UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) y= 2x +1 x −1 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (H) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (H) Tiếp tuyến điểm AB = 10 hai đường tiệm cận (H) A, B cho cos x ( cos x + sin x − 1) = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: z = (1 − 2i )(2 + i) b) Tính môđun số phức x +1 x − 4.3 + = Câu (0,5 điểm) Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình M có hoành độ dương thuộc (H) cắt ( x − 13 ) y = ( x + 1) 3 y − − x 2 ( y − 1) x + ( y + ) x = y + 12 y + ( x + 1) 3 y − ( x, y ∈ ¡ ) e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân + ln x I = ∫ x3 + ÷dx + x ln x 1 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a đồng thời SA, SB, SC đôi vuông góc với S Gọi H, I, K trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi D điểm đối xứng S qua K; E giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI) Chứng minh AD vuông góc với SE tính thể tích khối tứ diện SEBH theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, đường M ( 1; −5 ) , thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm −13 N ; ÷, P ; ÷ 2 2 2 Q ( −1;1) (M, N, P không trùng với A, B, C) Tìm tọa độ A, B, C biết đường thẳng chứa cạnh AB qua A có hoành độ dương điểm ( P) : x − y + z + = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng d: x = + 3t y = 2−t z = 1+ t Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu (0,5 điểm Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp A Tính xác suất để chọn số chia hết cho a, b, c Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn P= a + 2b − c > a + b + c = ab + bc + ca + a+c+2 a + b +1 − a(b + c) + a + b + (a + c)(a + 2b − c ) Tìm giá trị lớn biểu thức: UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1.a HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Đáp án D = ¡ \ { 1} Tập xác định: Sự biến thiên −3 y, = < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( −∞;1) + Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) + Hàm số cực trị + Giới hạn: lim y = 2; lim y = ⇒ x →−∞ x →+∞ * Đường thẳng y=2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y = −∞;lim y = +∞ ⇒ x →1− x →1+ * Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số Bảng biến thiên: − ;0 ÷ Đồ thị: Giao điểm (H) với Ox , giao ( 0; −1) điểm (H) với Oy I ( 1; ) Đồ thị nhận làm tâm đối xứng 1.b Gọi 2x + M x0 ; ÷∈ ( H ) ; x0 − ( < x0 ≠ 1) ( H) Phương trình tiếp tuyến M 2x +1 −3 x − x0 ) + (d) : y = ( x0 − ( x0 − 1) (d) cắt tiệm cận đứng (x=1) 2x + A 1; ÷ x0 − B ( x0 − 1; ) (d) cắt tiệm cận ngang (y=2) 36 AB = 10 ⇔ ( x0 − 1) + = 40 ( x0 − 1) x0 = ⇒ x0 = < x0 (do ) Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M ( 2;5 ) M ( 4;3 ) a 0,5 cos x ( cos x + sin x − 1) = cos x = ⇔ sin x + π ÷ = 4 cos x = ⇔ x = +) Với +) Với 0,25 π kπ + ( k ∈¢ ) x = k 2π π sin x + ÷ = ⇔ (k ∈ ¢ ) x = π + k 2π 4 2.b 0.5 z = (1 − 2i )(2 + i ) = (1 − 2i)(4 + 4i + i ) = (1 − 2i)(3 + 4i) = + 4i − 6i − 8i = 11 − 2i Vậy z = 11 − 2i ⇒ z = 112 + 22 = 5 (1điểm) 0,25 3x = x = 32 x +1 − 4.3x + = ⇔ x ⇔ 3 = x = −1 1,0 ( x − 13) y = ( x + 1) y − − x 2 ( y − 1) x + ( y + ) x = y + 12 y + ( x + 1) 3 y − ( 1) ( 