Luận văn thạc sĩ Hàm legendre và lý thuyết đặc trưng

LUN VN THAC s TON HOC PHAN VN PHONG HM LEGENDRE V Lí THUYET C TRNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Nguyn Hu Th Lũi cm n Lun c hon thnh ti hng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Hu Th S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca Thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi Thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc Thy Cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 05 thỏng nm 2015 T ỏ c g i ỏ Phan Vn Phong Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 05 thỏng nm 2015 T C GI Mc lc Biờn ụi Legendre v cỏc c trng Phan Vn Phong 1.1 c trng ca phng trỡnh o hm riờng phi tuyn cp mt 25 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 M u Lý chn ti 1.1.5 Phng phỏp c trng l mt cỏc phng phỏp hu hiu c s dng thit lp nghim ca phng trỡnh o hm riờng phi tuyn núi chung v phng trỡnh o hm riờng phi tuyn cp mt Hamilton-Jacobi núi riờng Trong phng phỏp c trng c in, cỏc gi thit thng c xột ú l tớnh kh vi, li (hoc lừm) Nhm hng ti vic hon thin hn lý thuyt c trng i vi phng trỡnh Hamilton-Jacobi, mt lp hm khụng trn, khụng li (hoc khụng lừm) nhng tha hng tớnh cht i ngu ca bin i Fenchel c xem xột ti, v Ekeland l ngi ó tiờn phong hng nghiờn cu ny, lp hm mi ny c gi l hm Legendre suy rng (vo nm 1977) T ú, nhng kt qu cho phng trỡnh Hamilton-Jacobi c m rng khụng gian Banach Nhng nghiờn cu v hm s Legendre v phng trỡnh Legendre thng c s dng cỏc nghiờn cu ngnh vt lý hay cỏc ngnh k thut c bit, nú xut hin vic gii phng trỡnh Laplace h ta cu Vi mong mun c tỡm hiu v hm Legendre v cỏc c trng vi ng dng s thit lp nghim ca bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Hamilton- Jacobi, c s hng dn ca Tin s Nguyn Hu Th, tụi quyt nh chn ti v: Hm Legendre v thuyt c trng 1.1.6 Hm Legendre v lý thuyt c trng Mc ớch nghiờn cu 1.1.7 Mc ớch ca lun nhm nghiờn cu lp hm Legendre tng quỏt v mi quan h vi cỏc c trng khụng gian Banach thụng qua vic thit lp cụng thc Hopf-Lax ca bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Harailton-Jacobi Nhim v nghiờn cu - Tng quan v hm s Legendre - Mụ t cỏc c trng ca bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Hamilton- Jacobi khụng gian Banach - Thụng qua vic thit lp cụng thc Hopf-Lax cho nghim bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh HamiltonJacobi thy c mi quan h gia hm Legendre vi lý thuyt c trng i tng v phm vi nghiờn cu - Hm Legendre tng quỏt - Bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Hamilton-Jacobi - Cỏc c trng v cụng thc Hopf-Lax Phng phỏp nghiờn cu 1.1.8 Nghiờn cu lý thuyt, thu thp ti liu, c v phõn tớch, tng hp nhn