Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian
LỜI CẢM ƠN Hơn hai tháng, thời gian không dài để vừa thực tập vừa thực tiểu luận Tuy gặp nhiều khó khăn thời gian phương tiện nghiên cứu, cố gắng để hoàn thành đề tài này, nhận nhiều giúp đỡ từ phía thầy cô, bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn quan tâm hướng dẫn tận tình thầy Đặng Văn Thuận – người trực tiếp góp ý chỉnh sửa cho đề tài Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Bộ Môn Toán quan tâm phân công giáo viên hướng dẫn giúp sinh viên năm cuối nói chung thân nói riêng hoàn thành tiểu luận tốt nghiệp tốt Ngoài ra, nhận hỗ trợ nhiệt tình bạn lớp Sư Phạm Toán K31 Dù cố gắng chắn không thiếu sai sót trình trình bày đề tài, mong thầy cô bạn góp ý để hoàn thành tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực Trang1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN A.PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: .3 II Mục đích nghiên cứu: .3 III Phạm vi nghiên cứu: IV Phương pháp nghiên cứu: V Nội dung nghiên cứu: .4 B PHẦN NỘI DUNG .5 Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Phương trình tổng quát mặt phẳng 1.1.1 Cặp vec tơ phương mặt phẳng .5 1.1.2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng .5 1.1.3 Phương trình tổng quát mặt phẳng 1.1.4 Một số trường hợp đặc biệt phương trình tổng quát mặt phẳng 1.2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 1.3 Chùm mặt phẳng .7 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định lí 1.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.5 Một số toán liên quan Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng .8 Bài toán 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng 11 Bài toán 3: Chùm mặt phẳng ứng dụng 12 1.6 Bài tập tổng hợp 16 1.7 Bài tập đề nghị 21 Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 23 2.1 Phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng .23 2.11 Phương trình tham số đường thẳng 23 2.1.2 Phương trình tổng quát đường thẳng 23 2.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng .23 2.2.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng .23 2.2.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 24 2.3 Khoảng cách 24 2.3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .24 2.3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 25 2.4 Một số toán liên quan .25 Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng .25 Bài toán 2: Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng 32 Bài toán 3: Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên mặt phẳng 33 Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên đường thẳng d 35 Bài toán 5: Lập phương trình hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng 36 Bài toán 6: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 37 Bài toán 7: Khoảng cách hai đường thẳng chéo .37 2.5 Bài tập tổng hợp: 39 2.6 Bài tập đề nghị: .45 C KẾT LUẬN .47 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Trang2 A.PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Kết thúc khoá học tất sinh viên phải hoàn tất mười tín tốt nghiệp, làm luận văn học môn thay Tiểu luận tốt nghiệp học phần Vừa để hoàn thành nhiệm vụ vừa để củng cố hệ thống kiến thức, tích lũy kinh nghiệm cho việc giảng dạy sau chọn làm tiểu luận tốt nghiệp hình học sơ cấp Hầu hết học sinh hứng thú học đến hình học không gian, phương pháp tọa độ vectơ không gian Những dạng toán nói đơn giản để giải toán đòi hỏi người học phải nắm rõ hệ thống kiến thức có liên quan thêm lòng say mê hứng thú với môn học Với khuôn khổ đề tài tiểu luận chọn nghiên cứu “Mặt phẳng đường thẳng không gian” Đó lý chọn đề tài tiểu luận II Mục đích nghiên cứu: Như nói nói trên, đề tài nghiên cứu giúp hệ thống lại kiến thức cách logic Qua giúp phân loại dạng tập liên quan đến mặt phẳng đường thẳng không gian, tìm hiểu nhiều phương pháp giải toán hình học giải tích, điều kiện để có dịp nghiên cứu sâu hình học