2) Trừ vế với vế (1) (2) ta y =1 ( y − 1) x − y + y = ⇔ y = x y =1 Với thay vào (1) ta 0,25 x − 13 = x + − x ⇔ x = y = x2 Với thay vào (1) ta x − 13 x + x = ( x + 1) 3 x − ⇔ ( x − 1) − ( x − x − 1) = ( x + 1) 3 ( x + 1) ( x − 1) + ( x − x − 1) a = x − 1, b = 3 x − 0,25 Đặt ta a − ( x − x − 1) = ( x + 1) b ⇒ a − b3 + ( a − b ) ( x + 1) = ⇔ a = b 2 b − ( x − x − 1) = ( x + 1) a a + ab + b + x + = x = 1⇒ y = a = b ⇒ x − = x − ⇔ x − 15 x + x + = ⇔ x = − ⇒ y = 64 3 2 a a a + ab + b + x + = + b ÷ + ( x − 1) + x + = + b ÷ + 3x − x + > 0, ∀x 2 2 2 −1 ; ÷ 64 ( x; y ) = ( 1;1) , Vậy hệ có nghiệm 0,5 1,0 e e 1 I = ∫ x 3dx + ∫ e e x + ln x dx; ∫ x dx = + x ln x 1 = e −1 4 0,5 e d ( + x ln x ) + ln x e+2 ∫1 + x ln xdx = ∫1 + x ln x = ( ln + x ln x ) = ln ( e + ) − ln = ln e Vậy e 0,5 e4 − e+2 I= + ln 1,0 0,25 HI ∩ AK = J , SJ ∩ AD = E Gọi ⇒ E = AD ∩ ( SHI ) Ta có J trung điểm AK, kẻ FK//SE AD a = ( F ∈ AD ) ⇒ AE = EF = FD = 3 Trong tam giác vuông cân SBC, a SK = BC = ⇒ SD = a 2 Trong tam giác vuông SAD, a SA2 = a , AE AD = a = a ⇒ SA2 = AE AD ⇒ SE ⊥ AD SH ⊥ AB Tam giác SAB cân S nên Ta lại có SC ⊥ ( SAB ) , SC / / BD ⇒ BD ⊥ ( SAB ) ⇒ BD ⊥ SH ⇒ SH ⊥ ( ABD) ⇒ SH ⊥ ( HBE ) SH = a 2 S HEB = S EAH , 0,25 0,25 S EAH AH AE 1 a2 a2 = = , S DAB = AB.BD = ⇒ S HEB = S DAB AB AD 2 12 Mà VSHBE a3 = SH S HBE = 36 Đường tròn ngoại tiếp 0,25 (đvtt) ∆ABC đường tròn ngoại tiếp −3 K ;0 ÷ 2 x + y + 3x − 29 = có tâm ∆MNP 1,0 có phương trình 0,25 Q ( −1;1) Vì P điểm cung AB nên đường thẳng chứa AB qua với KP 2x − y + = PT AB: Tọa độ A, B thỏa mãn hệ y = 2x + y = x + 2 x − y + = ⇔ ⇔ x = 2 x + y + 3x − 29 = x = −4 x + ( x + 3) + 3x − 29 = vuông góc 0,5 A ( 1;3 ) , B ( −4; −5 ) Từ đó, tìm 2x + y − = Ta lại có AC qua A, vuông góc với KN có phương trình Nên tọa độ điểm C thỏa mãn y = − 2x y = − x 2 x + y − = ⇔ ⇔ x = ⇒ C ( 4; −1) 2 x + y + 3x − 29 = x = x + ( − x ) + x − 29 = 0,25 1,0 ∈ 0,25 M(1+3t, – t, + t) d 2(1 + 3t ) − 2(2 − t ) + + t + =3 ⇔ ⇔ 0,5 ± Ta có d(M,(P)) = t= Suy ra, có hai điểm thỏa toán M1(4, 1, 2) M2( – 2, 3, 0) 0,25 A = 504 ⇒ n ( A ) = 504 0,5 Các số gồm ba chữ số đôi khác khác lập n ( Ω ) = 84 Chọn ngẫu nhiên số từ A có 84 cách nên Gọi B: “Số chọn chia hết cho 3” 0,25 Số lập chia hết cho lập từ số sau: { 1; 2;3} , { 1; 2;6} , { 1; 2;9} , { 1;3;5} , { 1;3;8} , { 1; 4;7} , { 1;5; 6} , { 1;5;9} , { 1;6;8} , { 1;8;9} { 2;3; 4} , { 2;3;7} , { 2; 4;6} , { 2; 4;9} , { 2;5;8} , { 2;6;7} , { 2;7; 9} , { 3; 4;5} , { 3; 4;8} { 3;5;7} , { 3;6;9} , { 3;7;8} , { 4;5;6} , { 4;5;9} , { 4;6;8} , { 5;6; 7} , { 5; 7;9} , { 6;7;8} , { 7;8;9} Mỗi số lập 3!=6 số nên có tất 29.6=174 số ⇒ n ( B ) = 174 Chọn số số có 174 cách n ( B ) 174 29 P ( B) = = = n ( Ω ) 504 84 Vậy xác suất 0,25 10 1,0 Áp dụng BĐT AM - GM ta có : ab + bc + ac + = a + b + c ≥ a + 2bc ⇔ 2ab + 2ac + ≥ a + bc + ab + ac ( ab + ac ) + ≥ ( a + b ) ( a + c ) ⇔ a ( b + c ) + a + b + ≥ Khi đó, ⇔ a+c+2 ≤ a ( b + c) + a + b +1 a + b Mặt khác, ( a + b ) ( a + c + 2) ( a + c ) ( a + b − 2c ) ≤ ( a + c + a + b − 2c ) = ( a + b ) ⇒ 0,5 a + b +1 a + b +1 ≥ ( a + c ) ( a + 2b − c ) ( a + b ) 2 a + b +1 1 1 P≤ − = − = − − ÷ ≤ 2 a + b ( a + b) a + b ( a + b) a +b Do đó, Vậy GTLN P 0,5