực trình cho trước - Để đánh giá tối ưu cần chọn chuẩn tối ưu (là tiêu chuẩn công nghệ) b) Cách biểu diễn toán tối ưu Giả sử hệ thống công nghệ biểu diễn dạng sau: 𝑌 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) Với 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 thành phần vector thông số đầu vào Hàm mục tiêu: Z = I (x1, x2,…, xk) Bài toán biểu diễn Zopt = optI (x1, x2,…,xk) Zopt = max I ( x1,x2,…xk) : toán max, Zopt = I ( x1,x2,…xk) toán 𝑍 𝑜𝑝𝑡 : Hiệu tối ưu 𝐼 𝑜𝑝𝑡 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ): Nghiệm tối ưu phương án tối ưu toán c) Thành phần toán tối ưu  Hàm mục tiêu - Là hàm phụ thuộc - Được lập sở tiêu chuẩn tối ưu lựa chọn → Hàm mục tiêu hàm thể kết mà người thực phải đạt được, tiêu chuẩn tối ưu dạng hàm, phụ thuộc vào yếu tố đầu vào, giá trị cho phép đánh giá chất lượng nghiên cứu  Quan hệ đại lượng Các biểu thức toán học mô mối quan hệ tiêu chuẩn tối ưu hóa (hàm mục tiêu) thông số ảnh hưởng (thông số cần tối ưu) đến giá trị tiêu chuẩn tối ưu Các quan hệ thường biểu diễn phương trình mô hình thống kê thực nghiệm (phương trình hồi quy) Quan hệ yếu tố ảnh hưởng với biểu diễn đẳng thức bất đẳng thức  Các điều kiện ràng buộc Để toán công nghệ có ý nghĩa thực tế, biểu thức mô tả điều kiện ràng buộc bao gồm: - Điều kiện biên - Điều kiện ban đầu Các bước giải toán tối ưu: Đặt vấn đề công nghệ: xem xét công nghệ cần giải công nghệ gì, chọn yếu tố ảnh hưởng Chỉ hàm mục tiêu Z: Z→MAX, Z→MIN Xây dựng mối quan hệ yếu tố ảnh hưởng hàm mục tiêu theo quy luật biết trước hoạc mô hình thống kê thực nghiệm Tìm thuật giải: phương pháp để tìm nghiệm tối ưu toán công nghệ sở mô tả toán học tương thích thiết lập Đa số dẫn đến tìm cực trị hàm mục tiêu Phân tích đánh giá kết thu - Nếu kết phù hợp  kiểm chứng thực nghiệm - Nếu kết không phù hợp  xem lại bước làm lại từ việc đặt vấn đề Các ví dụ thực tế a) Bài toán lập kế hoạch sản xuất Ví dụ 1: Một kg nho có giá 50.000đ, sản xuất 0,7 lít vang 0.3 lít giấm Một kg dứa có giá 20.000đ, sản xuất 0, lít vang 0, lít giấm Qua nghiên cứu thị trường, công ty nhận thấy nhu cầu tiêu thụ vang năm 2014 khoảng 5000 lít vang 350 lít giấm Tính số nho dứa nguyên liệu cần phải mua để đáp ứng nhu cầu với chi phí thấp nhất? Gọi x1, x2 số nho số dứa nguyên liệu cần mua để sản xuất 5000 lít vang 350 lít giấm Điều kiện: xj ≥0, j =1, Khi 1) Chi phí nguyên liệu: f (x) = f (x1, x2) = 50x1 + 20x2 (1000 đ) 2) Lượng vang sản xuất: 0,7x + 0,6x2 (lít) Để đáp ứng nhu cầu tiêu thụ vang thì: 0,7x + 0,6x2 ≥5000 3) Lượng giấm sản xuất: 0,3x1 + 0,1x2 (lít) Để đáp ứng nhu cầu tiêu thụ giấm thì: 0,3x + 0,1x2 ≥350 Vậy ta có mô hình toán: (1) f (x) = f (x1, x2) = 50x1 +20x2  (2) 0,7x + 0,6x2 ≥ 5000 0,3x + 0,1x2 ≥ 350 (3) xj ≥ 0, j =1,2 Ví dụ 2: Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho loại bánh cho bảng sau: Nguyên liệu Bánh đậu Bánh thập Bánh dẻo Lượng dự trữ xanh cẩm Đường 0,04 kg 0,06 kg 0,05 kg 500 kg Đậu 0,07 kg kg 0,02 kg 300 kg Tiền lãi 3000 2000 2500 Hãy lập mô hình toán tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà tiền lãi cao nhất? Giải: Gọi 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất Điều kiện: xj ≥ 0, j =1,2,3 Khi 1) Tiền lãi thu là: f (x) = f (x1, x2, x3) = 3x1 + 2x2 + 2,5x3 (1000 đ) 2) Lượng đường sử dụng là: 0,04x + 0,06x2 + 0,05x3 (kg) Để không bị động nguyên liệu thì: 0,04x + 0,06x2 + 0,05x3 ≤ 500 3) Lượng đậu sử dụng là: 0,07x1 + 0,02x2 (kg) Để không bị động nguyên liệu thì: 0,07x1 + 0,02x2 ≤ 300 Vậy ta có mô hình toán: (1) f (x) = f (x1, x2, x3) = 3x1 + 2x2 + 2,5x3  max (2) 0,04x + 0,06x2 + 0,05x3 ≤ 500 0,07x1 + 0,02x2 ≤ 300 (3) xj ≥ 0, j =1,2,3 b) Bài toán xác định phần dinh dưỡng Ví du: Một công ty nghiên cứu phát triển loại sản phẩm cần dùng đến loại nguyên liệu T1, T2, T3 Trong loại nguyên liệu chứa loại chất dinh dưỡng A (DHA), B (  A+), C (Canxi) Số đơn vị chất dinh dưỡng (g) có đơn vị nguyên liệu (kg) cho bảng sau: Số đơn vị chất dinh dưỡng/ đv nguyên liệu Chất dinh dưỡng T1 T2 T3 A B C Yêu cầu tối thiểu công thức thành phần chất dinh dưỡng A, B, C kg sản phẩm 17, 14, 14 g Giá nguyên liệu T1, T2, T3 50.000 đ/kg, 40.000 đ/kg, 70.000 đ/kg Hãy xác định lượng nguyên liệu loại cần có công thức sản phẩm để đảm bảo yêu cầu chất dinh dưỡng, giá thành sản phẩm nhỏ nhất? Gọi xj lượng nguyên liệu Tj cần cho công thức sản phẩm (kg), j  1,3 Vậy ta có mô hình toán: (1) f (x) = f (x1, x2, x3) = 5x1 + 4x2 + 7x3  (10.000 đ) (2) 7x + 2x2 + 6x3 ≥ 17 5x1 + x2 + 7x3 ≥ 14 6x1 + x2 + 4x3 ≥ 14 (3) xj ≥ 0, j =1,2,3 CHƢƠNG I ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH – TÌM PHƢƠNG ÁN TỐI ƢU TRONG SẢN XUẤT THỰC PHẨM Tiết 1.1 Khái niệm định nghĩa 1.1.1 Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính a) Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn toán có dạng: n (1) f ( x)  c1 x1  c2 x2   cn xn   c j x j  max(min) j 1   (2) ai1 x1  x2   aim xm   aij x j bi , i  1,2, , m j 1  n    (3) x j    0, j  1,2, , n tùyý  Trong đó: (1) Là hàm mục tiêu; (2) Là hệ ràng buộc ; (3) Là ràng buộc dấu (2) (3) gọi chung hệ ràng buộc toán Khi đó:  Mỗi vector x  ( x1 , x2 , xn ) thỏa mãn (2) (3) gọi phương án (PA) toán  Tập hợp tất phương án toán gọi tập phương án Ký hiệu D, X, Y…  Khái niệm phương án tối ưu (PATU):  Bài toán minf: Một phương án làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu gọi phương án tối ưu (PATU) Kí hiệu x* Nghĩa là: x  D : f ( x)  f ( x * )  Bài toán maxf: Một phương án làm cho hàm mục tiêu đạt cực đại gọi PATU Ký hiệu x* Nghĩa là: x  D : f ( x)  f ( x * )  Bài toán có phương án tối ưu gọi toán giải  Giải toán QHTT tìm PATU (nếu có) toán vô ngiệm, nghĩa toán PATU b) Phương án cực biên (phương án bản) toán QHTT tổng quát  Khái niệm ràng buộc chặt, lỏng - Một ràng buộc gọi chặt phương án x ta thay x vào ràng n buộc xảy dấu ( aij x j  bi ) j 1 - Một ràng buộc gọi lỏng phương án x ta thay x vào ràng n buộc xảy dấu bất đẳng thức thực sự: (  aij x j  bi j 1 n a j 1 ij x j  bi ) - Khái niệm ràng buộc chặt lỏng xét cho ràng buộc ràng buộc dấu  Khái niệm phương án cực biên (PACB) - Một phương án