Đề thi thử môn toán THPT quốc gia năm 2015 (10)

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN (Ma trận có 02 trang) MA TRẬN ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN u cầu kiến thức : Theo quy định chuẩn kiến thức Chương trình Chuẩn Giáo dục phổ thơng Mơn Tốn cấp THPT Bộ GD-ĐT Yêu cầu kỹ : Theo quy định chuẩn kỹ Chương trình Chuẩn Giáo dục phổ thơng Mơn Tốn cấp THPT Bộ GD-ĐT Phạm vi kiến thức : Phần chung hai chương trình (chương trình Chuẩn Nâng cao) tính đến hết học kì I mơn Tốn 12 Chủ đề Nhận biết * Khảo sát hàm số toán liên quan - Số câu - Số điểm * Lượng giác - Số câu - Số điểm * Đại số tổ hợp 1.0 Mức độ nhận thức Thông Vận hiểu dụng 1.0 1.0 1.0 - Số câu - Số điểm * Hình học khơng gian 1.0 - Số câu - Số điểm * Phương pháp tọa độ mặt phẳng - Số câu - Số điểm * Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số 1.0 Vận dụng cao 2.0 1.0 - Số câu - Số điểm * Mũ logarit Tổng 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 1.0 - Số câu - Số điểm * Bài toán tổng hợp - Số câu - Số điểm TỔNG SỐ CÂU HỎI TỔNG SỐ ĐIỂM TỶ LỆ TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN (Đề thi có 01 trang) 1.0 4.0 40% 2.0 20% 3.0 30% 1.0 1.0 1.0 10% 1.0 11 10.0 100% ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề y= Câu (1.0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Câu (1.0 điểm) Tìm giá trị m y = − x + ( m + 3) x − ( m + 2m ) x − x=2 đạt cực đại sin x − 2cos x = 3sin x − cos x x+2 x−2 để hàm số Câu (1.0 điểm) Giải phương trình : Câu (1.0 điểm) Giải vơ địch bóng đá Châu Á có 16 đội bóng 16 quốc gia khác tham dự, có đội quốc gia khu vực Đông Nam Á Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên, chia 16 đội bóng thành bảng A, B, C, D bảng có đội để tiến hành thi đấu Tính xác suất để đội bóng quốc gia khu vực Đông Nam Á bảng Câu (1.0 điểm) 3.9 x − 26.3x − = a Giải phương trình : log ( x − ) + log ( x − 3) > b Giải bất phương trình : Câu (1.0 điểm) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 3a Tính theo a diện tích xung quanh, diện tích tồn hình nón thể tích khối nón tương ứng S ABCD ABCD a Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh · BAD = 600 SAB S Tam giác vuông cân nằm mặt phẳng vng góc với SA a S ABCD E mặt đáy Gọi trung điểm Tính theo thể tích khối chóp ( SBD ) E khoảng cách từ đến mặt phẳng Oxy ABCD AB = BC Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng , cho hình chữ nhật có H A BD E F Gọi hình chiếu vng góc lên đường thẳng , A ( 1;1) CD BH EF trung điểm Biết , đường thẳng có phương trình 3x − y − 10 = B, C , D E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình :  x + y + x + y + x + y + =   − xy − x + 2015 = x + x + y + + 2016 x Câu 10 (1.0 điểm) Cho ( bc + 1) a , b, c số thực dương thỏa mãn : + a = ( + a ) + bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức a + + a 2c 12 a P= + − 2 a bc ( c + 1) a + - HẾT Thí sinh khơng sử dung tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ! Họ tên thí sinh : ……………………………………… Số báo danh : ………………… TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm có 09 trang) KTCL ƠN THI THPT QG LẦN NĂM 2015 Mơn: TỐN I LƯU Ý CHUNG: - Đáp án trình bày cách giải, học sinh làm cách khác cho điểm tương ứng với đáp án - Nếu học sinh bỏ bước khơng cho điểm bước - Câu không thiết phải yêu cầu vẽ hình - Câu Câu bắt buộc phải có hình vẽ (Nếu khơng có vẽ sai khơng cho điểm) - Điểm tồn tính đến 0.25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Câu Nội dung trình bày y= Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a Tập xác định : b Sự biến thiên D = R \ { 2} 0.25 y, = * Chiều biến thiên : Ta có −4 ( x − 2) * Giới hạn : lim y = ; lim± y = ±∞ x→2 < ∀x ≠ ( −∞; ) Suy : Hàm số nghịch biến * Cực trị : Hàm số khơng có cực trị x →±∞ x+2 x−2 Điểm ( 2; +∞ ) 0.25 Suy : Tiệm cận đứng * Bảng biến thiên x , tiệm cận ngang +∞ − − +∞ c Đồ thị : Tâm đối xứng : y =1 0.25 −∞ y′ y x=2 −∞ I = ( 2;1) , cắt Ox ( −2; ) , cắt Oy ( 0; −1) y = − x + ( m + ) x − ( m + 2m ) x − Câu Tìm giá trị m để hàm số x=2 đại D=R TXĐ : y ' = −3x + ( m + 3) x − ( m + 2m ) ; y '' = −6 x + ( m + ) Hàm số cho đạt cực đại '   y ( 2) = ⇔  ''   y ( 2) < x=2 0.25 đạt cực 0.25 0.25 Câu 2 −12 + ( m + 3) − m − 2m = m − 2m = ⇔ ⇔ − 12 + m + < m <  0.25 m = ⇔ m = 0.25 m = 0, m = Kết luận : Giá trị m cần tìm sin x − 2cos x = 3sin x − cos x Giải phương trình : ( *) ⇔ 2sin x.cosx + cosx + 2sin x − 3sin x − = 0.25 ⇔ cosx ( 2sin x + 1) + ( 2sin x + 1) ( sin x − ) = 0.25  sin x = − ⇔  sin x + cosx = ( ) 0.25 ⇔ ( 2sin x + 1) ( cosx + sin x − ) = ⇔ x=− π 7π + k 2π ; x = + k 2π , k ∈ ¢ 6 0.25 Kết luận : Phương trình cho có nghiệm π 7π x = − + k 2π ; x = + k 2π , k ∈ ¢ 6 Câu Giải vơ địch bóng đá Châu Á có 16 đội bóng 16 quốc gia khác tham dự, có đội quốc gia khu vực Đông Nam Á Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên, chia 16 đội bóng thành bảng A, B, C, D bảng có đội để tiến hành thi đấu Tính xác suất để đội bóng quốc gia khu vực Đông Nam Á bảng Ω 0.25 KGM “ Chia ngẫu nhiên 16 đội bóng vào bảng A, B, C, D bảng có đội ” n ( Ω ) = C164 C124 C84 C44 Ta có : Xét biến cố M “ Chia 16 đội bóng vào bảng A, B, C, D bảng có 0.5 đội cho đội bóng quốc gia khu vực Đông Nam Á bảng” n ( M ) = 4.C124 C84 C44 Ta có Vậy xác suất cần tính 0.25 4 n( M ) 4.C C C 4 P( M ) = = 124 4 = = = n ( Ω ) C16 C12 C8 C4 C16 1820 455 Câu 3.9 x − 26.3x − = a Giải phương trình : 3.9 x − 26.3x − = ⇔ 3.32 x − 26.3x − =  x = − ( ) ⇔ ⇔x=2  x 3 = x=2 Vậy phương trình cho có nghiệm log ( x − ) + log ( x − 3) > b Giải bất phương trình : x>3 ĐK : log ( x − ) + log ( x − ) > ⇔ log ( x − ) ( x − )  > log 2 x ⇔ x − x + > ⇔  x > Câu 0.25 0.25 0.25 0.25 3< x < Kết hợp ĐK nghiệm bất phương trình Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 3a Tính theo a diện tích xung quanh, diện tích tồn hình nón thể tích khối nón tương ứng Giả sử tam giác SAB thiết diện, suy S đỉnh hình nón, tâm O đáy hình nón trung điểm AB l = SA = 3a Suy hình nón cho có : Độ dài đường sinh 3a r = OA = Bán kính đáy 3a h = SO = Chiều cao 0.25 3a 9π a S xq = π rl = π 3a = 2 Diện tích xung quanh hình nón : Diện tích tồn phần hình nón : 3a 9a 27π a 2 Stp = π rl + π r = π 3a + π = 4 1 9a 3a 3a V = π r 2h = π = 3 Câu 0.25 0.25 0.25 Thể tích khối nón : · S ABCD ABCD a BAD = 600 Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh SAB S Tam giác vuông cân nằm mặt phẳng vng góc với mặt SA a S ABCD E đáy Gọi trung điểm Tính theo thể tích khối chóp ( SBD ) E khoảng cách từ đến mặt phẳng SH ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm AB, suy VS ABCD * AB a ⇒ SH = = ∆SAB 2 vuông S  AB = AD = a a2 a2 ⇒ ∆ ABD · S ABCD = S∆ABD = =  