giải tích nói chung ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian cổ điển nói riêng Qua thấy mặt mạnh phương pháp tọa độ, công cụ để giải số toán hình không gian cổ điển hay III Phạm vi nghiên cứu: Do dừng lại mức độ đề tài tiểu luận nên nghiên cứu phạm vi sách giáo khoa sách tham khảo hình học lớp 12 IV Phương pháp nghiên cứu: - Phân tích nội dung có liên quan đến đường thẳng mặt phẳng không gian qua sách giáo khoa, sách tham khảo hình học giải tích lớp 12 Trang3 - Chọn lọc lại nội dung cần thiết để củng cố kiến thức, sau đưa dạng toán điển hình thường gặp “Đường thẳng mặt phẳng không gian” tập minh họa V Nội dung nghiên cứu: Nội dung nghiên cứu bao gồm vấn đề sau: Chương 1: Mặt phẳng toán liên quan + Tóm tắt lý thuyết cần nhớ mặt phẳng + Một số toán liên quan (phương pháp giải ví dụ) + Bài tập tổng hợp + Bài tập đề nghị Chương 2: Đường thẳng toán liên quan + Tóm tắt lý thuyết cần nhớ đường thẳng + Một số toán liên quan ( phương pháp giải ví dụ minh họa) + Bài tập tổng hợp ( đường thẳng; đường thẳng mặt phẳng) + Bài tập đề nghị Trang4 B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Phương trình tổng quát mặt phẳng 1.1.1 Cặp vec tơ phương mặt phẳng Cho ( α ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi ur r a; b vec tơ phương đường thẳng a b Khi cặp r r ( ) vectơ a; b gọi cặp vec tơ phương mp ( α ) Chú ý: - Mỗi phẳng có nhiều cặp vectơ phương (VTCP) - Hai mặt phẳng phân biệt có cặp VTCP song song với - Một mặt phẳng ( α ) hoàn toàn xác định biết điểm M cặp r r ( ) VTCP a; b - Nếu đường thẳng d có VTCP phương với hai VTCP mặt phẳng ( α ) d song song chứa ( α ) 1.1.2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r r Vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) giá n vuông góc với mặt phẳng ( α ) Nhận xét: r r Nếu vectơ n vectơ pháp tuyến mp ( α ) k n ( k ≠ ) vectơ pháp tuyến mp ( α ) r r r r r r r n ⊥ a r Nếu n VTPT a; b cặp VTCP ( α ) thì: r r ⇔ n = k a, b ; k ≠ n ⊥ b ( ) Trang5 1.1.3 Phương trình tổng quát mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có r VTPT n = ( A; B; C ) có dạng: ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Định lí: Trong không gian Oxyz phương trình tổng quát mặt phẳng có dạng: r Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > nhận n = ( A; B; C ) làm VTPT 1.1.4 Một số trường hợp đặc biệt phương trình tổng quát mặt phẳng a Nếu D = , mặt phẳng ( α ) qua gốc tọa độ b Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ , mặt phẳng ( α ) có dạng : By + Cz + D = chứa song song với trục x ' Ox Tương tự: ( α ) có dạng Ax + Cz + D = chứa song song với trục y ' Oy ( α ) có dạng Ax + By + D = chứa song song với trục z ' Oz c Nếu A = 0; B = 0; C ≠ 0; D ≠ , mặt phẳng ( α ) có dạng Cz + D = ( α ) song song trùng với mặt phẳng Oxy Tương tự: ( α ) có dạng Ax + D = song song trùng với mặt phẳng Oyz ( α ) có dạng By + D = song song trùng với mặt phẳng Oxz d Nếu mp ( α ) qua ba điểm a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ pt ( α ) có dạng: A ( a, 0, ) ; B ( 0, b, ) ; C ( 0, 0, c ) x y z + + = (1) a b c Phương trình (1) gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn 2 e Nếu mp ( α ) có dạng A0 x + B0 y + C0 z = (2) với A0 + B0 + C0 = Phương trình (2) gọi phương trình pháp dạng mặt phẳng ( α ) Đặc biệt: phương trình mặt phẳng tọa độ là: mp Oxy có phương trình : z = mp Oyz có phương trình : x = mp Oxz có phương trình : y = Trang6 với 1.2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian cho hai mặt phẳng ur ( α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có VTPT là: n1 ( A1 , B1 , C1 ) ( α ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = có VTPT ur uu r n2 ( A2 , B2 , C2 ) Khi đó: uu r ( α1 ) cắt ( α ) ⇔ n1 n2 không phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ur uu r ( α1 ) // ( α ) ⇔ n1 n2 phương ⇔ ( α1 ) ≡ ( α ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 1.3 Chùm mặt phẳng 1.3.1 Định nghĩa Chùm mặt phẳng tập hợp tất mặt phẳng qua đường thẳng 1.3.2 Định lí Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) cắt ( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ; ( Q ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) có dạng: m1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + m2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = (1) 2 Trong m n không đồng thời ( m + n ≠ ) Phương trình (1) gọi phương trình chùm mặt phẳng 1.