Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

LỜI CẢM ƠN



Hơn hai tháng, thời gian không quá dài để tôi vừa đi thực tập vừa thựchiện tiểu luận của mình Tuy gặp nhiều khó khăn về thời gian và phương tiệnnghiên cứu, nhưng tôi đã cố gắng để hoàn thành đề tài này, và tôi đã nhận đượcnhiều sự giúp đỡ từ phía thầy cô, bạn bè

Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm hướng dẫn tận tình của thầy ĐặngVăn Thuận – người trực tiếp góp ý và chỉnh sửa cho đề tài của tôi Xin cảm ơnBan chủ nhiệm Bộ Môn Toán đã quan tâm và phân công giáo viên hướng dẫngiúp sinh viên năm cuối nói chung và bản thân tôi nói riêng hoàn thành tiểu luậntốt nghiệp tốt hơn Ngoài ra, tôi còn nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình của các bạnlớp Sư Phạm Toán K31

Dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thiếu những sai sót trongquá trình trình bày đề tài, rất mong được thầy cô và các bạn góp ý để tôi hoànthành tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

A.PHẦN MỞ ĐẦU 3

I Lý do chọn đề tài: 3

II Mục đích nghiên cứu: 3

III Phạm vi nghiên cứu: 3

IV Phương pháp nghiên cứu: 3

V Nội dung nghiên cứu: 4

B PHẦN NỘI DUNG 5

Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 5

1.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 5

1.1.1 Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng 5

1.1.2 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 5

1.1.3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 6

1.1.4 Một số trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng 6

1.2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 7

1.3 Chùm mặt phẳng 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Định lí 7

1.4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 7

1.5 Một số bài toán liên quan 8

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng 8

Bài toán 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng 11

Bài toán 3: Chùm mặt phẳng và ứng dụng 12

1.6 Bài tập tổng hợp 16

1.7 Bài tập đề nghị 21

Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 23

2.1 Phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng 23

2.11 Phương trình tham số của đường thẳng 23

2.1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 23

2.2 Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng 23

2.2.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 23

2.2.2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 24

2.3 Khoảng cách 24

2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 24

2.3.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 25

2.4 Một số bài toán liên quan 25

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng 25

Bài toán 2: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng và 32 Bài toán 3: Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm M lên mặt phẳng 33

Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d 35

Bài toán 5: Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng 36

Bài toán 6: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 37

Bài toán 7: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 37

2.5 Bài tập tổng hợp: 39

2.6 Bài tập đề nghị: 45

C KẾT LUẬN 47

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

A.PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Kết thúc khoá học tất cả các sinh viên đều phải hoàn tất mười tín chỉ tốtnghiệp, có thể làm luận văn hoặc học môn thay thế Tiểu luận tốt nghiệp là mộttrong những học phần đó Vừa để hoàn thành nhiệm vụ của mình cũng vừa đểcủng cố và hệ thống kiến thức, tích lũy kinh nghiệm cho việc giảng dạy sau nàytôi đã chọn làm tiểu luận tốt nghiệp về hình học sơ cấp

Hầu hết học sinh đều hứng thú khi học đến hình học không gian, nhất làphương pháp tọa độ vectơ trong không gian Những dạng toán này có thể nói làđơn giản nhưng để giải những bài toán này đòi hỏi người học phải nắm rõ hệthống kiến thức có liên quan và thêm lòng say mê hứng thú với môn học Với

khuôn khổ của một đề tài tiểu luận tôi đã chọn nghiên cứu về “Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” Đó cũng là lý do tôi chọn đề tài tiểu luận này.

