Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;1) và hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt có phương trình 2x + 3y 8 = 0 và x 2y 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; 3) và BC = 2AB, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N cùng thuộc đường thẳng d : x 3y 16 0 .Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE 2EB . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là G 2;13 . Viết phương 3 trình cạnh BC.Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC và G(1; 1) là trọng tâm của nó. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết rằng các đường thẳng BC, BG lần lượt có phương trình: x 3y 3 0 và 2x y 1 0 .Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình BC: x 2y +12 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B: x y + 6 = 0, đường cao kẻ từ C đi qua điểm M(3; 5). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC và tìm toạ độ điểm B.
Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 HÌNH PHẲNG OXY DÀNH CHO NGƯỜI MỚI HỌC Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;−1) hai đường cao kẻ từ A B có phương trình 2x + 3y − = x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D (7; −3) BC = 2AB, Gọi M, N trung điểm AB BC Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N thuộc đường thẳng d : x + y − 16 = Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) đường thẳng AB cắt trục Oy 13 E cho AE = EB Biết tam giác AEC cân A có trọng tâm G 2; Viết phương 3 trình cạnh BC Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC G(1; 1) trọng tâm Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng BC, BG có phương trình: x − y − = x − y − = Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phương trình BC: x − 2y +12 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B: x − y + = 0, đường cao kẻ từ C qua điểm M(3; 5) Viết phương trình đường thẳng AB, AC tìm toạ độ điểm B Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(0;4) tâm đường tròn ngoại tiếp, đường cao đường trung tuyến kẻ từ điểm A có phương trình x + y – = 0, 2x + y – = Tìm tọa độ điểm B C Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 5) Hình chiếu vuông góc điểm B AC H(1; 3) đường trung trực cạnh BC có phương trình x + 4y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C D Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD , điểm H (−2;3) K (2; 4) hình chiếu vuông góc điểm E AB AD Xác định toạ độ đỉnh A, B, C , D hình vuông ABCD Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A , biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc ABC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K (6; 2) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;−1) hai đường cao kẻ từ A B có phương trình 2x + 3y − = x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải : − 3t Gọi A ; t B ( 2u + 8; u ) Gọi M N trung điểm BC AC − 3t = ( xM − 3) 3 − Ta có: AG = 2GM ⇔ −1 − t = ( yM + 1) 10 + 3t −3 − t ⇒M ; Khi BM u AK ( −3; ) = (1) 3 − 2u − = ( xN − 3) Lại có: BG = 2GN ⇔ −1 − u = ( y N + 1) − 2u −3 − u Suy N ; Khi AN u BH ( 2;1) = ( ) 11 Từ (1) (2) suy t = −2; u = −5 ⇒ A ( 7; −2 ) ; B ( 4; −5 ) ; N ;1 ⇒ C ( 4; ) 2 Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D (7; −3) BC = 2AB, Gọi M, N trung điểm AB