Luận văn hàm legendre và lý thuyết đặc trưng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI PHAN VĂN PHONG HÀM LEGENDRE VÀ LÝ THUYET đ ặ c « LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 trưng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI PHAN VĂN PHONG HÀM LEGENDRE VÀ LÝ THUYET đ ặ c « trưng Chuyên ngành: Toán gỉảỉ tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Hữu Thọ HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc Thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc Thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, Thầy Cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 rTác T~i' giả *2 Phan Văn Phong Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 rTác T~i' giả *2 Phan Văn Phong iii Mục lục m m Lời cảm ơn ỉ Lời cam đoan ỉỉ Mỏ đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian B an ach 1.1.1 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Dưới vi phân 10 1.4 Hàm l i 11 1.5 Hàm liên tục L ipchitz 12 1.6 Liên hợp F e n c h e l 13 Hàm Legendre biến đổi Legendre 15 2.1 Biến đổi Ekeland biến đổiLegendre 15 2.2 Hàm Legendre biến đổi L egendre 20 2.3 23 Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ Một số phép toán hàm Ekeland hàm Legendre Biến đổi Legendre đặc trưng 25 3.1 Đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 25 3.1.1 Phương trình vi phân thườngđặc trưng 25 3.1.2 Nghiệm địa phương 27 3.2 Công thức Hopf-Lax cácđặc t r n g 29 3.3 Công thức Hopf-Laxcho nghiệm phương trình HamiltonJ a c o b i 33 3.3.1 Trường hợp kiện ban đầu lồi 33 3.3.2 Trường hợp Hamiltonian l i 37 Ket luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mỏ đầu Lý chọn đề tàỉ Phương pháp đặc trưng phương pháp hữu hiệu sử dụng để thiết lập nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung phương tành đạo hàm riêng phi tuyến cấp Hamilton-Jacobi nói riêng Trong phương pháp đặc trưng cổ điển, giả thiết thường xét tính khả vi, lồi (hoặc lõm) Nhằm hướng tới việc hoàn thiện lý thuyết đặc trứng phương trình Hamilton-Jacobi, lớp hàm không trơn, không lồi (hoặc không lõm) thừa hưởng tính chất đối ngẫu biến đổi Fenchel xem xét tới, Ekeland người tiên phong hướng nghiên cứu này, lớp hàm gọi hàm Legendre suy rộng (vào năm 1977) Từ đó, kết cho phương trình Hamilton-Jacobi mở rộng không gian Banach Những nghiên cứu hàm số Legendre phương trình Legendre thường sử dụng nghiên cứu ngành vật lý hay ngành kỹ thuật Đặc biệt, xuất việc giải phương tành Laplace hệ tọa độ cầu Với mong muốn tìm hiểu hàm Legendre đặc trứng với ứng dụng thiết lập nghiệm toán Cauchy cho phương trình HamiltonJacobi, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, định chọn đề tài về: Hàm Legendre thuyết đặc trưng Hàm Legendre lý thuyết đặc trưng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm nghiên cứu lớp hàm Legendre tổng quát mối quan hệ với đặc trưng không gian Banach thông qua việc thiết lập công thức Hopf-Lax toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan hàm số Legendre - Mô tả đặc trứng toán Cauchy cho phương trình HamiltonJacobi không gian