II Mục đích nghiên cứu:

Như đã nói nói trên, đề tài nghiên cứu này giúp tôi hệ thống lại kiến thứcmột cách logic Qua đó giúp tôi phân loại các dạng bài tập liên quan đến mặtphẳng và đường thẳng trong không gian, tìm hiểu được nhiều phương pháp giảimột bài toán về hình học giải tích, cũng là điều kiện để tôi có dịp nghiên cứu sâuhơn về hình học giải tích nói chung cũng như ứng dụng của phương pháp tọa độ

để giải các bài toán hình học không gian cổ điển nói riêng Qua đó thấy được mặtmạnh của phương pháp tọa độ, là công cụ để giải quyết một số bài toán hìnhkhông gian cổ điển rất hay

III Phạm vi nghiên cứu:

Do chỉ dừng lại ở mức độ của một đề tài tiểu luận nên tôi chỉ nghiên cứu trong phạm vi sách giáo khoa và sách tham khảo hình học lớp 12

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Phân tích nội dung có liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trongkhông gian qua sách giáo khoa, sách tham khảo hình học giải tích lớp 12

- Chọn lọc lại những nội dung cơ bản và cần thiết nhất để củng cố kiếnthức, sau đó đưa ra các dạng toán điển hình thường gặp trong “Đường thẳng vàmặt phẳng trong không gian” cùng các bài tập minh họa.

V Nội dung nghiên cứu:

Nội dung nghiên cứu bao gồm các vấn đề sau:

Chương 1: Mặt phẳng và các bài toán liên quan

B PHẦN NỘI DUNG

Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1.1.1 Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho ( )α là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau avà b Gọi

- Mỗi một phẳng có nhiều cặp vectơ chỉ phương (VTCP)

- Hai mặt phẳng phân biệt có cùng cặp VTCP thì song song với nhau

- Một mặt phẳng ( )α hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm M và cặpVTCP ( )a br r;

của nó

- Nếu đường thẳng d có VTCP cùng phương với một trong hai VTCP nào đócủa mặt phẳng ( )α thì d song song hoặc chứa trong ( )α .

1.1.2 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ nr r≠0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α nếu giá của nr

1.1.3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z0( 0; ;0 0) và cóVTPT nr=(A B C; ; )có dạng: ( )α : A x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) =0

Định lí: Trong không gian Oxyzphương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax By Cz D+ + + =0 với A2+B2+C2 >0 nhận nr=(A B C; ; ) làm VTPT

1.1.4 Một số trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng

a Nếu D= 0, mặt phẳng ( )α đi qua gốc tọa độ.

b Nếu A=0,B≠0,C≠0,D≠0, mặt phẳng ( )α có dạng :

By Cz D+ + =0 sẽ chứa hoặc song song với trục x Ox'

Tương tự:

 ( )α có dạng Ax Cz D+ + =0 sẽ chứa hoặc song song với trục y Oy'

 ( )α có dạng Ax By D+ + =0 sẽ chứa hoặc song song với trục z Oz'

c Nếu A=0;B=0;C≠0;D≠0, mặt phẳng ( )α sẽ có dạng

Cz D+ = 0 khi đó ( )α song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy

Tương tự:

 ( )α có dạng Ax D+ =0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz

 ( )α có dạng By D+ =0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxz

d Nếu mp( )α đi qua ba điểm A a( ,0,0 ;) (B 0, ,0 ;b ) (C 0,0,c) với

Phương trình (2) gọi là phương trình pháp dạng của mặt phẳng ( )α

Đặc biệt: phương trình các mặt phẳng tọa độ là:

 mpOxycó phương trình : z= 0

 mpOyz có phương trình : x=0

 mpOxz có phương trình : y=0

1.2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian cho hai mặt phẳng

Phương trình (1) được gọi là phương trình của chùm mặt phẳng

1.5 Một số bài toán liên quan

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng

 Phương pháp: lập phương trình mặt phẳng ( )α ta thực hiện theo các bước sau:

a ( )α đi qua điểm A(1, 2,3) và có VTPT nr(2, 1,3− )

b ( )α đi qua điểm B(2, 1,1− ) và có cặp VTCP ar(2, 1, 2 ; 3, 2,1− ) (br − )

Suy ra: VTPT của mp( )α là nuurα =MN nuuuur r, =(0, 2, 2).

Mặt phẳng ( )α đi qua M(0 1 1, , ) có VTPT nuurα =(0 1 1, , )

3.Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(1,0, 2− )và vuông góc với hai mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − − =2 0 và ( )Q x y z: − − − =3 0

Giải

1 Gọi ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Gọi I là trung điểm của đoạn AB Khi đó:

1 1

12

n

P Q

n P

P

m

αα

uuruur

Bài toán 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

 Phương pháp: Sử dụng các kiến thức đã nêu ở trên

Với giá trị nào của m thì:

a Hai mặt phẳng đó song song?

b Hai mặt phẳng đó trùng nhau?