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm M ( x0 , y0 , z0 ) mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi d ( M , ( α ) ) khoảng cách từ điểm M đến mp ( α ) Ta có: d ( M , (α ) ) = A x0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Chú ý: Nếu mp ( α ) song song với mp ( β ) thì: d ( (α ), ( β ) ) = d ( M , (α ) ) với M ∈ ( β ) Nếu a song song với mp ( α ) thì: d ( a, (α ) ) = d ( M , (α ) ) với M ∈ ( α ) Trang7 1.5 Một số toán liên quan Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp: lập phương trình mặt phẳng ( α ) ta thực theo bước sau: Bước 1: Xác định điểm M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( α ) r Xác định VTPT n ( A, B, C ) ( α ) Bước 2: Khi đó: ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Chú ý: r r Nếu ( α ) có cặp VTCP ( a, b ) VTPT ( α ) xác định r r r n = a, b Mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) có phương trình dạng: ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác định A, B, C r Mặt phẳng ( α ) có VTPT n ( A, B, C ) có phương trình dạng: ( α ) : Ax + By + Cz + D = Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác định D Mặt phẳng ( α ) song song mp ( β ) : A x + By + Cz + D = có phương trình dạng: ( α ) : A x + By + Cz + D ' = Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta xác định D ' Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) biết r a ( α ) qua điểm A ( 1, 2,3) có VTPT n ( 2, −1,3) r r b ( α ) qua điểm B ( 2, −1,1) có cặp VTCP a ( 2, −1, ) ; b ( 3, −2,1) Giải r a Mặt phẳng ( α ) qua A ( 1, 2,3) có VTCP n ( 2, −1,3) ( α ) : ( x − 1) − 1( y − ) + ( z − 3) = ⇔ ( α ) : x − y + 3z − = r b Gọi n VTPT mặt phẳng ( α ) , ta có: Trang8 r r r r r −1 2 2 −1 n ⊥ a ⇔ n = a r r , b = −2 , , −2 ÷ = ( 3, 4, −1) n ⊥ b r Mặt phẳng ( α ) qua B ( 2, −1,1) có VTPT n ( 3, 4, −1) ( α ) : ( x − ) + ( y + 1) − 1( z − 1) = ⇔ ( α ) : x + y − z − = Ví dụ Lập phương trình mặt phẳng ( α ) biết: a Mp ( α ) qua M ( 3, 2, −1) song song với mặt phẳng ( β ) có phương trình x − 5y + z = b Mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( 0,1,1) ; N ( −1, 0, ) vuông góc với mặt phẳng x − y + z + = Giải: a Vì ( α ) // ( β ) : x − y + z = nên phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng: ( α ) : x − 5y + z + D = Do M ( 3, 2, −1) ∈ ( α ) nên: − 5.2 + (−1) + D = ⇔ D − = ⇔ D = Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − y + z + = r b Đặt ( β ) : x − y + z + = ⇒ n = ( 1, −1,1) VTPT mp ( β ) r Vì ( α ) ⊥ ( β ) nên n VTCP mp ( α ) Vì ( α ) qua hai điểm M , N vuông góc với mp ( β ) nên mp ( α ) có cặp uuuu r r VTCP là: MN = ( −1, −1,1) n = ( 1, −1,1) uur uuuu r r Suy ra: VTPT mp ( α ) nα = MN , n = ( 0, 2, ) uur Mặt phẳng ( α ) qua M ( 0,1,1) có VTPT nα = ( 0,1,1) ⇒ ( α ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = ⇔ ( α ) : y + z − = Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB biết A ( 1,3, −2 ) B ( 1, 2,1) Lập phương trình mp ( α ) chứa đường thẳng AB song song với CD , A ( 5,1,3) ; B ( 1, 6, ) ; C ( 5, 0, ) ; D ( 4, 0, ) Trang9 3.