có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính n (số biến) gọi phương án cực biên - Một phương án cực biên có số ràng buộc chặt số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi phương án cực biên không suy biến - Một phương án cực biên có số ràng buộc chặt nhiều số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi phương án cực biên suy biến - Một phương án có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính n (số biến) gọi phương án không cực biên - Lưu ý:  Số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính ≤ n (số biến);  Số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính ≤ số ràng buộc chặt Ví dụ: Cho toán QHTT dạng tổng quát sau: f ( x)  3x1  x2  x3  x4   x1  x  x3  x     x1  x  x3  x  1  x  0, x  0, x  0, x   Chứng minh kết sau: 1) x= (0, 1, 2, 0) phương án cực biên không suy biến? 2) x= (0, 2, 1, 0) phương án cực biên suy biến? 1.1.2 Dạng tắc toán QHTT a) Bài toán QHTT dạng tắc với n ẩn số toán có dạng:  Dạng đại số: n (1) f ( x)  c1 x1  c2 x2   cn xn   c j x j  max(min) j 1 (2) ai1 x1  x2   aim xm   aij x j  bi , i  1,2, , m (3) x j  0, j  1,2, , n  Dạng ma trận  a11 a A   11   a m1 a12 a 22 am2 a1n   b1   x1     x  a n  b2   , b , x    , c  c1           a mn  bm   xn  c2 cn  Ta viết toán (1) – (3) dạng ma trận: - f(x)=  (max) - A.x=B - x≥0 - Với quy ước: x=(x1, x1,…, xn) ≥0, xj≥0, j  1, n Ví dụ: Bài toán sau có dạng tắc (1) f ( x)  x1  x2  x3  x4   x1  x2  x4  12 (2) 12 x1  3x2  x3  x4   x  x  x  x  6  (3) x j  0, j  1,2,3,4 Nhận xét: Bài toán QHTT dạng tắc toán QHTT dạng tổng quát - Các rảng buộc phương trình - Các ẩn không âm b) Phương án cực biên toán dạng tắc Xét toán tắc dạng ma trận: - f(x)=  (max) (1) - A.x=B (2) - x≥0 (3) Ta có: A.x= b  A1x1 + A2x2 +…+ Anxn= b Kí hiệu Aj, j= 1, n vector cột ma trận hệ số A  Cách xác định phương án cực biên: - 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛 , ) phương án toán (1) – (3) - đặ𝑡 𝐽 𝑥 = 𝑗/𝑥𝑗 > - ký hiệu: m (J) số phần tử tập J(x) *x phương án cực biên  hệ vector cột tương ứng với thành phần dương x độc lập tuyến tính Nghĩa 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛 , ) phương án cực biên  𝐴𝑗/𝑗 ∈ 𝐽(𝑥) độc lập tuyến tính x phương án cực biên ta có: m (J) ≤ r(A)  Nếu m (J) = r (A) x phương án cực biên không suy biến;  Nếu m (J) < r (A) x phương án cực biên suy biến c) Kết cho toán dạng tắc - Bài toán có phương án phương án - Nếu toán có phương án có phương án cực biên - Bài toán có phương án cực biên không suy biến toán không suy biến Nếu có PACB suy biến gọi toán suy biến - Bài toán minf: Nếu toán có phương án hàm mục tiêu bị chặn toán có phương án tối ưu Nếu f không bị chặn 𝑓 → −∞ - Bài toán maxf: Nếu toán có phương án hàm mục tiêu bị chặn toán có phương án tối ưu Nếu f không bị chặn 𝑓 → +∞ - Nếu toán có phương án tối ưu toán có phương án cực biên tối ưu Một phương án gọi PACBTU vừa phương án cực biên vừa phương án tối ưu 1.1.3 Dạng chuẩn toán QHTT Bài toán QHTT dạng chuẩn toán QHTT dạng tắc n (1) f ( x)  c1 x1  c2 x2   cn xn   c j x j  max(min) j 1 (2) ai1 x1  x2   