c mt nghiờn cu v hm Legendre v mi quan h gia lp hm ny vi cỏc c trng thụng qua quỏ trỡnh thit lp cụng thc Hopf-Lax úng gúp ca ti 1.1.9 Trỡnh by mt cỏch cú h thng v tng quỏt v hm Legendre v mi quan h gia lp hm ny vi cỏc c trng thụng qua quỏ trỡnh thit lp cụng thc Hopf-Lax 1.1.10 Chng 1.1.11 Kin thc chun b 1.1.12 Nhng kt qu chng ny c trớch dn t ti liu [4] 1.1 Khụng gian Banach 1.1.1 nh ngha khụng gian nh chun v vớ d 1.1.13 NH NGHA 1.1 Khụng gian vộc t X C gi l khụng gian tuyn tớnh nh chun (hay khụng gian nh chun) nu vi mi X X tn ti s thc ||a;|| , gi l chun ca vộc t X , tha a) ||a;|| > 0, b) ||a;|| = nu v ch nu X = 0, c) 11ca?11 = |c| 11a: 11, vi mi vụ hng c, vi mi X X , d) II X + Y II < II re II + II2/II , V X , Y e X 1.1.14 Ta cng ký hiu khụng gian nh chun l X 1.1.15 Nu ch cú tớnh cht (a), (b) v (d) thỡ II II c gi l mt na chun 1.1.16 INH NGHA 1.2 Gi s X l khụng gian nh chun (a) Mt dóy { X N } X c gi l hi t ti Va; X nulim^oo ||a; X N 0, ngha l, nu Ve > 0, N > 0, Vn > N , \ \ X X N \ \ < e ú ta vit X N > X hay limn^oo X N = X b) Mt dóy { X N } ttong X c gi l dóy Cauchy nu 1.1.18 1.1.19 1.1.17 LIM \\xm xn\\ =0 m,7lHX> ngha l nu Ve > 0, N > 0, Vm, N > N , \ \ X M X N \ \ < e (c) D dng ch rng mi dóy hi t khụng gian nh chun u l dóy Cauchy 1.1.20 Tuy nhiờn, iu ngc li núi chung khụng ỳng Ta núi rng X l mt khụng gian y nu nú tha mi dóy Cauchy u hi t Khụng gian tuyn tớnh nh chun y l khụng gian Banach 1.1.21 nh ngha 1.3 Dóy { X N } khụng gian Banach X c gi l a) B chn di nu inf||a;n|| > 0, b) B chn trờn nu sup ||a;n|| < oo, c) Chun húa nu ||a;n|| = vi mi N 1.1.22 nh ngha 1.4 Cho khụng gian tuyn tớnh X v H1^ , II II2 l hai chun trờn X Hai chun 11 111 11 112 c gi l tng ng nu tn ti hai s dng a, /3 cho 1.1.23 A lla;^ < 11a;112 < Ă lla;^ Va; e X 1.1.24 NH Lí 1.1 Nu LL - LLJ , II II l tng ng thỡ cựng xỏc nh vi mt s hi t vi mt dóy bt k, ngha l 1.1.25lim ||a; X N \ \ I = lim ||a; X N \ \ = 1.1.26 nh ngha 1.5 (a) Tp E c X c gi l trự mt X nu E = X (b) Khụng gian nh chun X gi l khụng gian tỏch c nu tn ti mt m c trự mt X 1.1.27 Vớ d 1.1.1 Mt s khụng gian Banach thng dựng 1.1.28 (a) Gi s E c K 1.1.29 (i) Vi < P < 00, ký hiu 1.1.30 thỡ { E ) l mt khụng gian Banach vi chun 1.1.31 / \ \ L P = ( J I/(aordz) /p- 1.1.32 (2) Vi P = oo, ký hiu 1.1.33 L ( E ) = F : E ^ c : / b chn hu khp ni trờn E } 1.1.34 Thỡ L ( E ) l khụng gian Banach vi chun 1.1.35 ||/||ÊQO = E S S sup |/(rc)| = inf {M > : |/(rc)| < M , hu khp ni} 1.1.36 (Hm / c gi l b chn hu khp ni trờn E nu tn ti M > cho z = { X X : |/(a;) I > M } cú o Lebegue bng khụng.) 