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M ( 1, 0, −2 ) vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = ( Q ) : x − y − z − = Giải Gọi ( α ) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm đoạn AB Khi đó: 1+1 xI = = 3+ = yI = 2 −2 + 1 zI = = − 1 ⇒ I 1, , − ÷ 2 Vì ( α ) mặt phẳng trung trực AB I trung điểm AB nên I = ( α ) ∩ AB uuur uuur uuur Ta có: AB ⊥ ( α ) ⇒ AB VTPT mp ( α ) , với AB = ( 0, −1,3) uuur VTPT AB = ( 0, −1,3) Mặt phẳng ( α ) xác định bởi: 1 qua I 1, , − ÷ 2 5 1 uuur uuur Vì mp ( α ) chứa AB ( α ) // CD nên AB CD Phương trình mp ( α ) : ( x − 1) − 1 y − ÷+ z + ÷ = ⇔ y − z − = 2 cặp VTCP mp ( α ) r uuu r uuur Khi đó: VTPT mp ( α ) là: nα = AB, CD uuur uuur Ta có: AB = ( −4,5, −1) & CD = ( −1, 0, ) r ⇒ nα = ( 10,9,5 ) r Mặt phẳng ( α ) qua A ( 5,1, 3) có VTPT nα = ( 10,9,5 ) Phương trình mp ( α ) : 10 ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = ⇔ ( α ) : 10 x + y + z − 74 = Ta có: ( P ) : 2x + y − z − = uur uur ⇒ nP = ( 2,1, −1) ; ( Q ) : x − y − z − = ⇒ nQ = ( 1, −1, −1) Trang10 Cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = điểm M ( 1,1, −1) a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng ( α ) b Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ) Giải: a Gọi H hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng ( α ) Gọi ∆ đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng ( α ) , đó: H = ∆ ∩(α ) Theo đề bài: ( α ) : 3x − y + z − = ⇒ VTPT mặt r phẳng ( α ) là: n = ( 3, −1, ) Khi đó: x = + 3t Qua M ( 1,1, −1) ⇔ ( ∆ ) : y = − t ;t ∈ ¡ r r ( ∆) : z = −1 + 2t Có VTCP a = n = ( 3, −1, ) Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: x = + 3t y = 1− t z = −1 + 2t 3 x − y + z − = 17 13 t = 14 x = 17 14 ⇔ y = 13 14 z = − ⇒ 17 13 H ; ;− ÷ 14 14 6 Vậy H ; ; − ÷ 14 14 b M ' điểm đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ) ⇒ H trung điểm MM ' Do đó: xM ' = xH − xM yM ' = yH − yM zM ' = z H − zM 10 xM ' = ⇔ yM ' = zM ' = − Trang34 10 5 ' Vậy M ; ; − ÷ 7 7 Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên đường thẳng d Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M vuông góc với d Bước 2: Gọi H = d ∩ ( α ) , tọa độ điểm H tọa độ hình chiếu điểm M lên đường thẳng d Cách 2: Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng d dạng tham số Bước 2: Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng d, H ∈ d (biểu diễn tọa độ điểm H theo tham số t) uuuur r Ta có: MH ⊥ d ⇔ MH a = , từ ta tìm tọa độ điểm H Chú ý: Nếu yêu cầu toán tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng d , ta thực thêm bước Bước 3: Gọi M ' điểm đối xứng M qua d ⇒ H trung điểm MM ' xM ' = xH − xM y M ' = y H − yM zM ' = z H − zM Khi đó: Ví dụ minh họa: Tìm điểm đối xứng M ( −3,1, −1) điểm qua đường 4 x − y − 13 = y − 2z + = ( d ) : Giải: x − y − 13 = y − 2z + = Ta có: ( d ) : r ⇒ đường thẳng d có VTCP là: a = ( 3, 4, ) Gọi ( P ) mặt phẳng qua M vuông góc với đường thẳng d Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: ( x + 3) + ( y − 1) + ( z + 1) = ⇔ ( P ) : 3x + y + z + = Trang35 thẳng Gọi H = d ∩ ( α ) , tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: x − y − 13 = x = ⇔ y = −3 ⇒ H ( 1, −3,1) y − 2z + = 3 x + y + z + = z = Lúc này, H hình chiếu M lên đường thẳng d Gọi M ' điểm đối xứng với M qua d Khi H trung điểm MM ' xM ' = xH − xM xM ' = Ta có: yM ' = yH − yM ⇔ yM ' = −7 zM ' = z H − zM zM ' = ' Vậy M ( 5, −7, 3) Bài toán 5: Lập phương trình hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng ( α ) Phương pháp: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( β ) chứa đường thẳng d vuông góc mặt phẳng ( α ) ' Bước 2: Gọi d ' hình chiếu d lên mặt phẳng ( α ) , đó: d = ( α ) ∩ ( β ) Ví dụ minh họa: Lập phương trình hình chiếu đường thẳng ( d ) : x − y + z −1 = = lên mặt phẳng ( α ) có phương trình: x + y + z + = Giải: Gọi d ' hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng ( α ) ( β ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) ' Khi đó: d = ( α ) ∩ ( β ) Lập phương trình mặt phẳng ( β ) : r VTCP đường thẳng a = ( 3, 4,1) uur VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = ( 1, 2, 3) uur r nβ ⊥ a uur uur r d ⊂ ( β ) Vì nên uur uur ⇒ nβ = nα ; a = ( 5, −4,1) ( β ) ⊥ ( α ) nβ ⊥ nα Chọn A ( 2, −2,1) ∈ d ⊂ ( β ) Trang36 Phương trình mặt phẳng ( β ) có dạng: ( x − ) − ( y + ) + 1( z − 1) = ⇔ ( β ) : x − y + z − 19 = x + y + 3z + = 5 x − y + z − 19 = Phương