aim xm   aij x j  bi , i  1,2, , m (3) x j  0, j  1,2, , n Trong đó:  Các hệ số tự không âm  Trong ma trận hệ số tự có đủ m vector cột đơn vị: e1, e2,…,em Khi đó:  Các ẩn ứng với vector cột đơn vị gọi ẩn Cụ thể ẩn ứng với vector cột đơn vị ek ẩn thứ k 10 Các hệ số β0, βj, βjj, … xác định từ số liệu thực nghiệm phương trình thu gọi phương trình hồi qui thực nghiệm hệ thống, đó: m y = f x1 , x2 , , xk = bj f x1 , x2 , , xk (3.5) j=1 Phương trình hồi qui thực nghiệm (3.5) phụ thuộc vào N thí nghiệm phương pháp xứ lý số liệu thực nghiệm Quá trình tiến hành thí nghiệm cho số lần thí nghiệm nhất, tính toán đơn giản thu kết xác khảo sát ảnh hưởng đồng thời nhiều thông số tác động đến đối tượng công nghệ để phản ánh xác chất trình giảm chi phí tiến hành thí nghiệm Do đó, cần tiến hành thí nghiệm theo kế hoạch định trước cho có tính trực giao, nghĩa bố trí thực nghiệm theo ma trận biến đầu vào có dạng: (ma trận n dòng, (k + 1) cột) x11 x21 X= … xn1 x12 x22 … x1k … x2k xn2 … xnk (3.6) y1 y2 Ma trận cột có dạng: Y = ⋮ yn (3.7) b0 b Ma trận hệ số hồi qui tuyến tính có dạng: B = ⋮ bk (3.8) Ma trận chuyển vị ma trận X có dạng: (ma trận (k + 1) dòng, n cột) x X T = 11 … x1k x21 x2k x31 x3k … … xn1 (3.9) … xnk 59 Nếu kết thực nghiệm biểu diễn theo phương trình hồi quy tuyến tính phương pháp bình phương cực tiểu ta có dạng ma trận hệ phương trình chuẩn: XT X B = XT Y (3.10) Suy ra: B = X T X −1 (X T Y) (3.11) Với (XTX)-1 ma trận nghịch ma trận XTX định thức ma trận XTX khác không hay ma trận XTX không suy biến Ma trận trực giao X có tính chất sau: - Tính trực giao: tích vô hướng hai vectơ cột X n với j, m= 0, k (3.12) xim xij =0 i=1 - Tính chất đối xứng: tổng phần tử cột n với j ≠ xij =0 (3.13) i=1 Áp dụng tính chất ma trân trực giao, có ma trận XTX trở thành ma trận đường chéo: n n xi1 … XT X = … 0 i=1 …………… 0 (3.14) n xik … i=1 Khi đó, ma trận nghịch đảo (XTX)-1 qui hoạch trực giao có dạng: 60 C02 (X T X)−1 = C12 ……… 0 … … … Ck2 (3.15) Với: n Cj2 = xij2 với j= 0, k (3.16) i=1 Ta tính ma trận XTY: n yi x X T Y = 11 … x1k x21 x2k x31 x3k … … xn1 … xnk y1 y2 ⋮ = yn i=1 n xi1 yi (3.17) i=1 n ⋮ xik yi i=1 Khi ma trận hệ số hồi quy tính theo công thức (3.11) Trường hợp tổng quát, số liệu thực nghiệm biểu diễn đa α thức bậc α số hệ số hồi qui phương trình hồi qui Ck+α Sử dụng số phép biến đổi, biến đổi phương trình hồi qui đa thức bậc α phương trình hồi qui tuyến tính cách thay số hạng phi tuyến thức số hạng tuyến tính Phương trình gọi phương trình tuyến tính hóa theo thông số Nếu bậc đa thức chưa biết trước việc tính toán thường phải tiến hành vài lần, tăng dần bậc đa thức đến phương trình hồi qui nhận tương thích với thực nghiệm Mỗi lần tăng bậc đa thức, toàn việc tính toán liên quan đến phân tích hồi qui phải tính toán lại Sự thay đổi bậc đa thức loại bỏ phần số hạng phương trình hồi qui dẫn đến thay đổi giá trị tính toán hệ số lại đa thức Khi 61 xuất không xác định việc ước lượng hệ số hồi qui, gây khó khăn cho việc giải thích ảnh hưởng biến độc lập vào đại lượng nghiên cứu Để loại