BC Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N thuộc đường thẳng d : x + y − 16 = Lời giải: Gọi H K hình chiếu vuông góc D AC MN Gọi I = MN ∩ CD Ta có: DK : x − y − 24 = 44 12 Khi đó: K = DK ∩ MN ⇒ K ; 5 Dễ thấy AMIC hình bình hành CI = AM DH DC 2 41 Khi = = ⇒ DH = − DK ⇒ H ; DK DI 3 5 Suy phương trình AC qua H AC / / MN là: x + y − 10 = Gọi C (10 − 3t ; t ) ta có 1 2 = + ⇒ DC = 18 ⇒ ( − 3c ) + ( c + 3) = 18 2 DH DA DC c = ⇒ C (10; ) 32 ⇔ 32 Vậy C (10; ) ; C ; điểm cần tìm c = ⇒C ; 5 5 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) đường thẳng AB cắt trục Oy 13 E cho AE = EB Biết tam giác AEC cân A có trọng tâm G 2; Viết phương 3 trình cạnh BC Lời giải : 0 = ( xM − ) Ta có : AG = 2GM ta có: −8 13 ⇒ M ( 2;3) = yM − Khi AM : x = Do tam giác AEC cân A nên trung tuyến AM đồng thời đường cao EC : y = Ta có E = EC ∩ Oy ⇒ E ( 0;3) Khi đó: C ( 4;3) Lại có: AE = EB ⇒ B (1;1) BC : x − y + = Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC G(1; 1) trọng tâm Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng BC, BG có phương trình: x − y − = x − y − = Lời giải : Ta có điểm B = BG ∩ BC ⇒ B ( 0; −1) Gọi C ( 3t + 3; t ) thuộc BC ta có: GB = GC ( điểm G thuộc trung BC ) trực C ( 3;0 ) t = 2 ⇒ ( 3t + ) + ( t − 1) = ⇔ t = −1 C ( 0; −1) ( loai ) xB + xC + x A = xG Lại có: ⇔ A ( 0; ) y A + yB + yC = y G Vậy A ( 0; ) ; B ( 0; −1) ; C ( 3; ) Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phương trình BC: x − 2y +12 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B: x − y + = 0, đường cao kẻ từ C qua điểm M(3; 5) Viết phương trình đường thẳng AB, AC tìm toạ độ điểm B Lời giải : Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 +) Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ BH : x − y + = B = BH ∩ BC ⇒ tọa độ B nghiệm hệ x − y + 12 = x = ⇔ ⇒ B ( 0; ) x − y + = y = 1.1 + ( −1) ( −2 ) +) Ta có cos ( BH ; BC ) = ⇒ cos HBC = 12 + ( −1) 12 + ( −2 ) 2 10 10 +) Gọi n = ( a; b ) VTPT CM ( a + b > ) ∆ABC cân A ⇒ HBC = MCB ⇒ cos MCB = ⇒ cos ( MC ; BC ) = ⇒ cos MCB = a − 2b 12 + ( −2 ) a + b 2 a − 2b 12 + ( −2 ) a + b 2 = ⇔ ( a − 2b ) = ( a + b ) 10 b = − a ⇔ a + 8ab + b = ⇔ ( a + b )( a + b ) = ⇔ b = −7 a • TH1 b = − a, chọn a = ⇒ b = −1 ⇒ n = (1; −1) VTPT CM BH / / CM Mà BH nhận n1 = (1; −1) VTPT ⇒ vô lý ⇒ Loại BH ≡ CM • TH2 b = −7 a, chọn a = ⇒ b = −7 ⇒ n = (1; −7 ) VTPT CM Kết hợp với CM qua M ( 3;5 ) ⇒ CM :1( x − 3) − ( y − ) = ⇒ CM : x − y + 32 = x − y + 32 = x = −4 +) C = CM ∩ BC ⇒ tọa độ C nghiệm hệ ⇔ ⇒ C ( −4; ) x − y + 12 = y = BH nhận n1 = (1; −1) VTPT mà AC ⊥ BH ⇒ AC nhận n2 = (1;1) VTPT Kết hợp với AC qua C ( −4; ) ⇒ AC :1( x + ) + 1( y − ) = ⇒ AC : x + y = +) CM nhận n = (1; −7 ) VTPT mà AB ⊥ CM ⇒ AB nhận n3 = ( 7;1) VTPT Kết hợp với AB qua B ( 0; ) ⇒ AB : ( x − ) + 1( y − ) = ⇒ AB : x + y − = Đ/s: AB : x + y − = 0; AC : x + y = 0; B ( 0; ) Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(0;4) tâm đường tròn ngoại tiếp, đường cao đường trung tuyến kẻ từ điểm A có phương trình x + y – = 0, 2x + y – = Tìm tọa độ điểm B C Lời giải : Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 +) Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) gọi M trung AH : x + y − = điểm BC ⇒ AM : x + y − = +) A = AH ∩ AM ⇒ tọa độ A nghiệm hệ x + y − = x = ⇔ ⇒ A (1;1) 2 x + y − = y =1 +) IM ⊥ BC mà AH ⊥ BC ⇒ IM / / AH AH nhận n = (1;1) VTPT ⇒ IM nhận n = (1;1) VTPT Kết hợp với IM qua I ( 0; ) ⇒ IM :1( x − ) + 1( y − ) = ⇒ IM : x + y − = +) M = IM ∩ AM ⇒ tọa độ M nghiệm hệ x + y − = x = −1 ⇔ ⇒ M ( −1;5 ) 2 x + y − = y = +) AH nhận n = (1;1) VTPT, mà BC ⊥ AH ⇒ BC nhận n1 = (1; −1) VTPT Kết hợp với BC qua M ( −1;5 ) ⇒ BC :1( x + 1) − 1( y − ) = ⇒ BC : x − y + = +) Gọi (T ) đường tròn tâm I ( 0; ) bán kính IA Ta có IA = (1; −3) ⇒ IA = 12 + ( −3) = 10 ⇒ (T ) : x + ( y − ) = 10 2 +) B ∈ BC : x − y + = ⇒ B ( t ; t + ) mà B ∈ (T ) • • t = ⇒ t + ( t + − ) = 10 ⇔ 2t + 4t − = ⇔ t = −3 Với t = ⇒ B (1; ) mà M ( −1;5 ) trung điểm BC ⇒ C ( −2 − 1;10 − ) ⇒ C ( −3;3) Với t = −3 ⇒ B ( −3;3) mà M ( −1;5 ) trung điểm BC ⇒ C ( −2 + 3;10 − 3) ⇒ C (1;7 ) B (1;7 ) , C ( −3;3) Đ/s: B ( −3;3) , C (1;7 ) Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 5) Hình chiếu vuông góc điểm B AC H(1; 3) đường trung trực cạnh BC có phương trình x + 4y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C D Lời giải : +) Gọi I = AC ∩ BD M trung điểm BC Trên đường trung trực BC ta lấy điểm K ⇒ MK : x + y − = +) BH ⊥ AH ⇒ BH nhận HA = ( 2; ) VTPT Mà BH qua H (1;3) ⇒ BH : ( x − 1) + ( y − 3) = ⇒ BH : x + y − = ⇒ B ( b; − b ) +) AC qua H (1;3) nhận HA = ( 2; ) VTCP nên nhận n = (1; −1) VTPT Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 ⇒ AC :1( x − 1) − 1( y − 3) = ⇒ AC : x − y + = ⇒ C ( c; c + ) mà M trung điểm BC b+c 4−b+c+ 2 b+c c−b+6 ⇒M ; ; ⇒M 2 b+c + ( c − b + ) − = ⇒ 5c − 3b + 14 = +) MK nhận n1 = (1; ) VTPT nên nhận u = ( 4; −1) VTCP Mà M ∈ MK : x + y − = ⇒ (1) Có CB = ( b − c; − b − c ) MK ⊥ CB nên u.CB = ⇔ ( b − c ) − ( − b − c ) = ⇔ 5b − 3c = 3b − 5c = 14 b = −2 ⇒ B ( −2; ) Kết hợp với (1) ⇒ ⇒ 5b − 3c = c = −4 ⇒ C ( −4; −2 ) 3− 5− 3 Mà I trung điểm AC ⇒ I ; ⇒ I − ; 2 Lại có I trung điểm BD ⇒ D ( −1 + 2;3 − ) ⇒ D (1; −3) Đ/s: B ( −2;6 ) , C ( −4; −2 ) , D (1; −3) Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD , điểm H (−2;3) K (2; 4) hình chiếu vuông góc điểm E AB AD Xác định toạ độ đỉnh A, B, C , D hình vuông ABCD Lời giải: Ta có: EH : y − = EK : x − = AH : x + = ⇒ A ( −2; ) ⇒ AK : y − = Giả sử n = ( a; b ) , ( a + b > ) VTPT đường thẳng BD Do ABD = 450 nên a = ⇔ a = ±b a +b +) Với a = −b , chọn b = −1 ⇒ a = ⇒ BD : x − y + = ⇒ B ( −2; −1) ; D ( 3; ) 2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 EB = ( −4; −4 ) ⇒ ⇒ E nằm đoạn BD (thỏa mãn) ED = (1;1) Khi đó: C ( 3; −1) +) Với a = b , chọn b = ⇒ a = ⇒ BD : x + y − = ⇒ B ( −2;7 ) ; D (1; ) EB = ( −4; ) ⇒ ⇒ EB = ED ⇒ E nằm đoạn BD (loại) ED = ( −1;1) Vậy: A ( −2; ) ; B ( −2; −1) ; C ( 3; −1) ; D ( 3; ) Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A , biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc ABC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K (6; 2) Lời giải: B(5 − 2b; b), C (2b − 5; −b) , O(0;0) ∈ BC B Gọi I đối xứng với O qua phân giác góc ABC nên I (2; 4) I ∈ AB Tam giác ABC vuông A nên BI = ( 2b − 3; − b ) vuông góc O với CK = (11 − 2b; + b ) → BI CK = ⇔ (2b − 3)(11 − 2b) + (4 − b)(2 + b) = b = ⇔ −5b + 30b − 25 = ⇔ b = +) Với b = ⇒ B(3;1), C (−3; −1) ⇒ A(3;1) ≡ B loại I A K C 31 17 ; 5 +) Với b = ⇒ B(−5;5), C (5; −5) ⇒ A 31 17 Vậy A ; ; B( −5;5); C (5; −5) 5 Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016