trình đường thẳng d ' là: Bài toán 6: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ Phương pháp: Cách 1: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường: d ( M ,( ∆) ) uuuuuu r r M 0M ;u = r u r Trong đó: đường thẳng ∆ qua điểm M có VTCP u Cách 2: Thực theo bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d Bước 2: Khi đó: d ( M , ( ∆ ) ) = MH Bài toán 7: Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆ Phương pháp: sử dụng theo hai cách sau: Cách 1: Sử dụng công thức sau: d ( ∆1 , ∆ ) r ur uuuuuur u , u ' M M ' 0 = r ur' u , u Trong : r Đường thẳng ∆1 qua M có VTCP u ur ' Đường thẳng ∆ qua M có VTCP u ' Cách 2: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆1 song song với đường thẳng ∆ Bước 2: Lấy điểm A∈ ∆ Bước 3: Tính d ( A, α ) = d ( ∆1 , ∆ ) Ví dụ minh họa: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆' Biết Trang37 x + y − z + = ( ∆) : 2 x − y + = x = 1+ t ∆' : y = −2 + t ; t ∈ ¡ z = − t ( ) Giải: Cách 1: r Đường thẳng ∆ qua điểm M ( 0,1, ) có VTCP a = ( −1, −2, −3) ur ' Đường thẳng ∆' qua điểm M ( 0, −3, ) có VTCP a ' = ( 1,1, −1) Khi khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆' tính theo r ur uuuuur a , a' MM ' ' công thức d ∆, ∆ = r ur' a, a r ur' uuuuur Với a , a = ( 5, −4,1) MM ' = ( 0, −4, −2 ) ( ( ) ⇒ d ∆, ∆' = ) 5.0 + ( −4 ) ( −4 ) + ( −2 ) = 25 + 16 + 14 42 = 42 Cách 2: Theo đề ta có: r VTCP đường thẳng ∆ a = ( −1, −2, −3) ur VTCP đường thẳng ∆' a ' = ( 1,1, −1) Gọi ( α ) mặt phẳng chứa ∆ song song với ∆' Chọn M ( 0,1, ) ∈ ∆ ⇒ M ∈ ( α ) r ur Vì ( α ) chứa ∆ song song với ∆' nên ( α ) có cặp VTCP a a' r r ur' α n = a , a = ( 5, −4,1) Do VTPT mặt phẳng ( ) Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) : ( α ) : ( x − ) − ( y − 1) + z − = ⇔ ( α ) : 5x − y + z − = ' Chọn A ( 1, −2, 3) ∈ ∆ Khi đó: ( ) d ∆, ∆' = d ( A, ( α ) ) = 1.5 + ( −4 ) ( −2 ) + 1.3 − 25 + 16 + Trang38 = 14 42 = 42 2.5 Bài tập tổng hợp: Bài 1: x − z + 23 = x − 2z − = ( d ) : y − z + 10 = y + 2z + = Cho hai đường thẳng ( d1 ) : Lập phương trình đường thẳng d song song với trục Oz cắt ( d1 ) ( d ) Giải: Gọi ( α1 ) mặt phẳng song song với Oz chứa d1 Gọi ( α ) mặt phẳng song song với Oz chứa d Khi đó: d = ( α1 ) ∩ ( α ) Lập phương trình mặt phẳng ( α1 ) : ur ur ur VTPT mặt phẳng ( α1 ) là: n1 = a1 , e3 = ( 1, −2, ) Chọn A ( 1, 2, 3) ∈ d1 ⊂ ( α1 ) Phương trình mặt phẳng ( α1 ) : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ ( α1 ) : x − y + = Lập phương trình mặt phẳng ( α ) VTPT mặt phẳng ( α ) : uu r uu r ur n2 = a2 , e3 = −2 ( 1,1, ) Chọn B ( 1, 0, −1) ∈ d ⊂ ( α ) Phương trình mặt phẳng ( α ) : x + y − = x + y −1 = x − y + = Vậy phương trình đường thẳng d có dạng: Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = = = ( d ) : −5 −2 −1 a Tìm phương trình đường vuông góc chung d d1 d b Tính tọa độ giao điểm H , K d với d1 d Giải: x = + 2t a Ta có: ( d1 ) y = + 3t ; t ∈ ¡ z = −4 − 5t x = −1 + 3t ' ' ' ( d ) : y = − 2t ; t ∈ ¡ z = − t' Gọi d đường vuông góc chung d1 d H = d ∩ d1 ⇒ d ≡ ( HK ) K = d ∩ d2 Trang39 ' ' ' Đặt A ( + 2t; + 3t; −4 − 5t ) B ( −1 + 3t ; − 2t ; − t ) Phương trình đường thẳng ( AB ) có VTCP là: uuur AB = −3 + 3t ' − 2t;1 − 2t ' − 3t; − t ' + 5t ( ) uuur uuu r ur ' ' ' AB ⊥ d1 AB a1 = 2 −3 + 3t − 2t + − 2t − 3t − − t + 5t = ⇔ uuu ⇔ r uu r Vì uuur ' ' ' AB ⊥ d AB a = 3 −3 + 3t − 2t − − 2t − 3t − − t + 5t = 2 ( ( ) ( ) ( uuur 5t ' − 38t − 43 = t ' = ⇔ ' ⇔ ⇒ AB = ( 2, 2, ) 14t − 5t − 19 = t = −1 ) ( ) ( ) ) uuur Đường thẳng d qua A ( 0, 0,1) có VTCP AB = ( 2, 2, ) x = u ⇒ Phương trình tham số ( d ) : y = u ; u∈¡ z = 1+ u b Gọi H = d ∩ d1 K = d ∩ d Vậy H ( 0, 0,1) K ( 2, 2, 3) Bài 3: Trong không gian cho hai đường thẳng ( d1 ) : x y +1 z = = 3x − z + = 2 x + y − = ( d2 ) : a Chứng minh d1 d chéo vuông góc b Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 d , đồng thời song song với đường thẳng ( ∆ ) : Giải: x −4 y −7 z −3 = = −2 ur a Đường thẳng d1 qua M ( 0, −1, ) có