bỏ khó khăn nói trên, tiến hành thực nghiệm theo quy hoạch trực giao ma trận thực nghiệm trực giao phải thỏa mãn điều kiện sau: - Công thức tính hệ số phương trình hồi quy bj - Hệ số bj ước lượng không chệch hệ số βj - Phương trình hồi qui y ước lượng không chệch y 62 Tiết 12 3.1.1 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần 2k Qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần thực nghiệm mà tổ hợp mức yếu tố thực để nghiên cứu Bố trí thực nghiệm yếu tố toàn phần theo ma trận trực giao phân bố đối xứng biến độc lập với tâm đối xứng Ma trận X thỏa mãn điều kiện trực giao có thêm tính chất chuẩn hóa: Tổng bình phương phần tử cột số thí nghiệm n xij2 =N với j= 0, k (3.18) i=1 Với k yếu tố, n số mức số thí nghiệm N = nk Nếu thí nghiệm thực hai mức, thường hai giá trị biến yếu tố khảo sát N = 2k Giả sử khảo sát biến Zj với hai giá trị biên aj< bj (1 ≤ j ≤ k), thực số phép biến đổi sau: Đặt: Zj0 = a j +b j Zj = b j −a j Khi ta đổi biến số theo biểu thức: xj = Z j −Z j0 Z j Suy ra: Zj [aj, bj] xj [-1, 1] Khi ta áp dụng công thức (3.18) vào công thức (3.14) ta có: 𝑁 0 𝑁 XT X = … … 0 … … 0 … 𝑁 𝑁 Suy ra: (X T X)−1 = I = N … 0 = N.I … … 0 𝑁 … … 𝑁 Ma trận hệ số hồi qui tính theo công thức (3.11): 63 N N T B= X X (X Y) = N −1 yi i=1 N xi1 yi T (3.19) i=1 ⋮ N N xik yi i=1 Hay: b0 = N N yi i=1 bj = N N xij yi (3.20) i=1 Khi phương trình hồi qui có dạng: k y = b0 + bj x j (3.21) j=1 Trong trường hợp phương trình hồi qui mô tả dạng: k y = b0 + k bj x j + j=1 bij xi xj (3.22) j≠i Các hệ số bij xác định theo công thức sau: bij = N N (xi xj )u yi (3.23) u=1 Với số lượng hệ số bij xác định theo công thức: Ck2 = k! k(k + 1) = 2! k − ! 64 Mô hình thực nghiệm yếu tố toàn phần 2k: (a): yếu tố; (b): yếu tố 65 Tiết 13 3.1.2 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố phần 2k - p Khi số biến k mô hình qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần k lớn làm cho số thí nghiệm N lớn Điều làm cho qui hoạch trở nên cồng kềnh, chi phí lớn, hiệu Để khắc phục điều đó, người ta dùng qui hoạch thực nghiệm yếu tố phần N = 2k – p, với p giá trị đặc trưng cho độ phần, số hiệu ứng tương tác thay số hiệu ứng tuyến tính Thực chất qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần bớt p cột k thông số độc lập, số thí nghiệm giảm p lần đảm bảo tính trực giao ma trận X Quá trình qui hoạch thực nghiệm yếu tố phần theo bước sau: Bước 1: chọn r thông số ảnh hưởng đến hàm mục tiêu k thông số đầu vào: r = k – p Lập qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần r với số thí nghiệm N = 2r Tuy nhiên, lựa chọn giá trị p phải đảm bảo điều kiện sau: k + ≤ N = 2r = 2k-p ≤ 2k (3.24) Bước 2: tiến hành thiết lập biểu thức tương quan sinh biểu diễn mối tương quan thông số p với tích thông số r thông số Các biểu thức tương quan sinh tích thông số r thông số mang dấu dương hay âm Bước 3: Kiểm tra tính tiện lợi mô hình lập: ma trận X cột giống ngược dấu đảm bảo tính trực giao, qui hoạch thực nghiệm đạt yêu cầu Bước 4: Tiến hành xác định kiểm tra ý nghĩa hệ số hồi qui b