1.1.37 (b) Kớ hiu C = ( C N ) = (c)=1 l dóy cỏc vụ hng, (ũi) Vi < P < oo, kớ hiu 1.1.38 Ê P = C = (c) : y>r 2y 1.1.46 Nh vy mi X G X , F (ổ) l mt ca Y , khụng loi tr kh nng vi mt s phn t ú ca F (ổ) l rng Nu X G X , F (ổ) gm mt phn t ca Y ta núi F l ỏnh x n tr t X vo Y X no nh sau: 1.1.47 Min nh ngha, th v nh ca F c nh ngha ln ltdomF = {x G D\F (ổ) 0} gph (F) = { ( x , y ) e D X Y \ y e F ( X )} ; 1.1.48 I m { F ) = { y e Y\3x e X : y e F ( X )} 1.1.49 Vớ d 1.2.1 Cho A , B l cỏc s thc, F : R > R c xỏc nh bi 1.1.50 I (a, B ) , K H I ù^O ; 1.1.51 ^ {a} , K H I =0 ; X 1.1.52 ú F l ỏnh x a tr 1.1.53 Cho F : X > Y , ỏnh x F ~ L : Y > X c xỏc nh bi 1.1.54 F _ ( R ) = { x e X : y Ê F ( ặ )} 1.1.55 c gi l ỏnh x ngc ca F Nh vy, khỏc vi ỏnh x n tr, ỏnh x a tr luụn tn ti ỏnh x ngc Nu F ~ L (V) = { X G X : Y G F (ổ)} m thỡ F c gi l cú nghch nh m 1.1.56 nh ngha 1.7 Cho F : X > 2y l ỏnh x a tr t khụng gian tụpụ X vo khụng gian tụpụ Y a) F gi l na liờn tc trờn ti X G D O M F nu mi m V c Y tha F ( X ) C V tn ti lõn cn m U ca X cho F (ổ) c V , M X G U b) F c gi l na liờn tc di ti X G D O M F nu mi V m, F ( ặ ) N V u tn ti m U D X cho F ( X ) N V 7^ 0, Vổ G U c) F c gi l liờn tc ti X G X nu nú ng thi na liờn tc trờn v na liờn tc di ti liờn tc trờn X nu nú liờn tc ti mi im X G X X F c gi l 1.1.346 ú U = U ( T , X ) l n hm, Hamiltonian H v hm d kin ban u +00 II II P 1.1.418 ( B 2) D kin ban u = ( X ) l hm liờn tc hờn W , v vi mi (to, ổ0) G [0, T ) X R N tn ti cỏc hng s dng R , N cho 1.1.419 Z I ) + T 1.1.420 H * (~~) (/) + T H * (3-26) I < vi ||z|| > N , 11 t0| + ||z ổ0|| < R , T õy H * l liờn hp Fenchel ca H t: 1.1.421 1.1.422 1.1.423 C{t, X, y) = {y) + tH* Ê ( t , x ) = y e R n \ ( ( t , x , y ) = MIN ( ( t , x , y ) \ ú Ê ( T , X ) l mt compact W bi gi thuyt (52) v tớnh na liờn tc di ca C ( T , X , ) 1.1.424 iu kin (52) c xem nh l iu kin tng thớch gia Hamiltonian H ( P ) v d kin ban u ( X ) m bo cho s tn ti nghim ton cc Lipschitz ca bi toỏn Cauchy (3.20) (3.21) 1.1.425 Nu xột iu kin (51) v gi thit rng d kin ban u ( X ) l hm liờn tc Lipschitz trờn W thỡ ú iu kin (52) luụn tha nh lý sau õy xỏc nh cụng thc hin dng Hopf ca bi toỏn (3.20) (3.21) 1.1.426 nh lý 3.3 V ể I C C G I T H I T (51) (52) K H I ể U(T, X) = /eKn Mằ) + T H ' x-y t ) } (3.27) 1.1.427 1.1.428 (3.21) a) Hm s u(t,x) xỏc nh bi l m t nghim ton cc Lipschitz ca bi toỏn (3.20) 1.1.429 b) Nghim u ( t , x ) l k h v i liờn tc m V C n v ch Ê ( t , x ) l o n t r v i V(Ê, x ) G V 1.1.430 NH NGHA 3.3 V i c ỏ c g i thit ( B 1) ( B ) , h m u ( t , x ) c xỏc nh bi cụng thc (3.27) c gi l cụng thc dng Hopf i vi bi toỏn Cauchy (3.20) (3.21) trng hp Hamiltonian li 1.1.431 Vớ d 3.3.1 Xột bỏi toỏn Cauchy X2 ô(0, x ) = trờn {ớ = 0, X G K} 1.1.432 õy l trng hp bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Hamilton- Jacobi vi d kin ban u l hm li Nghim ton cc ca bi toỏn c xỏc nh bi cụng thc dng Hopf (3.9) 1.1.433 V 1.1.434 -u ( t , x ) = MAX p x p2)1^2}- H (L + 1.1.435 Bng tớnh toỏn trc tip v ỏp dng nh lý 3.2.1 ta thy rng U = U ( T X ) kh vi liờn tc dong 1.1.436 1.1.437 1, cỏc { T > 0, X G M}\{(Ê, 0) : T ^ 1} Qua vic ỏp dng phng phỏp c trng, ta thy rng T > 1.1.438 -ng c trng s ct C th, hai ng c trng xut phỏt t (0,1) v (0, 2) l :{(Ê, X ( T , 1)) : T ^ 0} v { ( T , X ( T , 2)) : T ^ 0} (trong ú: X ( T , ) = Y 1.1.439 - = = ) s ct ti im V1 + y2 1.1.440 1.1.441 1.1.442 y/10 2{V2-V5)\ ^2y/2-V^ 2y/2 y/ũ ' Tuy nhiờn, tớnh kh vi ca nghim ton cc khụng b phỏ v mt vi lõn cn ca im ny 1.1.443 1.1.444 Kt lun Lun ó trỡnh by mt s sau: 1) Tng quan v hm Legendre v bin i Legendre tng quỏt 2) Trỡnh by v bin i Ekeland v mi quan h ca nú vi bin i Legendre 3) Mụ t cỏc c trng v cụng thc Hopf-Lax cho phng trỡnh Hamilton- Jacobi 1.1.445 Tuy cũn nhiu hn ch song hi vng rng cỏc kt qu t c lun s l ti liu tham kho tt cho cỏc nghiờn cu m rng hn v bin i Legendre v phng trỡnh Hamilton-Jacobi Rt cm n c gi ó theo dừi lun v rt mong c quý c gi úng gúp ý kin lun 1.1.446 thờm hon thin [...]... 2.3 ( a ) Một hàm Legendre cổ điển là một hàm Legendre (tổng quát) (b) Một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới là một hàm Legendre (tổng quát) (c) Nếu f : w —> Jt là hàm lõm, liên tục, khả vi Hadamard (t.ư Fréchet) trên một tập con lồi, mỏ w của X và liên hợp lõm /„ là hàm liên tục, khả vi Hadamard (t.ư Fréchet) trên một tập con lồi, mỏ của X*, khi đó 2 6 f là hàm Legendre (suy rộng) và fL = /* đối... 2.5 ( A ) Nếu f là một hàm Ekeland, khi đó với số thực dương X, hàm X f là một hàm Ekeland và 2 7 V) (A/)E (1 1.1.225 = 1 (A- ) (1 1.1.226 Hơn nữa nếu f là một hàm legender và XỊ là một hàm Legendre 1.1.227 ( B ) Nếu fi : Xị —> K, là hàm Ekeland (t ư hàm Legendre) với i = 1k Khi đó f được cho bỏi f ( x ) := fì ( x i ) + + fk (Xk) với X : = ( x i X k ) , là một hàm Ekeland ịt.ư hàm Legender) 1.1.228... với I = 1, K Thực tế thấy rằng / là một hàm Ekeland khi F Ị là các hàm Ekeland và 1.1.233 1.1.234 f E ( y ) = f i E ( y i ) + + h E (y k ) Từ công thức này chúng ta thấy rằng / là một hàm Ekeland khi /i, , F K là các hàm Ekeland vì F L tách được □ 2 8 1.1.235 Chương 3 Biến đổi Legendre và các đặc trưng 1.1.236 1.1.237 3.1 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 1.1.238 Trong... 