Banach - Thông qua việc thiết lập công thức Hopf-Lax cho nghiệm toán Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi để thấy mối quan hệ hàm Legendre với lý thuyết đặc trưng Đối tượng phạm vỉ nghiên cứu - Hàm Legendre tổng quát - Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi - Các đặc trưng công thức Hopf-Lax Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu hàm Legendre mối quan hệ lớp hàm với đặc trứng thông qua tành thiết lập công thức Hopf-Lax Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống tổng quát hàm Legendre mối quan hệ lớp hàm với đặc trưng thông qua trình thiết lập công thức Hopf-Lax Chương Kiến thức chuẩn bị m Những kết chương trích dẫn từ tài liệu [4] 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gỉan định chuẩn ví dụ Định nghĩa 1.1 Không gian véc tơ X gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định chuẩn) với X e X tồn số thực ||rr II, gọi chuẩn véc tơ X, thỏa mãn (a) ||:r|| > 0, (b) ||:r|| = X = 0, (c) ||c:r|| = |c| ||rr ||, với vô hướng c, với X e X , (d) ||a; + y\\ < ||z|| + \\y\\, ' i x y e X Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Nếu có tính chất (a), (b) (d) II•II gọi nửa chuẩn Định nghĩa 1.2 Giả sử X không gian định chuẩn (a) Một dãy {xn} X gọi hội tụ tới Va: e X nếulim ^oo ||rr — 0, nghĩa là, Ve > 0, N > 0, Vn > N , ||rr —íCnll < £ ta viết xn —>■X hay lim^oo x n = X (b) Một dãy {xn} X gọi dãy Cauchy lim m,n^>00 \\xm — x n\\ = nghĩa Ve > 0, 3N > 0, Vm,n > N, \\xm —2Cn|| < £• (c) Dễ dàng dãy hội tụ không gian định chuẩn dãy Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không Ta nói X không gian đầy đủ thỏa mãn dãy Cauchy hội tụ Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ không gian Banach Định nghĩa 1.3 Dãy {xn} không gian Banach X gọi (a) Bị chặn inf||ícn II > 0, (b) Bị chặn sup ||ícn|| < 00 , (c) Chuẩn hóa II II = với n Định nghĩa 1.4 Cho không gian tuyến tính X II*111 II*IỈ2 hai chuẩn X Hai chuẩn II•111 II*IỈ2 gọi tương ứng tồn hai số dương 28 đặc trưng Fp (x°, z ồ,pồ) Ỷ 0- Khi tồn khoảng mở I c M chứa 0, lân cận w x°trên r, lân cận V x ũđ ể với Xe V, tồn s e I, y e w cho X = x(y, s ) Các ánh xạ X — > s, y c Với X e Q ta có nghiệm địa phương phương trình : x = x( y, s) (3.8) y = y(z), s = s(x) Cuối ta đặt < u{x) := ^(y(x),s(x)) (3.9) p(z) = p(y(z),s(:r)) với X e V, s, y (3.8) Định lý 3.1 (Định lí tồn nghiệm địa phương) Hàm u xác định (3.9) c thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng F(x, u(x), Du{x)) = 0, (x G íì), với điều kiện biên: u(x) = g(x), (x e r n Q) 29 3.2 Công thức Hopf-Lax đặc trưng Chúng ta xét phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian H phụ thuộc vào gradient ẩn hàm DịU (z, t) + H (Dxu (z, t )) = 0, u( x, 0) = g( x ) , (x, t) e X X p ig X (3.10) (3.11) Ở g H hàm số xác định tương ứng X X* nhận giá trị R Chúng ta giả thiết H hàm Legendre Chúng ta xem xét hàm số u định nghĩa dạng tương tự công thức Hopf- Lax-Oleinik u( x, t ) := Ộ/D (t H)L^ (x) (3.12) Ở tích chập hình thức xác định (g ũ h ) ( x ) := inf{í/(w) + h( v ) : u, V e X , u + V = z}, g, h hai