j, kiểm tra tương thích phương trình hồi qui thu Tiết 14 66 3.1.3 Qui hoạch trực giao cấp Qui hoạch trực giao cấp qui hoạch thực nghiệm xử lý số liệu thực nghiệm theo phương pháp xây dựng mô hình hồi qui cấp với điều kiện tương tự qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần (qui hoạch trực giao cấp 1) Phương trình hồi qui bậc đầy đủ có dạng: k y = b0 + k bj x j + j=1 k bjj xj2 bij xi xj + j≠i (3.25) j=1 Xây dựng ma trận trực giao X bao gồm ba loại thí nghiệm: - Phần sở gồm n = 2k thí nghiệm theo qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần - Phần điểm “*” gồm nk = 2k điểm nằm trục tọa độ không gian k yếu tố cách tâm phương án khoảng cách α > - Phần tâm gồm n0 (n0 ≥ 1) thí nghiệm tâm phương án dùng để xác định phương sai tái công thức kiểm tra ý nghĩa hệ số hồi quy Tổng số thí nghiệm phương án N = 2k + 2k + n0 Mô hình thực nghiệm trực giao cấp 2: 67 Tuy nhiên, phương án cấu trúc có tâm không trực giao xij2 > nên: N xi0 xij2 ≠ với j= 1, k (3.26) i=1 N xij2 𝑥𝑖𝑢 ≠0 với j= 1, k , j ≠ u (3.27) i=1 Vì vậy, xây dựng ma trận trực giao X cần chọn α cho trực giao hóa công thức (3.26), (3.27) Giả sử xét qui hoạch thực nghiệm k = yếu tố n0 = ma trận X có dạng: + − − + + + + − − + + − + − + + + + + + α2 X= + α + −α 0 α2 + 0 α −α 0 + 0 0 + + + + + 0 α2 α2 (3.28) Đặt xi′ = xi2 −  (i = 1, 2) ta có: + − − + 1− + + − − 1− + − + − 1− + 1− + + + X= + α α2 −  + −α 0 α2 −  + 0 α − −α + − 0 + − 1− 1− 1− 1− − − α − α2 −  − (3.29) Sử dụng điều kiện trực giao ma trận X: Tích vô hướng vectơ cột cột 0, tức ta có đẳng thức sau: 22(1 - ) + 2α2 – 2.2  -  = Hay tổng quát với k yếu tố: 2k(1 - ) + 2α2 – 2k  - n0. = 68 Suy ra:  = 2k +2 α2 2k +2k+n = 2k +2 α2 N  xi′ = xi2 − 2k +2 α2 N (3.30) Tích vô hướng vectơ cột cột 0, tức ta có đẳng thức sau: 22(1 - )2 - 2.2 ( α2-) + 2 = Hay tổng quát với k yếu tố: 2k(1 - )2 - 2k ( α2-) + n0 2 = Suy ra: α = N 2k−2 − 2k−1 (3.31) 69 Tiết 15 3.2 Phƣơng pháp lựa chọn yếu tố đầu vào ảnh hƣởng Yêu cầu biến lựa chọn yếu tố đầu vào nghiên cứu thực nghiệm : - Là biến độc lập, điều chỉnh được, thay đổi giá trị chúng theo mức quy hoạch hoàn toàn độc lập, không phụ thuộc kéo theo thay đổi yếu tố khác Các véc tơ chúng ma trận kế hoạch phải độc lập tuyến tính - Là yếu tố định lượng, yếu tố định tính trị số xác định cụ thể như: phương pháp tạo mẫu, màu sắc đối tượng… đưa vào làm yếu tố nghiên cứu quy hoạch thực nghiệm - Có hiệu ứng ảnh hưởng rõ nét đến hàm mục tiêu đánh giá hành vi đối tượng nghiên cứu Các lựa chọn yếu tố đầu vào: thông tin tiên nghiệm, kết nghiên cứu lý thuyết, ý kiến chuyên gia, thực nghiệm thăm dò thực nghiệm sàng lọc 3.2.1 Thông tin tiên nhiệm Thông tin có nhờ kết quan sát trực tiếp làm việc đối tượng nghiên cứu kết tìm hiểu tài liệu tham khảo Phần lớn đối tượng nghiên cứu nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Đó trìnhtương tự diễn môi trường khác, có chất vật lý, quy luật tác động… Đây thông tin sơ bộ, định hướng 3.2.2 Kết nghiên cứu lý thuyết Trong nhiều trường hợp, người nghiên cứu chưa thể hiểu biết xây dựng mô