VTCP là: a1 = ( 1, 2,1) uu r Đường thẳng d qua M ( 0,1,1) có VTCP là: a2 = ( 1, −2, 3) ur uu r Ta có: a1 a2 = 1.1 − 2.2 + 1.3 = ⇒ d1 ⊥ d ur uu r Mà a1 , a2 = ( 4, −1, −2 ) (1) uuuuuur ur uu r uuuuuur M 1M = ( 0, 2,1) ⇒ a1 , a2 M 1M = − − = −8 ≠ ⇒ d1 d chéo (2) Từ (1) (2) suy ⇒ d1 d chéo vuông góc (đpcm) Trang40 b Gọi ( α ) mặt phẳng song song với ∆ chứa d1 ( β ) mặt phẳng song song với ∆ chứa d2 r Ta có: VTCP đường thẳng ∆ là: a = ( 1, 4, −2 ) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) : ur r ur VTPT mặt phẳng ( α ) là: n1 = a , a1 = ( −8, 3, ) Phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng: −8 x + ( y + 1) + z = ⇔ ( α ) : 8x − y − z − = Lập phương trình mặt phẳng ( β ) : uu r r uu r VTPT mặt phẳng ( β ) là: n2 = a , a2 = ( 8, −5, ) Phương trình mặt phẳng ( β ) có dạng: ( β ) : x − y − z + 11 = 8 x − y − z − = 8 x − y − z + 11 = Vậy phương trình đường thẳng ( d ) : Bài 4: Lập phương trình đường thẳng qua giao điểm đường thẳng ( d) : x −1 y z + = = mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = vuông góc với d −3 thuộc ( α ) Giải Cách 1: Gọi ( β ) mặt phẳng qua A, với A giao điểm d mặt phẳng ( α ) vuông góc với đường thẳng d Gọi ∆ đường thẳng qua A, vuông góc với d thuộc mặt phẳng ( α ) Khi đó: ∆ = ( α ) ∩ ( β ) Lập phương trình mặt phẳng ( β ) : Vì A = d ∩ ( α ) nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: Trang41 x = x − y −1 = x −1 y z + = = 7 ⇔ y = ⇒ A 2; ; − ÷ −3 ⇔ 3 y + z + = 2 2 x + y + z − = 2 x + y + z − = z = − Ta có: ( d ) : r a = ( 2,1, −3) x − y z + VTCP d = = ⇒ −3 uur r Vì ( β ) vuông góc với d nên VTPT ( β ) nβ = a = ( 2,1, −3) Vậy phương trình mặt phẳng ( β ) có dạng: ( β ) : ( x − ) + y − 1 − 3 z + = ÷ ⇔ ÷ 2 ( β ) : x + y − 3z − 15 = 2 x + y + z − = x + y − z − 15 = Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: Cách 2: Gọi A = d ∩ ( α ) , tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x = x − y −1 = x −1 y z + = = 7 ⇔ y = ⇒ A 2; ; − ÷ −3 ⇔ 3 y + z + = 2 2 x + y + z − = 2 x + y + z − = z = − Gọi ∆ đường thẳng qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( α ) , vuông góc d nằm ( α ) Ta có: ( d) : x −1 y z + = = ⇒ VTCP d −3 r a = ( 2,1, −3) r ( α ) : x + y + z − = ⇒ VTPT ( α ) = ( 2,1,1) r r r r r b ⊥ a ∆ ⊥ d ⇔ r r ⇔ b = a , n Vì ∆ ⊂ ( α ) b ⊥ n r ⇔ b = ( 4, −8, ) = ( 1, −2, ) r (với b VTCP đường thẳng ∆ ) Vậy phương trình đường thẳng ∆ có dạng: Trang42 x = + t ( d ) : y = − 2t z = − y− z+ d : x − = 2 = ( ) −2 Bài 5: Lập phương trình đường thẳng qua M ( 0,1,1) , vuông góc với đường thẳng x + y − z + = x −1 y + z = = cắt đường thẳng 1 x +1 = Giải Đặt: ( d1 ) : x −1 y + z = = 1 ( d2 ) : x + y − z + = x +1 = Gọi ( α1 ) mặt phẳng qua M vuông góc với d1 Gọi ( α ) mặt phẳng qua M chứa d Khi d = ( α1 ) ∩ ( α ) đường thẳng cần tìm Lập phương trình mặt phẳng ( α1 ) : ur x −1 y + z = = ⇒ VTCP d1 a1 = ( 3,1,1) 1 ur ur Vì ( α1 ) ⊥ d1 nên VTPT mặt phẳng ( α1 ) n1 = a1 = ( 3,1,1) ( d1 ) : Ta có Do phương trình mặt phẳng ( α1 ) có dang: ( α1 ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = ⇔ ( α1 ) : x + y + z − = Lập phương trình mặt phẳng ( α ) : Mặt phẳng ( α ) chứa d , nên phương trình có dạng: m1 ( x + y − z + ) + m2 ( x + 1) = Vì M ∈ ( α ) nên ta có: 2m1 + m2 = ⇒ m1 = 1; m2 = −2 Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) : x − y + z = 3 x + y + z − = x − y + z = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d là: Bài 6: Trang43 Cho hai đường thẳng 2 x − z + = x + y = ( d1 ) : 3 x − z + 12 = ; ( d2 ) : mặt y − z + = phẳng ( P ) : x + y − z + = Xác định tọa độ giao điểm hình chiếu vuông góc hai đường thẳng lên mặt phẳng ( P ) Giải r Ta có: ( P ) : x + y − z + = có VTPT n = ( 1,1, −1) Gọi d1' d 2' hình chiếu vuông góc d1 d lên mặt phẳng ( P ) ' Lập phương trình đường thẳng d1 : Gọi ( α1 ) mặt phẳng chứa đường thẳng d1 vuông góc với mặt phẳng ( P ) ur Ta có: đường thẳng d1 qua A1 ( 0, 0,1) có VTCP a1 = ( 2, −1, ) ur r ur VTPT mặt phẳng ( α1 ) n1 = n, a1 = ( −3, 6, 3) = −3 ( 1, −2, −1) Vậy phương trình mặt phẳng ( α1 ) có dạng: ( α1 ) : 1( x − ) − ( y − ) − 1( z − 1) ⇔ ( α1 ) : x − y − z + = x + y − z +1 = x − y − z +1 = ' Khi phương trình đường thẳng d1 Lập phương trình đường thẳng d 2' : Gọi ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mp ( P ) uu r Ta có: đường thẳng d qua điểm A2 ( −4, −2, ) có VTCP a2 = ( 1, 3, 3) uu r r uu r VTPT mặt phẳng ( α ) n2 = n, a2 = ( 6, −4, ) = ( 3, −2,1) Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng: ( α ) : ( x + ) − ( y + ) + 1( z − ) ⇔ ( α ) : 3x − y + z + = x + y − z +1 = 3 x − y + z + = Khi phương trình đường thẳng d 2' ' ' Gọi A = d1 ∩ d ⇒ Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x = − x + y − z +1 = x − y − z +1 = ⇔ y = 3 x − y + z + = z = − Trang44 5 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm A − , 0, − ÷ 4 2.6 Bài tập đề nghị: Bài 1: ( ∆) : Cho hai đường thẳng x − y −1 z = = −7 −3 (d) : x−7 y −3 z −9 = = −1 Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua ∆ Bài 2: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Lập phương trình đường thẳng d ' đối x = 3t xứng với đường thẳng ( d ) : y = − t qua mặt phẳng ( P ) z = 5t Bài 3: Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng ( d1 ) : x − y + z +1 = 2 x + y − z = x + y + z = 2 x − y − z − = ( d2 ) : Bài 4: x + y −1 = điểm I ( 1,1,1) Lập phương trình 3x + z + = Cho đường thẳng ( d ) : mặt phẳng chứa đường thẳng d cách I đoạn Bài 5: Cho đường thẳng ( d) : x − y + z −1 = = mặt phẳng ( P ) : 3x − y − z + 15 = Xác định hình chiếu vuông góc d lên mặt phẳng ( P ) Bài 6: 3 y − z − = , mặt phẳng x − y + = Cho đường thẳng ( d ) : ( P ) : x − y − z − = điểm I ( 1,1, −2 ) Lập phương trình đường thẳng qua I song song với ( P ) cắt d Bài 7: Trang45 Cho tứ diện ABCD với A ( 2,1, 3) , B ( 3, −2,1) , C ( −4,1,1) D ( 1,1, −3) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, U,V,R hình chiếu I trục Ox, Oy, Oz Hãy tìm phương trình mặt phẳng ( UVR ) Trang46 C KẾT LUẬN Tóm lại, với đề tài tiểu luận này, trình bày kiến thức mặt phẳng đường thẳng thẳng không gian, tóm tắt kiến thức đáng nhớ cần thiết để vận dụng giải tập, nêu cách lập phương trình mặt phẳng, cách lập phương trình đường thẳng phương pháp giải số dạng toán liên quan Vì tài liệu tham khảo thời gian nhiều hạn chế nên trình bày hết vấn đề liên quan đến “Mặt phẳng đường thẳng không gian” Qua phần trình bày tài liệu này, phần củng cố nâng cao thêm kiến thức nội dung này, nội dung mà nghĩ thú vị cần thiết cho sinh viên trường Đồng thời qua rèn luyện thêm kỷ giải toán hình giải tích, biết đưa nhiều hướng giải toán, nhìn nhận hướng giải tối ưu Phương pháp tọa độ không gian công cụ hữu ích trình giải tập hình không gian Và nội dung kiến thức nêu đề tài tảng cho có hứng thú nghiên cứu “ Phương pháp tọa độ hóa không gian” – phương pháp mạnh để vận dụng giải toán hình học không gian cổ điển cách dễ dàng Tuy nhiên, đề tài không nêu phương pháp Một lần xin chân thành cảm ơn quý thầy cô bạn quan tâm đóng góp ý kiến cho hoàn thành đề tài tiểu luận này! Trang47 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 12 (nâng cao bản), Bộ Giáo dục đào tạo, Năm 2008 Trần Minh Quang , 190 Bài toán hình học giải tích, NXB Trẻ, Năm 2000 Lê Đức, Các dạng toán điển hình Hình Học 12, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Năm 2008 Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán Hình Học 12, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Năm 2000 Tài liệu Internet: www.onthi.com.mht Trang48 [...]