Vậy với m≠1 thì hai mặt phẳng cắt nhau.

d Gọi nuurP và nuurQ

lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Bước 1: Thay tọa độ của điểm M vào (1) ta được mối liên hệ giữa m và n, kíhiệu là: k m k m1 = 2 2 (2)

Bước 2: Thay (2) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.

Dạng 2: Mặt phẳng của chùm song song với một mặt phẳng ( )Q cho trước, khiđó:

Bước 3: Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.

Dạng 3: Mặt phẳng của chùm vuông góc với một mặt phẳng ( )Q cho trước, khiđó:

Bước 3: Thay (4) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm M x y z( 0, ,0 0) bất kì đến mặt phẳng của chùm

Khi đó: VTPT của mp( )R là: nuurR =(2m n m n m n+ − +, ,3 − )

 Vì ( )R vuông góc với mặt phẳng ( )T :3x y− + =1 0 có VTPT là: nuurT =(3, 1,0− )nên:

a Chứng tỏ ràng hai mặt phẳng ( )P và( )Q vuông góc với nhau

b Lập phương trình mặt phẳng ( )R chứa giao tuyến của ( )P và ( )Q đồng thời điqua điểm M(1, 2,3)

Giải

a Gọi nuurP và nuurQ

lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng ( )P và( )Q

a Chứng tỏ rằng ( )P và(Qα β, )luôn vuông góc với nhau với mọi αvàβ.

b Xác định mặt phẳng thuộc họ (Qα β, ) sao cho khoảng cách từ điểm M(1,1,1) tới

Suy ra: ( )P ⊥(Qα β, )với mọi αvàβ (đpcm)

b Gọi ( )Q là mặt phẳng thuộc họ (Qα β, )sao cho ( ,( ) ) 1

6

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a Đi qua điểm G(1 2 3, , ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho

G là trọng tâm tam giác ABC.

b Đi qua điểm H(2 1 1, , ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho

H là trực tâm tam giác ABC

c Đi qua điểm M(1 1 1, , ) cắt chiều dương của các trục tọa độ tại ba điểmA,B,C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất

b Gọi ( )Q là mặt phẳng cần tìm, khi đó phương trình mặt phẳng ( )Q viết theo

+ +

b Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )β

đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )Q Khi đó phương trình mặt phẳng( )P có dạng

a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( ) ( )P ; Q cắt nhau theo một giao tuyến d.

b Lập phương trình mặt phẳng ( )R chứa đường thẳng d và cắt chiều dương

của trục tọa độ tại các điểm M, N và P sao cho tứ diện OMNP có thể tích

− Hai mặt phẳng ( ) ( )P và Q cắt nhau theo giao tuyến d.

Phương trình giao tuyến dcủa ( ) ( )P và Q có dạng:

 Vì ( )R chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( )P và Q nên phương trình mặtphẳng ( )R có dạng: m x y(2 − +2z− +1) (n x−2y z+ =) 0 ( )1

 Đặt M x( M, ,0 0) là giao của ( )R với Ox (với x M >0)

− ( )3Thay ( )3 vào ( )2 ta được:

 Trường hợp 1: C=0 ta được phương trình ( )α : y=0

 Trường hợp 2: B = 3; C = 4 ta được phương trình ( )α : y3 +4z=0

Vậy tồn tại hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán

b Mặt phẳng ( )β đi qua A(1 0 0, , )∈O x và B(0 2 0, , )∈Oy và cách điểm

Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a M cách đều điểm A(2 3 4, , ) và mặt phẳng ( )P , biết: ( )P :2x+3y z+ − =17 0

b M cách đều hai mặt phẳng ( ) ( )P1 và P2 , biết:

b Tìm tọa độ điểm cố định mà (1) luôn đi qua.