hình lý thuyết toàn diện đối tượng, từ lý thuyết khoa học sở, tả công trình lý thuyết tương tự, mô tả công thức giải tích số tính chất hành vi đối tượng nghiên cứu 70 3.1.3 Ý kiến chuyên gia Thông thường, thông tin từ tài liệu không toàn diện đối tượng nghiên cứu Do sử dụng phương pháp xin ý kiến chuyên gia để đánh giá mức độ quan trọng yếu tố ảnh hưởng Phương pháp có hiệu tốt số yếu tố cần đánh giá lớn số chuyên gia đông Đây phương pháp chuẩn hóa, áp dụng cho nhiều đối tượng nghiên cứu khoa học khác 3.1.4 Các thực nghiệm thăm dò, thực nghiệm sàng lọc Đôi khi, sau bước nói lại vài yếu tố ảnh hưởng đáng nghi ngờ mà việc loại bỏ hay giữ lại làm yếu tố nghiên cứu cần nhờ đến kết kiểm chứng thực nghiệm Hoặc đối tượng nghiên cứu mẻ, thông tin ban đầu chưa đủ tin cậy, việc sàng lọc yếu tố cần tiến hành cẩn thận Nếu bỏ sót yếu tố quan trọng xj đó, kết nghiên cứu thiết diện mặt mục tiêu tạo mặt phẳng xj = const Nhưng trường hợp đòi hỏi phải tiến hành thực nghiệm thăm dò a) Thực nghiệm thăm dò đơn yếu tố - Thực thí nghiệm với yếu tố thay dổi, yếu tố lại ấn định giá trị cố định - Xử lý số liêụ có kiểm tra giả thiết tính đồng phương sai đánh giá mức độ ảnh hưởng yếu tố theo kết phân tích phương sai - Xác định mô hình toán thực nghiệm đơn yếu tố để tiến hành pjaan tích dự báo cần thiết Bước thực theo phương pháp bình phương bé b Thực nghiệm sàng lọc đa yếu tố - Thực nghiệm sàng lọc đa yếu tố cần đáp ứng yêu cầu:Số thí nghiệm so với số yếu tố cần khảo sát tối thiểu, cho phép đưa vào kế hoạch tôí 71 đa yếu tố thay đôỉ, mà số thí nghiệm chấp nhận được, tốn công sức - Cho phép phân tích so sánh đối chứng hiệu ứng tác động yếu tố riêng rẽ, cặp yếu tố theo điều kiện đặt ban đầu 72 73 [...]... bài toán min dạng chính tắc mà tồn tại ít nhất một ∆𝑘 > 0 (∆𝑘 < 0 với bài toán Max thì có thể tìm được phương án khác, chấp nhận được 𝑥 1 với có sở 𝐽1 có giá trị hàm mục tiêu bé hơn (lớn hơn – với bài toán Max) Định lý 3 (Tiêu chuẩn tối ưu) : Nếu đối với phương án cơ sở 𝑥 0 ứng với cơ sở 𝐽0 của bài toán Min dạng chính tắc mà ∆𝑘 ≤ 0 ∀𝑘 𝐽0 (∆𝑘 ≥ 0 ∀𝑘 𝐽0 – Đối với bài toán Max) thì 𝑥 0 là phương án tối. .. toán được thực hiện qua các bước sau: Bước 1 (kiểm tra dấu hiệu tối ưu) : Nhìn ở hàng mục tiêu, nếu ∆𝑘 ≤ 0 ∀𝑘  𝐽0 thì x0 là phương án tối ưu Thuật toán kết thúc Bước 2 (kiểm tra sự bị chặn của hàm mục tiêu): Nhìn vào hàng mục tiêu nếu thấy tại ∆𝑘 > 0 mà 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽0 thì hàm mục tiêu không bị chặn dưới Bài toán không có phương án tối ưu Thuật toán kết thúc - Nếu không: chuyển qua bước 3 Bước 3: Cải... Max: MaxZ= 104(100.500 +120.500) = 110.000 104 (đồng) 35 CHƢƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƢU VỀ VẬN CHUYỂN NGUYÊN LIỆU VÀ SẢN PHẨM THỰC PHẨM Trong chương I chúng ta đã đi tìm hiểu về phương pháp quy hoạch tuyến tính được ứng dụng trong việc tìm phương án tối ưu trong sản xuất thực phẩm Trong chương II, chúng ta tiếp tục đi tìm hiểu bài toán tối ưu về vận chuyển nguyên liệu và sản phẩm thực phẩm Vận chuyển nguyên... ∆𝑘 < 0 𝑚à 