hàm số xác định X Đặc biệt, H hàm lồi, đóng, thường, công thức (3.12) trùng với công thức Hopf-Lax-Oleinik u (x, t ) := inf sup (g (lư) + (p, X — uj ) — t H (p)) = (gD (t H Ỵ ) ( z ) , u}eX p e Y (tH)* liên hợp Fenchel (tH) Ta xét hàm sau F ( y , r ) := iE(y, - r ) := is (y, r), (p,r) e Y x R 30 G(x, t ) := g(x) + (x,t)tXxR, 1, X e E với iE (z) = < V 0, X ị E Do hàm iE hàm Legendre nên hợp thành với đẳng cấu Ả : (z, r) —>■(z, —r) hàm Legendre Bổ đề 3.2 Hàm u xác định (3.12) trùng với hàm F LDG X X (0, + o o ) Ngoài ra, với (x, t) E X x (0, +oo) tích chập hình thức (F LDG) (x, t) xác định tích chập (x) xác định Chứng minh Như khẳng định phần trước ta có F L (x, t) = (t H) L (x) với (x, t) G X X p Ngoài { F l Dơ) (x , t ) = = inf ị g (o;) + ỉ{0} (t — s ) + (s H ) L (x —uj) : (cư,s) G X X r | inf I g (uì ) + (t H)L ( x - w ) : w g i Ị = ( ổ D (x) Khi H hàm l i , đóng, thường, F hàm lồi, đóng, thường nên ta có F L = F* Do đó, với (x, t) E X X R +, ta có F L (x, t) = F * (x, t) = sup {(íc,p) — rt : (p, r) e E } = s u p {(x,p) — rt : p E d o m H , r > H (p)} = (tH Ỵ ( x ) □ Bây giải mối liên kết với phương pháp đặc trưng Trong trường hợp xét, H không phụ vào X, t, z, hệ nên hệ đặc 31 trưng có dạng đơn giản: Cho trước X (s) e d H (y ( s )) ĩ (0) = UJ, y(s) = £(0) = a;*, Z (s) = ( ĩ (s ),£ (s )^ - H( y ( s ) ) , £(0) = g ( u ) (cư, cư*) E dg V e d H (cư*), nghiệm hệ xác định X (s) = cư 4- sv, y (s) = CJ*, z(s) = g (lư) + s (ịv, LJ*) — H (cư*)) Kết sau mở rộng trường hợp lồi ngặt Hamiltonian tới trường hợp Hamiltonian hàm Legendre (suy rộng) Mệnh đề 3.1 Cho H hàm Legendre g hàm nửa liên tục cho với t G (0, cj) tích chập hình thức u ( ' , t ) := g ũ (t H) L xác định X G X Nếu du (•, t) (x) khác trống, tồn X G X tư* G dg(uj) cho đường đặc trưng xuất phát từ (lư, uj*,g(uj)) thỏa mãn x{ t ) = X, ỷ ( t ) = UJ*,z(t) = u(x, t) Chứng minh Cho trước (x, t) E X X (0, Lư) UI E X cho u (x, t ) = (tH)L (x — uS) + g (lư) với p G du (•, t ) (x), ta có p G d( t H) L (x — Cú) n dg (cư) Khi đó, t H hàm Legendre nên í -1 (x — ùơ) e d H (p) Đặt U)* := p, V := í-1 (x — Lú) ta thấy X giá trị tai s = t 32 đường cong đặc trưng X : s I-» UJ + sv Tương tự, V e ỡ i/ (w*), (í) = g (a;) + t ({v, u;*) = g (cư) + t H L (í-1 - H (u*)) = g (u) + t H L (V) (X —a;)) = g (cj) + (t H) L {x —6j) = u (X, t ) Do (x,p, u (x, t)) ảnh (cư, cư*, g (cư)) xác định (ĩ, y, z) thời điểm t v í dụ 3.2.1 Cho X không gian Banach phản xạ, B, c toán tử tuyến tính liên tục đối xứng từ X tới X*, B khả nghịch, xét g H cho g{x) = ^ (C x , x), H (p) = ^ ( £ -1p,p) Khi H hàm Legendre liên tục Lipschitz địa phương H L (x) = ị {Bx, x) Bằng tính toán đơn giản ta hàm u cho u( x , t ) := g Dd ( t H)L) (z) = ^ ( / + t B ^ C Ỵ Cx, x Ỵ nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi X X (0, cj) với U) := l i f e ' l l t ~l B + c khả nghịch t e (0,oẠ Ví dụ 3.2.2 Xét X = R2 g, H cho g ( x u x 2) = ị x ị - ị xị , HipuPĩ) = pị - ^pị 33 Khi g H hàm Legendre cổ điển H l (x u x 2) = - jjzỉ/3 Gọi r (s, t) nghiệm phương trình r + t~x^ r — s = Khi hàm u xác định w ( x i,x 