Bài 3:

Trong không gian cho hai điểm A(1 2 2 và,− , ) B(−2 0 2, , )

a Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với

mặt phẳng (Oxy)

b Gọi ( )α là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với mặt phẳng

2x 3y 2z 1 0

− + + + = Hãy lập phương trình mặt phẳng ( )β qua gốc tọa độ

và song song với mặt phẳng ( )α .

Bài 4:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( )α1 : y+2z− =4 0 và( )α2 : x y z+ − − =3 0 Lập phương trình của mặt phẳng qua giao tuyến của haimặt phẳng và song song với mặt phẳng x y z+ + − =2 0.

Bài 5:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(− −4 9 12, , ) Lập phương trình mặt phẳng

qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho 4 1 1

Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2.1 Phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng

2.11 Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng ( )d đi quađiểm M x y z0( 0, ,0 0)và nhận a a a ar( 1, ,2 3)

2.1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ( )d trong không gianOxyzđều được xem là giao tuyến củahai mặt phẳng ( ) ( )α1 và α2 nào đó, nên phương trình tổng quát của đường thẳng

2.2 Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

2.2.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxyz cho hai đường thẳng ( )d1 và( )d2 :

d d1và d2chéo nhau ⇔a b M Mr r uuuuuur,  1 2 ≠0

2.2.2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng d và( )α có phương trình:

0,

2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M1đến đường thẳng ∆ đi qua M0 và có VTCP urlà:

2.3.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆', trong đó ∆ đi quađiểm M0và có VTCP ur

, '

u u M M d

2.4 Một số bài toán liên quan

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng

 Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng ta sử dụng các kết quả sau:

1 Đường thẳng ( )d đi qua một điểm M x y z0( 0, ,0 0) và biết VTCP ar=(a a a1; ;2 3)Khi đó

 Phương trình tham số của ( )d có dạng: ( ) 00 12

; y y ; z

M x d

3 Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểm A và

vuông góc với hai đường thẳng ( ) ( )d1 và d2 cho trước ta

thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1:

QuaVTCP

 Lập phương trình mặt phẳng ( )P1 đi qua A và vuông góc với ( )d1

 Lập phương trình mặt phẳng ( )P2 đi qua A và vuông góc với ( )d2

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua A và chứa d1

Bước 2: Xác định giao điểm B của mặt phẳng ( ) P với ( )d2

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng ( )AB

5 Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng( )d1 và cắt đường thẳng ( )d2 chéo nhau cho trước Ta có thể thực hiện theo cáccách sau:

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( )P1 qua A và vuông góc d1

 Nếu d d// 2thì bài toán vô nghiệm.

 Nếu ( )d không song song với ( )d2 thì đường thẳng ( )d cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P1 và ( )P2

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc d1

Bước 2: Xác định giao điểm B của d2 với mp( )P

 Nếu không tồn tại giao điểm Kết luận không tồn tại đường thẳng ( )d

thỏa yêu cầu bài toán

 Nếu có vô số giao điểm Kết luận có vô số đường thẳng ( )d nằm trong( )

mp P đi qua A và cắt d2

 Nếu có duy nhất một giao điểm ta thực hiện bước 3

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB

Vậy phương trình tham số của đường thẳng dlà:

Khi đó: đường thẳng dcần tìm đi qua A và có VTCP là: ar=(9, 22, 10− )

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:

QuaVTPT

Khử t từ phương trình tham số của đường thẳng d ta được phương trình tổng

quát của đường thẳng d có dạng: ( ): 22 9 40 0

 Đường thẳng d2 đi qua điểm B(− −2, 3,0) và có VTCP là: auur2(−1,0,1).

⇒ VTPT của mặt phẳng ( )α2 là: nuur2 =n auur uurP, 2= −(1, 2,1)

Lập phương trình đường thẳng đi qua A(0,1,1), vuông góc với đường

( )

0 1 01

, ,

, ,

x A

Bài toán 2: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2

.

( )

là VTCP của

Giải hệ phương trình (1) trên ta tìm được hai tham số t và t'

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng ( )AB

 Cách 2:

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2

Bước 1: Tìm VTCP của đường thẳng d là a= a a1, 2

r ur uur

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( )α1 chứa d1 và song song ar

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( )α2 chứa d2 và song song ar