... trình của một mặt phẳng Trang21 b Tìm tọa độ điểm cố định mà (1) luôn đi qua Bài 3: Trong không gian cho hai điểm A ( 1, −2, 2 ) và B ( −2, 0, 2 ) a Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng ( Oxy ) b Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với mặt phẳng −2 x + 3 y + 2 z + 1 = 0 Hãy lập phương trình mặt phẳng ( β ) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( α... qua A và chứa d1 Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng ( P2 ) qua A và chứa d 2 Bước 3: Đường thẳng ( d ) cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) Cách 2: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và chứa d1 Bước 2: Xác định giao điểm B của mặt phẳng ( P ) với ( d 2 ) Bước 3: Lập phương trình đường thẳng ( AB ) 5 Lập phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng. .. Giải: Cách 1: Gọi d là đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d 2 Gọi ( α1 ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1 Gọi ( α 2 ) là mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d 2 Khi đó: d = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) Theo đề bài: ur ur ur Đường thẳng d1 có VTCP là a1 = ( −1,1, 0 ) ⇒ VTPT của ( α1 ) : n1 = a1 = ( −1,1, 0 ) Khi đó phương trình mặt phẳng ( α1 ) có dạng: ( α1... d lên mặt phẳng ( α ) , khi đó: d = ( α ) ∩ ( β ) Ví dụ minh họa: Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng ( d ) : x − 2 y + 2 z −1 = = lên 3 4 1 mặt phẳng ( α ) có phương trình: x + 2 y + 3 z + 4 = 0 Giải: Gọi d ' là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng ( α ) ( β ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( α ) ' Khi đó: d = ( α ) ∩ ( β ) Lập phương trình mặt phẳng. .. β ) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( α ) Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( α1 ) : y + 2 z − 4 = 0 và ( α 2 ) : x + y − z − 3 = 0 Lập phương trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng và song song với mặt phẳng x + y + z − 2 = 0 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm M ( −4, −9,12 ) Lập phương trình mặt phẳng OC = OA + OB qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt... C2 và (1), (2) lần lượt là pt của hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) r Khi đó VTCP a của đường thẳng ( d ) được xác định bởi công thức: r B a = 1 B2 C1 C1 ; C2 C2 A1 A1 ; A2 A2 B1 ÷ B2 2.2 Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng 2.2.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng Oxyz cho hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) : ( d1 ) : r x − x1 y − y1... a1 và a2 của đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng ( P1 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 ) Lập phương trình mặt phẳng ( P2 ) đi qua A và vuông góc với ( d 2 ) Bước 3: Khi đó d = ( P1 ) ∩ ( P2 ) 4 Lập phương trình đường thẳng ( d ) đi qua A và cắt hai đường thẳng chéo nhau ( d1 ) và ( d 2 ) Ta có thể thực hiện theo các cách sau: Cách 1: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng. .. −1 y +1 z = = và 2 −1 1 x − 2 y + z − 4 = 0 và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 Lập phương trình 2 x − y + 2 z + 1 = 0 ( d2 ) : đường thẳng ( ∆ ) sao cho ∆ ⊥ ( P ) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 Giải: uur Ta có: ( P ) : x + y + z − 1 = 0 có VTPT là nP = ( 1,1,1) Gọi ( α1 ) và ( α 2 ) lần lượt là mặt phẳng chứa d1 và d 2 và vuông góc với ( P ) ∆ = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) Đường thẳng d1 đi qua... d ) không song song với ( d 2 ) thì đường thẳng ( d ) cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) Cách 2: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc d1 Bước 2: Xác định giao điểm B của d 2 với mp ( P ) Nếu không tồn tại giao điểm Kết luận không tồn tại đường thẳng ( d ) thỏa yêu cầu bài toán Nếu có vô số giao điểm Kết luận có vô số đường thẳng ( d ) nằm trong. .. và chỉ khi: 1 1 1 1 = = = ⇔a =b = c =3 a b c 3 Khi đó phương trình mặt phẳng ( R ) : x y z + + = 1 ⇔ ( R) : x + y + z − 3 = 0 3 3 3 Bài 2: Trong không gian cho hai mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 ; ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và điểm M ( 1, 0, 5 ) a Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) b Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến ( d ) của ( α ) và ( β ) đồng thời vuông góc với mặt