1.1.120 Định nghĩa 1.17 Cho hàm / : W 1 —* Ẽ, ta định nghĩa hàm /* : W 1 —* Ẽ như sau: r { y ) ' ■ = SUP {(y , X ) - f { x ) } , y e W1 1.1.121 (1.5) n 1.1.123 1.1.122 zeK và gọi /* là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm / 1.1.124 Đ ỊNH LÝ 1.7 Giả sử f : M" —> M là hàm lồi, chính thường ịproper) và đóng Khi đó hàm liên hợp Ị* cũng là hàm lồi, chính thường (proper) và đóng Ngoài ra: 1.1.125 -... Y G D F (XI) và 1.1.229 ( X ị , y ) XfE{X~1y), i = 1,2, 1.1.230 1.1.231 Xf{xi) = x((xi, x~ly) - Ị{xiỶj = do đó A/ là hàm Ekeland và (AF ) E ( Y ) = X F E (A~ L Y ) Khi / là một hàm Legendre, bằng cách đặt (AF ) L ( Y ) = X F L (A~ L Y ) ta dễ dàng khẳng định được A/ là một hàm Legendre 1.1.232 (b) Vì / là một hàm tách được, khi X := (XỊ XK) và Y : = (YI, ,YK) ta có Y G D F ( Æ ) nếu và chỉ nếu YỊ... 1.1.182 Nó trùng với biến đổi Ekeland F E của / Do H là hàm Stepanovian, nên là biến đổi F L thuộc lớp c 1 (và nó sẽ thuộc lớp c 1.1.183 k khi / thuộc lớp c k ) M Ệ NH ĐỀ 2.1 Nếu f là một hàm Legendre cổ điển trên ư, khi đó nó là hàm Ekeland và biến đổi Legendre fL của nó thuộc lớp c1 trên V := /'([/) Hơn nữa fL là một hàm Legendre cổ điển ( f L ) L = / và 1.1.184 V = D Ị ( u ) u = D Ị L ( V ) V ( u... M Ệ NH ĐỀ 2.4 Cho X là không gian Banach Xét f là hàm Ekeland nửa liên tục d ư ớ i và biến đ ổ i Ekeland của nó cũng là hàm Ekeland nửa liên tục d ư ớ i Khi đó f là hàm Legendre ị suy rộng) với d ư ớ i vi phân Fre'chet 2.3 Một số phép toán đối với hàm Ekeland và hàm Leg- endre 1.1.223 Trong mục này ta xét X là không gian định chuẩn với đối ngẫu Y và D là dưới vi phân Frechet hoặc Hadamard Khả năng... vi tại 1.1.196 V và D F L ( V ) = U = H ( V ) Hơn nữa, F L là hàm Legendre cổ điển và do F L = F E nên ( F L ) L = F 1.1.197 thuộc lớp c Khi / k thì D F L = H thuộc lớp c k ~l Và như vậy F L thuộc lớp c ta đạt được điều phải chứng minh 1.1.198 1.1.199 k và □ Ta có mệnh đề sau M ệ n h đ ề 2 2 Nếu một hàm f : X — > M o o ỉà một hàm Ekeland với d ư ớ i vi phân d , khi đó nó là một hàm Ekeland cho... phương trong miền trong của miền xác định) 1.1.201 ĐỊNH NGHĨA 2.4 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn được kết hợp cặp bởi hàm cặp đôi c Một hàm nửa liên tục dưới / : X — > K, được gọi là một hàm Legendre (tổng quát) đối với dưới vi phân D nếu tồn tại một hàm nửa liên tue dưới F L : Y —»■ M sao cho (a) / và F L là các hàm Ekeland và F L \ D F ( X ) = F E (b) Với X G dom /, tồn tại một dãy { X N ,... 1.1.136 Chương 2 1.1.137 1.1.138 1.1.139 2.1 / ọ Hàm Legendre và biên đôi Legendre Các kết quả của chương này được tham khảo từ tài liệu [2] Biến đổi Ekeland và biến đổi Legendre 1.1.140 Cho X và Y là hai tập hợp kết cặp đôi với nhau bởi hàm số C : X X Y — > K Biến đổi Ekeland là một biến đổi đơn giản đối với ánh xạ đa trị F : X A Y X K đó là phép tương ứng hàm F với một ánh xạ đa trị FE : Y 4 l x K xác