BAD = 60 1 a a a3 VS ABCD = SH S ABCD = = 3 2 12 0.25 0.25 d ( E; ( SBD ) ) 0.25 * Gọi O giao AC BD, I trung điểm BO, K hình chiếu vng góc H SI Do EH song song SB, suy EH song song (SBD) ⇒ d ( E; ( SBD ) ) = d ( H ; ( SBD ) )  BD ⊥ HI ⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ BD ⊥ HK  BD ⊥ SH   HK ⊥ BD ⇒ HK ⊥ ( SBD ) ⇒ KH = d ( H ; ( SBD ) )   HK ⊥ SI AO a a = , SH = HK ⊥ SI ∆SHI Ta có , vng H 1 16 28 a a 21 ⇒ = + = + = ⇒ HK = = HK HS HI a 3a 3a 14 HI = d ( E ; ( SBD ) ) = HK = Vậy Câu 0.25 a 21 14 Oxy ABCD AB = BC H , cho hình chữ nhật có Gọi A BD E F hình chiếu vng góc lên đường thẳng , trung A ( 1;1) CD BH EF điểm Biết , đường thẳng có phương trình 3x − y − 10 = B, C , D E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh Trong mặt phẳng Gọi G trung điểm AH, suy DEFG hình bình hành  AH ⊥ DF ⇒  ∆ADF ⇒ DG ⊥ AF ⇒ EF ⊥ AF  FG ⊥ AD G trực tâm 0.25 1.( x − 1) + 3.( y − 1) = ⇔ x + y − = 0.25 Phương trình AF : Tọa độ F thỏa mãn hệ 3x − y − 10 = 32  17  ⇒ F  ; ÷⇒ AF = =4  5  5 x + 3y − = ∆DCB đồng dạng ⇒ EF = AF = 2 ∆AFE E ( t ;3t − 10 ) Gọi , với 19 t= t= (loại 19 ⇒ t< EF AF EF BC = ⇒ = = BC DC AF DC 10 EF = , 0.25 nên t =3 E ( 3; −1) ⇒ pt AE : x + y − = ), suy  AD = DE  D ( x; y )  AD ⊥ DE Giả sử , nên ta có hệ 2 ( x − 1) + ( y − 1) = ( x − 3) + ( y + 1) x = x = ⇔ ;  y = − x − x − + y − y + =  y =1 ( ) ( ) ( ) ( )  Suy Câu D ( 1; −1) D ( 3;1) D ( 1; −1) Do D, F nằm khác phía so với đường thẳng AE nên ta 0.25 C ( 5; −1) Do E trung điểm DC nên uuu r uuu r B ( 1;5 ) CB = DA Do nên B ( 1;5 ) , C ( 5; −1) , D ( 1; −1) Vậy  x3 + y + x + y + x + y + = ( 1)   − xy − x + 2015 = x + x + y + + 2016 x ( ) Giải hệ phương trình : 0.25 8 − xy − x ≥  x + x + y + ≥ ĐK : ( 1) ⇔ y + y + y = − x3 − x − x − ⇔ y + y + y = − ( x + x + x + 1) + ( x + x + 1) − x − ⇔ y + y + y = ( − x − 1) + ( − x − 1) + ( − x − 1) f ( t ) = t + 2t + 3t , t ∈ ¡ 0.25 Xét hàm số f ( t) f ' ( t ) = 3t + 4t + > ∀t ∈ ¡ ¡ Có , suy đồng biến ( 1) ⇔ f ( y ) = f ( − x − 1) ⇔ y = − x − Ta y = −x −1 ( 2) Thay vào rút gọn phương trình x + + 2015 = x + + 2016 x ( *) x + − x + = 2016 x − 2015 > ⇒ x > Ta có g ( x ) = x + − x + − 2016 x + 2015 , x > Xét hàm số x g' ( x) = = Suy Câu 10 x +8 x ( g ( x) − x x +3 2 2015 2016 − 2016 x2 + − x2 + (x 0.25 2015 2016 + ) ( x + 3) ) − 2016 <  2015  ; +∞ ÷   2016  ∀x > 2015 2016 nghịch biến g ( x) = Suy phương trình (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm g ( 1) = Mặt khác x =1 Từ ta nghiệm phương trình (*) x = ⇒ y = −2 0.25 Với (thỏa mãn điều kiện ban đầu) ( x; y ) = ( 1; −2 ) Vậy hệ cho có nghiệm a , b, c ( bc + 1) + a = ( + a ) + bc Cho số thực dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a +1 12 a P= + + − 2 a bc b ( + c ) a +1 ( bc + 1) ⇒ bc ≤ Vì a + + a 2c 12 a P= + − 2 a bc ( c + 1) a + 0.25 + a = ( + a ) + bc ⇔ b 2c + bc = + 2a − a = − ( a − 1) ≤ 2 ⇒ a +1 a +1 ≥ a 2bc a 0.25 1 4 ≥c⇒ + ≥c+ 2 b b ( + c) ( + c) c +1 c +1 4 + + ≥ 3⇒ c + ≥2 2 2 ( 1+ c) ( + c) Theo Cô-Si a +1 12 a a + 12 a 1 P≥ +2− ≥ + 2− = 2+ − +2 a a +1 a 2a a a a Do t= > ⇒ P ≥ t + t − 6t + a Đặt f ( t ) = t + t − 6t + , t > Xét hàm số f ' ( t ) = 4t + 2t − , f ' ( t ) = ⇔ t = Có Bảng biến thiên t +∞ f ' ( t) f ( t) − 0.25 + +∞ −2 Ta P ≥ f ( t ) ≥ −2 0.25  t = =1  a  ⇔ a = b = c =1 bc = c =   Dấu = xảy a = b = c =1 P = −2 Vậy đạt