2, í ) = ^ ( z r r ( z i , í ) 1/3) + ^ í“ 1/3r ( x i , í ) 4/9- - ^ ( x 2wr ( x 2, í ) 1/3) + ^t ~ĩ/3r ( x 2ìt ) 4/g nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi ữên X X (0, +oo) 3.3 Công thức Hopf-Lax cho nghiệm phương trình Hamilton-J acobi (Các kết Mục trích dẫn từ [5].) Trong mục ta xét toán Cauchy cho phương trình HamiltonJacobi, minh họa cho lý thuyết xét trường hợp X := R n Chúng ta xét toán hai trường hợp: trường hợp kiện ban đầu hàm lồi trường hợp thứ hai Hamiltonian hàm lồi 3.3.1 Trường hợp kiện ban đầu lồi Xét toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi dạng: Uị + H(t, Du) = 0, ( í , x ) e í l : = ( , T ) x R n (3.13) u(0, x) = ơ(x), ĩ g R " (3.14) 34 u = u(t, x) ẩn hàm, Hamiltonian H hàm kiện ban đầu cho trước, Du = Dxu = (uXl, uX2, ,uXn) Phương pháp đặc trưng Cauchy cổ điển rằng: tồn nghiệm trơn toán Cauchy (3.13)-(3.14) miền hẹp biên (0, x) Bằng phương pháp hình bao E.Hopf thiết lập công thức nghiệm toàn cục Lipschitz cho toán với giả thiết Hamiltonian H = H(p) (chỉ phụ thuộc vào gradient ẩn hàm) hàm liên tục, kiện ban đầu = ơ{x) lồi liên tục Lipschitz sau: Trong số trường hợp đặc biệt, công thức trùng với nghiệm trơn địa phương xác định đặc trưng Định nghĩa 3.1 Hàm u(í, x) thuộc lớp Lip([0, T) X Rn) gọi nghiệm toàn cục Lipschitz toán Cauchy (3.13)-(3.14) u(t, X) thỏa mãn (3.13) hầu khắp nơi Q, u(0, X) = ơ{x) với X e R n Hệ phương trình vỉ phân đặc trưng Trong mục này, để thuận tiện, sử dụng ký hiệu sau: Hp = Hp(t,p) = V pH(t,p), v xơ = ơ' Theo cách thiết lập hệ phương trình vi phân thường đặc trứng chương trước, ta nhận hệ phương trình vi phân đặc trưng toán (3.13)-(3.14) : X = Hp v = (Hp, p ) - H p=0 (3.15) 35 với điều kiện ban đầu: x(0) = y v(0 ) = ( y ) * (3 16 ) p(0) = { y ), y e R n < Khi dải đặc trưng toán (3.13)-(3.14) (nghiệm phương trình vi phân đặc trứng) xác định bởi: X = x{t , ỳ) = y + / Hp (r, ơ' (y ) ) d r V = v{t, y ) = ( y ) + / ( H p (r, ơ' (y ) ) , ơ' { y ) ) d r - f H (r, ơ' (y )) d r , p = p(t,y) = [...]... một hàm Ekeland khi fi là các hàm Ekeland và f {y) = h E {yi) + + h E (ĩ/Ã) Từ công thức này chúng ta tìiấy rằng / là một hàm Ekeland khi / i , , /fc là các hàm Ekeland vì f L tách được □ 25 Chương 3 Biến đổi Legendre và các đặc trưng 3.1 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ sở của lý thuyết đặc trưng Những kết quả chính được... 2.3 ịa) Một hàm Legendre cổ điển là một hàm Legendre (tổng quát) ịb) Một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới là một hàm Legendre (tổng quát) ịc) Nếu / : W —>■R là hàm lõm, liên tục, khả vi Hadamard ịt.ư Frechet) trên một tập con lồi, mở w của X và liên hợp lõm /* là hàm liên tục, khả vi Hadamard ịt.ư Frechet) trên một tập con lồi, mở của X*, khi 23 đó f là hàm Legendre (suy rộng) và f L = /* đối... 24 Mệnh đề 2.5 (a) Nếu f là một hàm Ek.ela.nd, khi đó với số thực dương X, hàm Xf là một hàm Ekeland và ( A /) E (í/) = \ f E (A -1) ( y ) Hơn nữa nếu f là một hàm legender và X f là một hàm Legendre (b) Nếu fi : X ị —>■R là hàm Ekeland ịt.