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽0 Hàm mục tiêu không bị chặn – bài toán không có lời giải 25 Tiết 5 1.2 Phƣơng pháp đơn hình giải bài toán QHTT (tiếp) 1.2.3 Thuật toán đơn hình dạng bảng Các giả thiết của thuật toán: - Bài toán dạng chính tắc, cực tiểu hóa (cực đại hóa sẽ được chú thích) - Bài toán xác định một phương án cơ sở chấp nhận được 𝑥 0 ứng với cơ sở 𝐽0 , tức là cơ sở gồm các vector (𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚... là phương án cơ bản ban đầu của bài toán Chú ý: Tổng quát, trong bài toán QHTT dạng chuẩn bất kì, khi cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k (k=1, 2, ,m), còn các ẩn không cơ bản bằng 0, ta được một phương án cực biên (phương án cơ sở) của bài toán Ta gọi đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán 12 Tiết 3 1.1 Khái niệm và định nghĩa (tiếp) 1.1.4 Biến đổi dạng bài toán QHTT 1.1.4.1 Dạng tổng... 4 để kiểm tra, ta thấy rằng có 3 giá trị ∆𝑘 < 0 nhưng không tồn tại 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽0 Vậy hàm mục tiêu bị chặn trên – bài toán có lời giải Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Dùng định lý 3 để kiểm tra, ta thấy trên hàm mục tiêu còn có 3 giá trị ∆𝑘 < 0 Vậy phương án x0 chưa là phương án tối ưu Cần phải chuyển sang phương án khác Xác định vector cột sẽ đưa vào cơ sở: Nhìn trên hàng mục tiêu ta thấy: 𝑀𝑎𝑥  ... quả thể hiện trên bảng 1.8 Trên bảng, ở hàng mục tiêu ta thấy không có ∆𝑘 < 0  Bài toán xác định được phương án tối ưu Theo phương án này ta có: 𝑥1 = 500 𝑡ấ𝑛; 𝑥2 = 0 𝑥3 = 500 𝑡ấ𝑛; 𝑥5 = 50 𝑡ấ𝑛 (Lượng nguyên liệu Z2 còn tồn kho là 50 tấn) Hàm mục tiêu đạt 110.000(104 đồng) Kiểm tra và phân tích kết quả: Theo phương án tối ưu x2 thì lượng kẹo k1 nên sản xuất là 500 tấn, kẹo k3 – 500 tấn, không sản xuất... tối ưu Hàm mục tiêu sẽ đạt giá trị Max nếu nó bị chặn trên và đạt giá trị Min nếu bị chặn dưới Để xét hàm mục tiêu có bị chặn không ta sử dụng định lý: Định lý 4 (Kiểm tra tính không giải được của bài toán): 24 + Đối với bài toán Min dạng chính tắc, nếu tồn tại một ∆𝑘 > 0 𝑚à 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽0 + Đối với bài toán Max dạng chính tắc, nếu tồn tại một ∆𝑘 < 0 𝑚à 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽0 Hàm mục tiêu không bị chặn – bài. .. Vì A còn thiếu một vector cột là e2 nên bài toán chưa có dạng chuẩn Thêm vào ràng buộc chính thứ 2 ẩn giả x7  0 ta được bài toán dạng chuẩn như sau: (1) f ( x)  3x1  2 x2  2 x3  x4  Mx7  min   9 x1  15 x3  x5  50  (2) 6 x3  2 x4  x7  120  x  3x  5 x  x  45 2 3 6  1 17 (3) x j  0, j  1, ,7 Chú ý: Quan hệ giữa bài toán xuất phát (A) và bài toán mở rộng (B) được thể hiện như sau:... phụ thì sẽ được PATU của bài toán dạng tổng quát đã cho 13 Ví dụ: Biến đổi bài toán sau về dạng chính tắc (1) f ( x)  2 x1  4 x2  x3  6 x4  min  4 x1  6 x2  5 x3  50 (2)  7 x1  x3  30 2 x  3x  5 x  25 2 3  1 (3) x1  0, x2  0 Giải: Thêm vào bài toán ẩn phụ x4  0 để biến phương trình 4 x1  6 x2  5x3  50 về phương trình 4 x1  6 x2  5x3  x4  50 Thêm vào bài toán ẩn phụ x5  0