ư hàm Legendre) với i = 1 Khi đó / được cho bởi f (X ) := /i (zi) + + /fc (Zfc) với , k X := {x\ xk), là một hàm Ekeland ịt.ư hàm Legender) Chứng minh, (a) Lấy... tại V và D f L(v) = u = h(v) Hơn nữa, f L là hàm Legendre cổ điển và do f L = f E nên ( f L)L = / Khi / thuộc lớp c k tìiì D f L = h thuộc lớp c k~1 Và như vậy f L tìiuộc lớp c k và ta đạt được điều phải chứng minh □ Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2 Nếu một hàm f : X —>■Roo là một hàm Ekeland với dưới vi phân d, khi đó nó là một hàm Ekeland cho mọi dưới vi phân nhỏ hơn 2.2 Hàm Legendre và biến đổi Legendre. .. d f (Xị) và {xu y) - Xf (Xị) = X^y) - = \ f E{ \ _1y), í = 1,2, do đó A/ là hàm Ekeland và (Af ) E (y) = X f E (A~l y) Khi / là một hàm Legendre, bằng cách đặt (Af ) L (y ) = X f L (A_1y) ta dễ dàng khẳng định được A/ là một hàm Legendre (b) Vì / là một hàm tách được, khi X := (x \ x k) và y := (y i, yk) ta có y e d f (x) nếu và chỉ nếu Hi e d f (Xị) với ỉ = 1 , k Thực tế thấy rằng / là một hàm Ekeland... gọi là các phương trình đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (3.1) Các hàm x(.) = (^ (O , z 2(.), ¿(.); p(.) = •••,£%)) được gọi là những đặc trưng Ta còn gọi x(.) gọi là đặc trưng gốc 3.1.2 Nghiệm địa phương Mục đích của chúng ta là dùng hệ phương trình vi phân thường đặc trưng để xây dựng một nghiệm u của bài toán (3.1)-(3.2) chí ít tại gần r Chọn x ồ e r và giả thiết rằng phần... ĩẽi" (1.5) và gọi /* là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm / Định lý 1.7 Giả sử f : Rn — > R là hàm lồi, chính thường ịproper) và đóng Khi đó hàm liên hợp f* cũng là hàm lồi, chính thường ịproper) và đóng Ngoài ra: Mx e Kn, f ( x ) = := sup {(z, y) - r ( y ) } (1.6) y eR " Với mọi hàm / : Rn — » Ẽ, hàm liên hợp /* luôn luôn lồi và đóng Hơn nữa, khi / lồi, trong (1.5) (t.ư., (1.6)) sup được... y e Y Nó trùng với biến đổi Ekeland f E của / Do h là hàm Stepanovian, nên là biến đổi f L thuộc lớp c 1 (và nó sẽ thuộc lớp c k khi / thuộc lớp c k) Mệnh đề 2.1 Nếu f là một hàm Legendre cổ điển trên u, khi đó nó là hàm Ekeland và biến đổi Legendre f L của nó thuộc lớp c 1 trên V := f ' (u) Hơn nữa f L là một hàm Legendre cổ điển ( f L) L = / và v = D f ( u ) & u = D f L (v) V (u, v) e u X ì/ Ngoài... X e V, và s, y như trong (3.8) Định lý 3.1 (Định lí sự tồn tại nghiệm địa phương) Hàm u xác định duy nhất như trong (3.9) là c 2 và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng F(x, u(x), Du{x)) = 0, (x G íì), với điều kiện biên: u(x) = g(x), (x e r n Q) 29 3.2 Công thức Hopf-Lax và các đặc trưng Chúng ta xét phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian H phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm DịU... trong hình cầu B (ũ, r) tâm ũ và bán kính r, ta luôn có Ig(u) - g(u)I ^ kd(u, u) 19 Đỉnh nghĩa 2.3 Hàm / : u —¥ M trên tập mở u (trong không gian định chuẩn X ) là một hàm Legendre cổ điển nếu nó khả vi, nếu đạo hàm của nó / ' : £ / —>•y := X* là song ánh Stepanovian trên tập con mở V của Y thì hàm ngược h của nó cũng là Stepanovian Ta định nghĩa biến đổi Legendre của hàm / là hàm f L : V —>■R được xác